考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
3.本卷命題范圍：集合與邏輯?不等式?函數(shù)與導(dǎo)數(shù)?三角函數(shù)?解三角形.
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，集合，則的子集個數(shù)為（）
A. 2B. 3C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求出，進(jìn)而求出子集個數(shù).
依題意，集合，集合，
于是，所以的子集個數(shù)為.
故選：D
2. 已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，則“，使”是“是上的增函數(shù)”的（）
A. 充分不必要條件B. 充要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與充分必要條件定義判斷即可.
“，使”不能推出“是上的增函數(shù)”，
如，滿足，使，但不是上的增函數(shù).
反之，若是上的增函數(shù)，由增函數(shù)的定義，可知一定，使.
所以“，使”是“是上的增函數(shù)”的必要不充分條件.
故選：C.
3. 設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則關(guān)于的不等式的解集為（）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，給合題意，可得答案.
因?yàn)?，所以不等式的解集為?
故選：A.
4. 已知，則（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換公式化簡已知等式，再根據(jù)誘導(dǎo)公式簡化即可得到答案.
故選:A
5. 當(dāng)時，曲線與的交點(diǎn)個數(shù)是（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】作出函數(shù)與的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.
作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，
觀察在上的兩個函數(shù)的圖象，共有5個交點(diǎn).
故選：C.
6. 設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列式求解即得.
由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，
且，，而函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸方程為，
因此，解得.
故選：D
7. 已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）
A. 是以為周期的函數(shù)
B. 直線是曲線的一條對稱軸
C. 函數(shù)的最大值為，最小值為
D. 函數(shù)在上恰有2024個零點(diǎn)
【答案】C
【解析】
【分析】對于A，用周期性定義驗(yàn)證即可；對于B,用對稱性定義驗(yàn)證即可；對于C,易知是函數(shù)的一個周期，所以只需考慮在上的最大值.結(jié)合換元和二次函數(shù)，正弦函數(shù)最值問題求解即可；對于D,先研究函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)，再用周期性拓廣即可.
對于A,因?yàn)榕c不恒相等，所以不是的周期，故A錯誤；
對于B,又與不恒相等，故B錯誤；
對于C,易知是函數(shù)的一個周期，所以只需考慮在上的最大值.
①當(dāng)時，，令，
則，易知在區(qū)間上的最大值為，最小值為，
②當(dāng)時，,令，
則，知在區(qū)間上的最大值為，最小值為，
綜上所述函數(shù)的最大值為，最小值為，故C正確；
對于D,先研究函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)，由C可知,當(dāng)時，令得，
又因，在只有唯一解，即此時函數(shù)只有唯一零點(diǎn).
同理可得當(dāng)時函數(shù)也只有唯一零點(diǎn).所以函數(shù)在上恰有2025個零點(diǎn).故D錯誤.
故選:C.
8. 設(shè)，則的大小關(guān)系為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將三個數(shù)進(jìn)行恒等變形，使三個數(shù)中都出現(xiàn)，結(jié)合三個數(shù)據(jù)的形式構(gòu)造定義域在上的函數(shù)，通過求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性，確定時的函數(shù)值與的大小關(guān)系，即可比較三個數(shù)的大小.
由題意得，.
令，則，
令，則，
令，則，當(dāng)時，，
∴在上是減函數(shù)，且，，
∴，使得，
∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴在上為增函數(shù)，在為減函數(shù).
∵，，
∴當(dāng)時，，
∴在上為增函數(shù).
∵，
∴，
∴.
②令，
則，
∴在上為增函數(shù).
∵,
∴，
∴.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)比大小問題，比較兩個數(shù)大小的方法如下：
①將兩個數(shù)恒等變形，使兩數(shù)有共同的數(shù)字，
②將看成變量，構(gòu)造函數(shù)，
③分析包含的某個區(qū)域的函數(shù)單調(diào)性，
④根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.
二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 在中，角的對邊分別是，下列說法正確的是（）
A. 若，則有兩解
B. 若，則
C. 若，則為銳角三角形
D. 若，則為等腰三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦定理、余弦定理、余弦函數(shù)的單調(diào)性對選項逐一分析即可.
由正弦定理，得，
則，此時無解，故錯誤；
函數(shù)在上單調(diào)遞減，則時，，故正確；
因?yàn)椋菫閮?nèi)角，
所以，知均為銳角，則為銳角三角形，故正確；
，
由余弦定理，得，
整理得或，
即或?yàn)榈妊切位蛑苯侨切危叔e誤.
故選：.
10. 已知實(shí)數(shù)，且，則下列說法正確的是（）
A. 的最小值為1
B. 的最小值為18
C. 的最大值是
D. 的最大值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用對數(shù)運(yùn)算、指數(shù)冪的運(yùn)算結(jié)合基本不等式及配湊法對選項逐一分析即可判斷.
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
與0矛盾，故錯誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
則，故正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故正確.
故選：.
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)與的圖象有相同的切線
B. 函數(shù)有兩個單調(diào)區(qū)間
C. 存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)和有相同的最小值
D. 已知直線與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，且從左到右三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，由相同切線建立方程判斷A；求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷B；取，求出函數(shù)的最小值判斷C；確定曲線有交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求出判斷D.
對于A，設(shè)直線與曲線分別相切于點(diǎn)，，
則直線或，即或，
則有，消去得，令，
而，函數(shù)在R上的圖象連續(xù)不斷，
則函數(shù)有零點(diǎn)，即曲線有相同的切線，A正確；
對于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>令，則在和上單調(diào)遞增，又，，
于是使得，當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，則，函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，B錯誤；
對于C，當(dāng)時，令，，，，
由，得，由，得，在上遞減，在上遞增，，
由，得，由，得，在上遞減，在遞增，，C正確；
對于D，由選項C知，，，作出的大致圖象：
令二圖象交點(diǎn)，，當(dāng)直線與曲線和共有三個不同的交點(diǎn)時，
直線必經(jīng)過點(diǎn)，即，而，，
即，令，得，
解得或，由，得，
因此當(dāng)直線與曲線和共有三個不同的交點(diǎn)時，
從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，則，
而，因此，D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出直線與兩條曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)，集合，若，則__________.
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)確定的值，對函數(shù)求導(dǎo)，代入計算即得.
因?yàn)?，故或，則或，
因時，，不滿足，故.
又因，故.
故答案為：5.
13. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點(diǎn)，兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.
x∈0,π，則，
在區(qū)間0,π恰有三個極值點(diǎn)，兩個零點(diǎn)，則，
解得.
故答案為：.
14. 已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)且，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，可得的圖象關(guān)于中心對稱，在上的可導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可得的圖象關(guān)于軸對稱，可得是為周期函數(shù)，即可求解.
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
則的圖象關(guān)于中心對稱，則，
因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以，
即，得，
設(shè)為常數(shù)，令，得，
則，所以的圖象關(guān)于軸對稱，
又因的圖象關(guān)于中心對稱,
可得，
則，故函數(shù)是周期為4的函數(shù)，
因?yàn)椋?，?br>所以，所以.
故答案為：
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.
15. 已知集合，集合，且：
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的極值.
【答案】（1）；
（2）極小值1，無極大值.
【解析】
【分析】解不等式化簡集合，再利用并集的結(jié)果求出的值.
（2）由（1）的結(jié)論，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.
【小問1】
由，得，解得，則，
而，，于是，
解得，此時，符合題意，
所以.
【小問2】
由（1）知，的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值.
16. 已知函數(shù)的最小正周期為.
（1）求的值及函數(shù)的對稱中心；
（2）設(shè)，若對任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），對稱中心為
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函數(shù)的公式化簡及圖象性質(zhì)易得結(jié)果；
（2）將題干不等式轉(zhuǎn)化為，分別求出和的相應(yīng)最值，可得參數(shù)的范圍.
【小問1】
，
因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，?
所以，
令，解得.
所以的對稱中心為.
【小問2】
因?yàn)閷θ我獾亩加校?br>所以.
因?yàn)椋?br>令，當(dāng)時，，
得函數(shù).
則；
當(dāng)時，，則，
所以，即
即解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
17. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：時，在恒成立.
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）計算，根據(jù)、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）把不等式等價變形，根據(jù)、得，轉(zhuǎn)化不等式，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)分析單調(diào)性證明不等式.
【小問1】
當(dāng)時，，
由得, ，故，
由得, ，故，
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
【小問2】
要證明不等式恒成立，只需證明在上恒成立，
∵，
∴，
∴要證，只需證.
令，
則.
∵,
∴,
∴,
∴在上為減函數(shù)，
∵，
∴在上恒成立，
∴時，在恒成立.
18. 在中，角的對邊分別為.且滿足.
（1）求角的大??；
（2）若的面積，內(nèi)切圓的半徑為，求；
（3）若的平分線交于，且，求的面積的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用和角公式化簡，借助于同角三角函數(shù)式和特殊角的函數(shù)值即得；
（2）由等面積得出，，利用余弦定理得出，三式聯(lián)立即可求得邊；
（3）結(jié)合題設(shè)，分別在，和中，由正弦定理推出邊的關(guān)系式，再利用基本不等式求得的最小值，繼而即得三角形面積最小值.
【小問1】
由，
可得，所以，即，
因，則.
【小問2】
由等面積法可得：，即：，
所以①，②，
在中，由余弦定理得，即③，
由①②③解得：；
小問3】
如圖，因平分，故，
在中，設(shè)，則，
在中，由正弦定理，得，則，
在中，由正弦定理，得，則，
得，故有（*）.
在中，由正弦定理，得，則，
得代入（*）式，可得，即.
由基本不等式，得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”.
于是，.即的面積的最小值為.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解題時要注重題設(shè)條件的應(yīng)用，如三角形內(nèi)切圓半徑常與其面積聯(lián)系解題，內(nèi)角平分線常與正余弦定理結(jié)合使用，遇到兩參數(shù)的相關(guān)式求最值常與基本不等式掛鉤解題.
19. 已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)，，曲線與在處的切線的傾斜角互補(bǔ).
（1）求的值；
（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足和恒成立，則稱直線為函數(shù)和的“隔離直線”.證明：函數(shù)和之間存在唯一的“隔離直線”.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合傾斜角互補(bǔ)即斜率互為相反數(shù)即可求解；
（2）對求導(dǎo)分析單調(diào)性及最值，利用二次求導(dǎo)分析的單調(diào)性及最值，可得的解析式，繼而即可求解.
（3）由題意得點(diǎn)為函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)，，可知函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有公切線，通過構(gòu)造函數(shù)，分析單調(diào)性及最值來證明，，即可得證.
【小問1】
由題得，
所以，
由題意可知，則.
【小問2】
由，得，
所以時，f'x

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