命題教師：姚愛華 審題教師：李芹
考生注意：
1.本試卷設(shè)卷Ⅰ、Ⅱ卷兩部分，試卷所有答題都必須寫在答題卷上.
2.答題卷與試卷在試題編號上是一一對應(yīng)的，答題時(shí)應(yīng)特別注意，不能錯(cuò)位.
3.考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分為150分.
一、單選題（每題5分，共40分）
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
3.下列命題中正確的是（ ）
A.若，則B.若，則
C.若，，則D.若，，則
4.若，則有（ ）
A.最小值0B.最大值2C.最大值D.不能確定
5.設(shè)，下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A.“”是“”的充分不必要條件
B.“，”是“，”的充要條件
C.“”是“”的必要不充分條件
D.“”是“”的充分不必要條件
6.命題“，”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A.B.C.D.
7.若關(guān)于的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
8.設(shè)集合，，定義集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)是（ ）
A.5B.6C.8D.9
二、多選題（每題6分，共18分.部分選對得部分分，選錯(cuò)不給分）
9.已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A.B.C.D.
10.若正數(shù)，滿足，則（ ）
A.B.C.D.
11.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則下列說法正確的是（ ）
A.若，則且
B.若，則關(guān)于的不等式的解集也為
C.若，則關(guān)于的不等式的解集為，
D.若，且，則的最小值為
三、填空題（每題5分，共15分）
12.設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為_____.
13.二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，則實(shí)數(shù)的值為_____.
14.若不等式對于任意正實(shí)數(shù)、成立，則的范圍為_____.
四、解答題（共77分）
15.（滿分13分）
已知集合、集合（）.
（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)命題：；命題：，若命題是命題的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16.（滿分15分）
已知，為正數(shù)，且.
（1）證明：；
（2）求的最小值.
17.（滿分15分）
設(shè)二次函數(shù).
（1）若對任意實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若存在，使得函數(shù)值成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18.（滿分17分）
如圖所示，為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙上設(shè)計(jì)大小相等的左右兩個(gè)矩形宣傳欄，宣傳欄的面積之和為，為了美觀，要求海報(bào)上四周空白的寬度為，兩個(gè)宣傳欄之間的空隙的寬度為，設(shè)海報(bào)紙的長和寬分別為，.
（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少？
19.（滿分17分）
定義：已知集合（），，，則稱為“有界恒正不等式”.
（1）當(dāng)時(shí)，判斷是否為“有界恒正不等式”；
（2）設(shè)為“有界恒正不等式”，求的取值范圍.
白鷺洲中學(xué)2024—2025學(xué)年上學(xué)期高一年級第一次月考
數(shù)學(xué)試卷答案
一、單選題（每題5分，共40分）
1. A 2. B 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B 8. C
二、多選題（每題6分，共18分.部分選對得部分分，選錯(cuò)不給分）
9. AC 10. BCD 11. ACD
【詳解】A選項(xiàng)，若，即一元二次不等式無解，
則一元二次不等式恒成立，
∴且，故A正確；
B選項(xiàng)，令（），則、、，
∴可化為，
當(dāng)時(shí)，可化為，其解集不等于，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，若，
則，且和2是一元二次方程的兩根，
∴，且，∴，，
∴關(guān)于的不等式可化為，
可化為，∵，∴，解得或，
即不等式的解集為，故C正確；
D選項(xiàng)，∵，
∴且，∴，
∵，∴，令，則，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)，則，且為正數(shù)時(shí)，等號成立，
所以的最小值為，故D正確.
三、填空題（每題5分，共15分）
12. 13. 14.
14.【詳解】易知，∴，
∴.令，分式上下同除，
則，則即可，
令，則.
可轉(zhuǎn)化為：，
于是，.
∴，即時(shí)，不等式恒成立（當(dāng)時(shí)等號成立）.
四、解答題（共77分）
15.【詳解】（1）由題意可知，
又，當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，或，解得，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（2）∵命題是命題的必要不充分條件，∴集合是集合的真子集，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，（等號不能同時(shí)成立），解得，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16.【詳解】（1）證明：由，得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.
（2）解：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即或時(shí)，等號成立.
故的最小值為12.
.17【詳解】（1）對任意實(shí)數(shù)，恒成立，
即，恒成立，
即
（2）存在，使得成立，即，
只需成立，即需成立，
因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），
則，所以，
綜上得實(shí)數(shù)的取值范圍是：.
18.（滿分17分）
【詳解】（1）由題知，兩個(gè)矩形宣傳欄的長為，寬為，
所以有，整理得（）.
（2）由（1）知，即，
因?yàn)椋?，所以由基本不等式可得?br>令，則，解得（舍去）或
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，
所以海報(bào)長，寬時(shí)，用紙量最少，最少用紙量為.
19.（滿分17分）【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
不等式，解得或，
設(shè)此不等式解集為，得
∵，∴當(dāng)時(shí)，是“有界恒正不等式”；
（2）設(shè)的解集為，則，
由題可得，
①當(dāng)時(shí)，，由得，，
∴，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，由得，，
（?。┊?dāng)，即時(shí)，，
又的解集為
∴，符合題意；
（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，
，
由于，則或，解得；
（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，
，，
由于，則或，解得；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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