1．（3分）在下列函數(shù)表達式中，屬于二次函數(shù)的是
A．B．C．D．
2．（3分）下列事件是必然事件的是
A．打開電視機，正在播放動畫片
B．2018年世界杯德國隊一定能奪得冠軍
C．某彩票中獎率是，買100張一定會中獎
D．投擲一枚普通的正方體骰子，連續(xù)投擲3次，出現(xiàn)的點數(shù)之和不可能等于19
3．（3分）已知的半徑為2，點在同一平面內(nèi)，，則點與的位置關(guān)系是
A．點在內(nèi)B．點在上C．點在外D．無法判斷
4．（3分）用配方法將二次函數(shù)化為頂點式的形式為
A．B．C．D．
5．（3分）如圖，正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
6．（3分）下列命題中是真命題的為
A．弦是直徑B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧
C．相等的弧所對的弦相等D．相等的圓心角所對的弧相等
7．（3分）二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤的解為，．其中正確的是
A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤
8．（3分）已知二次函數(shù)的圖象上有，，，則，，的大小關(guān)系是
A．B．C．D．
9．（3分）教練對小明推鉛球的錄像進行技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進高度與水平距離間的關(guān)系為，由此可知鉛球推出的距離是
A．B．C．D．
10．（3分）如圖，正方形的邊長為4，點與點是線段與線段上的兩個動點，在運動過程中線段與始終保持垂直，則線段的最小值是
A．B．2C．D．
二、填空題（本大題共6小題，共24分）
11．（4分）若二次函數(shù)的圖象過點，則 ．
12．（4分）“手機閱讀”已逐漸成了眼科病的主要病因，據(jù)調(diào)查表明在“中年人”中有“手機閱讀”習慣的占比約達，若隨機選擇150名“中年人”進行調(diào)查，則估計有 人有此習慣．
13．（4分）已知扇形的圓心角為，半徑為6，則扇形的弧長是 ，面積是 ．
14．（4分）直角三角形的兩直角邊長分別為8和6，則此三角形的外接圓半徑是 ．
15．（4分）已知二次函數(shù)為常數(shù)），當時，函數(shù)有最小值，則的值為 ．
16．（4分）如圖，是的直徑，弦垂直平分，點是弧上的一點，連結(jié)，，，，有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分）
17．（6分）上城區(qū)要在語、數(shù)、英、科、社五科中，隨機抽出兩科進行期末抽測．
（1）抽到數(shù)學學科的概率是 ；
（2）用畫樹狀圖或列表法求抽到的學科恰好是數(shù)學和英語的概率．
18．（6分）如圖為一圓弧形鋼梁，該鋼梁的拱高為，跨徑為．
（1）作出該圓弧所在圓的圓心；
（2）求這鋼梁圓弧的半徑長．
19．（10分）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的頂點坐標為，且過點．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）求出該函數(shù)與軸的交點坐標；
（3）畫出該二次函數(shù)的圖象，并寫出當時，自變量的取值范圍．
20．（10分）已知：如圖，內(nèi)接于，為直徑，的平分線交于點，交于點，于點，且交于點，連結(jié)、．
（1）求證：；
（2）求證：．
21．（10分）如圖，用長為的籬笆，一面利用墻（墻的最大長度為，圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．設(shè)花圃的寬為，面積為．
（1） （用含的代數(shù)式表示）．
（2）求出關(guān)于的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）飼養(yǎng)室長為何值時，占地面積最大？并求出的最大值．
22．（12分）已知二次函數(shù)．
（1）若當時，該函數(shù)有最小值，求的值．
（2）若二次函數(shù)圖象向上平移4個單位后與軸只有一個交點，求的值．
（3）已知，當時，隨著的增大而增大，試求出的一個值．
23．（12分）如圖1，在半徑為2的扇形中，，點是上的一個動點（不與點、重合），點是的中點，交于，于．
（1）當時，求線段的長；
（2）在△中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由．
（3）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍．
2022-2023學年浙江省杭州市上城區(qū)天杭中學九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，共30分）
1．（3分）在下列函數(shù)表達式中，屬于二次函數(shù)的是
A．B．C．D．
【分析】分別利用正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義分析得出答案．
【解答】解：、是反比例函數(shù)關(guān)系，故此選項不符合題意；
、是一次函數(shù)關(guān)系，故此選項不符合題意；
、是二次函數(shù)關(guān)系，故此選項符合題意；
、不是二次函數(shù)關(guān)系，故此選項不符合題意；
故選：．
【點評】此題主要考查了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
2．（3分）下列事件是必然事件的是
A．打開電視機，正在播放動畫片
B．2018年世界杯德國隊一定能奪得冠軍
C．某彩票中獎率是，買100張一定會中獎
D．投擲一枚普通的正方體骰子，連續(xù)投擲3次，出現(xiàn)的點數(shù)之和不可能等于19
【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可判斷．
【解答】解：、打開電視機，正在播放動畫片是隨機事件，不符合題意；
、2018年世界杯德國隊一定能奪得冠軍是隨機事件，不符合題意；
、某彩票中獎率是，買100張一定會中獎是隨機事件，不符合題意；
、投擲一枚普通的正方體骰子，連續(xù)投擲3次，出現(xiàn)的點數(shù)之和不可能等于19是必然事件，符合題意；
故選：．
【點評】本題考查了必然事件的概念．解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
3．（3分）已知的半徑為2，點在同一平面內(nèi)，，則點與的位置關(guān)系是
A．點在內(nèi)B．點在上C．點在外D．無法判斷
【分析】根據(jù)點到圓心的距離與半徑的關(guān)系進行判斷即可．
【解答】解：
，，
，
點在外，
故選：．
【點評】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，掌握點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，即點在圓外，點在圓上，點在圓內(nèi)．
4．（3分）用配方法將二次函數(shù)化為頂點式的形式為
A．B．C．D．
【分析】利用配方法把二次函數(shù)的一般形式配成二次函數(shù)的頂點式．
【解答】解：
，
故選：．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式，題目中給出的是一般形式，利用配方法可以化成頂點式．
5．（3分）如圖，正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理、正五邊形的性質(zhì)求出、，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，計算即可．
【解答】解：五邊形為正五邊形，
，
，
，
，
故選：．
【點評】本題考查的是正多邊形和圓、多邊形的內(nèi)角和定理，掌握正多邊形和圓的關(guān)系、多邊形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）下列命題中是真命題的為
A．弦是直徑
B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧
C．相等的弧所對的弦相等
D．相等的圓心角所對的弧相等
【分析】根據(jù)弦的概念、垂徑定理的推論、圓心角、弧與弦的關(guān)系判斷即可．
【解答】解：、弦不一定是直徑，故本選項命題是假命題，不符合題意；
、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，故本選項命題是假命題，不符合題意；
、相等的弧所對的弦相等，是真命題，符合題意；
、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本選項命題是假命題，不符合題意；
故選：．
【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．
7．（3分）二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤的解為，．其中正確的是
A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤
【分析】①利用拋物線與軸有2個交點可進行判斷；
②根據(jù)二次函數(shù)的開口方向確定的符號，根據(jù)對稱軸確定的符號，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸的位置確定的符號即可判斷；
③根據(jù)對稱軸是直線即可判斷；
④利用時，可進行判斷；
⑤根據(jù)拋物線與軸的交點即可判斷．
【解答】解：①拋物線與軸有2個交點，
△，所以①正確；
②圖象開口向下，得，
對稱軸，
，
圖象與軸的交點在軸的上方，得，
，故②正確；
③拋物線的對稱軸為直線，
，
，所以③正確；
④拋物線對稱軸為直線，圖象與軸的一個交點為，
圖象與軸的另一個交點為，
當時，，
，故④錯誤；
⑤二次函數(shù)的圖象過，，
方程的解是，，故⑤正確．
故選：．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，主要利用了二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，與軸的交點，此類題目，要注意利用好特殊自變量的函數(shù)值的應用．
8．（3分）已知二次函數(shù)的圖象上有，，，則，，的大小關(guān)系是
A．B．C．D．
【分析】由二次函數(shù)圖象開口向下可得離對稱軸越近的點值越大，進而求解．
【解答】解：，
拋物線開口向下，且對稱軸為直線，
，
，
故選：．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)圖象作答，不需要求函數(shù)值．
9．（3分）教練對小明推鉛球的錄像進行技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進高度與水平距離間的關(guān)系為，由此可知鉛球推出的距離是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)鉛球落地時，高度，把實際問題可理解為當時，求的值即可．
【解答】解：令函數(shù)式，中，，
，
解得，（舍去），
即鉛球推出的距離是．
故選：．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用中函數(shù)式中自變量與函數(shù)表達的實際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，正方形的邊長為4，點與點是線段與線段上的兩個動點，在運動過程中線段與始終保持垂直，則線段的最小值是
A．B．2C．D．
【分析】于，設(shè)的中點為，當點，，共線時線段的值最小，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：于，
點在以為直徑的圓上，
設(shè)的中點為，
當點，，共線時線段的值最小，
正方形的邊長為4，
，，
，
，
線段的最小值是，
故選：．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，共24分）
11．（4分）若二次函數(shù)的圖象過點，則 ．
【分析】將點代入二次函數(shù)的解析式即可得出的值．
【解答】解：將點代入二次函數(shù)得：，
．
【點評】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，待定系數(shù)法是比較常用的一種方法．
12．（4分）“手機閱讀”已逐漸成了眼科病的主要病因，據(jù)調(diào)查表明在“中年人”中有“手機閱讀”習慣的占比約達，若隨機選擇150名“中年人”進行調(diào)查，則估計有 90 人有此習慣．
【分析】用總?cè)藬?shù)乘以有“手機閱讀”習慣的百分比，據(jù)此可估計總體中有此習慣的人數(shù)．
【解答】解：根據(jù)題意知估計有此習慣的人數(shù)為（人，
故答案為：90．
【點評】本題主要考查用樣本估計總體，一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越精確．
13．（4分）已知扇形的圓心角為，半徑為6，則扇形的弧長是 ，面積是 ．
【分析】直接根據(jù)弧長公式及扇形的面積公式進行計算即可．
【解答】解：扇形的圓心角為，半徑為6，
扇形的弧長；
面積．
故答案為：，．
【點評】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．
14．（4分）直角三角形的兩直角邊長分別為8和6，則此三角形的外接圓半徑是 5 ．
【分析】根據(jù)直角三角形外接圓的圓心是斜邊的中點，由勾股定理求得斜邊，即可得出答案．
【解答】解：如圖，，，
，
外接圓半徑為5．
故答案為：5．
【點評】本題考查了三角形的外接圓以及外心，注意：直角三角形的外心是斜邊的中點．
15．（4分）已知二次函數(shù)為常數(shù)），當時，函數(shù)有最小值，則的值為 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)為常數(shù)），當時，函數(shù)有最小值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的方法可以求得的值．
【解答】解：二次函數(shù)，
當時，函數(shù)有最小值，
當時，時取得最小值，，得（舍去），
當時，時取得最小值，，得（舍去），（舍去），
當時，時取得最小值，，得，
由上可得，的值是，
故答案為：．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
16．（4分）如圖，是的直徑，弦垂直平分，點是弧上的一點，連結(jié)，，，，有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是 ①③④ ．
【分析】如圖，連接，，過點作于點，交的延長線于點，在上取一點，使得．首先證明，，是等邊三角形，再證明，可以推出①②④正確．
【解答】解：如圖，連接，，過點作于點，交的延長線于點，在上取一點，使得．
垂直平分線段，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，故①正確，
，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，故③正確，
，，，
，
四邊形的面積，故④正確，
在中，，，
無法確定的值，
，故②錯誤．
故答案為：①③④．
【點評】此題考查了圓周角定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理以及等腰直角三角形性質(zhì)．注意證得，，是等邊三角形是關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分）
17．（6分）上城區(qū)要在語、數(shù)、英、科、社五科中，隨機抽出兩科進行期末抽測．
（1）抽到數(shù)學學科的概率是 ；
（2）用畫樹狀圖或列表法求抽到的學科恰好是數(shù)學和英語的概率．
【分析】（1）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽到數(shù)學學科的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
（2）由樹狀圖可得抽到的學科恰好是數(shù)學和英語的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：
共有20種等可能的結(jié)果，其中抽到數(shù)學學科的結(jié)果有：（語，數(shù)），（數(shù)，語），（數(shù)，英），（數(shù)，科），（數(shù)，社），（英，數(shù)），（科，數(shù)），（社，數(shù)），共8種，
抽到數(shù)學學科的概率是．
故答案為：．
（2）由樹狀圖可得，抽到的學科恰好是數(shù)學和英語的結(jié)果有2種，
抽到的學科恰好是數(shù)學和英語的概率為．
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
18．（6分）如圖為一圓弧形鋼梁，該鋼梁的拱高為，跨徑為．
（1）作出該圓弧所在圓的圓心；
（2）求這鋼梁圓弧的半徑長．
【分析】（1）在上取一點，連接，作線段，的垂直平分線交于點，點即為所求；
（2）過點作一點交一點．連接．設(shè)，利用勾股定理構(gòu)建方程求解．
【解答】解：（1）如圖，點即為所求；
（2）過點作一點交一點．連接．
設(shè)，
，
，
在中，，
，
．
這鋼梁圓弧的半徑長為．
【點評】本題考查作圖應用與設(shè)計作圖，垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
19．（10分）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的頂點坐標為，且過點．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）求出該函數(shù)與軸的交點坐標；
（3）畫出該二次函數(shù)的圖象，并寫出當時，自變量的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）令，即可得到關(guān)于的方程，即可得解；
（3）由（1）（2）即可作圖，結(jié)合圖象可得的范圍．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式是，
則，
解得：．
則拋物線的解析式是，即；
（2）在中令，則，解得：或3，
則函數(shù)與軸的交點坐標，；
（3）由（1）（2）得，拋物線頂點為，與軸交點坐標為，；
令，則，與軸交于．
作圖如下．
當時，．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及函數(shù)與軸、軸的交點坐標的求法，是一個基礎(chǔ)題．
20．（10分）已知：如圖，內(nèi)接于，為直徑，的平分線交于點，交于點，于點，且交于點，連結(jié)、．
（1）求證：；
（2）求證：．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，再利用等弧所對的圓周角相等可得，然后利用等量代換即可解答；
（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，再利用同角的余角相等可得，然后利用三角形外角的性質(zhì)可得，從而可得，最后根據(jù)等角對等邊，即可解答．
【解答】證明：（1）平分，
，
，
；
（2）為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
21．（10分）如圖，用長為的籬笆，一面利用墻（墻的最大長度為，圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．設(shè)花圃的寬為，面積為．
（1） （用含的代數(shù)式表示）．
（2）求出關(guān)于的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）飼養(yǎng)室長為何值時，占地面積最大？并求出的最大值．
【分析】（1）依據(jù)題意，由，從而，進而可以得解；
（2）由（1）根據(jù)矩形的面積即可寫出函數(shù)關(guān)系式，同時求出自變量取值范圍；
（3）根據(jù)（2）中所得函數(shù)關(guān)系式化為頂點式，再根據(jù)自變量的取值范圍即可求出最大面積．
【解答】解：（1）由題意，，
．
故答案為：．
（2）根據(jù)題意，得
，
，
．
答：與的函數(shù)關(guān)系式為，值的取值范圍是．
（3）由題意，．
，
對稱軸，開口向下，
當時，最大，最大值．
答：當?shù)拈L是米時，圍成的花圃的面積最大，最大面積是平方米．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用、一元二次方程的應用，解決本題的關(guān)鍵是綜合掌握二次函數(shù)和一元二次方程的應用．
22．（12分）已知二次函數(shù)．
（1）若當時，該函數(shù)有最小值，求的值．
（2）若二次函數(shù)圖象向上平移4個單位后與軸只有一個交點，求的值．
（3）已知，當時，隨著的增大而增大，試求出的一個值．
【分析】（1）先二次函數(shù)的解析式化為一般式，寫出拋物線的對稱軸方程，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到，然后解方程即可；
（2）寫出平移后的拋物線解析式，再利用判別式的意義得到△，然后解關(guān)于的方程；
（3）利用和二次函數(shù)的性質(zhì)得到當時，隨著的增大而增大，從而得到．
【解答】解：（1），
，
當時，有最小值，
即，
解得；
（2）二次函數(shù)圖象向上平移4個單位所得拋物線解析式為，
根據(jù)題意得△，解得，，
的值為或；
（3）拋物線的對稱軸為直線，
，
拋物線的對稱軸在直線的左側(cè)（或?qū)ΨQ軸為直線，
拋物線開口向上，
當時，隨著的增大而增大，
可以取0．
【點評】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程；△決定拋物線與軸的交點個數(shù)．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
23．（12分）如圖1，在半徑為2的扇形中，，點是上的一個動點（不與點、重合），點是的中點，交于，于．
（1）當時，求線段的長；
（2）在△中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由．
（3）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍．
【分析】（1）因為點是圓心，，，則，又因為，則；
（2）如圖1，連接，則，因為點和點是和的中點，則；
（3）因為，則，根據(jù)，，，則推出 過點作，垂足為點，則，根據(jù)△△，得，即，解得，所以，則．
【解答】解：（1）點是圓心，，，
，
又，
；
（2）存在，是不變的．如圖1，連接，
則，
點和點是和的中點，
；
（3），
，
，，，
過點作，垂足為點，
，
由△△，
得，
即，
解得，
，
．
【點評】本題考查圓的綜合，勾股定理，相似三角形，二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/10/25 8:56:18；用戶：佩服還小飛飛；郵箱：rFmNt06nLZ6sDiSU3_grzcMSxM@；學號：26025303

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