1. 設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，，解得，，
結(jié)合得，即．
故選：C．
2. 已知復(fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以，虛部為?br>故選：A
3. 設(shè)是三條不同的直線，是兩個不同的平面，且，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)時，，所以，又，所以成立，
當(dāng)時，若與相交，則與異面，不能推導(dǎo)出，
所以“”是“”充分不必要條件．
故選：A．
4. 已知一組數(shù)據(jù)為，1，3，4，5，7，10，11，若為這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)，則的展開式中的系數(shù)為（ ）
A. 280B. C. 560D.
【答案】D
【解析】由，得，
則展開式中含的項(xiàng)為，
所以所求的系數(shù)為.
故選：D
5. 已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，雙曲線的離心率為，
所以
則雙曲線的漸近線方程為．
故選：B．
6. 如圖，高為的圓錐形容器里裝了一定量的水，下列容器內(nèi)水的體積最接近容器容積一半的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)到水面的距離為，圓錐的底面半徑為，則水面半徑為．
當(dāng)水的體積等于容器容積的一半時，有，整理得．
因?yàn)?，，，，則D選項(xiàng)更接近．
故選：D．
7. 已知數(shù)列滿足，某同學(xué)將其前20項(xiàng)中某一項(xiàng)正負(fù)號寫錯，得其前20項(xiàng)和為372，則寫錯之前這個數(shù)為（ ）
A. B. C. 100D.
【答案】B
【解析】，則其前20項(xiàng)和．
設(shè)寫錯項(xiàng)為，則，解得，，
故寫錯之前這個數(shù)為．
故選：B．
8. 已知函數(shù)，若對任意，有，則正整數(shù)的最小值為（參考值：）（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由，知都不為零，
所以在和上都沒有零點(diǎn)．
由于，故在上有零點(diǎn)，
二者結(jié)合，可知，而在和上分別取固定的符號，且符號相反．
所以，得，故，
則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
當(dāng)時，對任意，恒成立；
當(dāng)時，需滿足，即，解得，
所以正整數(shù)的最小值為2．
故選：B．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知向量滿足，，則（ ）
A. 與的夾角為B. 與的夾角為
C. D.
【答案】ACD
【解析】對于A,B，設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，所以?br>得，所以，，故A正確，B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故，故D正確．
故選：ACD．
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的定義域?yàn)锽. 的最小正周期為
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞減D. 在區(qū)間上僅有2個零點(diǎn)
【答案】ABD
【解析】對于A，因?yàn)?，所以且，所以?br>故的定義域?yàn)?，故A正確；
對于B，因?yàn)楹瘮?shù)和的最小正周期均為，
所以的最小正周期為，故B正確；
對于C，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，
函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞減，且值域?yàn)椋?br>函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞減，且值域?yàn)?
所以函數(shù)與在區(qū)間上均單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)錯誤；
對于D，令，則，解得，
在區(qū)間上有2個解，故D項(xiàng)正確．
故選：ABD．
11. 平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任一點(diǎn)，滿足到點(diǎn)的距離的倒數(shù)和為定值，即，則下列說法正確的是（ ）
A. 對于不同的值，曲線總是關(guān)于軸對稱
B. 當(dāng)時，曲線經(jīng)過原點(diǎn)
C. 當(dāng)時，的取值范圍為
D. 當(dāng)時，軸上存在4個不同的點(diǎn)在曲線上
【答案】ACD
【解析】對于A，因?yàn)?，可知為線段的中點(diǎn)，
又動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，
則，，可得，所以曲線關(guān)于軸對稱，故A正確；
對于B，當(dāng)時，將原點(diǎn)代入，得，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，可得．
因?yàn)?，即，解得，?br>令，則，由對勾函數(shù)可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，，可得，
所以，故C正確；
對于D，當(dāng)時，設(shè)曲線在軸上的點(diǎn)為，由題意得，
因?yàn)榍€圖象關(guān)于軸對稱，不妨考慮的情形，
當(dāng)時，方程化為，解得，
當(dāng)時，方程化為，解得，
故時，軸上有2個點(diǎn)，所以軸上存在4個不同的點(diǎn)在曲線上，故D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，則______．
【答案】4
【解析】因?yàn)?，則，
又，
所以，
所以．
故答案為：4.
13 如圖所示，兩直角三角形共斜邊，且，設(shè)，則______．

【答案】
【解析】，由題意可得，，，，因?yàn)閯t
兩式平方相加可得，即，所以．
故答案為：.
14. 已知數(shù)集，，現(xiàn)隨機(jī)從和中各抽取3個不同的數(shù)分別構(gòu)成最大的三位數(shù)和，則事件“”的概率為______．
【答案】
【解析】可分為兩類：
中有7時和中無7時，
由題意可得：（中有7），（中無7）．
若中含7，則；
若中無7的情況下：，
此時；
所以．
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
15. 在中，所對的邊分別為．
（1）求；
（2）若，求的面積．
解：（1）由正弦定理得，即．
由余弦定理得．
因?yàn)?，所以?br>（2）由三角形內(nèi)角和性質(zhì)得，
則，
整理可得，則，
由，解得，則，
由，則，
由正弦定理可得，則，
所以的面積為．
16. 如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折至，得四棱錐，且平面平面，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，且．
（1）求證：；
（2）當(dāng)時，若點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，求直線與平面所成角的正弦值．
（1）證明：連接，由，得，
由，得，
所以，
所以，即，
由平面平面平面，平面平面，
得平面，
又平面，所以，
又平面，
所以平面，且平面，
所以．
（2）解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面一個法向量為，，，
則令，則，
平面的一個法向量為，
由題可知，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為．
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且滿足．
（1）求橢圓的方程；
（2）在直線上取一點(diǎn)，連接交橢圓于兩點(diǎn)、，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
解：（1）因?yàn)闉闄E圓上一點(diǎn)，且滿足，則，
由題意知，得，
故橢圓的方程為．
（2）若直線的斜率不存在，則該直線與橢圓相離，不合乎題意，
由題意可知，直線不與軸重合，
依題意，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，
設(shè)、，
聯(lián)立消得，
則，
可得①，②，
由，，，
，整理得③，
由①③得，代入②，解得，
直線的方程為或，
若直線的方程為，則點(diǎn)；
若直線的方程為，則點(diǎn).
綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或．
18. 已知函數(shù)．
（1）若曲線在處的切線平行于直線，求的值以及函數(shù)的最小值；
（2）證明：對一切的，都有；
（3）當(dāng)時，若曲線與曲線存在兩交點(diǎn)，記直線的斜率為，證明：．
（1）解：由題意，，所以，
所以，
法1：，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以．
法2：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以函數(shù)的最小值為4；
（2）證明：先證，則．
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)，則，所以；
同理，當(dāng)，則也成立；
所以，則．
（3）證明：設(shè)，其中，由（2）知，則，
取，得，，所以①，
將和相減，得，，所以代入①，
所以，即．
19. 經(jīng)典比特只能處于“0”態(tài)或“1”態(tài)，而量子計算機(jī)的量子比特可同時處于“0”或“1”的疊加態(tài)，某臺量子計算機(jī)以序號的粒子自旋狀態(tài)為量子比特，每個粒子的自旋狀態(tài)等可能的處于“0”態(tài)（下旋狀態(tài)）或“1”態(tài)（上旋狀態(tài)），現(xiàn)記序號為奇數(shù)的粒子中，處于“0”態(tài)的個數(shù)為，序號為偶數(shù)的粒子中，處于“1”態(tài)的個數(shù)為．
（1）當(dāng)時，求隨機(jī)變是的分布列和期望；
（2）在這個粒子中，求事件“”的概率；
（3）在這個粒子中，令隨機(jī)變量，證明：．
（參考公式：）
（1）解：隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，
，
所以隨機(jī)變量的分布列為
所以隨機(jī)變量的期望為；
（2）解：（或）；
（3）證明：令，則可取，故可取，
當(dāng)取時，
，
故，
從而，
整理，得，
，又因，
所以，
又
，
根據(jù)，可得．
可得．
由（2）知，所以．0
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