1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式中，可以與合并的是 （ ）
A．B．C．D．
3．已知關(guān)于的一元二次方程有一根為0，則等于（ ）
A．B．2C．D．或2
4．某校準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為181平方米的矩形活動(dòng)場地，它的長比寬多11米，設(shè)場地的寬為米，則可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．估計(jì)的值應(yīng)在（ ）
A．3和4之間B．4和5之間C．5和6之間D．6和7之間
6．關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
7．已知，則的值等于（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
8．下列計(jì)算中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如果關(guān)于的一元二次方程滿足，那么我們稱這個(gè)方程為“阿凡達(dá)”方程．已知是“阿凡達(dá)”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
10．若是方程的兩根，則（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
11．已知，則化簡的結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
12．對(duì)于代數(shù)式A、B，定義新運(yùn)算，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①若，則的值為3或；②若方程的解為a、b，則的值為；③若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則．
A．0B．1C．2D．3
第II卷（非選擇題）
二、填空題
13．如圖，利用一面墻（墻的長度不限），要用長的籬笆圍成一個(gè)面積為的矩形場地．應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)籬笆的邊長？設(shè)垂直于墻的邊長為，則可列方程為 ．
14．如果，那么的值是 ．
15．若為的小數(shù)部分，則的值為 ．
16．對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為，則 ．
三、解答題
17．計(jì)算
(1) (2)
18．解下列方程
(1) ； (2)； (3)．
19．已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)當(dāng)時(shí)，求該方程的根；
(2)求證：不論取何實(shí)數(shù)，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
20．2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件35元的價(jià)格購進(jìn)某款亞運(yùn)會(huì)吉祥物，以每件58元的價(jià)格出售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．
(1)求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；
(2)從6月份起，商場決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價(jià)1元，月銷售量就會(huì)增加20件．當(dāng)該吉祥物售價(jià)為多少元時(shí)，月銷售利潤達(dá)8400元？
21．閱讀下列材料，解答相應(yīng)的問題．
在進(jìn)行二次根式化簡時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如，，這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：
；；
．
以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．
(1)化簡：__________． (2)請直接寫出的化簡結(jié)果：________．
(3)計(jì)算：．
22．綜合與實(shí)踐
【方法研究】
配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代數(shù)式的最值等．所謂配方法是指將一個(gè)式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．其實(shí)這種方法還經(jīng)常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合完全平方的非負(fù)性解決某些問題．
例：求代數(shù)式的最大值．
解：原式．
，，
，
的最大值為-3．
【探索探究】
（1）若，滿足，則__________，__________．
（2）若等腰的三邊長，，均為整數(shù)，且滿足，求的面積．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖，這是加菲爾德證明勾股定理的一個(gè)圖形，其中，，是和的三邊長．根據(jù)勾股定理，可得，我們把關(guān)于的一元二次方程，稱為“勾系一元二次方程”，已知代數(shù)式的最小值是“勾系一元二次方程”的一個(gè)根．四邊形的周長為，試求四邊形的面積．

參考答案：
1．D
【分析】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．形如（）是二次根式，注意二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得解．
【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，不是二次根式，該選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)時(shí)，不是二次根式，該選項(xiàng)不符合題意；
C、是三次根式，該選項(xiàng)不符合題意；
D、 ， 是二次根式，該選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
2．D
【分析】本題考查的是同類二次根式，掌握二次根式的性質(zhì)、同類二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．先把各個(gè)二次根式化簡，根據(jù)同類二次根式的概念判斷即可．
【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，無法合并，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、與不是同類二次根式，無法合并，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、，與不是同類二次根式，無法合并，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、，與是同類二次根式，能合并，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D
3．C
【分析】本題考查了一元二次方程的定義和一元二次方程的根，注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能等于0是解題的關(guān)鍵．把代入方程，解之得的值，且，從而得到答案．
【詳解】解：把代入方程，得
解得：
故選：C．
4．B
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，利用矩形的面積公式列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)寬為米，則長為米，
根據(jù)題意得：，
故選：B．
5．C
【分析】首先確定的范圍，進(jìn)而可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，屬于基礎(chǔ)題型．
6．D
【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義，掌握“一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則”是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則列出不等式，解不等式即可，需要注意．
【詳解】解：由題意得，
解得：且，
故選：D．
7．C
【分析】根據(jù)非負(fù)性求出x、y的值，代入求解即可．
【詳解】解：∵（x﹣1）2+＝0，
∴x﹣1＝0，y+4＝0，
解得：x＝1，y＝﹣4，
∴＝＝＝4．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次方根的求值、偶次方和算術(shù)平方根的非負(fù)性、解一元一次方程，熟知偶次方和算術(shù)平方根的非負(fù)性是解答的關(guān)鍵．
8．C
【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算法則逐一計(jì)算判斷即可．
【詳解】解：A、與不能合并，故A錯(cuò)誤，不符合題意；
B、與不能合并，故B錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故C項(xiàng)正確，符合題意；
D、，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
9．A
【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，掌握根的判別式與根的關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．
由判別式的意義可得，根據(jù)“阿凡達(dá)”方程的定義可得，即，把代入可得到，則，然后再逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：∵是“阿凡達(dá)”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，，即，
∴，即，即
∴
∴．
故選：A．
10．A
【分析】本題考查一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意，得：，整體代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴，
∴；
故選A．
11．A
【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得，即，所以，，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．掌握二次根式的性質(zhì)及絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵．也考查了完全平方公式的應(yīng)用．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
．
故選：A．
12．B
【分析】根據(jù)新定義得，則得出或，代入，即可判斷①；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，，則，求出，即可判斷②；根據(jù)新定義和絕對(duì)值可得，根據(jù)一元二次方程的判別式，即可判斷③．
【詳解】解：①，
整理得：，
∴，
∴或，
∴或，
故①正確，符合題意；
②，
∵方程的解為、，
∴，，
∴，
∴，則
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴的值為或，
故②不正確，不符合題意；
③∵，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
∴，
當(dāng)時(shí)，整理得：，
∴，解得：；
當(dāng)時(shí)，整理得：，
∴，解得：；
∴，
故③不正確，不符合題意；
綜上：正確的有①，共1個(gè)；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解一元二次方程，一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，明確新定義的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系：，；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
13．
【分析】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
由籬笆的總長及垂直于墻的籬笆長度，可得出平行于墻的籬笆長為，根據(jù)矩形場地的面積為，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．
【詳解】解：∵要用長的籬笆圍成一個(gè)面積為的矩形場地，垂直于墻的邊長為，
∴平行于墻的邊長為，
根據(jù)題意，可得．
故答案為：．
14．
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，求出的值，進(jìn)而求出的值即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值．熟練掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，是解題的關(guān)鍵．
15．
【分析】估算出在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間求得的值，然后將其代入中計(jì)算即可．
【詳解】解：，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是估算出在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間．
16．
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以，則，然后代入即可求解．
【詳解】由根與系數(shù)的關(guān)系得，，
所以，
則，
則
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，難度較大，關(guān)鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出一般形式再進(jìn)行代入求值．
17．(1)
(2)
【分析】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，
（1）先化簡二次根式，再計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和立方根，最后計(jì)算加減法即可；
（2）先根據(jù)平方差公式和完全平方公式去括號(hào)，然后計(jì)算加減法即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的常用解法，如直接開方法、配方法、公式法、因式分解法等．
（1）將原方程移項(xiàng)可得，等號(hào)兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，可得，再配方可得，然后求解即可；
（2）利用公式法解該方程即可；
（3）將原方程整理為，然后利用因式分解法解該方程即可．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：，
，
，
，
∴，．
19．(1)
(2)見解析
【分析】本題考查解一元二次方程，一元二次方程根的判別式；
（1）當(dāng)時(shí)，原方程可化為，利用因式分解求解即可；
（2）證明即可．
【詳解】（1）：當(dāng)時(shí)，原方程可化為
∴，
解得．
（2）由題意，得，
不論取何實(shí)數(shù)，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
20．(1)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為
(2)當(dāng)該吉祥物售價(jià)為50元時(shí)，月銷售利潤達(dá)8400元
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為x，根據(jù)增長率問題的等量關(guān)系列方程求解即可；
（2）設(shè)該款吉祥物降價(jià)m元，則每件的利潤為元，月銷售量為件，根據(jù)月銷售利潤為8400元列方程求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為x，
根據(jù)題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為；
（2）解：設(shè)該款吉祥物降價(jià)m元，則每件的利潤為元，月銷售量為件，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
，
答：當(dāng)該吉祥物售價(jià)為50元時(shí)，月銷售利潤達(dá)8400元．
21．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】考查二次根式的有理化．根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．
（1）分子分母分別乘即可；
（2）分子分母分別乘即可；
（3）每一個(gè)分母都乘以它的有理化因式化簡后合并即可．
【詳解】（1）解：，
故答案為：；
（2）解：，
故答案為：；
（3）解：
．
22．（1）；2；（2）的面積為或；（3）．
【分析】（1）利用配方法得到，據(jù)此可得答案；
（2）利用完全平方公式把已知條件式變形為，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，據(jù)此分腰長為4和腰長為5，根據(jù)構(gòu)成三角形的條件和勾股定理求出底邊上的高，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可；
（3）利用配方法得到求出的最小值，從而得出是的一個(gè)根，得到，由四邊形的周長為求出，再由勾股定理可得，最后由，求出的值即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；2；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
當(dāng)腰長為4時(shí)，則底邊長為5，
∵，
∴此時(shí)能構(gòu)成三角形，
如圖所示，在中，，
∴，
∴，
∴；

當(dāng)腰長為5時(shí)，則底邊長為4，
∵，
∴此時(shí)能構(gòu)成三角形，
如圖所示，在中，，
∴，
∴，
∴；
綜上所述，的面積為或；
（3）
，
∵，
∴，
∴的最小值為，
∵代數(shù)式的最小值是“勾系一元二次方程”的一個(gè)根，
是的一個(gè)根，
，
，
四邊形的周長為，
，
，
，
，
，
，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算、等腰三角形的定義，構(gòu)成三角形的條件，一元二次方程解的定義，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
B
C
D
C
C
A
A
題號(hào)
11
12








答案
A
B








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