2.垂直于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系是__________.
3.如圖，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形由斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖，其中，則原圖形周長(zhǎng)是__________.
4.已知正方體的棱長(zhǎng)為，異面直線與之間的距離為_(kāi)_________.
5.已知分別為空間四邊形各邊的中點(diǎn)，若對(duì)角線，則的值是__________.
6.一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是，所有棱長(zhǎng)的和是，求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是__________.
7.從正方體八個(gè)頂點(diǎn)的兩兩連線中任取兩條直線，且是異面直線，則所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是__________.
8.在長(zhǎng)方體中，對(duì)角線與棱所成的角分別為，與平面，平面，平面所成的角分別為，則下列說(shuō)法中正確的是__________.
①
②；
③；
④
9.若的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離分別為2?3?4，則的重心到平面的距離為_(kāi)_________.
10.如圖，某人沿山坡的直行道向上行走，直行道與坡腳（直）線成角，山坡與地平面所成二面角的大小為.若此人沿直行道向上行走了200米，那么此時(shí)離地平面的高度為_(kāi)_________米.
11.如下圖，已知四邊形均為正方形，先將矩形沿折起，使二面角的大小為，再將正方形沿折起，使二面角的大小為，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為_(kāi)_________.
12.若空間內(nèi)一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)半平面的距離分別為和，到棱的距離為，則此二面角的大小是__________.
二?單選題（本大題共4題，滿分20分）
13.已知下列命題：（1）三點(diǎn)確定一個(gè)平面；（2）一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；（3）兩條直線確定一個(gè)平面，其中不正確的命題個(gè)數(shù)有（）.
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
14.以下命題中真命題的是（）
A.各側(cè)面都是矩形的棱柱是長(zhǎng)方體
B.有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱
C.體對(duì)角線都相等的平行六面體是長(zhǎng)方體
D.各側(cè)面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱
15.若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是（）
A.一定相等 B.一定互補(bǔ)
C.一定相等或互補(bǔ) D.以上都不對(duì)
16.為異面直線，且所成角為，過(guò)空間一點(diǎn)作直線，直線與均異面，且所成角均為，若這樣的共有四條，則的范圍為
A. B.
C. D.
三?解答題（本大題共有5題，滿分76分）
17.在長(zhǎng)方體中（如圖），，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).
（1）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.試問(wèn)四面體是否為鱉臑？并說(shuō)明理由；
（2）求直線與直線所成角的大小.
18.如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，為中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）若分別是線段的中點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)求出的比值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
19.某工廠承接制作各種彎管的業(yè)務(wù)，其中一類彎管由兩節(jié)圓管組成，且兩節(jié)圓管是形狀?大小均相同的斜截圓柱，其尺寸如圖所示（單位：），其中斜截面與底面所成的角為，若，底面直徑為8.
（1）求其中一節(jié)圓管的體積；
（2）求這一類彎管的表面積.
20.已知矩形的長(zhǎng)為2，寬為1.（如圖所示）
（1）若為的中點(diǎn)，將矩形沿折起，使得平面平面，分別求到和的距離.
（2）在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)?點(diǎn)是的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）.沿折痕將翻折成，使平面平面.又點(diǎn)分別在線段上，若沿折痕將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長(zhǎng).
21.類比思想在數(shù)學(xué)中極為重要，例如類比于二維平面內(nèi)的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理，如圖1，由射線構(gòu)成的三面角，記，二面角的大小為，則.
如圖2，四棱柱中，底面為菱形，，且.
（1）在圖2中，用三面角余弦定理求的值；
（2）在圖2中，直線與平面內(nèi)任意一條直線的夾角為，證明：；
（3）在圖2中，過(guò)點(diǎn)作平面，使平面平面，且與直線相交于點(diǎn)，求的值.
2024~2025學(xué)年華二附中高二（上）10月月考數(shù)學(xué)試卷
一?填空題
1.【答案】
2.【答案】平行
【解析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可以得到垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
3.
【答案】12
【解析】如圖所示，
在直觀圖中，設(shè)與交于點(diǎn)，則，
在原圖形中，，
所以原圖形的周長(zhǎng)是.
4.【答案】
5.【答案】10
【解析】如圖所示，由三角形中位線的性質(zhì)可得：
.
所以四邊形是平行四邊形，
因?yàn)椋?br>所以.
6.【答案】
【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為，
由題意得，
可得，
則，
所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為.
7.【答案】
【解析】利用異面直線的夾角范圍為，故其余弦值范圍為，可以分為以下幾類：
兩條棱所在直線異面時(shí)，所成角的度數(shù)是，其余弦值為0；
面對(duì)角線與棱所在直線異面時(shí)，所成角的度數(shù)是或，其余弦值為或0；
兩條面對(duì)角線異面時(shí)，所成角的度數(shù)是或，其余弦值為或0；
體對(duì)角線與棱所在直線異面時(shí)，所成角的余弦值為；
體對(duì)角線與面對(duì)角線異面時(shí)，所成角的度數(shù)是，其余弦值為0；
所以從正方體八個(gè)頂點(diǎn)的兩兩連線中任取兩條直線，且是異面直線，則所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是.
8.【答案】②③④
【解析】設(shè)，則
連接，由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知，，所以，
所以，
同理可得；
所以，
所以②③正確，①錯(cuò)誤.
連接，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得為與平面所成角，即；
，
同理可得；
所以，
所以④正確.
故答案為：②③④.
9.【答案】
【解析】（1）當(dāng)?shù)娜齻€(gè)頂點(diǎn)在平面的同側(cè)時(shí)，由公式，求得重心到平面的距離為3.
（2）當(dāng)?shù)娜齻€(gè)頂點(diǎn)中，其中一點(diǎn)與另兩點(diǎn)分別在平面的異側(cè)時(shí)，求得重心到平面的距離分別為.
綜上，答案為.
10.【答案】
【解析】如圖所示：過(guò)作平面，
交于點(diǎn)于，連接，
平面平面，故，
又因?yàn)槠矫妫?br>故平面，即即為二面角的平面角，，
故，
在中，，故，
在中，，
平面即為與地平面所成的角，
則離地平面的高度.
11.【答案】
【解析】如圖，作.
在平面內(nèi)，由平面.
在平面內(nèi)，由面.又因?yàn)榕c全等，
設(shè)平面為平面，平面為平面，平面為平面.
由面積射影定理知：
同理可得
所以，
故有.
12.【答案】或或或
【解析】點(diǎn)在二面角內(nèi)，過(guò)作平面平面，垂足分別為，
不妨令，
則平面，
于是平面，令與平面交于點(diǎn)，
連接，則，
因此是二面角的平面角或其補(bǔ)角，
當(dāng)不是鈍角時(shí)，如圖，
在中，，則，
在R中，，
因此；
在此情形下，若半平面取棱另一側(cè)部分，
則此時(shí)二面角為；
當(dāng)是鈍角時(shí)，如圖，
同理得，
因此二面角的平面角為，
在此情形下，若半平面取棱另一側(cè)部分，
則此時(shí)二面角為；
所以二面角的大小是或或或.
二?單選題
13.【答案】D
【解析】對(duì)于（1），當(dāng)三個(gè)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，所以（1）不正確；
對(duì)于（2），當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，不能確定一個(gè)平面，所以（2）不正確；
對(duì)于（3），當(dāng)兩條直線異面時(shí)，不能確定一個(gè)平面，所以（3）不正確；
故選：D
14.【答案】C
【解析】對(duì)于A：直棱柱的側(cè)面都是矩形，但不一定是長(zhǎng)方體，如直三棱柱，故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于B：有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱，但這兩個(gè)側(cè)面如果不相鄰，就不一定是直棱柱了，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：如圖，對(duì)于平行六面體，
四邊形是平行四邊形，又，
故平行四邊形為矩形，則，
由棱柱的性質(zhì)，可知為長(zhǎng)方體，故選項(xiàng)C不正確；
對(duì)于D：底面是菱形的直棱柱，滿足底面四條邊相等，但不是正四棱柱，故選項(xiàng)D不正確；
故選：C
15.【答案】D
【解析】當(dāng)兩個(gè)半平面分別垂直時(shí)，兩個(gè)二面角的大小關(guān)系不確定.可以選正方體從同一個(gè)點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)側(cè)面和一對(duì)角面.
16.【答察】A
【解析】設(shè)平面上兩條直線分別滿足，
則相交，設(shè)交點(diǎn)為，且?jiàn)A角為，
如圖示：
過(guò)空間一點(diǎn)作直線，若直線與均異面，且所成角均為，
則直線與直線所成角均為，
當(dāng)時(shí)，不存在這樣的直線，
當(dāng)時(shí)，這樣的直線只有一條，
當(dāng)時(shí)，這樣的直線有兩條，
當(dāng)時(shí)，這樣的直線有三條，
當(dāng)時(shí)，這樣的直線有四條，
當(dāng)時(shí)，這樣的直線只有一條，
故答案為：，故選A.
三?解答題
17.【答案】（1）是；（2）
【解析】（1）在長(zhǎng)方體中，
，
點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，
平面平面，
平面平面，
平面，
四面體為鱉臑.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
得，
故，
直線與直線所成角的大小為.
18.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）存在點(diǎn)，使得平面，且.
【解析】（1）證明：連接交于，再連接，
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?br>所以為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，
所以在中，，
又平面平面，
所以平面.
（2）存在點(diǎn)，使得平面.
與的交點(diǎn)記為.
當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可知，
所以，
分別是線段的中點(diǎn)，
所以，
又，且平面平面，
所以平面平面，又平面，
所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，平面.
19.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由題意可知，其中一節(jié)圓管的體積為：
（2）由題意可知，這一類彎管的表面積為：
20.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）取中點(diǎn)，過(guò)作，垂足分別為，連接，
由，得，而平面平面，平面平面，
平面，則平面，又平面，即有，
又平面，于是平面，而平面，
從而，即長(zhǎng)是點(diǎn)到直線的距離，
同理長(zhǎng)是點(diǎn)到直線的距離，
顯然，四邊形是矩形，
，
又，因此，
，
所以到和的距離分別為.
（2）作于于，連接，如圖，
在中，，
則，
，于是，
，
設(shè)，則，
翻折后，平面平面，平面平面，
平面，
則平面，而平面，于是，
，
由點(diǎn)與重合，得，
因此，整理得，解得，
所以線段的長(zhǎng)為.
21.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）2
【解析】（1）設(shè)，連接，
由菱形可得，而，故，
而，故為等邊三角形，故，
因?yàn)?，故?br>所以，而，故，
因?yàn)槠矫?，故平面?br>而平面，故平面平面，
故的二面角的平面角為直角，而，
由三角面公式可得：
（2）依題意可得，設(shè)平面內(nèi)任一條直線為，
若過(guò)點(diǎn)時(shí)，記與的夾角為，
由（1）及三面角公式可得，
因?yàn)?，所以?br>又，所以；
若不過(guò)點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作使得，記與的夾角為，
則，因?yàn)椋?br>所以，
又，所以；
綜上可得.
（3）連接，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面，
同理可證平面，又平面，
所以平面平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，而平面，所以平面平面?br>又平面平面，又平面平面，
所以，又即，
所以四邊形為平行四邊形，所以，而在的延長(zhǎng)線上，
因?yàn)?，所以?br>所以，即.

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