1．（3分）下列分別是2022年北京冬奧會、1998年長野冬奧會、1992年阿爾貝維爾冬奧會、1984年薩拉熱窩冬奧會會徽上的圖案，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知三角形的三邊長分別為3，x，7，則x的值可能是（ ）
A．3B．5C．10D．11
3．（3分）如圖，在△ABC中，點D在CB的延長線上，∠A＝50°，∠ABD＝110°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
4．（3分）如圖，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．100°B．80°C．40°D．140°
5．（3分）如圖，∠CAB＝∠DAB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABDB．BC＝BDC．∠C＝∠DD．AC＝AD
6．（3分）如圖，P、Q是△ABC邊BC上的兩點，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．90°B．120°C．125°D．130°
7．（3分）如圖，小明與小敏玩蹺蹺板游戲，如果蹺蹺板的支點O（即蹺蹺板的中點）至地面的距離是45cm，當小敏從水平位置CD下降20cm時，小明離地面的高度是（ ）
A．20cmB．45cmC．25cmD．65cm
8．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2，則AB的長為（ ）
A．4B．6C．8D．10
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分AC，DB＝DE，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．（3分）如圖，△ABC的外角∠DAC和∠FCA的平分線交于點E，∠EAC和∠ECA的平分線交于點M，若∠B＝48°，則∠M的度數(shù)為（ ）
A．114°B．122°C．123°D．124°
二、填空題（本大題6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）點P（﹣2，3）關(guān)于y軸對稱的點的坐標是 ．
12．（3分）已知多邊形的內(nèi)角和為1440°，則這個多邊形的邊數(shù)是 ．
13．（3分）如圖，CD是△ABC的中線，BE是△BCD的中線，△ABC的面積為10，則△BDE的面積為 ．
14．（3分）等腰三角形的一個角是70°，則等腰三角形的頂角的度數(shù)是 ．
15．（3分）如圖，在△ABC中，AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過點O，與AB，BC相交于點M，N，且MN∥AC，若BC＝8，△BMN的周長為18，則AB的長為 ．
16．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，CD是角平分線，BC＝6，AB＝8，AC＝10，則BD＝ ．
三、解答題（一）（本大題共4小題，第17題6分，第18、19、20題各8分，共30分）
17．（6分）如圖，已知△ABC．
（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）AF＝6，CF＝3，點P是直線EF上動點，則PB+PC的最小值為 ．
18．（8分）如圖，AD是△ABC的高，AE是△ABD的角平分線，∠C＝60°，∠CAE＝50°，求∠B的度數(shù)．
19．（8分）如圖，點B，C，E，F(xiàn)在一條直線上，BE＝CF，AB＝DF，AB∥DF，求證：AC∥DE．
20．（8分）如圖，在由邊長為1的小正方形拼成的5×5網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點．
（1）如圖1，點A，B，C，D，E均在格點上．證明：CB⊥CE；
（2）如圖2，點M，N在格點上，在圖2上畫出所有滿足條件的點P，使△MNP是以MN為腰的等腰直角三角形．
四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題10分，共30分）
21．（10分）【問題背景】
生活中，我們經(jīng)?？梢钥吹接筛鞣N形狀的地磚鋪成的漂亮地面．在這些地面上，相鄰的地磚平整地貼合在一起，整個地面沒有一點空隙．從數(shù)學角度來看，當一個頂點周圍圍繞的各個多邊形的內(nèi)角恰好拼成一個周角時，就能形成一個既不留空隙又不互相重疊的平面圖案，我們把這類問題叫做多邊形平面鑲嵌問題．如圖1是由正方形鑲嵌而成的圖案，圖2是由正三角形、正方形和正六邊形鑲嵌的圖案．
【探究發(fā)現(xiàn)】
（1）填寫表中空格：
（2）如果只用一種正多邊形鑲嵌，那么能鑲嵌成一個平面圖案的正多邊形有 ．
①正三角形
②正五邊形
③正六邊形
④正七邊形
⑤正八邊形
【拓展應用】
（3）如果同時用兩種正多邊形鑲嵌，鑲嵌的平面圖案的一個頂點周圍有x個正三角形和y個正六邊形，求x和y的值．
22．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E在BC邊上，DE平分∠ADC，∠AED＝90°．
（1）求證：AE是∠DAB的平分線；
（2）求證：BE＝CE．
23．（10分）如圖1，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，將四邊形ABCD沿對角線BD翻折，點C落到點F處，BF交AD于點E．
（1）求證：EB＝ED；
（2）如圖2，延長BA，DF交于點G，連接GE并延長交BD于點H．求證：∠ADB＝∠BGH．
五、解答題（三）（本大題共1小題，每小題12分，共12分）
24．（12分）【問題探究】
（1）如圖1，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D為BA延長線上一點，點E在AC邊上，且AE＝AD，連接BE，CD．
①求證：BE＝CD；
②如圖2，延長BE交CD于點F，BF平分∠CBD．求證：BE＝2CF；
【拓展延伸】
（2）如圖3，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，，CE⊥DE，垂足為E，DE與AC相交于點F．試探究線段CE與DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
2023-2024學年廣東省東莞市松山湖實驗學校八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．【解答】解：A．不能沿一條直線折疊完全重合；
B．不能沿一條直線折疊完全重合；
C．不能沿一條直線折疊完全重合；
D．能夠沿一條直線折疊完全重合；
故選：D．
2．【解答】解：∵7﹣3＝4，7+3＝10，
∴4＜x＜10，
∴x的可能取值是5．
故選：B．
3．【解答】解：∵∠A＝50°，∠ABD＝110°，
∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝60°．
故選：C．
4．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠ACB﹣∠DCB＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
故選：A．
5．【解答】解：當添加選項A時，利用ASA可說明△ABC≌△ABD；
當添加選項B時，滿足條件SSA，無法證明△ABC≌△ABD，故B符合題意；
當添加選項C時，利用AAS可說明△ABC≌△ABD；
當添加選項D時，利用SAS證明△ABC≌△ABD．
故選：B．
6．【解答】解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，
又∵∠BAP+∠B＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ＝30°，
∴∠BAC＝120°，
故選：B．
7．【解答】解：在△OCF與△ODG中，
，
∴△OCF≌△ODG（AAS），
∴CF＝DG＝20（cm），
∴小明離地面的高度是45+20＝65（cm），
故選：D．
8．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝2DB＝4，
∴AB＝2BC＝8，
故選：C．
9．【解答】解：連接CD，
∵∠B＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∵DE垂直平分AC，
∴∠A＝∠ACD，
∵DB＝DE，
∴CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠A＝∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACD＝（∠A+∠ACB）＝×90°＝30°，
∴∠ACB＝2∠ACD＝60°．
故選：C．
10．【解答】解：∵∠B＝48°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝132°，
∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣132°＝228°，
∵∠DAC和∠FCA的平分線交于點E，
∴∠EAC＝，∠ECA＝，
∴∠EAC+∠ECA＝＝114°，
∵∠EAC和∠ECA的平分線交于點M，
∴∠MAC＝∠EAC，∠MCA＝∠ECA，
∴∠MAC+∠MCA＝（∠EAC+∠ECA）＝57°，
在△ANC中，∠M＝180°﹣（∠MAC+∠MCA）＝180°﹣57°＝123°，
即：∠M＝123°，
故選：C．
二、填空題（本大題6小題，每小題3分，共18分）
11．【解答】解：∵關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，
∴點P（﹣2，3）關(guān)于y軸對稱的點的坐標是（2，3）．
12．【解答】解：設這個多邊形的邊數(shù)是n，
則（n﹣2）?180°＝1440°，
解得n＝10．
故答案為：10．
13．【解答】解：∵CD是△ABC的中線，
∴AD＝BD，
∴S△BCD＝S△ABC，
∵BE是△BCD的中線，
∴CE＝DE，
∴S△BDE＝S△BCD，
∴S△BDE＝S△ABC＝×10＝2.5，
∴△BDE的面積為2.5．
故答案為：2.5．
14．【解答】解：（1）當70°角為頂角，頂角度數(shù)即為70°；
（2）當70°為底角時，頂角＝180°﹣2×70°＝40°．
故答案為：70°或40°．
15．【解答】解：∵CO平分∠ACB，
∴∠OCN＝∠OCA，
∵MN∥AC，
∴∠CON＝∠OCA，
∴∠OCN＝∠CON，
∴ON＝CN，
同理：OM＝AM，
∵△BMN的周長＝BN+ON+BM+OM＝BN+NC+BM+AM＝BC+AB＝18，
∵BC＝8，
∴AB＝10．
故答案為：10．
16．【解答】解：過D點作DE⊥AC于點E，設BD＝x，
設BD＝x，則AD＝8﹣x，
∵CD是角平分線，DB⊥BC，DE⊥AC，
∴DE＝DB＝x，
∵，
∴Rt△CDE≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝CB＝6，
∵AC＝10，
∴AE＝4，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
∴（8﹣x）2＝42+x2，
即：64﹣16x+x2＝16+x2，
解得：x＝3，
BD＝3．
故答案為：3．
三、解答題（一）（本大題共4小題，第17題6分，第18、19、20題各8分，共30分）
17．【解答】解：（1）如圖，直線EF即為所求．
（2）連接BF，
∵直線EF為線段AB的垂直平分線，
∴AF＝BF．
可知當點P與點F重合時，PB+PC＝PA+PC＝AC，為最小值．
∵AF＝6，CF＝3，
∴AC＝AF+CF＝9，
∴PB+PC的最小值為9．
故答案為：9．
18．【解答】解：AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝30°，
∵∠CAE＝50°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝20°，
∵AE是△ABD的角平分線，
∴∠BAD＝2∠DAE＝40°，
∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAD＝50°．
答：∠B的度數(shù)是50°．
19．【解答】證明：∵AB∥DF，
∴∠B＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EC＝CF﹣EC，即BC＝FE，
在△ABC和△DFE中，
∵，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠ACB＝∠DEF，
∴∠ACE＝∠DEB，
∴AC∥DE．
20．【解答】（1）證明：在△ABC≌△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝90°，
∴CB⊥CE；
（2）解：如圖2中，△PMN，△P′MN，△P″MN，△P′″MN即為所求．
四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題10分，共30分）
21．【解答】解：（1）正三角形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為＝60°，
正方形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為＝90°，
正五邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為＝108°，
故答案為：90°，108°；
（2）由（1）的方法可求出，
①正三角形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是60°，
②正五邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是108°，
③正六邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是120°，
④正七邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是°，
⑤正八邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是135°，
由于60°×6＝360°，90°×4＝360°，120°×3＝360°，
所以只用一種正多邊形鑲嵌，那么能鑲嵌成一個平面圖案的正多邊形可以為正三角形，正方形，正六邊形，
故答案為：①③；
（3）由題意得，x、y滿足60x+120y＝360的正整數(shù)解，
二元一次方程60x+120y＝360的正整數(shù)解為或，
答：x和y是值為或．
22．【解答】證明：（1）過點E作EF⊥DA于點F，
∵∠AED＝90°，
∴∠CED+∠AEB＝90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴，
∴△CDE≌△FDE，（AAS），
∴∠CED＝∠FED，
∴∠FED+∠AEB＝90°，
∵∠AED＝90°，
即：∠FED+∠AEF＝90°，
∴∠AEB＝∠AEF，
∵∠EFA＝∠B＝90°，
∴∠FAE＝∠BAE，
∴AE是∠DAB的平分線；
（2）由（1）知：△CDE≌△FDE，
∴CE＝EF，
∵AE是∠DAB的平分線，EF⊥AD，EB⊥AB，
∴EB＝EF，
∴BE＝CE．
23．【解答】（1）證明：根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠F＝∠C＝90°，F(xiàn)D＝CD．
∵∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，
∴∠A＝∠F，AB＝FD，
又∵∠AEB＝∠FED，
∴△AEB≌△FED（AAS）．
∴EB＝ED．
（2）證明：由（1）知△AEB≌△FED，則AE＝FE，∠ABE＝∠FDE，
∴GE為∠BGD的角平分線．
在Rt△GAE和Rt△GFE中，AE＝FE，GE＝GE，
∴△GAE≌△GFE（HL）．
∴GA＝GF．
∴BG＝DG．
∴GH是等腰△BGD的角平分線．
∴GH⊥BD．
∵∠BGH+∠ABD＝∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠ADB＝∠BGH．
五、解答題（三）（本大題共1小題，每小題12分，共12分）
24．【解答】（1）證明：①∵∠CAB＝90°，
∴∠CAD＝∠BAB＝90°，
在△ACD與△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴BE＝CD；
②由①知，△ACD≌△ABE，
∴∠ACD＝∠ABE，
∵∠AEF＝∠AEB，
∴∠CFE＝∠CAB＝90°，
∴∠BFD＝∠BFC，
∵BF平分∠CBD，
∴∠CBF＝∠DBF，
∵BF＝BF，
∴△DBF≌△CBF（ASA），
∴CF＝DF，
∴CD＝2CD，
∵CD＝BE，
∴BE＝2CF；
（2）DF＝2CE，
理由：作DG⊥AC于點H，交CE的延長線于G，
∵∠BAC＝90°，AB＝BC，
∴DG∥AB，
∴∠GDC＝∠ABC＝45°，
∴∠EDC＝∠ABC＝22.5°＝∠EDC，DH＝CH，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC＝∠DEG＝90°，
在△DEC和△DEG中，
，
∴△DEC≌△DEG（ASA），
∴DC＝DG，CG＝2CE，
∵∠DHF＝∠CEF＝90°，∠DFH＝∠CFE，
∴∠FDH＝∠GCH，
在△DHF和△CHG中，
，
∴△DHF≌△CHG（ASA），
∴DF＝CG＝2CE．
正多邊形的邊數(shù)
3
4
5
6
…
n
正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)
60°


…

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