一、必備秘籍
一、定點問題
1.求解(或證明)直線和曲線過定點的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數，把方程一邊化為零，既然是過定點，那么這個方程就是對任意參數都成立，這時參數的系數就要全部等于零，這樣就得到一個關于，的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．
2.常用方法：一是引進參數法，引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量，再研究變化的量與參數何時沒有關系，找到定點；二是特殊到一般法，根據動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.
二、定值問題
1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數、直線的斜率等)的大小或某些代數表達式的值等和題目中的參數無關，不依參數的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：
（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示
（2）將所求表達式用核心變量進行表示（有的甚至就是核心變量），然后進行化簡，看能否得到一個常數.
2. 定值問題的處理技巧：
（1）對于較為復雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的處理提供一個方向.
（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數，以便于向定值靠攏
（3）巧妙利用變量間的關系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算
三、定直線問題
定直線問題是證明動點在 定直線上，其實質是求動點的軌跡方程，所以所用的方法即為 求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．
二、典型題型
題型一：定點問題
1．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預測）橢圓的離心率為，上、下頂點與一個焦點圍成的三角形的面積為．
(1)求橢圓C的方程：
(2)過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求證：直線過定點．
2．（2024上·湖北·高二湖北省武漢市漢鐵高級中學校聯(lián)考期末）已知拋物線，點為的焦點，過點且斜率為的直線交拋物線于兩點，.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點的直線與拋物線相交于兩點，已知點，且以線段為直徑的圓與直線的另一個交點為，試問在軸上是否存在一定點.使直線恒過此定點.若存在，請求出定點坐標，若不存在，請說明理由.
3．（2024上·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左焦點，一條漸近線方程為，過做直線與雙曲線左支交于兩點，點，延長與雙曲線右支交于兩點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)判斷直線是否過定點?若過定點，求出該點的坐標；若不過定點，請說明理由．
題型二：定值問題
1．（2024上·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學校聯(lián)考期末）已知點，動點滿足.
(1)求點的軌跡的方程；
(2)若軌跡的左右頂點分別為，直線與直線交于點，直線與軌跡交于相異的兩點，當點不在軸上時，分別記直線與的斜率為 ，，求證： 是定值.
2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┮阎p曲線：（，）的一條漸近線與雙曲線：的一條漸近線垂直，且的一個焦點到的一條漸近線的距離為2．
(1)求的方程；
(2)若上任意一點關于直線的對稱點為，過分別作的兩條漸近線的平行線，與分別交于求證：為定值．
3．（2024上·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）拋物線上的到焦點的距離為4，直線經過與拋物線相交于兩點，是直線與軸的交點，直線分別交軸于兩點．
(1)求拋物線方程；
(2)求證：為定值．
題型三：定直線問題
1．（2023上·山東濟南·高二山東師范大學附中?？计谥校┮阎獔AF：，點，點G是圓F上任意一點，線段EG的垂直平分線交直線FG于點T，點T的軌跡記為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)已知曲線C上一點，動圓N：，且點M在圓N外，過點M作圓N的兩條切線分別交曲線C于點A，B
①求證：直線AB的斜率為定值；
②若直線AB與交于點Q，且時，求直線AB的方程．
2．（2024上·福建福州·高二校聯(lián)考期末）設A，B兩點的坐標分別為，，直線，相交于點P，且它們的斜率之積為，動點P的軌跡為Γ.
(1)求Γ的方程，
(2)動直線與Γ相交于不同的兩點C，D，若直線與直線相交于點M，判斷點M是否位于一條定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.
3．（2024上·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于不同的兩點，且當為的中點時，.
(1)求拋物線的方程.
(2)記拋物線在兩點處的切線的交點為，是否存在直線使與的面積相等？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
三、專項訓練
1．（2024上·江西鷹潭·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，、分別為橢圓的左、右頂點，離心率為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線、與橢圓交于、兩點，證明直線過定點，并求面積的最大值．
2．（2024上·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知圓的方程,,，拋物線過兩點，且以圓的切線為準線.
(1)求拋物線焦點的軌跡C的方程；
(2)已知， 設x軸上一定點， 過T的直線交軌跡C于 兩點（直線與軸不重合），求證：為定值.
5．（2024上·河北·高三校聯(lián)考期末）已知拋物線，過焦點的直線與交于兩點，且的最小值為2．
(1)求的方程；
(2)過且與垂直的直線交于兩點，設直線的中點分別為，過坐標原點作直線的垂線，垂足為，是否存在定點，使得為定值，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．
6．（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上的點到焦點的距離為．
(1)求拋物線的方程；
(2)點在拋物線上，直線與拋物線交于兩點（第一象限），過點作軸的垂線交于點，直線與直線、分別交于點（為坐標原點），且，證明：直線過定點．
7．（2024上·湖北·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點為，設動點的坐標為．
(1)若，求過點與拋物線有且只有一個公共點的直線方程；
(2)設過動點的兩條直線均與相切，且的斜率分別為，滿足．證明：動點在一條定直線上．
8．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，的一條漸近線的傾斜角為，直線與軸的交點為，且.
(1)求的方程；
(2)過點作斜率為的直線與交于，兩點，為線段的中點，過點且與垂直的直線交軸于點，求證：為定值.
專題04 圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題(典型題型歸類訓練)
一、必備秘籍
一、定點問題
1.求解(或證明)直線和曲線過定點的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數，把方程一邊化為零，既然是過定點，那么這個方程就是對任意參數都成立，這時參數的系數就要全部等于零，這樣就得到一個關于，的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．
2.常用方法：一是引進參數法，引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量，再研究變化的量與參數何時沒有關系，找到定點；二是特殊到一般法，根據動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.
二、定值問題
1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數、直線的斜率等)的大小或某些代數表達式的值等和題目中的參數無關，不依參數的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：
（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示
（2）將所求表達式用核心變量進行表示（有的甚至就是核心變量），然后進行化簡，看能否得到一個常數.
2. 定值問題的處理技巧：
（1）對于較為復雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的處理提供一個方向.
（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數，以便于向定值靠攏
（3）巧妙利用變量間的關系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算
三、定直線問題
定直線問題是證明動點在 定直線上，其實質是求動點的軌跡方程，所以所用的方法即為 求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．
二、典型題型
題型一：定點問題
1．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預測）橢圓的離心率為，上、下頂點與一個焦點圍成的三角形的面積為．
(1)求橢圓C的方程：
(2)過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求證：直線過定點．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據已知條件，求得，即可求得橢圓方程；
（2）先證明過橢圓上一點的切線方程的形式，再求得過點的切線方程，從而得到直線的方程，即可證明其恒過的頂點.
【詳解】（1）根據題意可得：，又，
解得，故橢圓方程為：.
（2）下證過橢圓上一點作橢圓的切線，其切線方程為：.
當且，，求導得：；
同理可得，當且時，，所以，當時，；
根據導數的幾何意義可得，過點的切線的斜率為，
故切線方程為：，即，
又，故切線方程為：，即證.
設坐標為，
故可得過點切線方程為：，又其過點，
則；同理可得，
故直線方程為，其恒過定點.
【點睛】關鍵點點睛：解決第二問的關鍵是證明過橢圓上一點作橢圓的切線，其切線方程為：，本題利用導數的幾何意義求得斜率，是解決問題的關鍵.
2．（2024上·湖北·高二湖北省武漢市漢鐵高級中學校聯(lián)考期末）已知拋物線，點為的焦點，過點且斜率為的直線交拋物線于兩點，.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點的直線與拋物線相交于兩點，已知點，且以線段為直徑的圓與直線的另一個交點為，試問在軸上是否存在一定點.使直線恒過此定點.若存在，請求出定點坐標，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)直線恒過此定點.
【分析】（1）設出直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，再利用根與系數關系及拋物線中焦半徑公式從而得，從而可求解.
（2）設出的方程及，然后與拋物線聯(lián)立，利用根與系數關系求得，由以線段為直徑的圓過點，可得，且設出，由幾何關系可求出，從而求出直線方程為，從而可求解.
【詳解】（1）焦點，則直線為，
聯(lián)立，消去消可得，
恒成立，
設，則，
，解得
所以拋物線的方程為.
（2）設直線為，
聯(lián)立方程，消可得，
顯然：
設，則，
不妨設點，
以線段為直徑的圓與直線的另一個交點為，
則，又軸，所以平行軸，則.
設，所以，即
所以，即，
所以直線為：，
令，解得，
所以直線恒過此定點.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
3．（2024上·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左焦點，一條漸近線方程為，過做直線與雙曲線左支交于兩點，點，延長與雙曲線右支交于兩點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)判斷直線是否過定點?若過定點，求出該點的坐標；若不過定點，請說明理由．
【答案】(1)
(2)過定點
【分析】（1）由雙曲線幾何性質求方程；
（2）分斜率存在于不存在分別研究，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，設，則直線的方程為，與雙曲線求交點得，同理，從而求出直線的方程，可證.
【詳解】（1）由題意可知：
解得
雙曲線的方程為
（2）當直線的斜率存在時，設為，則直線的方程為
由
整理得
與左支交于兩點
，解得
設，則直線的方程為
代入整理得
設，則
，，
，同理
直線的斜率
直線的方程為，即
直線過定點
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
不妨設點在軸上方，則，直線的方程為
由，解得
同理
此時直線過點
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于x（或y）的一元二次方程；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系結合韋達定理運算求解.
題型二：定值問題
1．（2024上·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學校聯(lián)考期末）已知點，動點滿足.
(1)求點的軌跡的方程；
(2)若軌跡的左右頂點分別為，直線與直線交于點，直線與軌跡交于相異的兩點，當點不在軸上時，分別記直線與的斜率為 ，，求證： 是定值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根據橢圓的定義求解；
（2）設點，求出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，求出坐標，則可以表示出的斜率，計算即可得定值.
【詳解】（1）因為動點滿足，
所以點的軌跡是以點為焦點的橢圓，
設橢圓方程為，
則，
所以，
所以點的軌跡的方程為；
（2）設點，則，，
聯(lián)立，消去得，，
得，
所以，，即，
聯(lián)立，消去得，，
得，
所以，，即，
所以，
，
所以，是定值.
【點睛】關鍵點點睛：當過圓錐曲線上一點作一條直線與圓錐曲線相交時，可以聯(lián)立方程，利用韋達定理快速求出另一交點坐標，有了交點坐標，計算起來會更加方便快捷，不需要韋達定理來解題.
2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┮阎p曲線：（，）的一條漸近線與雙曲線：的一條漸近線垂直，且的一個焦點到的一條漸近線的距離為2．
(1)求的方程；
(2)若上任意一點關于直線的對稱點為，過分別作的兩條漸近線的平行線，與分別交于求證：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）結合題意，利用漸近線之間的關系找到，再利用點F到雙曲線的一條漸近線的距離，求出即可;
（2）分別將直線的方程，直線的方程與聯(lián)立，結合弦長公式表示出，化簡即可證明為定值.
【詳解】（1）由雙曲線：可得其中一條漸近線的方程為，
因為雙曲線的一條漸近線與雙曲線的一條漸近線垂直，
所以雙曲線的一條漸近線的方程為，
所以，即，
所以，所以的一個焦點為，
點F到雙曲線的一條漸近線的距離為，
所以，故的方程為．
（2）設，則，即，，
由題意上任意一點關于直線的對稱點為，得，
設，，由題意直線與的漸近線的平行，故的斜率為，
則直線的方程為，與，
聯(lián)立得，
直線的方程為，與,
聯(lián)立得，
所以，
故為定值．

【點睛】關鍵點點睛：當過圓錐曲線上一點或平面上的一點作一條直線與圓錐曲線相交時，可以聯(lián)立方程,當該點特殊時，利用韋達定理快速求出另一交點坐標，有了交點坐標，計算起來會更加方便快捷，不需要韋達定理來解題.
3．（2024上·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）拋物線上的到焦點的距離為4，直線經過與拋物線相交于兩點，是直線與軸的交點，直線分別交軸于兩點．
(1)求拋物線方程；
(2)求證：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由焦半徑公式和點的坐標列方程組求得得拋物線方程；
（2）設直線方程為：，直線方程代入拋物線方程應用韋達定理得，求出面積，由直線方程求得點坐標得面積，計算兩面積的乘積并代入韋達定理的結論化簡即得．
【詳解】（1）由題可得或(舍去)，
所以；
（2）設直線方程為：，
聯(lián)立，
則，
所以，
直線，可得，同理，
所以
，
所以．

【點睛】方法點睛：拋物線中定值問題，一般設交點為坐標為，設直線方程，直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理得（或），再利用交點坐標求得需要確定定值的量，代入（或）化簡后即可得．
題型三：定直線問題
1．（2023上·山東濟南·高二山東師范大學附中?？计谥校┮阎獔AF：，點，點G是圓F上任意一點，線段EG的垂直平分線交直線FG于點T，點T的軌跡記為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)已知曲線C上一點，動圓N：，且點M在圓N外，過點M作圓N的兩條切線分別交曲線C于點A，B
①求證：直線AB的斜率為定值；
②若直線AB與交于點Q，且時，求直線AB的方程．
【答案】(1)；
(2)①證明見解析 ；②或.
【分析】（1）由垂直平分線的性質，探討點T具有的幾何特征，再結合圓錐曲線的定義求解即得；
（2）①設出直線的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，結合圓的切線性質，利用韋達定理及斜率坐標公式推理即得；②利用①的信息，利用給定的面積關系求出點橫坐標關系，即可計算得解.
【詳解】（1）圓F：的圓心，半徑，
如下左圖，，
如上右圖，，
因此，
點T的軌跡是以點E、F為焦點，且實軸長為的雙曲線，其中焦距，虛半軸長，
所以點T的軌跡方程為.
（2）①設點，，直線AB的方程為，
由消去y得，
其中，且，
，，
由點在曲線C上，得，顯然直線MA和直線MB關于對稱，
直線MA和直線MB的斜率滿足，即，
整理得，
即，
整理得，
即，
于是，即，則或，
當，直線方程為，此直線過定點，不符合題意，
所以直線AB的斜率為定值.
②由①知，，顯然，即，
當時，，，即，，
，解得或，
當時，，不符合題意，當時，直線方程為，
當時，，即，，
，解得（舍去）或，
當時，直線方程為，
所以直線AB的方程為或.
【點睛】方法點睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當的量為變量，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
2．（2024上·福建福州·高二校聯(lián)考期末）設A，B兩點的坐標分別為，，直線，相交于點P，且它們的斜率之積為，動點P的軌跡為Γ.
(1)求Γ的方程，
(2)動直線與Γ相交于不同的兩點C，D，若直線與直線相交于點M，判斷點M是否位于一條定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.
【答案】(1)
(2)點在定直線上
【分析】（1）設出點的坐標，表示出直線、的斜率計算即可得其軌跡；
（2）聯(lián)立直線方程與曲線方程，借助韋達定理得到，再計算即可得.
【詳解】（1）設點的坐標為，因為點的坐標為，
所以直線的斜率，
同理直線的斜率，
由已知，有，
化簡，得Γ的方程為；
（2）點M位于定直線上，理由如下：

設，，
由，得，
所以，
，，
因為A，B兩點的坐標分別為，，
直線方程為，直線方程為，
由，得，
又，代入得，
由，得，
即，
所以，
所以點在定直線上.
【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于聯(lián)立直線方程與曲線方程，得到與兩交點縱坐標有關韋達定理，借助韋達定理得到，從而解決非對稱問題.
3．（2024上·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于不同的兩點，且當為的中點時，.
(1)求拋物線的方程.
(2)記拋物線在兩點處的切線的交點為，是否存在直線使與的面積相等？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）由為的中點，分別表示出，，的坐標，再利用拋物線的定義表示出即可求出的值，從而得到拋物線的方程；
（2）設直線，將直線與拋物線的方程聯(lián)立方程，由韋達定理得到，再分別設出過和兩點的切線方程，分別與拋物線聯(lián)立方程，利用，化簡得到：，，再聯(lián)立兩條切線方程，化簡可得軸，分別表示出與的面積，利用面積相等，化簡即可得到答案.
【詳解】（1）由題意知，當為的中點時，設，則，則，所以，
所以，解得，所以拋物線的方程為.
（2）由（1）知，設直線，
將直線與拋物線的方程聯(lián)立消得，
則.
設拋物線在點處的切線方程為，
與拋物線的方程聯(lián)立消得，則，得.
設拋物線在點處的切線方程為，同理可得.
聯(lián)立，消得，所以軸.
故，，假設存在直線使與的面積相等，則，得.
又，解得或，此時重合，與題意矛盾，
故不存在直線使與的面積相等.
三、專項訓練
1．（2024上·江西鷹潭·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，、分別為橢圓的左、右頂點，離心率為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線、與橢圓交于、兩點，證明直線過定點，并求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)證明見解析，面積的最大值為
【分析】（1）由已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得出橢圓的方程；
（2）分析可知，直線不與軸垂直，設直線的直線方程為，設點、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，由已知可得出，利用平面向量數量積的坐標運算結合韋達定理求出的值，可得出直線所過定點的坐標，然后利用三角形的面積公式結合對勾函數的單調性可求得面積的最大值.
【詳解】（1）解：由已知可得：，解得：，，
所以，橢圓的方程為．
（2）解：易知點，設點、，則，
若直線軸，則，，
所以，，不合乎題意，
設的直線方程為，
聯(lián)立，整理得，
，
由韋達定理可得，．
因為，且，，
所以，
，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
所以，直線的方程為，
，
則．
令，
則，
由對勾函數單調性知，函數在上為增函數 ，
則．
所以，當且僅當時，即時等號成立，
此時最大值為．
【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
2．（2024上·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知圓的方程,,，拋物線過兩點，且以圓的切線為準線.
(1)求拋物線焦點的軌跡C的方程；
(2)已知， 設x軸上一定點， 過T的直線交軌跡C于 兩點（直線與軸不重合），求證：為定值.
【答案】(1)；
(2)證明見解析．
【分析】（1）是圓的切線，分別過作直線的垂直，垂足分別為，由，利用橢圓定義可得軌跡方程；
（2）設直線的方程為，設，直線方程代入橢圓方程后應用韋達定理得，然后計算，代入化簡可得．
【詳解】（1）如圖，是圓的切線，分別過作直線的垂直，垂足分別為，又是中點，則是直角梯形的中位線，，
設是以為準線的拋物線的焦點，則，，
所以，
所以點軌跡是以為焦點的橢圓，橢圓長軸長為8，
，則，因此，
所以拋物線的焦點軌跡方程為；

（2）由題意設直線的方程為，設，
由得，
，，
，
代入，，得
為常數．

【點睛】方法點睛：本題考查橢圓中定值問題，解題方法是設交點坐標．設直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組后消元應用韋達定理得（或），利用交點坐標計算出要證明常數的量，然后代入韋達定理的結果化簡變形即可得．
3．（2024上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知橢圓經過點，直線與軸交于點，過的直線與交于兩點（異于），記直線和直線的斜率分別為.
(1)求的標準方程；
(2)求的值；
(3)設直線和直線的交點為，求證：在一條定直線上.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）將點代入方程計算即可得；
（2）分直線的斜率存在與不存在進行計算，結合題意得到、的表示形式，結合韋達定理計算即可得；
（3）結合題意設出直線、方程，結合第二問得到的值，得到交點的橫縱坐標的關系或通過聯(lián)立聯(lián)立直線方程計算交點縱坐標即可得.
【詳解】（1）由題意知，所以，
所以的標準方程為；
（2）直線的方程為，所以，
當直線的斜率不存在時，
①若，
則；
②若，
則，
所以，
當直線的斜率存在時，設，
直線的方程為，
由，得，
所以，
所以，
所以
，
綜上，；
（3）直線的方程為，直線的方程為，
設交點，
法一：，
即，
因為，所以，即點在定直線上.
法二：由（2）得，
由，得，
即點在定直線上.
【點睛】關鍵點睛：本題第二問關鍵在當直線的斜率存在時，需聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，借助韋達定理得到交點坐標間的關系，從而計算的值.
4．（2024上·云南·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線實軸端點分別為、，右焦點為，離心率為，過點的直線與雙曲線交于另一點，已知的面積為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過點的直線與雙曲線交于、兩點，試探究直線與直線的交點是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；若不在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)在，且定直線方程為
【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面積公式可求出的值，進而可得出、的值，由此可得出雙曲線的方程；
（2）分析可知，直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，將直線、的方程聯(lián)立，求出這兩條直線交點的橫坐標，即可得出結論.
【詳解】（1）解：因為雙曲線的離心率為，可得，則，
則，可得，則，，
因此，雙曲線的方程為.
（2）證明：若直線與軸重合，則點、為雙曲線實軸的端點，不合乎題意，
設直線的方程為，設點、，
聯(lián)立可得，
則，可得，
由韋達定理可得，，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得
，解得.
因此，點在定直線上.
【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
5．（2024上·河北·高三校聯(lián)考期末）已知拋物線，過焦點的直線與交于兩點，且的最小值為2．
(1)求的方程；
(2)過且與垂直的直線交于兩點，設直線的中點分別為，過坐標原點作直線的垂線，垂足為，是否存在定點，使得為定值，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在定點，使得為定值
【分析】（1）設出直線，聯(lián)立拋物線方程，求出，得到，求出答案；
（2）在（1）的基礎上，得到，，得到直線的方程，得到直線過定點，在以為直徑的圓上，所以存在定點，使得為定值．
【詳解】（1）當直線的斜率為0時，與拋物線只有一個交點，不合要求，舍去；
設直線，與拋物線方程聯(lián)立可得，
設，則，
所以，
所以，所以的方程為．
（2）由（1）可知，，
所以，同理可得，
所以直線斜率為，
所以直線，即，
所以直線過定點，
因為⊥，所以在以為直徑的圓上，
取的中點，則為定值，
所以存在定點，使得為定值．
【點睛】處理定點問題的思路：
（1）確定題目中的核心變量（此處設為），
（2）利用條件找到與過定點的曲線的聯(lián)系，得到有關與的等式，
（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關于與的等式進行變形，直至找到，
①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點；
②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數關系，可消去變?yōu)槌?
6．（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上的點到焦點的距離為．
(1)求拋物線的方程；
(2)點在拋物線上，直線與拋物線交于兩點（第一象限），過點作軸的垂線交于點，直線與直線、分別交于點（為坐標原點），且，證明：直線過定點．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用拋物線定義計算即可；
（2）設坐標及直線方程，含參表示坐標，由得出坐標的關系，聯(lián)立拋物線根據韋達定理消元計算即可.
【詳解】（1）由題意可知拋物線準線方程為：，則，且，
解之得，即拋物線方程為；
（2）依題意與拋物線于第一象限有兩個交點，
故可設，
由（1）可知，即，所以，
則，
又，所以，
因為，故，
聯(lián)立拋物線方程有，
則，顯然過定點.
【點睛】思路點睛：第二問通過設點設線，由向量關系得出點的坐標關系，再聯(lián)立拋物線根據韋達定理消元轉化得出直線參數的關系即可.
7．（2024上·湖北·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點為，設動點的坐標為．
(1)若，求過點與拋物線有且只有一個公共點的直線方程；
(2)設過動點的兩條直線均與相切，且的斜率分別為，滿足．證明：動點在一條定直線上．
【答案】(1)或；
(2)證明見解析
【分析】（1）分別討論直線斜率是否存在，利用判別式為0即可得直線方程；
（2）設出直線方程并利用韋達定理可得，結合即可求出動點在直線上.
【詳解】（1）當經過點P的直線不存在斜率時，直線方程即為，
與拋物線拋物線C：有且只有一個公共點，符合題意，
當經過點P的直線存在斜率時，不妨設直線方程為，
代入拋物線方程化簡得：，
，即，直線方程即為
因此所求直線方程為或；
（2）證明：設過點P與拋物線C的相切的切線方程為，
由，消去整理得，
因為與拋物線C相切，所以，
即．
又因為，是方程的兩根，則有，
由 ，可得，即
從而動點在直線上.
8．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，的一條漸近線的傾斜角為，直線與軸的交點為，且.
(1)求的方程；
(2)過點作斜率為的直線與交于，兩點，為線段的中點，過點且與垂直的直線
，
，
所以，
即為定值.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問解題的關鍵點是利用韋達定理求出弦長、兩點間的距離公式求出.

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