一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則（ ）
A.1B.C.D.
2.設(shè)a，，則“”是“a，b都不為1”的（ ）
A.必要不充分條件B.充分不必要條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
3.函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A.向左平移后的所得函數(shù)B.向右平移后的所得函數(shù)
C.向左平移后的所得函數(shù)D.向右平移后的所得函數(shù)
4.已知P是曲線C：上一點(diǎn)，直線l：經(jīng)過點(diǎn)P，且與曲線C在P點(diǎn)處的切線垂直，則實(shí)數(shù)c的值為（ ）
A.B.C.D.
5.某廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得利潤元.要使得生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，則x的值為（ ）
A.6B.7C.8D.9
6.已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
7.若偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A.B.C.D.
8.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大內(nèi)角的余弦值是（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.若，，則（ ）
A.B.
C.D.
10.已知，，則（ ）
A.當(dāng)時(shí)，
B.當(dāng)時(shí)，
C.當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為
D.當(dāng)時(shí)，，的夾角為鈍角
11.已知函數(shù)，，則（ ）
A.函數(shù)的最小正周期為
B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?br>C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
D.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有2025個(gè)零點(diǎn)，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.設(shè)集合，，若，則__________.
13.已知為鈍角，且，則__________.
14.已知函數(shù)，當(dāng)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是，則__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）
在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到x軸的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程；
（2）已知點(diǎn)為曲線C上的一點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P的切線交直線于Q，過P作直線的垂線交C于點(diǎn)N，求的面積.
16.（15分）
如圖，在三棱臺(tái)中，和都為等腰直角三角形，，，，G為線段的中點(diǎn)，H為線段上的點(diǎn)，且平面.
（1）求證：點(diǎn)H為線段的中點(diǎn)；
（2）求二面角的余弦值.
17.（15分）
已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，周長(zhǎng)為18，，且.
（1）求角A；
（2）設(shè)的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)D滿足，又線段（不含端點(diǎn)）上點(diǎn)P滿足，求線段的長(zhǎng)度.
18.（17分）
已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)存在一條對(duì)稱軸，求k的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍.
19.（17分）
在無窮數(shù)列中，若，且，則稱數(shù)列為“K數(shù)列”.設(shè)為“K數(shù)列”，記的前n項(xiàng)和為.
（1）若，求的值；
（2）若，求，，的值；
（3）證明：中總有一項(xiàng)為1或2.
數(shù)學(xué)參考答案
2024.10
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.D 2.C 3.A 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.BC 10.ABC 11.ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.2 13. 14.1
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）
解：（1）設(shè)，由題意，2分
化簡(jiǎn)得，
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為；4分
（2）由及點(diǎn)，所以，6分
由知點(diǎn)P處的切線斜率為，所以直線方程為，
令，則，8分
又直線，與，
得，所以，10分
所以面積為.13分
16.（15分）
解：（1）連接，設(shè)，連接，，
因?yàn)槠矫?，平面，平面平面?br>所以.2分
三棱臺(tái)中，有，又G為線段的中點(diǎn)，
所以，所以四邊形為平行四邊形.4分
所以O(shè)是的中點(diǎn)，所以中，得點(diǎn)H是的中點(diǎn).6分
（2）過點(diǎn)G作交于M，連接.
因?yàn)?，即，?br>由（1）知，，所以，，
又因?yàn)?，平面，所以平?8分
因?yàn)槠矫?，所?
又三角形為等腰直角三角形，G為斜邊的中點(diǎn)，
所以，且.
又因?yàn)?，，平面?br>所以平面.10分
因?yàn)槠矫?，所以?br>由，，，平面，
所以平面，所以，
故為二面角的平面角.12分
在中，，，，
所以.
在中，，，，
所以，所以，
所以二面角的余弦值為.15分
17.（15分）
解：（1）在中，，，
由正弦定理得，2分
又因?yàn)槿切沃荛L(zhǎng)為18，所以，4分
所以，
所以，即為正三角形，6分
所以；7分
（2）如圖等邊中，作于Q，設(shè)，
所以，，
因?yàn)椋?br>所以，，，11分
所以，又，所以，
所以.15分
18.（17分）
解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，
所以函數(shù)定義域?yàn)椋液瘮?shù)存在一條對(duì)稱軸，
故對(duì)稱軸為，2分
所以，
即，
所以，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式恒成立，故；4分
（2）由題意，6分
當(dāng)時(shí)，有且，
所以，故的單調(diào)減區(qū)間為；8分
當(dāng)時(shí)，令，，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；10分
（3）由（2）知，.11分
所以，
故.
令，，所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br>所以的解為或.13分
當(dāng)時(shí)，有，
因?yàn)椋?br>所以，
故在有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)椋?br>此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；15分
當(dāng)時(shí)，有，
因?yàn)椋?br>所以，
故在有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)椋?br>此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；
所以k的取值范圍為或.17分
19.（17分）
解：（1）①若，則不滿足，
②若，滿足，，滿足，，滿足，
③若，，所以不滿足，
綜上，，，；4分
（2）當(dāng)時(shí)，中的各項(xiàng)依次為5，6，7，8，9，3，4，2，3，4，2，3，…，
即數(shù)列從第6項(xiàng)開始每3項(xiàng)是一個(gè)周期，6分
所以，，，，
所以時(shí)，；
所以；10分
（3）證明：首先證明：一定存在某個(gè)，使得成立.11分
若對(duì)每一個(gè)，都有，
則在為完全平方數(shù)時(shí)，必有；
在不為完全平方數(shù)時(shí)，則必存在，使得為完全平方數(shù)，
則存在不小于的最小的完全平方數(shù)，滿足
即存在，使得，則，
即每一個(gè)完全平方項(xiàng)及其后一項(xiàng)遞減，如此進(jìn)行下去，出現(xiàn)小于或等于4的項(xiàng)，
對(duì)每一個(gè)，都有矛盾，
所以必定存在某個(gè)，使得成立.15分
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，中出現(xiàn)1；
當(dāng)，，時(shí)，中出現(xiàn)2，
綜上，中總有一項(xiàng)為1或2.17分

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