考試時間：120分鐘 滿分：150分
一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知全集為R，集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．若函數(shù)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．已知不等式恒成立，則的最小值是（ ）
A．B．4C．D．8
5．已知函數(shù)的圖象關于點-1,1對稱，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
7．根據(jù)經(jīng)濟學理論，企業(yè)產(chǎn)量受勞動投入、資本投入和技術水平的影響，若用表示產(chǎn)量，表示勞動投入，表示資本投入，表示技術水平，則它們的關系可以表示為，其中．當不變，與均變?yōu)樵瓉淼?倍時，下列說法正確的是（ ）
A．存在和，使得不變
B．存在和，使得變?yōu)樵瓉淼?倍
C．若，則最多可變?yōu)樵瓉淼?倍
D．若，則最多可變?yōu)樵瓉淼?倍
8．已知是定義在上且不恒為零的函數(shù)，對于任意實數(shù)滿足，若，則（ ）
A．B．C．D．
二?多選題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得6分，部分選對分別記0分?2分?4分或0分?3分，有選錯的得0分.
9．已知，則（ ）
A． B．
C．D．
10．已知函數(shù)有兩個極值點，，且，則（ ）
A．a(chǎn)的范圍是B．
C．D．函數(shù)至少有一個零點
11．已知的圖象上能找到兩個不同點關于原點對稱，則稱為函數(shù)的一對“友好點”，則下列正確的有（ ）
A．若，則有兩對“友好點”
B．不可能有三對“友好點”
C．若僅有一對“友好點”，則
D．當時，對任意的，總是存在，使得
三?填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.
12．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝ ．
13．已知函數(shù)有唯一零點，則
14．已知函數(shù)，當時，記函數(shù)的最大值為，則的最小值為 .
四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應該寫出文字說明?證明過程或驗算步驟.
15．如圖1所示，現(xiàn)有一塊邊長為1.5m的等邊三角形鐵板，如果從鐵板的三個角各截去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正三棱柱形的容器如圖2.則容器的容積是容器底面邊長的函數(shù).
(1)寫出函數(shù)的解析式并注明定義域；
(2)求這個容器容積的最大值.
16．已知直線與函數(shù)的圖象相切.
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的極大值.
17．已知函數(shù)
(1)若恒成立，求a的值；
(2)若有兩個不同的零點，且，求a的取值范圍.
18．已知函數(shù)．
(1)證明曲線在處的切線過原點；
(2)討論的單調(diào)性；
(3)若，求實數(shù)的取值范圍．
19．給定正整數(shù)，已知項數(shù)為且無重復項的數(shù)對序列：滿足如下三個性質(zhì)：①，且；②；③與不同時在數(shù)對序列中.
(1)當，時，寫出所有滿足的數(shù)對序列；
(2)當時，證明：；
(3)當為奇數(shù)時，記的最大值為，求.
1．D
【解析】由已知集合的描述，結合交、并、補運算即可判斷各選項的正誤
【詳解】A中，顯然集合A并不是集合B的子集，錯誤.
B中，同樣集合B并不是集合A的子集，錯誤.
C中，，錯誤.
D中，由，則，，正確.
故選：D．
2．A
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件求解即可.
【詳解】因為，而推不出，例如滿足，但不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A
3．D
【分析】由f'x≥0恒成立，分離常數(shù)，利用基本不等式求得的取值范圍.
【詳解】依題意，即對任意恒成立，
即恒成立，因為（當且僅當時取“=”），
所以.
故選：D
4．D
【分析】根據(jù)不等式恒成立，則需要，，即，利用基本不等式即可判斷選項.
【詳解】根據(jù)不等式恒成立，
當，不符合條件。
則，，即，
①
②，
①當且僅當，即，等號成立.
②當且僅當時等號成立.
兩次基本不等式都在成立，故等號能夠傳遞.
故選：D
【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.
5．D
【分析】由平移規(guī)律，再結合條件，即可求解.
【詳解】函數(shù)的圖象關于點-1,1對稱，
所以函數(shù)的圖象向右平移1個單位，
向下平移一個單位后函數(shù)的圖象關于點對稱，
即可得.
故選：D
6．A
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到，再利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，，則得到三者大小關系.
【詳解】令，根據(jù)為上的單調(diào)減函數(shù)，
則在上單調(diào)遞減，
且，，
所以函數(shù)在12,1上存在唯一的零點，故；
又因為，所以，
所以，即，所以，
所以，即，所以;
因為，所以，所以，
即，所以，
綜上可得：.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理得到，最后再結合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可比較大小.
7．D
【分析】由，當不變，與均變?yōu)樵瓉淼?倍時，，然后逐個分析判斷即可.
【詳解】因為，
所以當不變，與均變?yōu)樵瓉淼?倍時，，
對于A，若不變，則，所以，因為，所以上式無解，
所以不存在和，使得不變，所以A錯誤，
對于B，若變?yōu)樵瓉淼?倍，則，所以，
當，時，，所以，
所以無解，所以不存在和，使得變?yōu)樵瓉淼?倍，所以B錯誤，
對于C，若，則，當且僅當，即時取等號，
所以當時，最少可變?yōu)樵瓉淼?倍，所以C錯誤，
對于D，由，得，
因為，當且僅當，即時取等號，
所以，得，
所以，當且僅當，即時取等號，
所以，所以若，則最多可變?yōu)樵瓉淼?倍，所以D正確.
故選：D
8．A
【分析】對取特殊值代入已知表達式，結合奇偶性即可求解.
【詳解】當時，，
當時，，可得，
則，
當時，，則，
函數(shù)fx的定義域為R，
令時，，
所以得，所以函數(shù)是奇函數(shù)，
令得，
又函數(shù)是奇函數(shù)，.
故選:A.
【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)中用賦值法求函數(shù)值的問題，賦值時應結合題目中的信息進行.
9．ABD
【分析】由題意得，且，結合基本不等式以及相關推理逐一驗算即可得解.
【詳解】則，且，故D正確；
，A正確；
又由可知，B正確；，故C錯誤．
故選：ABD．
10．BCD
【分析】由題可得有兩個不相等的實數(shù)根，利用可以判斷A正確；再利用韋達定理可以判斷B正確；利用導數(shù)研究的單調(diào)性，可以判斷C正確；利用零點存在定理可以判斷D正確.
【詳解】對于A，由題可得有兩個不相等的實數(shù)根，
所以，所以，A不正確；
對于B，根據(jù)題意，為的兩個根，所以，B正確；
對于C，因為，且為的兩個根，
所以由得或，
由得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以成立，C正確；
對于D，由以上分析可知的極大值為，
當趨于負無窮時，也趨于負無窮，
所以存在充分小且，使得，
由零點存在定理可知，存在，使得，所以函數(shù)至少有一個零點，正確；
故選：BCD.
11．BD
【分析】不妨設，則存在友好點等價于方程有實數(shù)根，從而構造函數(shù)，利用導數(shù)求得其單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)的大致圖象，討論與直線的圖象的交點個數(shù)情況，再逐個分析判斷.
【詳解】若和互為“友好點”，不妨設，
則，得，
令（），則，
所以當時，，當時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以的大致圖象如圖所示，
由圖可知，當時，的圖象與直線無交點，所以不存在“友好點”，
當或時，的圖象與直線有一個交點，所以只有一對“友好點”，
當時，的圖象與直線有兩個交點，所以存在兩對“友好點”，
不可能有三對“友好點”，
所以AC錯誤，B正確，
當時，對任意的，，
又，
所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，
所以總存在，使，所以D正確，
故選：BD
【點睛】思路點睛：關于新定義題的思路有：
（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數(shù)學語言；
（3）將已知條件代入新定義的要素中；
（4）結合數(shù)學知識進行解答.
12．
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，建立方程關系即可得到結論．
【詳解】由偶函數(shù)的定義可得f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
即2ax=ln（e﹣3x+1）﹣ln（e3x+1）=lne﹣3x=﹣3x，
∴2ax＝－3x，∴a＝－
故答案為：－
【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，根據(jù)偶函數(shù)的定義得到f（﹣x）=f（x）是解決本題的關鍵，屬于基礎題.
13．
【分析】令，得到的解析式，判斷出是偶函數(shù)，從而得到的圖像關于成軸對稱，根據(jù)函數(shù)有唯一零點，得到，從而得到的方程，解出的值.
【詳解】
設，則
定義域為，
所以為偶函數(shù)，
所以的圖像關于成軸對稱
要使有唯一零點，
則只能，
即
解得，
故答案為：.
【點睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性，根據(jù)函數(shù)的零點求參數(shù)的值，屬于中檔題.
14．##
【分析】先判斷為偶函數(shù)，轉化為求在0,2上的最大值，可判斷在0,2上的最大值為f1或，得，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)，即可求出結果.
【詳解】根據(jù)題意，，是偶函數(shù)，
當x∈0,2時，，
由二次函數(shù)的性質(zhì)，在0,2上的最大值為f1或，
由偶函數(shù)對稱性，在上的最大值為f1或，
，則，
即.
，即的最小值為.
故答案為：.
15．(1)；定義域為.
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意求出三棱柱的高，再根據(jù)柱體的體積公式即可求解；
（2）利用導數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解．
【詳解】（1）如圖所示：
由題意可知,
所以，可得，
所以，
即三棱柱的高為，
所以，
所以，定義域為.
（2）由（1）知，，定義域為.
因為，
所以，
令則，解得或（舍），
又因為，
所以當x∈0,1時，
當時，，
所以在0,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，取得極大值，也為函數(shù)的最大值，
所以．
故這個容器容積的最大值為.
16．(1)；
(2)0.
【分析】（1）設出切點，利用導數(shù)的幾何意義求解即得.
（2）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出極值即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，
設切點為，則切線的斜率為，
切線方程為，
又切線過點，于是，而，解得，所以.
（2）由（1）知，，設，求導得，
令，得，當時，，當時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
于是，又，
則存在，當時，，當時，，
從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以存在唯一極大值.
17．(1)
(2)
【分析】（1）先求導，然后討論參數(shù)的范圍，最后求出單調(diào)區(qū)間.
（2）在第一問基礎上，求出，然后討論的范圍，最后求出范圍.
【詳解】（1），
①當時，，不符合題意.
②當時，令，解得，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當時，取得最小值；
若恒成立，則，
設，則，
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即的解為.
所以.
（2）當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以至多有一個零點，不符合題意；
當時，因為，不妨設，
若，則，不符合題意；
若，則，
由（2）可知，只需，即，解得，
即a的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的恒成立問題的求解策略，
形如的恒成立的求解策略：
1.構造函數(shù)法：令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；
2.參數(shù)分離法：轉化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；
3.數(shù)形結合法：結合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進而得到不等式恒成立.
18．(1)證明見解析
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）利用導函數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）首先求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)判別式，討論a的取值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
（3）把問題轉化為，利用一次函數(shù)單調(diào)性得，只需證，利用導數(shù)研究單調(diào)性即可.
【詳解】（1）由題設得，所以，
又因為，所以切點為，斜率，
所以切線方程為，即恒過原點．
（2）由（1）得，
①時，，
當時，，在上單調(diào)遞增，
當時，，在上單調(diào)遞減；
令，則
②且時，即時，，在上單調(diào)遞增，
時，，
，則，或，得
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；
，則，則，
所以在上單調(diào)遞減，
③時，，
則，則，所以在上單調(diào)遞減；
，則，所以在上單調(diào)遞增，
綜上：時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
時，在上單調(diào)遞增；
時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，
（3）當時，，即，
下面證明當時，，，即證，
令，因為，所以，只需證，
即證，令，，，令，，
令，，與在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，，，
所以存在，使得，即，
所以，，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，，
令，時，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，，所以在上單調(diào)遞減，
，，，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，綜上所述．
【點睛】關鍵點點睛
第三問的關鍵是構造函數(shù)并連續(xù)求導判斷單調(diào)性，把構造的函數(shù)與當時的函數(shù)值比較，從而得到結論.
19．(1)或
(2)證明詳見解析
(3)
【分析】（1）利用列舉法求得正確答案.
（2）利用組合數(shù)公式求得的一個大致范圍，然后根據(jù)序列滿足的性質(zhì)證得.
（3）先證明，然后利用累加法求得.
【詳解】（1）依題意，當，時有：
或.
（2）當時，
因為與不同時在數(shù)對序列中，
所以，所以每個數(shù)至多出現(xiàn)次，
又因為，
所以只有對應的數(shù)可以出現(xiàn)次，
所以.
（3）當為奇數(shù)時，先證明.
因為與不同時在數(shù)對序列中，
所以，
當時，構造恰有項，且首項的第個分量與末項的第個分量都為.
對奇數(shù)，如果和可以構造一個恰有項的序列，且首項的第個分量與末項的第個分量都為，
那么多奇數(shù)而言，可按如下方式構造滿足條件的序列：
首先，對于如下個數(shù)對集合：
，
，
……
，
，
每個集合中都至多有一個數(shù)對出現(xiàn)在序列中，
所以，
其次，對每個不大于的偶數(shù)，
將如下個數(shù)對并為一組：
，
共得到組，將這組對數(shù)以及，
按如下方式補充到的后面，
即
.
此時恰有項，所以.
綜上，當為奇數(shù)時，
.
【點睛】方法點睛：解新定義題型的步驟：
(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論.
(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.
(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

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