一、單選題
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．1896年，挪威生理學(xué)家古德貝發(fā)現(xiàn)，每個人有一條腿邁出的步子比另一條腿邁出的步子長的特點，這就導(dǎo)致每個人在蒙上眼睛行走時，雖然主觀上沿某一方向直線前進(jìn)，但實際上走出的是一個大圓圈！這就是有趣的“瞎轉(zhuǎn)圈”現(xiàn)象．經(jīng)研究，某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑y(tǒng)/米是其兩腿邁出的步長之差x/厘米的反比例函數(shù)，y與x之間有如下表的關(guān)系：
當(dāng)某人兩腿邁出的步長之差為0.5厘米時，他蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑為（ ）
A．7米B．14米C．21米D．28米
3．方程的解是（ ）
A．B．C．，D．，
4．如果關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，那么k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．若函數(shù)的圖象在其象限內(nèi)y的值隨x值的增大而增大，則m的取值范圍是（ ）
A．m＞﹣2B．m＜﹣2
C．m＞2D．m＜2
6．用配方法解方程，配方正確的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知電功率與電壓、電阻的關(guān)系式是：．當(dāng)兩個燈泡并聯(lián)接在電壓為的電路中時，如果它們的電功率的比，那么它們的電阻的比（ ）
A．2B．4C．D．
8．毛主席在《水調(diào)歌頭·重上井岡山》上寫道“可上九天攬月，可下五洋捉鱉”，為我們描繪了科技發(fā)展的美好藍(lán)圖．如今，我國的航天航海事業(yè)飛速發(fā)展，取得了舉世矚目的成就．2023年10月26日神舟十七號載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射成功．某商家抓住這一商機，購進(jìn)了某種航天模型玩具，每件進(jìn)價30元．經(jīng)市場預(yù)測，銷售定價為50元時，每周可賣出300件；每降低一元，每周可多賣出20件．如果商家想在一周時間獲利6080元，設(shè)每件玩具降價元，則可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
9．已知一次函數(shù)與反比例函在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，當(dāng)時，x的取值范圍是（ ）
A．B．或
C．或D．
10．定義：一元二次方程（）若滿足，那么我們稱這個方程為“和諧”方程，若滿足，那么我們稱這個方程為“友善”方程.已知關(guān)于x的方程（）既是“和諧”方程，又是“友善”方程，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．方程有兩個相等的實數(shù)根B．方程的兩個根互為相反數(shù)
C．兩根之積為0D．無實數(shù)根
二、填空題
11．一元二次方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項的和是 .
12．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，則的值是 ．
13．反比例函數(shù) 的圖像如圖所示，若的面積是3，則k 的值為 ．
14．已知反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則k的取值范圍是 ．
15．若m是方程的一個根，則代數(shù)式 ．
16．若點，在函數(shù)的圖象上，則函數(shù)值 ．（填“”或“”或“”）
17．一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個位數(shù)的平方恰好等于這個兩位數(shù)，這個兩位數(shù)是 ．
18．如圖，點B是反比例函數(shù)上一點，矩形的周長是16，正方形和正方形的面積之和為56，則反比例函數(shù)的解析式是 ．
三、解答題
19．解方程：
(1)
(2)
20．已知關(guān)于x的一元二次方程的一個根是1，求它的另一個根及m的值．
21．已知關(guān)于的方程．
(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求整數(shù)的值
22．某數(shù)學(xué)小組探究“酒精對人體的影響”，資料顯示，一般飲用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關(guān)系可近似的用如圖所示的圖象表示．國家規(guī)定，人體血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．
(1)求部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上能否駕車出行？請說明理由．
23．習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣．”學(xué)校為響應(yīng)我市全民閱讀活動，利用節(jié)假日面向社會開放學(xué)校圖書館．據(jù)統(tǒng)計，第一個月進(jìn)館200人次，進(jìn)館人次逐月增加，到第三個月末進(jìn)館288人次．若進(jìn)館人次的月平均增長率相同：
(1)求進(jìn)館人次的月平均增長率；
(2)因?qū)W校條件限制，圖書館月接納能力不超過400人次．在進(jìn)館人次月平均增長率不變的前提下，學(xué)校圖書館能否接納第四個月的進(jìn)館人次？請說明理由
24．項目式學(xué)習(xí)：
25．如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，過A作軸于點C，經(jīng)過點C的直線與反比例函數(shù)圖象交于點B，直線與x軸的負(fù)半軸交于點E．
(1)如圖1，求m的值．
(2)如圖2，若點C是線段的中點，作軸于點D，求的面積．
26．如圖，中，，，，動點從點開始沿邊向點以的速度移動，動點從點開始沿邊向點以的速度移動．如果兩點分別從兩點同時出發(fā)，移動時間為（單位：）．
(1)求的面積關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)若的面積是面積的，求的值；
(3)問：的面積能否為面積的一半？若能，請求出的值；若不能，請說明理由．

x/厘米
1
2
3
5
y/米
14
7
2.8
項目主題
反比例函數(shù)k的幾何意義之三角形面積
項目情境
已知矩形的兩鄰邊、分別落在x正半軸與y正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，的圖象分別與、交于點D、E．
活動任務(wù)一
（1）如圖（1），若頂點B的坐標(biāo)是，，則反比例函數(shù)的解析式是______．
驅(qū)動問題一
（2）在（1）的條件下，則的面積是______；
活動任務(wù)二
（3）如圖（2），當(dāng)，時，則的面積是______．
驅(qū)動問題二
（4）通過觀察、思考上題的計算方法、結(jié)果，猜想到的面積有何規(guī)律或特征嗎？請你用含，的代數(shù)式，表示的面積（寫出推理過程）．
參考答案：
1．A
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一判斷即可解答．
【詳解】解：A、符合一元二次方程的定義，是一元二次方程，故此選項符合題意；
B、含有兩個未知數(shù)，是二元二次方程，故此選項不符合題意；
C、是一元一次方程，故此選項不符合題意；
D、不是整式方程，故此選項不符合題意；
故選：A．
2．D
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
先用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再把代入反比例函數(shù)的解析式求解即可．
【詳解】解：設(shè)與之間的函數(shù)表達(dá)式為，
，
，
與之間的函數(shù)表達(dá)式為；
當(dāng)時，米，
當(dāng)某人兩腿邁出的步長之差為0.5厘米時，他蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑為28米；
故選：D．
3．C
【分析】此題考查了解一元二次方程因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
利用因式分解法求出解即可．
【詳解】解： ，
或，
解得：，，
故選：C．
4．D
【分析】此題主要考查了根的判別式，正確記憶與方程根的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
利用一元二次方程的根與有如下關(guān)系：方程有兩個實數(shù)根，，進(jìn)而求出即可．
【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，
，
解得：．
故選：D．
5．B
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得m+2＜0，從而得出m的取值范圍．
【詳解】∵函數(shù)的圖象在其象限內(nèi)y的值隨x值的增大而增大，
∴m+2＜0，
解得m＜-2．
故選B．
6．A
【分析】按照配方法解一元二次方程的方法和步驟，先移項，再在方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方（二次項系數(shù)為1），整理化簡即得答案．
【詳解】解：方程即為，
在方程的兩邊都加上，得，
即．
故選：A．
【點睛】本題主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的的方法和步驟是解此題的關(guān)鍵．
7．C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，明確經(jīng)過兩個電阻的電壓相同是解題的關(guān)鍵．
由題意得，經(jīng)過兩個電阻的電壓相同，進(jìn)而求解．
【詳解】解：由題意得，經(jīng)過兩個電阻的電壓相同，
故，
即．
故選：C．
8．D
【分析】本題考查一元二次方程解決實際問題．設(shè)每件玩具降價x元，則每件利潤為元，銷量為件，根據(jù)“商家想在一周時間獲利6080元”即可列出方程．
【詳解】設(shè)每件玩具降價元，根據(jù)題意，得
故選：D
9．B
【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)，巧用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
利用數(shù)形結(jié)合的思想即可解決問題．
【詳解】解：根據(jù)所給的函數(shù)圖象可知，
圖象在直線右側(cè)，且在軸左側(cè)的部分，
一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，
即，
圖象在直線右側(cè)的部分，
一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，
即．
所以當(dāng)或時，．
故選：B．
10．B
【分析】根據(jù)已知得出方程（）有兩個根或，再判斷即可．
【詳解】解：∵把代入方程得出：，
把代入方程得出，
∴方程（）有兩個根或，
∴，
即只有選項B正確；選項A、C、D都錯誤；
故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力．
11．
【分析】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，根據(jù)一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；叫做一次項；c叫做常數(shù)項可得答案．
【詳解】解：一元二次方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項分別為3，，
即，
故答案為：
12．
【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)、解一元一次方程等，根據(jù)題意，將代入表達(dá)式得到方程，求解即可得到答案，熟記反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，
，解得，
故答案為：．
13．
【分析】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，利用反比例函數(shù)k的幾何意義解決問題即可．
【詳解】解：令點P的坐標(biāo)為，
則，
∴．
又∵點P在反比例函數(shù)的圖象上，
∴．
故答案為：．
14．
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，得出，解出不等式，即可作答．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限
∴
∴
故答案為：
15．3
【分析】利用一元二次方程解的定義得到，把代數(shù)式變形后整體代入即可得到答案，此題考查了一元二次方程的解、求代數(shù)式的值，熟練掌握一元二次方程的解和整體代入是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵m是方程的一個根，
∴，
∴，
則，
故答案為：3
16．
【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【詳解】解：函數(shù)中，，
函數(shù)圖象的兩個分支分別位于第一、三象限，且在每一象限內(nèi)隨的增大而減小，
，
．
故答案為：．
17．25或36．
【分析】設(shè)個位數(shù)字為x，那么十位數(shù)字是（x-3），這個兩位數(shù)是[10（x-3）+x]，然后根據(jù)個位數(shù)字的平方剛好等于這個兩位數(shù)即可列出方程求解．
【詳解】解：設(shè)個位數(shù)字為x，那么十位數(shù)字是（x-3），這個兩位數(shù)是10（x-3）+x，
依題意得：
∴
∴
∴x-3=2或3．
答：這個兩位數(shù)是25或36．
故答案為：25或36．
【點睛】本題考查的是關(guān)于數(shù)字方面的一元二次方程的應(yīng)用，掌握一個兩位數(shù)的表示及根據(jù)題意列方程是解題的關(guān)鍵．
18．
【分析】首先設(shè)點的坐標(biāo)為，依題意得，，可得，，根據(jù)矩形的周長是16可得，根據(jù)正方形和正方形的面積之和為56可得，據(jù)此可求出，進(jìn)而可得反比例函數(shù)的解析式．
【詳解】解：設(shè)點的坐標(biāo)為，
∵點B是反比例函數(shù)上一點，
∴，，
∴，，
∵矩形的周長是16，
∴，
即：，
又∵正方形和正方形的面積之和為56，
∴，
由，得：，
即：，
將代入上式，得：，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為：．
故答案為：
【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解題意，設(shè)出點B的坐標(biāo)，并用點B的坐標(biāo)分別表示出矩形的周長以及正方形和正方形的面積之和是解答此題的關(guān)鍵．
19．(1)，
(2)，
【分析】本題考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）用直接開平方法求解即可；
（2）先計算判別式，用公式法求解可得．
【詳解】（1）解：，
，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
20．方程的另一個根是，m的值是2
【分析】本題考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
把代入方程，求得．再用因式分解法求解方程即可．
【詳解】解：把代入方程，得：．
把代入方程，得：．
解方程得：，．
∴方程的另一個根是，m的值是2．
21．(1)見解析；
(2)或．
【分析】（1）求出方程的判別式，然后證明＞0即可；
（2）用求根公式表示出方程的兩根，根據(jù)它們是整數(shù)以及k也是整數(shù)討論即可．
【詳解】（1）證明：，
是關(guān)于x的一元二次方程．

．
方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）解：由求根公式，得
．
．
方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且是整數(shù)，
或．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式以及公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．
22．(1)
(2)不能，見解析
【分析】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象、待定系數(shù)法的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
（1）由待定系數(shù)法可以求出的函數(shù)表達(dá)式，從而得到點坐標(biāo)，進(jìn)一步得到點坐標(biāo)，然后再利用待定系數(shù)法可以得到部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式中令，可以得到飲用低度白酒100毫升后完全醒酒的時間范圍，再把題中某人喝酒后到準(zhǔn)備駕車的時間間隔進(jìn)行比較即可得解．
【詳解】（1）解：設(shè)的函數(shù)表達(dá)式為，則：
，
，
的函數(shù)表達(dá)式為，
當(dāng)時，，
可設(shè)部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為，
由圖象可知，當(dāng)時，，
，
部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：在中，令，
可得：，
解之可得：，
晚上到第二天早上的時間間隔為，，
某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上時體內(nèi)的酒精含量高于20（毫克百毫升），
某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上不能駕車出行．
23．(1)
(2)能，理由見詳解
【分析】（1）設(shè)進(jìn)館人次的月增長率為，利用第三個月進(jìn)館人次數(shù)第一個月進(jìn)館人次數(shù)月平均增長率），即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）利用第四個月進(jìn)館人次數(shù)第三個月進(jìn)館人次數(shù)月平均增長率），可求出第四個月進(jìn)館人次數(shù)，再將其與400比較后即可得出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：設(shè)進(jìn)館人次的月增長率為，
依題意得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：進(jìn)館人次的月平均增長率．
（2）解：學(xué)校圖書館能接納第四個月的進(jìn)館人次，理由如下：
進(jìn)館人次的月平均增長率，
第四個月的進(jìn)館人次為（人次）．
，
學(xué)校圖書館能接納第四個月的進(jìn)館人次．
24．（1）；（2）4.5；（3）；（4）
【分析】本題考查反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、反比例函數(shù)k的幾何意義、矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解答此題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)點B的坐標(biāo)和矩形的性質(zhì)，求得點，再把點代入，即可求解；
（2）根據(jù)點B的坐標(biāo)和矩形的性質(zhì)，求得點D的縱坐標(biāo)為4，代入求出橫坐標(biāo)，即可得出點，從而可求得，，然后利用，即可求解；
（3）設(shè)，則，，則，，根據(jù)求解即可；
（4）設(shè)，則，，則，，根據(jù)求解即可．
【詳解】解：（1）∵B的坐標(biāo)是，，四邊形是矩形，
∴，
∵E在上，
∴，
∴；
（2）∵B的坐標(biāo)是，，D在上，
∴D的縱坐標(biāo)為4，
∵D在上，
∴D的橫坐標(biāo)，
∴，
∴，，
∵B的坐標(biāo)是，
∴，
∴
；
（3）∵，，
設(shè)，則，，
∴，，
∴；
（4）設(shè)，則，，
∴，，
∴；
即．
25．(1)8
(2)8
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求解析式以及線段的中點的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）先求出C0，2，再得出，最后運用待定系數(shù)法求解析式，即可作答．
（2）先由點C是線段的中點以及中點，坐標(biāo)公式得出，代入，得出，然后求出一次函數(shù)，得出，最后的面積，即可作答．
【詳解】（1）解：∵過A作軸于點C，經(jīng)過點C的直線
∴當(dāng)，
即C0，2，
∴，
把代入，
∴，
∴；
（2）解：依題意，∵點C是線段的中點，且C0，2，點E在軸上，
∴，
即，
∴
把代入
得
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
令，則，
∴，
∴，
∵軸，
∴的面積．
26．(1)；
(2)；
(3)不存在，理由見解析．
【分析】（）根據(jù)題意列出關(guān)系式即可；
（）列出方程，然后求解即可；
（）的面積等于的面積的一半，列出方程看看解的情況，可知是否有實數(shù)根；
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及根的判別式，讀懂題意，列出方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）由題意得：，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴當(dāng)?shù)拿娣e是面積的時，，
整理得：，
解得：；
（3）解：不存在，理由：
由（）得，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程無實數(shù)根，
則不存在某一時刻，使得的面積等于的面積的一半．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
D
B
A
C
D
B
B

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