TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc5792" 一、必備秘籍 PAGEREF _Tc5792 \h 1
\l "_Tc2620" 二、典型題型 PAGEREF _Tc2620 \h 2
\l "_Tc31521" 方法一：向量化(三角形中線向量化） PAGEREF _Tc31521 \h 2
\l "_Tc6902" 方法二：角互補 PAGEREF _Tc6902 \h 3
\l "_Tc8924" 三、專項訓練 PAGEREF _Tc8924 \h 4
一、必備秘籍
1、向量化(三角形中線問題）
如圖在中，為的中點，(此秘籍在解決三角形中線問題時，高效便捷）
2、角互補
二、典型題型
方法一：向量化(三角形中線向量化）
1．（2023·四川瀘州·?？既＃┰谥校撬鶎Φ倪叿謩e為，，．
(1)求的值；
(2)若，求邊上中線的長．
2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預測）的內角所對邊分別為，，，已知，.
(1)若，求的周長；
(2)若邊的中點為，求中線的最大值.
3．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學?？寄M預測）已知函數．
(1)求的單調遞增區(qū)間；
(2)記分別為內角的對邊，且，的中線，求面積的最大值．
方法二：角互補
1．（2023·全國·高三專題練習）在①；②；③，這三個條作中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且 .
(1)求角C的大??；
(2)若，求的中線長度的最小值.
2．（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若AD為BC邊上中線，，求△ABC的面積.
3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)求函數的單調遞增區(qū)間；
(2)在中，分別是角的對邊，，若為上一點，且滿足____________，求的面積.
請從①；②為的中線，且；③為的角平分線，且.這三個條件中任意選一個補充到橫線處并作答.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
三、專項訓練
1．（2023·全國·高三專題練習）在等腰中，AB＝AC，若AC邊上的中線BD的長為3，則的面積的最大值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
2．（2023·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求邊中線的取值范圍．
3．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯考二模）已知在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，．
(1)若BC邊上的高等于，求；
(2)若，求AB邊上的中線CD長度的最小值．
4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知中角 、、所對的邊分別為、、，且滿足，．
(1)求角A；
(2)若，邊上中線，求的面積．
5．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若
(1)求角A的大??；
(2)若，求中線AD長的最大值（點D是邊BC中點）．
6．（2023·四川內江·校考模擬預測）在△ABC中，D是邊BC上的點，，，AD平分∠BAC，△ABD的面積是△ACD的面積的兩倍．
(1)求△ACD的面積；
(2)求△ABC的邊BC上的中線AE的長．
7．（2023·山東日照·山東省日照實驗高級中學?？寄M預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角A的大??；
(2)若邊上的中線，求面積的最大值．
8．（2023·遼寧朝陽·校聯考一模）在中，角所對的邊分別為.
(1)求；
(2)若，求的中線的最小值.
9．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知內角所對的邊分別為，面積為，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件（若兩個都選，以第一個評分），求：
(1)求角的大?。?br>(2)求邊中線長的最小值.
條件①：;
條件②：.
10．（2023·全國·高三專題練習）如圖,已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.
(1)求B；
(2)若AC邊上的中線，且，求的周長．
(1)求角A的大小
(2)若BC邊上的中線，且，求的周長
15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)求函數的單調遞增區(qū)間；
(2)在中，分別是角的對邊，，，若為上一點，滿足為的中線，且，求的周長．
專題04 解三角形（中線問題）
(典型題型歸類訓練)
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc5792" 一、必備秘籍 PAGEREF _Tc5792 \h 1
\l "_Tc2620" 二、典型題型 PAGEREF _Tc2620 \h 1
\l "_Tc31521" 方法一：向量化(三角形中線向量化） PAGEREF _Tc31521 \h 1
\l "_Tc6902" 方法二：角互補 PAGEREF _Tc6902 \h 4
\l "_Tc8924" 三、專項訓練 PAGEREF _Tc8924 \h 7
一、必備秘籍
1、向量化(三角形中線問題）
如圖在中，為的中點，(此秘籍在解決三角形中線問題時，高效便捷）
2、角互補
二、典型題型
方法一：向量化(三角形中線向量化）
1．（2023·四川瀘州·校考三模）在中，角所對的邊分別為，，．
(1)求的值；
(2)若，求邊上中線的長．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由正弦定理得：，
，
，，，又，
，解得：.
（2），，
由余弦定理得：，
，，，即邊上中線的長為.
2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預測）的內角所對邊分別為，，，已知，.
(1)若，求的周長；
(2)若邊的中點為，求中線的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵，由正弦定理可得：，則，
若，則，解得，
故的周長.
（2）∵，
∴，
由（1）可得：，即，
∵，當且僅當時，等號成立，
∴，則，
故，則，
所以的最大值為.
3．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學?？寄M預測）已知函數．
(1)求的單調遞增區(qū)間；
(2)記分別為內角的對邊，且，的中線，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）
由，
解得，
的單調遞增區(qū)間為；
（2）因為，可得，
因為，所以即，
由及可得，
，
所以
所以
即，當且僅當時取到等號，
所以，
故面積的最大值為.
方法二：角互補
1．（2023·全國·高三專題練習）在①；②；③，這三個條作中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若，求的中線長度的最小值.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）選擇條件①：由及正弦定理，得：，
即，由余弦定理，得,
因為，所以；
選擇條件②：由及正弦定理，
得：，
即.
即.
在中，，所以，
即，因為，所以，所以,
因為，所以；
選擇條件③：由及正弦定理，
得：，
因為,，所以.
在中，，則，
故.
因為，所以，則，
故；
（2）因為，所以，
整理得，
在三角形中，由余弦定理得.
因為，當且僅當時取等號，
所以，即，
所以，即，
即長度的最小值為.
2．（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若AD為BC邊上中線，，求△ABC的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由正弦定理得，
∴，
∴,
∴，
∵，∴，
又∵, ∴,
（2）由已知得，，
在△中，由余弦定理得，
在△中，由余弦定理得，
又∵,
∴，
在△中，由余弦定理得，
以上兩式消去得, 解得或（舍去），
則.
3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)求函數的單調遞增區(qū)間；
(2)在中，分別是角的對邊，，若為上一點，且滿足____________，求的面積.
請從①；②為的中線，且；③為的角平分線，且.這三個條件中任意選一個補充到橫線處并作答.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
【答案】(1)，
(2)答案見解析
【詳解】（1），
由，得，，
∴函數的單調遞增區(qū)間為，；
（2）由，得，
又中，，可知；
若選①：
由，可知，可化為，
又，則，
又中，故，所以，
則，故；
若選②：為的中線，且
在中，，，則有，
在中，，
在中，，
又，
則
則，又知，故；
故；
若選③：為的角平分線，且.
由題意知，，
即，整理得
又在中，，，則有，
故
解之得，，故.
三、專項訓練
1．（2023·全國·高三專題練習）在等腰中，AB＝AC，若AC邊上的中線BD的長為3，則的面積的最大值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】A
【詳解】設，，
由于，
在和中應用余弦定理可得：
，整理可得：，
結合勾股定理可得的面積：
，
當且僅當時等號成立．
則面積的最大值為6．
故選：A.
2．（2023·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求邊中線的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由已知可得，
由余弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，又，
所以．
（2）因為M為的中點，所以，
則，
即．
因為，所以．
所以，
所以．
3．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯考二模）已知在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，．
(1)若BC邊上的高等于，求；
(2)若，求AB邊上的中線CD長度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）過作，垂足為，則，
，
，
在三角形中，由余弦定理得.
（2），
，兩邊平方得
，當且僅當時等號成立，
所以的最小值為.
4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知中角 、、所對的邊分別為、、，且滿足，．
(1)求角A；
(2)若，邊上中線，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1） ，
所以由正弦定理得，
，
，即，
，，
，；
（2），
則， 即，
而，邊上中線，
故，解得，
．
5．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若
(1)求角A的大??；
(2)若，求中線AD長的最大值（點D是邊BC中點）．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得：,
即，
,
因為，所以，
所以，
因為,所以.
（2）由（1）得，
則，
所以，即，
當且僅當時等號成立，
因為點D是邊BC中點，
所以,
兩邊平方可得：,
則，
所以，
中線AD長的最大值為.
6．（2023·四川內江·?？寄M預測）在△ABC中，D是邊BC上的點，，，AD平分∠BAC，△ABD的面積是△ACD的面積的兩倍．
(1)求△ACD的面積；
(2)求△ABC的邊BC上的中線AE的長．
【答案】(1)
(2)．
【詳解】（1）由已知及正弦定理可得：，
化簡得：．
又因為：
，所以， 所以，
所以△ACD的面積為．
（2）由（1）可知，因為AE是△ABC的邊BC上的中線，
所以，
所以，
所以△ABC的邊BC上的中線AE的長為．
7．（2023·山東日照·山東省日照實驗高級中學?？寄M預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若邊上的中線，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）依題意有
，又，
，又，
解得，，
；
（2）因為
所以，
當且僅當時成立，
故面積的最大值為.
8．（2023·遼寧朝陽·校聯考一模）在中，角所對的邊分別為.
(1)求；
(2)若，求的中線的最小值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為
所以，
由正弦定理可得，所以，因為，
則；
（2）由題意，
則，
則，即的中線的最小值為（當且僅當取最小值）；
綜上，的最小值為.
9．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知內角所對的邊分別為，面積為，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件（若兩個都選，以第一個評分），求：
(1)求角的大??；
(2)求邊中線長的最小值.
條件①：;
條件②：.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）選條件①：,
因為中，所以，
由正弦定理可得，
即，，
又,所以.
選條件②：
由余弦定理可得即，
由正弦定理可得，
因為，所以，所以，即，
又,所以.
（2）由（1）知，的面積為，所以，解得，
由平面向量可知，
所以
，
當且僅當時取等號，
故邊中線的最小值為.
10．（2023·全國·高三專題練習）如圖,已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.
(1)求B；
(2)若AC邊上的中線，且，求的周長．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵，
由余弦定理可得，
∴，
∴，由，
∴.
（2）如圖，
由（1）得，，①
由余弦定理知，即，②
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因為，所以③
由①②③，得，
所以，
所以的周長．
11．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）在中，角，，對邊分別為，，，且，.
(1)求；
(2)若，邊上中線，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由正弦定理有，
因為，有，
因為，故，；
（2）法一：在和中，，
因為，，則，
因為，所以，
所以；
法二：因為，所以，
有，
因為，所以，
所以；
法三：如圖，作交于，則是的中點，
所以，，，
即，解得，
所以.
12．（2023·全國·高三專題練習）在中，.
(1)求；
(2)求邊上的中線.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，，故，
所以，解得，
故，故.
（2）如圖所示，是中點，連接，
，，，
故，解得，即邊上的中線為.
13．（2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習）銳角的內角，，的對邊分別為，，，的面積.
(1)求；
(2)若，邊的中線，求，.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）的面積，
由題意，，
由正弦定理得，
，，為三角形內角，，，，
，
又因為為銳角，.
（2）由題意知，，
在中，即，
在中，，即.
.，.
由（1）知，，.
由，解得.
14．（2023·全國·高三專題練習）在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC邊上的中線，且，求的周長
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）由已知，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
在中，因為，
所以；
（2）由，得①，
在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，，即，
；
在中，由余弦定理得：，解得：；
，，
的周長為.

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