數(shù)學(xué)
本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試時間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合M，N滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（ ）
A．1B．
C．D．2
3．已知向量，，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）
A．2B．1
C．0D．
5．已知函數(shù)則的值域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
6．若銳角滿足，則（ ）
A．B．
C．或D．或
7．若有且僅有一個使得數(shù)取得最小值，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
8．已知半徑為1的球可以整體放入圓錐容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)，則該圓錐容器容積的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．樣本數(shù)據(jù)：3，3，4，4，5，6．6，7，7的方差為2
D．已知，，且A與B獨(dú)立，則
10．已知，函數(shù)，則（ ）
A．對任意a，總存在零點(diǎn)
B．當(dāng)時，是的極值點(diǎn)
C．當(dāng)時，曲線與軸相切
D．對任意a，在區(qū)間上單調(diào)遞增
11．已知雙曲線與直線有唯一公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸，y軸于，兩點(diǎn)，當(dāng)M運(yùn)動時，下面說法正確的有（ ）
A．或
B．記點(diǎn)，則點(diǎn)P在曲線C上
C．直線l與兩漸近線所圍成的面積為定值
D．記點(diǎn)，則點(diǎn)Q的軌跡為橢圓
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為 ．
13．已知橢圓C的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，若為等腰三角形，則C的離心率為 ．
14．在正八面體中，任取四個頂點(diǎn)，則這四點(diǎn)共面的概率為 ；任取兩個面，則所成二面角為鈍角的概率為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．已知的內(nèi)角的對邊分別為，，．
(1)求B；
(2)若B為銳角，邊上的高為，求的周長．
16．在直三棱柱中，，，，G是的重心，點(diǎn)Q在線段AB（不包括兩個端點(diǎn)）上．

(1)若Q為的中點(diǎn)，證明：平面；
(2)若直線與平面所成的角正弦值為，求．
17．已知為拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與的另一個交點(diǎn)為，與垂直的直線與的另一交點(diǎn)為．
(1)若直線經(jīng)過的焦點(diǎn)，求直線的方程；
(2)若直線與直線關(guān)于對稱，求的面積．
18．已知數(shù)列，，．
(1)證明：數(shù)列，為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
19．已知．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在唯一的整數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使得恒成立？若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
1．D
【分析】由集合的包含關(guān)系判定即可.
【詳解】因?yàn)榧螹，N滿足，
所以.
故選：D.
2．C
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求解．
【詳解】，
故選：C．
3．C
【分析】由投影向量的計算公式，即可求解.
【詳解】在方向上的投影向量為.
故選：C.
4．B
【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義列式計算即得.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，由函數(shù)為奇函數(shù)，得，
即，
所以.
故選：B
5．A
【分析】分別求每段函數(shù)的值域，再求并集.
【詳解】在上單調(diào)遞增，所以，
在上單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)?，?br>所以函數(shù)的值域是.
故選：A
6．B
【分析】首先根據(jù)利用輔助角公式得到，再利用角的變換，結(jié)合誘導(dǎo)公式，以及二倍角公式，即可求解.
【詳解】，則，
因?yàn)椋?，則
，
.
故選：B
7．D
【分析】依題意，由，則有，求解可得的取值范圍.
【詳解】時，，
依題意有，解得，
則的取值范圍為.
故選：D.
8．D
【分析】作圓錐軸截面，利用圓錐的體積公式可將其用表示，結(jié)合已知條件，即可求出圓錐容器容積的最小值.
【詳解】
由題意，當(dāng)球與圓錐底面和側(cè)面都相切時圓錐容器的容積最小，
作圓錐軸截面如圖，為圓錐的高，為球心，為切點(diǎn)，
則，又，
則，
所以圓錐的體積，
因?yàn)?，所以?br>又為定值，
所以當(dāng)，即時，
圓錐的體積最小為，
即圓錐容器容積的最小值為.
故選：D.
9．AD
【分析】由二項(xiàng)分布的期望判斷選項(xiàng)A；由正態(tài)曲線的對稱性判斷選項(xiàng)B；計算樣本數(shù)據(jù)的方差判斷選項(xiàng)C；利用獨(dú)立事件的概率公式與和事件的概率公式判斷選項(xiàng)D.
【詳解】若，則，A選項(xiàng)正確；
若，則，有，B選項(xiàng)錯誤；
樣本數(shù)據(jù)：3，3，4，4，5，6．6，7，7的平均值為，
方差為，C選項(xiàng)錯誤；
已知，，且A與B獨(dú)立，則，
所以，D選項(xiàng)正確.
故選：AD.
10．ACD
【分析】利用零點(diǎn)存在性定理判斷A；利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性判斷B；求出切線斜率為0的切線方程判斷C；當(dāng)時探討值的情況判斷D.
【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
對于A，函數(shù)在上的圖象連續(xù)不斷，當(dāng)時，由，得；
而，當(dāng)時，，函數(shù)在上存在零點(diǎn)；
當(dāng)時，，
函數(shù)在上存在零點(diǎn)，因此對任意a，總存在零點(diǎn)，A正確；
對于B，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，由，得，而，
則曲線在處切線為，即曲線與軸相切，C正確；
對于D，當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，
則當(dāng)時，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因此對任意a，在區(qū)間上單調(diào)遞增，D正確.
故選：ACD
11．ABC
【分析】對A，由雙曲線和直線有唯一交點(diǎn)，可知直線與雙曲線的漸近線平行或者與雙曲線相切，再根據(jù)的范圍即可知直線與雙曲線相切，聯(lián)立方程利用即可求解；對B，根據(jù)，整理出，即可判斷；對C，求出直線l與兩漸近線的交點(diǎn)，再利用面積公式即可求解；對D，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫出直線的方程，再分別求出的坐標(biāo)，即求出，再根據(jù)的關(guān)系即可求出點(diǎn)Q的軌跡方程，即可判斷.
【詳解】解：對A，雙曲線與直線有唯一公共點(diǎn)M，
直線與雙曲線的漸近線平行或者與雙曲線相切，
雙曲線的漸近線方程為：，
又，
直線與雙曲線相切，
，
即，
則，
即，
，
故或，故A對；
對B，由A知：，
即，即點(diǎn)P在曲線C上，故B對，
對C，雙曲線的漸近線方程為：，
設(shè)直線與雙曲線的漸近線的交點(diǎn)分別為，
則由解得： ，
由解得：
直線與軸的交點(diǎn)為，
故直線l與兩漸近線所圍成的面積 ，
由A知：，
即，故C對；
對D，由A知：聯(lián)立方程得到：，
解得： ，
又，
，其中，
又由題意知，
故：，
令，得，
令，得，
即， ，
故，
令 ，其中，
則，
即點(diǎn)Q的軌跡方程為：，
即點(diǎn)Q的軌跡為焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長為，虛軸長為的雙曲線(去掉兩個頂點(diǎn))，故D錯.
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求軌跡方程常用的方法：直接法，相關(guān)點(diǎn)法，交軌法，定義法，求解過程中要注意一些軌跡問題中包含隱含條件，也就是曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍，有時還要補(bǔ)充特殊點(diǎn)的坐標(biāo).
12．
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，再求得f'1，從而可求其切線方程．
【詳解】由，得，
所以，即函數(shù)在點(diǎn)1,0處的切線的斜率為，
所以函數(shù)在點(diǎn)1,0處的切線方程為，即.
故答案為：．
13．
【分析】利用橢圓的性質(zhì)計算即可.
【詳解】不妨設(shè)橢圓的長軸、短軸、焦距分別為，
則，且根據(jù)橢圓的性質(zhì)易知，
所以，
顯然若為等腰三角形，則只能有，
即，
則.
故答案為：
14． 15##0.2
【分析】根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征，四邊形，，是正方形，可求出任取四個頂點(diǎn)，則這四點(diǎn)共面的概率；先證明任意相鄰兩個面所成角為鈍角，再根據(jù)根據(jù)正八面體結(jié)構(gòu)特征求解.
【詳解】如圖，在正八面體中，八個面是全等的等邊三角形，，，相交于同一點(diǎn)且兩兩互相垂直，則四邊形，，是正方形，
任取四個頂點(diǎn)，則這四點(diǎn)共面的概率為；
設(shè)，則，取的中點(diǎn)，連接，則，，
所以是平面與平面所成角，
所以，
所以是鈍角，根據(jù)正八面體結(jié)構(gòu)，每個面與其余6個面所成角均為鈍角，與另一個面平行，
所以任取兩個面，則所成二面角為鈍角的概率為.
故答案為：；.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是認(rèn)識清楚正八面體的結(jié)構(gòu)特征求解.
15．(1)或
(2)
【分析】（1）利用輔助角公式化條件等式先計算A，再利用正弦定理計算即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論作出圖形，利用直角三角形及三角恒等變換計算，再根據(jù)三角形周長公式計算即可.
【詳解】（1）易知，
所以，
因?yàn)橹?，所以?br>而，
則或；
（2）由上可知，，則，
如圖，則，
所以，
，則，
所以的周長為.
16．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接并延長，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，由面面平行的判定得出平面平面，再由面面平行的性質(zhì)即可證明；
（2）以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)線面夾角的向量公式列出方程求解即可．
【詳解】（1）連接并延長，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉橹比庵?，所以平面平面，，?br>又分別為的中點(diǎn)，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>同理可得平面，
因?yàn)槠矫?，且?br>所以平面平面，又平面，
所以平面．

（2）以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
則，，，
所以，
由直三棱柱可得，為的中點(diǎn)，
所以，則，
設(shè)平面的一個法向量為，
由得，，取，則，
因?yàn)橹本€與平面所成的角正弦值為，
所以，
整理得，，解得或（不合題意舍） ，
所以．

17．(1)
(2)
【分析】（1）由題意求出，根據(jù)拋物線定義求出焦點(diǎn)F1,0，最后利用兩點(diǎn)式求出直線的方程；
（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，由點(diǎn)斜式得直線的方程，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，同理得，然后根據(jù)直線上兩點(diǎn)求斜率的公式化簡求出直線的斜率，再根據(jù)，求出的值，進(jìn)而求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)，求出的面積即可.
【詳解】（1）由在拋物線上，
則可得，解得，
故拋物線，所以焦點(diǎn)F1,0，
又直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線的方程為，
即；
（2）

由題意知，直線的斜率存在且不為，
設(shè)Ax1,y1，直線的方程為，
由，聯(lián)立可得，
又，解得，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得，
因?yàn)橹本€與直線關(guān)于對稱，則可得直線的斜率為，
設(shè)Bx2,y2，直線的方程為，
由，聯(lián)立可得，
又，解得，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得，
則可得，
又直線的斜率，
又，則，
因此可得，則，故，
，則，故，
則，，
所以.
18．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，，即可證明答案.
（2）根據(jù)題意得到，再解方程組即可.
（3）利用分組求和的方法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，.
而，，所以，
，.
所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.
數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）知：，.
（3）因?yàn)椋?br>所以
.
19．(1)答案見詳解
(2)
(3)存在，的取值范圍為
【分析】（1）分析可知的定義域?yàn)?，求?dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性；
（2）分和兩種情況，根據(jù)（1）中單調(diào)性求最值，分析求解；
（3）構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，分和兩種情況，參變分離結(jié)合恒成立問題分析求解.
【詳解】（1）由題意可知：的定義域?yàn)椋遥?br>令f'x>0，解得或；令f'x

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