1 .寬和長的比為的矩形稱為黃金矩形，如圖，黃金矩形中，寬，將黃金矩形沿折疊，使得點落在點處，點落在點處，則的面積為（ ）．
A.
B.
C.
D.
2 .寬與長的比是（約為）的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形，分別取，的中點，，連接；以點為圓心，以為半徑畫弧，交的延長線與點；作，交的延長線于點．則圖中下列矩形是黃金矩形的是（ ）．
A.矩形
B.矩形
C.矩形
D.矩形
二、解答題
1 .回答下列問題：
( 1 )如圖，中，，，現(xiàn)以為圓心、長為半徑畫弧交邊于，再以為圓心、為半徑畫弧交邊于．求證：．（這個比值叫做與的黃金比）
( 2 )如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個等腰三角形就叫做黃金三角形．請你以圖中的線段為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個黃金三角形．
（注：直尺沒有刻度！作圖不要求寫作法，但要求保留作圖痕跡，并對作圖中涉及到的點用字母進(jìn)行標(biāo)注）
2 .如圖，中，，點在上，，過、兩點的圓的圓心在上．
( 1 )利用直尺和圓規(guī)在圖中畫出⊙（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線條描清楚）．
( 2 )判斷所在直線與（）中所作的⊙的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
( 3 )設(shè)⊙交于點，連接，過點作，為垂足，若點是線段的黃金分割點（即），如圖，試說明四邊形是正方形）．
3 .我們知道：如圖①，點把線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點，它們的比值為．
( 1 )在圖①中，若，則的長為 ．
( 2 )如圖②，用邊長為的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形得折痕，連接，將折疊到上，點對應(yīng)點，得折痕．試說明是的黃金分割點．
( 3 )如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長為的正方形的邊上任取點，連接，作，交于點，延長、交于點．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)與滿足某種關(guān)系時、恰好分別是、的黃金分割點．請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．
6.2 黃金分割練習(xí)
一、單選
1 .寬和長的比為的矩形稱為黃金矩形，如圖，黃金矩形中，寬，將黃金矩形沿折疊，使得點落在點處，點落在點處，則的面積為（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 ∵四邊形是黃金矩形，
∴，，，
，．
∴．
∵，
∴，
根據(jù)折疊性質(zhì)可知，，
∴，
∴．
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∴．
故選．
2 .寬與長的比是（約為）的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形，分別取，的中點，，連接；以點為圓心，以為半徑畫弧，交的延長線與點；作，交的延長線于點．則圖中下列矩形是黃金矩形的是（ ）．
A.矩形
B.矩形
C.矩形
D.矩形
【答案】 D
【解析】 設(shè)正方形的邊長為，則，，
在直角三角形中，．
∴．
∴．
∴．
∴矩形為黃金矩形．
二、解答題
1 .回答下列問題：
( 1 )如圖，中，，，現(xiàn)以為圓心、長為半徑畫弧交邊于，再以為圓心、為半徑畫弧交邊于．求證：．（這個比值叫做與的黃金比）
( 2 )如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個等腰三角形就叫做黃金三角形．請你以圖中的線段為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個黃金三角形．
（注：直尺沒有刻度！作圖不要求寫作法，但要求保留作圖痕跡，并對作圖中涉及到的點用字母進(jìn)行標(biāo)注）
【答案】 (1)證明見解析．
(2)作圖見解析．
【解析】 (1)∵中，，，
∴設(shè)，，則，
∴，
∴．
(2)底與腰之比均為黃金比的等腰三角形，如圖：
①過點作，作的垂直平分線交于點，使，
②連接，以為圓心，長為半徑畫弧，使，
③以為圓心長為半徑畫弧，以為圓心，長為半徑畫弧，交點為，
則即為所求．
2 .如圖，中，，點在上，，過、兩點的圓的圓心在上．
( 1 )利用直尺和圓規(guī)在圖中畫出⊙（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線條描清楚）．
( 2 )判斷所在直線與（）中所作的⊙的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
( 3 )設(shè)⊙交于點，連接，過點作，為垂足，若點是線段的黃金分割點（即），如圖，試說明四邊形是正方形）．
【答案】 (1)畫圖見解析．
(2)與⊙相切．證明見解析．
(3)四邊形是正方形．
【解析】 (1)如圖，⊙為所作；
(2)連接，如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為⊙的切線；
(3)∵，，
∴，
∴，
∴，
∵點是線段的黃金分割點，
∴，
∵，
∵為直徑，
∴，
在和中
，
∴≌，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴四邊形是正方形．
3 .我們知道：如圖①，點把線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點，它們的比值為．
( 1 )在圖①中，若，則的長為 ．
( 2 )如圖②，用邊長為的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形得折痕，連接，將折疊到上，點對應(yīng)點，得折痕．試說明是的黃金分割點．
( 3 )如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長為的正方形的邊上任取點，連接，作，交于點，延長、交于點．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)與滿足某種關(guān)系時、恰好分別是、的黃金分割點．請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．
【答案】 (1)
(2)證明見解析．
(3)當(dāng)時，、恰好分別是、的黃金分割點；證明見解析．
【解析】 (1)，
故答案為：．
(2)如圖，連接，設(shè)，則，
∵四邊形是正方形，
∴，
由折疊性質(zhì)得：，，，，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
即，
∴是的黃金分割點．
(3)當(dāng)時，、恰好分別是、的黃金分割點．
∵，
∴，又，
∴，
∵，，
∴≌ ，
∴，
設(shè)，則，
∵即，
∴即，
∴，
解得：或（舍去），
即，
∴，
∴、分別是、的黃金分割點．

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6.2 黃金分割

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