A．B．
C．D．
2．下列長(zhǎng)度的3根小木棒不能搭成三角形的是
A．，，B．，，C．，，D．，，
3．已知關(guān)于的不等式的解在數(shù)軸上表示如圖所示，則這個(gè)不等式的解集為
A．B．C．D．
4．如圖，作的邊上的高，以下作法正確的是
A．B．
C．D．
5．在△中，，是底邊上的高，下面結(jié)論不一定成立的是
A．B．C．平分D．
6．如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么等于
A．B．C．D．
7．為說(shuō)明命題“若，則”是假命題，所列舉的反例正確的是
A．，B．，C．，D．，
8．已知一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是，斜邊上中線長(zhǎng)為2，則這個(gè)三角形的面積為
A．5B．2C．D．1
9．對(duì)于分式，為常數(shù)），若當(dāng)時(shí)，該分式總有意義；當(dāng)時(shí)，該分式的值為負(fù)數(shù)．則，與0的大小關(guān)系正確的是
A．B．C．D．
10．如圖，在△中，，，，分別為線段，上一點(diǎn)，且，連接、交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．以下四個(gè)結(jié)論正確的是
①；
②若，則；
③若平分，則；
④連結(jié)，若，則．
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
二、填空題
11．用不等式表示“的7倍減去1是正數(shù)”就是 ．
12．命題“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是： ．
13．如圖，在中，平分，，則 ．
14．甲乙兩位同學(xué)進(jìn)行一種數(shù)學(xué)游戲．游戲規(guī)則是：兩人輪流對(duì)△及△對(duì)應(yīng)的邊或角添加等量條件（點(diǎn)，，分別是點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．某輪添加條件后，若能判定△與△全等，則當(dāng)輪添加條件者失敗，另一人獲勝．如表記錄了兩人游戲的部分過(guò)程，則下列說(shuō)法正確的是 （填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
15．如圖，已知四邊形中，，，，，，則四邊形的面積為 ．
16．三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，，滿足，，則的取值范圍是 ，的取值范圍是 ．
三、解答題
17．解下列一元一次不等式（組．
（1）；
（2）（把解在數(shù)軸上表示出來(lái)）．
18．在中，，利用直尺和圓規(guī)作圖．
（1）作出的角平分線；
（2）若，，求出斜邊上的高的長(zhǎng)度．
19．已知方程組的解滿足為非正數(shù)，為負(fù)數(shù)．
（1）求的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若不等式的解為．求的值．
20．如圖，△中，，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．
（1）求證：；
（2）若，求的度數(shù)．
21．如圖，在中，是的高線，是的角平分線，已知．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）設(shè)，用含有的代數(shù)式表示的大?。?br>22．某電器超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為200元、170元的、兩種型號(hào)的電風(fēng)扇，如表是近兩周的銷售情況：
（1）求、兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)；
（2）若進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共30臺(tái)，求種型號(hào)的電風(fēng)扇最多能采購(gòu)多少臺(tái)？
（3）在（2）的條件下，利用不等式的基本性質(zhì)說(shuō)明超市銷售完這30臺(tái)電風(fēng)扇的利潤(rùn)無(wú)法超過(guò)1300元的目標(biāo)．（利潤(rùn)銷售總收入進(jìn)貨總價(jià)）
23．已知在中，，且．作，使得．
（1）如圖1，若與互余，則 （用含的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，若與互補(bǔ)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：；
（3）若與的面積相等，則與滿足什么關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．
2023-2024學(xué)年浙江省華東師大附屬杭州學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題：本大題有10個(gè)小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．?dāng)?shù)學(xué)中有許多精美的曲線，以下是“笛卡爾葉形線”“阿基米德螺線”“三葉玫瑰線”和“星形線”．其中一定不是軸對(duì)稱圖形的是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：，，選項(xiàng)中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；
選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．下列長(zhǎng)度的3根小木棒不能搭成三角形的是
A．，，B．，，C．，，D．，，
【分析】在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形，由此即可判斷．
【解答】解：、，不能搭成三角形，故符合題意；
、，能搭成三角形，故不符合題意；
、，能搭成三角形，故不符合題意；
、，能搭成三角形，故不符合題意．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理．
3．已知關(guān)于的不等式的解在數(shù)軸上表示如圖所示，則這個(gè)不等式的解集為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)解不等式，不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，向右畫；，向左畫），可得答案．
【解答】解：由數(shù)軸可得不等式的解集為：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，在表示解集時(shí)“”，“ ”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“”，“ ”要用空心圓點(diǎn)表示．
4．如圖，作的邊上的高，以下作法正確的是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形的高的定義判斷即可．
【解答】解：如圖，選項(xiàng)中，線段是邊上的高．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖基本作圖，三角形的高等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的高的定義，屬于中考?？碱}型．
5．在△中，，是底邊上的高，下面結(jié)論不一定成立的是
A．B．C．平分D．
【分析】根據(jù)等“腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線重合”即可對(duì)選項(xiàng)，，進(jìn)行判斷，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，則，由此可得出答案．
【解答】解：在△中，，是底邊上的高，
，平分，，
故選項(xiàng)，，一定成立，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，則，
選項(xiàng)不一定成立，符合題意．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
6．如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么等于
A．B．C．D．
【分析】先求出，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：如圖，，
由三角形的外角性質(zhì)得，，
，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．為說(shuō)明命題“若，則”是假命題，所列舉的反例正確的是
A．，B．，C．，D．，
【分析】找到一個(gè)滿足題設(shè)但不滿足結(jié)論的、的值即可．
【解答】解：當(dāng)，時(shí)滿足，但，，，，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
8．已知一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是，斜邊上中線長(zhǎng)為2，則這個(gè)三角形的面積為
A．5B．2C．D．1
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求得斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形的周長(zhǎng)和勾股定理，可求得兩直角邊的長(zhǎng)或長(zhǎng)的乘積，由此可求出這個(gè)三角形的面積．
【解答】解：設(shè)兩直角邊分別為，，斜邊為，
根據(jù)三角形的性質(zhì)知：，
可得：．
故．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】在解題過(guò)程中，應(yīng)了解直角三角形的一些特殊性質(zhì)，在進(jìn)行求解的時(shí)候使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單．
9．對(duì)于分式，為常數(shù)），若當(dāng)時(shí)，該分式總有意義；當(dāng)時(shí)，該分式的值為負(fù)數(shù)．則，與0的大小關(guān)系正確的是
A．B．C．D．
【分析】利用分式成立的條件判斷有可能為正，則，再根據(jù)時(shí)，分式值為負(fù)，可判斷、異號(hào)．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，該分式總有意義，
說(shuō)明當(dāng)時(shí)，分母有可能為0，
為正數(shù)，即，
又時(shí)，該分式的值為負(fù)數(shù)，
，即，
、異號(hào)，
，
只有選項(xiàng)正確，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的值，分式成立的條件，解題的關(guān)鍵是掌握分式的值，分式成立的條件．
10．如圖，在△中，，，，分別為線段，上一點(diǎn)，且，連接、交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．以下四個(gè)結(jié)論正確的是
①；
②若，則；
③若平分，則；
④連結(jié)，若，則．
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
【分析】由“”可證△△，可得，可證，可得，則點(diǎn)是的中垂線上，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，故①正確；
由全等三角形的性質(zhì)可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，故②正確；
由角平分線的性質(zhì)可證點(diǎn)是角平分線的交點(diǎn)，可得點(diǎn)到三邊距離相等，由面積法可求，故③正確；
由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，由，可得，故④錯(cuò)誤，即可求解．
【解答】解：在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，
，
點(diǎn)是的中垂線上，
，
點(diǎn)在的中垂線上，
垂直平分，
，故①正確；
若，則，
△△，
，
，
又，
，故②正確；
若平分，
，
，，
，
點(diǎn)是角平分線的交點(diǎn)，
點(diǎn)到三邊的距離為的長(zhǎng)，
，，，
，
，
，
，故③正確；
如圖，連接，
若，則，
△△，
，
，
又，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，故④錯(cuò)誤，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等三角形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
11．用不等式表示“的7倍減去1是正數(shù)”就是 ．
【分析】首先表示“的7倍”為，再表示“減去1”為，最后表示“是正數(shù)”為．
【解答】解：由題意得：，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等關(guān)系時(shí)，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過(guò)（不低于）、是正數(shù)（負(fù)數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號(hào)．因此建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵，不同的詞里蘊(yùn)含這不同的不等關(guān)系．
12．命題“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是： 兩直線平行，同位角相等 ．
【分析】把一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論互換就得到它的逆命題．
【解答】解：命題：“同位角相等，兩直線平行．”的題設(shè)是“同位角相等”，結(jié)論是“兩直線平行”．
所以它的逆命題是“兩直線平行，同位角相等．”
故答案為：“兩直線平行，同位角相等”．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．
13．如圖，在中，平分，，則 36 ．
【分析】設(shè)，根據(jù)角平分線定義得出．根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)得出，，．然后在中，利用三內(nèi)角和為列出方程，求出即可．
【解答】解：設(shè)，則．
，
，
．
，
．
在中，，
，
，
．
故答案為：36．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，設(shè)，利用表示，，是解題的關(guān)鍵．
14．甲乙兩位同學(xué)進(jìn)行一種數(shù)學(xué)游戲．游戲規(guī)則是：兩人輪流對(duì)△及△對(duì)應(yīng)的邊或角添加等量條件（點(diǎn)，，分別是點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．某輪添加條件后，若能判定△與△全等，則當(dāng)輪添加條件者失敗，另一人獲勝．如表記錄了兩人游戲的部分過(guò)程，則下列說(shuō)法正確的是 ①③ （填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐一判斷即可．
【解答】解：①若第3輪甲添加，根據(jù)即可判定△△，則甲失敗，乙獲勝，故說(shuō)法正確，符合題意；
②若第3輪甲添加條件，由于含的直角三角形直角邊等于斜邊的一半，滿足，能判定△△，則甲失敗，乙獲勝，故說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
③若乙第2輪添加條件為，則第3輪甲無(wú)論添加任何對(duì)應(yīng)的邊或角的等量條件，都能判定△△，則甲失敗，乙獲勝，故說(shuō)法正確，符合題意；
故答案為：①③．
【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即、、、，直角三角形可用定理，注意：、不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
15．如圖，已知四邊形中，，，，，，則四邊形的面積為 36 ．
【分析】根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，再在三角形中可知三邊關(guān)系為：，可得三角形為直角三角形，然后兩三角形的面積和就是所求四邊形的面積．
【解答】解：連接，
，，，，，
在直角三角形中有：，即，
，
又，，
，即，
三角形是直角三角形，，
．
故答案為：36．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，熟練掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本題的關(guān)鍵．
16．三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，，滿足，，則的取值范圍是 ，的取值范圍是 ．
【分析】（1）根據(jù)，可得，再根據(jù)，求出的取值范圍即可．
（2）根據(jù)已知條件用含的代數(shù)式表示，再根據(jù)是非負(fù)實(shí)數(shù)，求出的取值范圍即可．
【解答】解：，
，
、是非負(fù)實(shí)數(shù)，
，，
，
；
，，
，
，
是非負(fù)實(shí)數(shù)，
，
，
，，
即，
故答案為：；．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了不等式的性質(zhì)和應(yīng)用，以及不等式的解法，要熟練掌握．
三、解答題
17．解下列一元一次不等式（組．
（1）；
（2）（把解在數(shù)軸上表示出來(lái)）．
【分析】（1）依據(jù)解不等式的基本步驟依次去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)即可得；
（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集．
【解答】解：（1）去括號(hào)，得，
移項(xiàng)，得，
合并同類項(xiàng)，得，
（2）解不等式，
得，
解不等式，
得，
則不等式組的解集為，
將解集表示在數(shù)軸上如下：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式（組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
18．在中，，利用直尺和圓規(guī)作圖．
（1）作出的角平分線；
（2）若，，求出斜邊上的高的長(zhǎng)度．
【分析】（1）利用尺規(guī)作的角平分線即可．
（2）作于，利用面積法求解即可．
【解答】解：（1）如圖，線段即為所求．
（2）作于．
在中，，，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
19．已知方程組的解滿足為非正數(shù)，為負(fù)數(shù)．
（1）求的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若不等式的解為．求的值．
【分析】（1）加減消元法解二元一次方程組得，由題意得，，然后解一元一次不等式組即可；
（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，，然后求解作答即可．
【解答】詳解：（1），
①②得，，
解得，，
將代入①得，，
解得，，
，
為非正數(shù)，為負(fù)數(shù)，
，
解③得，；
解④得，；
不等式組的解集為，
的取值范圍為；
（2），
，
不等式的解為，
，即，
的取值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，解一元一次不等式組，不等式的性質(zhì)．熟練掌握加減消元法解二元一次方程組，解一元一次不等式組，不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，△中，，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．
（1）求證：；
（2）若，求的度數(shù)．
【分析】（1）運(yùn)用定理直接證明△△，即可利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．
（2）證明；求出，即可解決問(wèn)題．
【解答】證明：（1）在△與△中，
，
△△，
，
，
．
（2），，
，
，
，
△△，
；
，，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；準(zhǔn)確找出圖形中隱含的相等或全等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
21．如圖，在中，是的高線，是的角平分線，已知．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）設(shè)，用含有的代數(shù)式表示的大小．
【分析】（1）由題意可求得，再由角平分線的定義可得，即可求的度數(shù)；
（2）仿照（1）的解答過(guò)程進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）在中，，
，
又，是角平分線，
，
；
（2）在中，，
，
又，是角平分線，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．
22．某電器超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為200元、170元的、兩種型號(hào)的電風(fēng)扇，如表是近兩周的銷售情況：
（1）求、兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)；
（2）若進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共30臺(tái)，求種型號(hào)的電風(fēng)扇最多能采購(gòu)多少臺(tái)？
（3）在（2）的條件下，利用不等式的基本性質(zhì)說(shuō)明超市銷售完這30臺(tái)電風(fēng)扇的利潤(rùn)無(wú)法超過(guò)1300元的目標(biāo)．（利潤(rùn)銷售總收入進(jìn)貨總價(jià)）
【分析】（1）設(shè)種型號(hào)電風(fēng)扇的銷售單價(jià)為元，種型號(hào)電風(fēng)扇的銷售單價(jià)為元，根據(jù)“銷售3臺(tái)型號(hào)5臺(tái)型號(hào)的電風(fēng)扇，銷售收入1800元，銷售4臺(tái)型號(hào)10臺(tái)型號(hào)的電風(fēng)扇，銷售收入3100元”，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)采購(gòu)種型號(hào)電風(fēng)扇臺(tái)，則采購(gòu)種型號(hào)電風(fēng)扇臺(tái)，根據(jù)金額不多余5400元，列出一元一次不等式，解不等式即可；
（3）設(shè)利潤(rùn)超過(guò)1300元，列出一元一次不等式，求出，不符合（2）的條件，可知不能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)．
【解答】（1）解：設(shè)種型號(hào)電風(fēng)扇的銷售單價(jià)為元，種型號(hào)電風(fēng)扇的銷售單價(jià)為元，
由題意得：，
解得：，
答：種型號(hào)電風(fēng)扇的銷售單價(jià)為250元，種型號(hào)電風(fēng)扇的銷售單價(jià)為210元；
（2）解：設(shè)采購(gòu)種型號(hào)電風(fēng)扇臺(tái)，則采購(gòu)種型號(hào)電風(fēng)扇臺(tái)，
由題意得：，
解得：，
最大為10，
答：種型號(hào)的電風(fēng)扇最多能采購(gòu)10臺(tái)；
（3）證明：由題意得：，
解得：，
，
在（2）的條件下，超市銷售完這30臺(tái)電風(fēng)扇的利潤(rùn)無(wú)法超過(guò)1300元的目標(biāo)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（3）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
23．已知在中，，且．作，使得．
（1）如圖1，若與互余，則 （用含的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，若與互補(bǔ)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：；
（3）若與的面積相等，則與滿足什么關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，兩角互余的概念，即可求解；
（2）作于，由兩角互補(bǔ)的概念，可以證明，即可解決問(wèn)題；
（3）分兩種情況，作于，于，作于，交延長(zhǎng)線于，應(yīng)用三角形全等，可以解決問(wèn)題．
【解答】（1）解：，
，
與互余，
，
，
故答案為；
（2）證明：作于，
，，
，，，
，
與互補(bǔ)，
，
，
，
，，
，
；
（3）
或與互補(bǔ)；理由如下：
如圖1，作于，于，
與的面積相等，
，
，
，
，
；
如圖2，作于，交延長(zhǎng)線于，
與的面積相等，
，
，
，
，
，
，
，
與互補(bǔ)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，互余，互補(bǔ)的概念，關(guān)鍵是通過(guò)輔助線構(gòu)造全等三角形．
輪次
行動(dòng)者
添加條件
1
甲
2
乙
3
甲
①若第3輪甲添加，則乙獲勝；
②若甲想獲勝，第3輪可以添加條件；
②若乙想獲勝，科修改第2輪添加條件為．
銷售時(shí)段
銷售數(shù)量
銷售收入
種型號(hào)
種型號(hào)
銷售收入
第一周
3臺(tái)
5臺(tái)
1800元
第二周
4臺(tái)
10臺(tái)
3100元
輪次
行動(dòng)者
添加條件
1
甲
2
乙
3
甲
①若第3輪甲添加，則乙獲勝；
②若甲想獲勝，第3輪可以添加條件；
②若乙想獲勝，科修改第2輪添加條件為．
銷售時(shí)段
銷售數(shù)量
銷售收入
種型號(hào)
種型號(hào)
銷售收入
第一周
3臺(tái)
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