一、選擇題
1．已知，則復數(shù)z的虛部為( )
A.1B.C.iD.2
2．一組數(shù)據(jù)23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位數(shù)是( )
A.14B.15C.23D.25
3．我國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”現(xiàn)有一類似問題：不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示．用鋸去鋸這木材，若鋸口深，鋸道，則圖中弧與弦AB圍成的弓形的面積為( )
A．B．8
C．D．
4．已知，，則( )
A.B.C.D.
5．平行六面體的底面ABCD是邊長為2的正方形，且，，M為，的交點，則線段BM的長為( )
A．3B．C．D．
6．如圖，一個正八面體，八個面分別標以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為，記事件“得到的點數(shù)為奇數(shù)”，記事件“得到的點數(shù)不大于4”，記事件“得到的點數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說法正確的是( )
A．事件B與C互斥B．
C．D．A,B,C兩兩相互獨立
7．若某圓臺有內(nèi)切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所成角的正弦值為，則此圓臺與其內(nèi)切球的表面積之比為( )
A．B．2C．D．
8．在中，，，O是的外心，則的最大值為( )
A．2B．
C．D．4
二、多項選擇題
9．下列說法正確的是( )
A．“”是“直線與直互相垂直”的充要條件
B．“”是“直線與直線互相平行”的充要條件
C．直線的傾斜角的取值范圍是
D．若點，，直線l過點且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是
10．已知函數(shù)，，下列說法正確的是( )
A．函數(shù)在上單調(diào)遞減
B．函數(shù)的最小正周期為
C．函數(shù)的值域為
D．函數(shù)的一條對稱軸為
11．在棱長為1的正方體中，E、F、G、H分別為棱AD、AB、BC、的中點，則下列結論正確的有( )
A．三棱錐的外接球的表面積為
B．過點E，F(xiàn)，H作正方體的截面，則截面面積為
C．若P為線段上一動點(包括端點)，則直線與平面所成角的正弦值的范圍為
D．若Q為線段CD上一動點(包括端點)，過點，G，Q的平面分別交，于M，N，則的范圍是
三、填空題
12．已知，兩點到直線的距離相等，則
______．
13．在空間直角坐標系中已知，CD為三角形ABC邊AB上的高，則_____．
14．對任意兩個非零的平面向量和，定義：，，若平面向量，滿足，且和都在集合中，則，_____．
四、解答題
15．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求角B；
(2)若D是邊AC上的一點，且滿足，，求BD的最大值．
16．已知的頂點，邊AC上的高BH所在直線的方程為，邊AB上的中線CM所在直線的方程為．
(1)求直線AC的方程；
(2)求的面積．
17．某中學舉行了一次“數(shù)學文化知識競賽”，高二年級學生參加了這次競賽.為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績作為樣本進行統(tǒng)計.將成績進行整理后，分為五組（，，，，），其中第1組的頻數(shù)的平方為第2組和第4組頻數(shù)的積.請根據(jù)下面尚未完成的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：
(1)若根據(jù)這次成績，年級準備淘汰的同學，僅留的同學進入下一輪競賽，請問晉級分數(shù)線劃為多少合理？
(2)從樣本數(shù)據(jù)在，兩個小組內(nèi)的同學中，用分層抽樣的方法抽取6名同學，再從這6名同學中隨機選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率．
(3)某老師在此次競賽成績中抽取了10名學生的分數(shù)：，已知這10個分數(shù)的平均數(shù)，標準差，若剔除其中的96和84兩個分數(shù)，求剩余8個分數(shù)的平均數(shù)與方差．
18．在中，，D，E分別是AC，AB上的點，滿足，且DE經(jīng)過的重心．將沿DE折起到的位置，使，存在動點M使如圖所示．
(1)求證：平面BCDE；
(2)當時，求二面角的正弦值；
(3)設直線BM與平面所成線面角為，求的最大值．
19．對于一組向量（且），令，如果存在，使得，那么稱，是該向量組的“H向量”．
(1)設，若是向量組，，的“H向量”，求實數(shù)x的取值范圍；
(2)若，向量組，，，，是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，若不存在說明理由；
(3)已知，，均是向量組，，的“H向量”，其中，，
求證：可以寫成一個關于的二次多項式與一個關于的二次多項式的乘積．
參考答案
1．答案：B
解析：由題意可得：，
所以的虛部為.
故選：B
2．答案：D
解析：把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：11，14，16，17，19，23，27，31.
因為，
上四分位數(shù)是.
故選：D
3．答案：C
解析：由題意，
在中，，
即，解得，
故，易知，
因此.
故選：C
4．答案：A
解析：因為，
則，
且，
可得，
則，
，
所以，
故選：A
5．答案：C
解析：由題意可知：，
則
，
所以.
故選：C
6．答案：C
解析：由題意得，事件A的樣本點為，事件B的樣本點為，事件C的樣本點為，
對于選項A：事件B與C共有樣本點2，3，所以不互斥，故A錯誤；
對于選項B：事件樣本點，所以，故B錯誤；
對于選項D：因為，，
且AC事件樣本點，則，
可得，所以事件A與C不相互獨立，故D錯誤；
對于選項C：因為ABC事件樣本點，可得，
所以，故C正確.
故選：C
7．答案：C
解析：設上底面半徑為，下底面半徑為，
如圖，取圓臺的軸截面，作，垂足為M，
設內(nèi)切球O與梯形兩腰分別切于點E，F(xiàn)，
可知，，
由題意可知：母線與底面所成角為，
則，可得，
即，，可得，
可知內(nèi)切球O的半徑，
可得，，
所以.
故選：C
8．答案：B
解析：設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
因為O是的外心，記BC中點為D，則有，即，
可得
，
在中，由正弦定理可得：，
則，當且僅當，即時，等號成立，
所以的最大值為.
故選：B
9．答案：BCD
解析：對于選項A：當時，直線與直線斜率分別為1，-1，
斜率之積為-1，故兩直線相互垂直，即充分性成立；
若“直線與直線互相垂直”，
則，故或，
所以得不到，即必要性不成立，故A錯誤；
對于選項B：由直線平行得，解得，
所以“”是“直線與直線互相平行”的充要條件，故B正確；
對于選項C：直線的傾斜角為，則，
因為，所以，故C正確；
對于選項D：如圖所示：
可得，，結合圖象知，故D正確；
故選：BCD
10．答案：BC
解析：A選項，當時，，，
此時，而在上不單調(diào)，故A錯誤；
B選項，函數(shù)，
而
，
所以的最小正周期為，故B正確；
C選項，當時，，
，
所以，
當時，，
，
所以，
綜上，函數(shù)的值域為，故C正確；
D選項，因為，，
，所以不是的一條對稱軸.
故選：BC
11．答案：BCD
解析：對于選項A：由題意可得：，且平面ABCD，
則，即，可知三角形EFG外接圓的半徑為，
所以三棱錐的外接球的球心為的中點，
可得三棱錐的外接球的半徑為，
所以其表面積為，故A錯誤；
對于選項B：取的中點分別為K，L，J，
可知過點E，F(xiàn)，H作正方體的截面為EFKHLJ，其截面正六邊形，邊長為
所以其面積為，故B正確；
對于選項C：設點P到平面的距離為h，
由正方體的性質(zhì)可得：，不在平面內(nèi)，平面，
則平面，
當點P在線段上運動時，則點P到平面的距離即為點到平面的距離，
由的體積可得，解得，
設直線與平面所成角，則，
若P為的中點時，，；
當點為線段的端點時，；
即，所以，故C正確；
對于選項D：設，
可知平面即為平面，則，
可得，設，
當時，由相似三角形知識可得：，，
即，，
且當或時，也符合，；
則，
且，可得，
所以的取值范圍是，D正確.
故選：BCD
12．答案：1或2
解析：由題意可得：，即，
可得或，解得或.
故答案為：1或2
13．答案：3
解析：，，則，
，
所以，
故答案為：3
14．答案：,或
解析：設與的夾角為，
因為和都在集合中，所以其取值可能為，
因為，則，
可得，
因為，即，可得，所以；
又因為，即，解得，
因為，
可得，即或1，
當且時，即且，
可得，所以；
當且時，即且，
可得，所以；
綜上所述：或.
故答案：；或.
15．答案：(1)
(2)
解析：（1）因為，即，
由正弦定理可得，
且，
即，可得，
且，則，可得，
又因為，所以.
（2）因為，即，
可得，即，
可知BD平分，則，
因為，
即，整理可得，
又因為，
則，
當且僅當，即，時取等號，
可得，所以BD的最大值為.
16．答案：(1)
(2)24
解析：(1)由于邊AC上的高所在直線方程為，
所以設直線AC的方程為，
由于點在直線AC上，即，解得，
所以直線AC的方程為.
(2)由于點C既滿足直線的方程，又滿足的方程，
所以，解得，故，
所以，
設，由于點B滿足直線，故，
設AB的中點坐標為，滿足，
所以，整理得，
所以，解得，所以，
則點到直線的距離，
故.
17．答案：(1)73分合理
(2)
(3)22.25
解析：(1)由第1組的頻數(shù)的平方為第2組和第4組頻數(shù)的積可知，，
解得，
又，解得，
所以，，
成績落在內(nèi)的頻率為：，
落在內(nèi)的頻率為：，設第60百分位數(shù)為m，
則，解得，所以晉級分數(shù)線劃為73分合理；
(2)由圖可知，按分層抽樣法，兩層應分別抽取4人和2人，分別記為a，b，c，d和A，B，
則所有的抽樣有：，共15個樣本點，
“抽到的兩位同學來自不同小組”，
則共8個樣本點，
所以.
(3)因為，所以，
所以，
所以，
剔除其中的96和84兩個分數(shù)，設剩余8個數(shù)為，
平均數(shù)與標準差分別為
則剩余8個分數(shù)的平均數(shù)：，
方差：
18．答案：(1)答案見解析
(2)
(3)
解析：(1)因為，則，
且，可得，
將沿DE折起到的位置，始終有，，
因為，，平面，所以平面，
由平面，可得，
且，，CD，平面BCDE，
所以平面BCDE.
(2)由(1)可知，，CD，CB兩兩垂直，翻折前，因為DE經(jīng)過的重心，且，
所以，所以，，，翻折后，
由勾股定理得，
以C為原點，直線CD，CB，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，，
可得，，，
設平面的法向量，則，
令，則，可得，
設平面的法向量，則，
令，則，可得，
可得，
且，則，
所以二面角C-MB-E的正弦值為.
(3)由(2)可知，，
設平面的法向量，則，
令，則，可得，
且，
因為直線BM與平面線面角為，
則
當且僅當時，等號成立，
所以的最大值為.
19．答案：(1)
(2)存在“H向量”，分別為，，
(3)答案見解析
解析：(1)由題意可得：，
因為，則，，
則，即，
整理得，解得，
所以實數(shù)x的取值范圍為.
(2)存在，理由如下：
假設存在“H向量”，
因為，
且，
則由題意，只需要使得，
又因為，
則，
可得，
由，即，
整理得，解得，
又因為，即，6，10滿足上式，
所以存在“H向量”，分別為，，滿足題意；
(3)由題意得：，，
即，，
同理，，
三式相加并化簡得：，
即，，所以，
由，可得，
可得
，
所以可以寫成一個關于的二次多項式與一個關于的二次多項式的乘積.

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