1．（3分）下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列幾組數(shù)中，不能作為三角形的三邊長(zhǎng)的是（ ）
A．6，6，6B．1，5，5C．3，4，5D．2，4，6
3．（3分）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．（3分）具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝3∠CB．∠A+∠B＝∠C
C．D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
5．（3分）下面四個(gè)圖形中，畫出△ABC的邊BC上的高正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝48°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，則∠BDC的大小為（ ）
A．72°B．90°C．96°D．108°
7．（3分）將一副直角三角板按如圖方式疊放在一起，則∠α的度數(shù)是（ ）
A．165°B．120°C．150°D．135°
8．（3分）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠A+∠P＝（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
9．（3分）如圖，將兩根同樣的鋼條AC和BD的中點(diǎn)O固定在一起，使其可以繞著O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)徑的工具．這時(shí)根據(jù)△OAB≌△OCD，CD的長(zhǎng)就等于工件內(nèi)槽的寬AB，這里判定△OAB≌△OCD的依據(jù)是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS
10．（3分）如圖，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD＝4，E，P分別是AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，則CP+EP的最小值等于（ ）
A．4B．6C．8D．9
二、填空題（每小題4分，共28分）
11．（4分）正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為 度．
12．（4分）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3cm和7cm，則它的周長(zhǎng)是 cm．
13．（4分）已知在△ABC中，AB＝AC，BD為AC邊上的高，∠ABD＝50°，則∠ACB＝ ．
14．（4分）如圖，點(diǎn)E是AC上的一點(diǎn)，若Rt△ABC≌Rt△DEA，給出以下結(jié)論：①AB＝AD；②BC∥DE；③∠BAD＝90°；④BC+CE＝DE．其中正確的是 ．（填序號(hào)）
15．（4分）兩個(gè)全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個(gè)三角形沿著點(diǎn)B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝4，DO＝1，平移距離為2，則陰影部分面積為 ．
16．（4分）如圖，點(diǎn)E在AB上，AC與DE相交于點(diǎn)F，△ABC≌△DEC，∠A＝20°，∠B＝∠CEB＝65°，則∠DFA的度數(shù)為 度．
17．（4分）如圖，在∠AOB的邊OA、OB上取點(diǎn)M、N，連接MN，P是△MON外角平分線的交點(diǎn)，若MN＝2，△PMN的面積是2，△OMN的面積是7．則△MON的周長(zhǎng)是 ．
三、解答題（一）（每小題6分，共18分）
18．（6分）如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，AD＝CF，∠BCA＝∠F，BC＝EF．求證：△ABC≌△DEF．
19．（6分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，AE平分∠BAC，若∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，求∠DAE的度數(shù)．
20．（6分）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm
（1）若腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求三邊長(zhǎng)；
（2）若有一邊長(zhǎng)為6cm，求三邊長(zhǎng)．
四、解答題（二）（每小題8分，共24分）
21．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3）C（﹣1，﹣1）
（1）若△A1B1C1與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱，請(qǐng)寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)（直接寫答案）：A1 ；B1， ；C1 ；
（2）△ABC的面積為 ；
（4）在y軸上畫出點(diǎn)P，使PB+PC最?。?br>22．（8分）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足為F．
（1）求證：△ABC≌△ADE；
（2）若AC＝10，求四邊形ABCD的面積；
（3）求∠FAE的度數(shù)．
23．（8分）在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AE，CF分別平分∠BAD和∠BCD．
（1）若∠EAB＝32°，求∠FCE的度數(shù)；
（2）證明：AE∥CF．
五、解答題（三）（每小題10分，共20分）
24．（10分）（1）如圖1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則圖中共有 個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是 ，△AEF的周長(zhǎng)是
（2）如圖2，若將（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改為“若△ABC為不等邊三角形，AB＝8，AC＝10”其余條件不變，則圖中共有 個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出△AEF的周長(zhǎng)
（3）已知：如圖3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過點(diǎn)D作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫出結(jié)論不證明．
25．（10分）如圖，AE與BD相交于點(diǎn)C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→A方向以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）線段AP的長(zhǎng)為 （用含t的式子表示）．
（2）請(qǐng)判斷AB與DE的數(shù)量與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）連接PQ，當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求t的值．
2023-2024學(xué)年廣東省東莞市光明中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A，B，D選項(xiàng)中的圖形都能找到一條或多條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合；
C選項(xiàng)中的圖形不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以不是軸對(duì)稱圖形；
故選：C．
2．（3分）下列幾組數(shù)中，不能作為三角形的三邊長(zhǎng)的是（ ）
A．6，6，6B．1，5，5C．3，4，5D．2，4，6
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可．
【解答】解：A、∵6+6＞6，
∴6，6，6能作為三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；
B、∵1+5＞5，
∴1，5，5能作為三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；
C、∵3+4＞5，
∴3，4，5能作為三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；
D、∵2+4＝6，
∴2，4，6不能作為三角形的三邊長(zhǎng)，符合題意；
故選：D．
3．（3分）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式及外角的特征計(jì)算．
【解答】解：多邊形的外角和是360°，根據(jù)題意得：
180?（n﹣2）＝3×360，
解得n＝8．
故選：C．
4．（3分）具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝3∠CB．∠A+∠B＝∠C
C．D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和以及直角三角形的定義可進(jìn)行求解．
【解答】解：A、由∠A＝∠B＝3∠C及∠A+∠B+∠C＝180°可得，不是直角三角形，故符合題意；
B、由∠A+∠B＝∠C及∠A+∠B+∠C＝180°可得∠C＝90°，是直角三角形，
故不符合題意；
C、由及∠A+∠B+∠C＝180°可得∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，是直角三角形，
故不符合題意；
D、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3及∠A+∠B+∠C＝180°可得∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，是直角三角形，
故不符合題意；
故選：A．
5．（3分）下面四個(gè)圖形中，畫出△ABC的邊BC上的高正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．
【解答】解：A、CD不是△ABC的邊BC上的高，不符合題意；
B、CD是△ABC的邊AB上的高，不是△ABC的邊BC上的高，不符合題意；
C、AD不是△ABC的邊BC上的高，符合題意；
D、AD不是△ABC的邊BC上的高，不符合題意；
故選：C．
6．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝48°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，則∠BDC的大小為（ ）
A．72°B．90°C．96°D．108°
【分析】由三角形的內(nèi)角和可求得∠ACB＝72°，再由角平分線的定義可求得∠ACD＝36°，利用三角形的外角性質(zhì)即可求∠BDC的度數(shù)．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝36°，
∵∠BDC是△ACD的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝96°．
故選：C．
7．（3分）將一副直角三角板按如圖方式疊放在一起，則∠α的度數(shù)是（ ）
A．165°B．120°C．150°D．135°
【分析】先根據(jù)直角三角板的性質(zhì)得出∠A及∠DCE的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵圖中是一副直角三角板，
∴∠A＝30°，∠DCE＝45°，
∴∠ACD＝135°，
∴α＝30°+135°＝165°．
故選：A．
8．（3分）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠A+∠P＝（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故選：C．
9．（3分）如圖，將兩根同樣的鋼條AC和BD的中點(diǎn)O固定在一起，使其可以繞著O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)徑的工具．這時(shí)根據(jù)△OAB≌△OCD，CD的長(zhǎng)就等于工件內(nèi)槽的寬AB，這里判定△OAB≌△OCD的依據(jù)是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS
【分析】已知兩邊和夾角相等，利用SAS可證兩個(gè)三角形全等．
【解答】解：在△OAB與△OCD中，
，
∴△OAB≌△ODC（SAS）．
故選：A．
10．（3分）如圖，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD＝4，E，P分別是AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，則CP+EP的最小值等于（ ）
A．4B．6C．8D．9
【分析】過點(diǎn)B作BM⊥AC于M，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)推出BP＝CP，根據(jù)垂線段最短得，CP+EP＝BP+EP＝BE≥BM，再通過等面積法即可求解．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BM⊥AC于M，
∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴點(diǎn)B、C關(guān)于AD對(duì)稱，
∴BP＝CP，
根據(jù)垂線段最短得，
CP+EP＝BP+EP＝BE≥BM，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，
∵S＝，
∴BM＝AD＝4，
即CP+EP的最小值等于4，
故選：A．
二、填空題（每小題4分，共28分）
11．（4分）正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為 108 度．
【分析】先求出正五邊形的內(nèi)角和，再根據(jù)正五邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，進(jìn)而求出其中一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．
【解答】解：正五邊形的內(nèi)角和是：（5﹣2）×180°＝540°，
則每個(gè)內(nèi)角是：540÷5＝108°．
故答案為：108．
12．（4分）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3cm和7cm，則它的周長(zhǎng)是 17 cm．
【分析】等腰三角形兩邊的長(zhǎng)為3cm和7cm，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．
【解答】解：①當(dāng)腰是3cm，底邊是7cm時(shí)：不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去．
②當(dāng)?shù)走吺?cm，腰長(zhǎng)是7cm時(shí)，能構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng)＝3+7+7＝17（cm）．
故答案為：17．
13．（4分）已知在△ABC中，AB＝AC，BD為AC邊上的高，∠ABD＝50°，則∠ACB＝ 70°或20° ．
【分析】首先在直角△ABD中，利用三角形內(nèi)角和定理求得∠A的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求得∠ACB的度數(shù)．
【解答】解：①當(dāng)為銳角三角形時(shí)：∠BAC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACB＝×（180°﹣40°）＝70°；
②當(dāng)為鈍角三角形時(shí)：∠BAC＝90°+50°＝140°，
∴∠ACB＝×（180°﹣140°）＝20°．
故∠ACB＝70°或20°．
故答案為：70°或20°．
14．（4分）如圖，點(diǎn)E是AC上的一點(diǎn)，若Rt△ABC≌Rt△DEA，給出以下結(jié)論：①AB＝AD；②BC∥DE；③∠BAD＝90°；④BC+CE＝DE．其中正確的是 ③ ．（填序號(hào)）
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系求解即可．
【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEA，
∴AB＝DE，
在Rt△DEA中，DE＜AD，
∴AB＜AD，
故①錯(cuò)誤，不符題意；
∵∠ABC＝∠AED＝∠DEC＝90°，
∴∠C＜∠ABC，
∴∠C≠∠DEC，
∴BC和DE不平行，
故②錯(cuò)誤，不符題意；
∵Rt△ABC≌Rt△DEA，
∴∠BAC＝∠EDA，∠C＝∠DAE．
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝90°，
故③正確，符題意；
∵Rt△ABC≌Rt△DEA，
∴BC＝AE，AC＝AD，
∵AC＝AE+CE＝BC+CE＝AD，
∵DE＜AD，
∴BC+CE＞DE，
故④錯(cuò)誤，不符合題意；
故答案為：③．
15．（4分）兩個(gè)全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個(gè)三角形沿著點(diǎn)B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝4，DO＝1，平移距離為2，則陰影部分面積為 7 ．
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出BE＝2，DE＝AB＝4，則OE＝3，則陰影部分面積＝S四邊形ODFC＝S梯形ABEO，根據(jù)梯形的面積公式即可求解．
【解答】解：由平移的性質(zhì)知，BE＝2，DE＝AB＝4，
∴OE＝DE﹣DO＝4﹣1＝3，
∴S四邊形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）?BE＝（4+3）×2＝7．
故答案為：7．
16．（4分）如圖，點(diǎn)E在AB上，AC與DE相交于點(diǎn)F，△ABC≌△DEC，∠A＝20°，∠B＝∠CEB＝65°，則∠DFA的度數(shù)為 70 度．
【分析】由全等三角形的性質(zhì)得到∠CED＝∠B＝65°，求出∠AEF＝180°﹣∠CEB﹣∠CED＝50°，由三角形外角的性質(zhì)得到∠DFA＝∠A+∠AEF＝20°+50°＝70°．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠CED＝∠B＝65°，
∵∠B＝∠CEB＝65°，
∴∠AEF＝180°﹣∠CEB﹣∠CED＝50°，
∴∠DFA＝∠A+∠AEF＝20°+50°＝70°．
故答案為：70．
17．（4分）如圖，在∠AOB的邊OA、OB上取點(diǎn)M、N，連接MN，P是△MON外角平分線的交點(diǎn)，若MN＝2，△PMN的面積是2，△OMN的面積是7．則△MON的周長(zhǎng)是 11 ．
【分析】過點(diǎn)P作PE⊥OB，垂足為E，過點(diǎn)P作PF⊥MN，垂足為F，過點(diǎn)P作PG⊥OA，垂足為G，連接OP，利用角平分線的性質(zhì)可得PF＝PG＝PE，然后根據(jù)三角形的面積求出PF＝PE＝PG＝2，再利用△OMP的面積+△ONP的面積﹣△PMN的面積＝7，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)P作PE⊥OB，垂足為E，過點(diǎn)P作PF⊥MN，垂足為F，過點(diǎn)P作PG⊥OA，垂足為G，連接OP，
∵P是△MON外角平分線的交點(diǎn)，
∴PF＝PG＝PE，
∵M(jìn)N＝2，△PMN的面積是2，
∴MN?PF＝2，
∴PF＝2，
∴PG＝PE＝2，
∵△OMN的面積是7，
∴△OMP的面積+△ONP的面積﹣△PMN的面積＝7，
∴OM?PG+ON?PE﹣2＝7，
∴OM+ON＝9，
∴△MON的周長(zhǎng)＝OM+ON+MN＝11，
故答案為：11．
三、解答題（一）（每小題6分，共18分）
18．（6分）如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，AD＝CF，∠BCA＝∠F，BC＝EF．求證：△ABC≌△DEF．
【分析】由“SAS”可證△ABC≌△DEF即可．
【解答】證明：∵AD＝CF，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
19．（6分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，AE平分∠BAC，若∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，求∠DAE的度數(shù)．
【分析】先根據(jù)△ABC各角的比求出∠BAC，∠B，∠C的度數(shù)，再利用AD⊥BC求出∠BAD的度數(shù)，利用AE平分∠BAC求出∠BAE的度數(shù)，利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD解答即可．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，
∴∠BAC＝180°×＝80°，∠B＝180°×＝60°，
∵AD是BC邊上的高線，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
20．（6分）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm
（1）若腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求三邊長(zhǎng)；
（2）若有一邊長(zhǎng)為6cm，求三邊長(zhǎng)．
【分析】（1）設(shè)底邊長(zhǎng)x cm，則腰長(zhǎng)為2x cm，根據(jù)周長(zhǎng)是20cm，求出x的值即可；
（2）分6cm是腰長(zhǎng)或者是底兩種情況進(jìn)行討論，據(jù)此進(jìn)行解答．
【解答】解：（1）設(shè)底邊長(zhǎng)x cm，則腰長(zhǎng)為2x cm．
x+2x+2x＝20，
解得 x＝4
∴腰長(zhǎng)＝2x＝2×4＝8 （cm）；
（2）因?yàn)殚L(zhǎng)為 6cm的邊可能是腰，也可能是底，所以要分兩種情況計(jì)算：
①6cm是底，設(shè)腰為y的情況：2y+6＝20，y＝7，符合三角形三邊關(guān)系．
②6cm是腰，設(shè)底為m的情況：2×6+m＝20，m＝8，符合三角形三邊關(guān)系．
故三邊長(zhǎng)為6cm，7cm，7cm或6cm，6cm，8cm．
四、解答題（二）（每小題8分，共24分）
21．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3）C（﹣1，﹣1）
（1）若△A1B1C1與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱，請(qǐng)寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)（直接寫答案）：A1 （3，2） ；B1， （4，﹣3） ；C1 （1，﹣1） ；
（2）△ABC的面積為 6.5 ；
（4）在y軸上畫出點(diǎn)P，使PB+PC最?。?br>【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接可得；
（2）割補(bǔ)法求解可得；
（3）連接B1C，交y軸于點(diǎn)P．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，
A1（3，2）、B1（4，﹣3）、C1（1，﹣1），
故答案為：（3，2）、（4，﹣3）、（1，﹣1）；
（2）△ABC的面積為3×5﹣×1×5﹣×2×3﹣×2×3＝6.5，
故答案為：6.5；
（3）如圖所示，點(diǎn)P即為所求．
22．（8分）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足為F．
（1）求證：△ABC≌△ADE；
（2）若AC＝10，求四邊形ABCD的面積；
（3）求∠FAE的度數(shù)．
【分析】（1）由“SAS“可證△ABC≌△ADE；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得S△ABC＝S△ADE，由面積關(guān)系可求解；
（3）由等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得∠CAF＝∠FCA＝45°，即可求解．
【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴S△ABC＝S△ADE，
∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE，
∵AC＝AE＝10，
∴S四邊形ABCD＝S△ACE＝×10×10＝50；
（3）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CAF＝∠FCA＝45°，
∴∠FAE＝135°．
23．（8分）在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AE，CF分別平分∠BAD和∠BCD．
（1）若∠EAB＝32°，求∠FCE的度數(shù)；
（2）證明：AE∥CF．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可求∠DAB的度數(shù)，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可求∠DCB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可求∠FCE的度數(shù)；
（2）根據(jù)∠BAD與∠BCD互補(bǔ)，得出∠EAB與∠FCB互余，根據(jù)∠B＝90°，得出∠CFB與∠FCB互余，進(jìn)而得到∠CFB＝∠EAB，并得出結(jié)論AE∥CF．
【解答】（1）解：∵AE、CF分別平分∠BAD和∠BCD，∠EAB＝32°，
∴∠DAB＝64°，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DAB＝116°，
∴；
（2）證明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠CFB+∠FCB＝90°，
∵AE平分∠BAD交CD于點(diǎn)E，CF平分∠BCD交AB于點(diǎn)F，
∴，
∴∠CFB＝∠EAB，
∴AE∥CF．
五、解答題（三）（每小題10分，共20分）
24．（10分）（1）如圖1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則圖中共有 5 個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是 BE+CF＝EF ，△AEF的周長(zhǎng)是 20
（2）如圖2，若將（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改為“若△ABC為不等邊三角形，AB＝8，AC＝10”其余條件不變，則圖中共有 2 個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出△AEF的周長(zhǎng)
（3）已知：如圖3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過點(diǎn)D作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫出結(jié)論不證明．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；
（3）由（2）知BE＝ED，CF＝DF，然后利用等量代換即可證明BE、CF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系．
【解答】解：（1）BE+CF＝EF．
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，
∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5個(gè)，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，
即BE+CF＝EF，
△AEF的周長(zhǎng)＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．
故答案為：5；BE+CF＝EF；20；
（2）BE+CF＝EF，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∴等腰三角形有△BDE，△CFD，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．
可得△AEF的周長(zhǎng)為18．
（3）BE﹣CF＝EF，
由（1）知BE＝ED，
∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，
∴CF＝DF，
又∵ED﹣DF＝EF，
∴BE﹣CF＝EF．
25．（10分）如圖，AE與BD相交于點(diǎn)C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→A方向以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）線段AP的長(zhǎng)為 3t cm或（8﹣3t）cm （用含t的式子表示）．
（2）請(qǐng)判斷AB與DE的數(shù)量與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）連接PQ，當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求t的值．
【分析】（1）分兩種情況計(jì)算即可；
（2）由SAS證明△ABC≌△EDC（SAS），得∠A＝∠E，即可得出結(jié)論；
（3）先證△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分兩種情況，當(dāng)0≤t≤時(shí)，3t＝4﹣t，解得t＝1；當(dāng)＜t≤時(shí)，8﹣3t＝4﹣t，解得t＝2即可．
【解答】解：（1）當(dāng)0≤t≤時(shí)，AP＝3t cm；
當(dāng)＜t≤時(shí)，BP＝（3t﹣4）cm，
則AP＝4﹣（3t﹣4）＝（8﹣3t）cm；
綜上所述，線段AP的長(zhǎng)為3t cm或（8﹣3t）cm，
故答案為：3t cm或（8﹣3t）cm；
（2）AB＝DE，AB∥DE，理由如下：
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，AB＝DE，
∴AB∥DE；
（3）由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，
在△ACP和△ECQ中，
，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
當(dāng)0≤t≤時(shí)，3t＝4﹣t，
解得：t＝1；
當(dāng)＜t≤時(shí)，8﹣3t＝4﹣t，
解得：t＝2；
綜上所述，當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，t的值為1或2，

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