【題型綜述】用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（1）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的定義域→求導(dǎo)→解不等式＞0得解集→求，得函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．一般地，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，＞0在這個(gè)區(qū)間是增函數(shù)一般地，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，＜0在這個(gè)區(qū)間是減函數(shù)（2）單調(diào)性的應(yīng)用（已知函數(shù)單調(diào)性）一般地，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，在這個(gè)區(qū)間是增(減)函數(shù)≥。常用思想方法：[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，說(shuō)明導(dǎo)數(shù)大于或等于零恒成立．，而函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞減，說(shuō)明導(dǎo)數(shù)小于或等于零恒成立．  【典例指引】例1．已知函數(shù)， ．⑴ 若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；⑵ 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．[來(lái)源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K]【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得曲線 在點(diǎn)處的切線方程，代入點(diǎn)，計(jì)算可得答案；
（2）由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分函數(shù)在（上單調(diào)增與單調(diào)減兩種情況討論，綜合即可得答案；
若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在恒成立，，得； 學(xué)科&網(wǎng)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在恒成立，，得， 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為例2．已知函數(shù)．（x＞0）（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）函數(shù)求導(dǎo)，令得函數(shù)增區(qū)間，令得函數(shù)的減區(qū)間；（2）函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)，只需在上恒成立即可．點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出．導(dǎo)數(shù)專題在高考中的命題方向及命題角度：從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例3．已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的范圍【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)切線的傾斜角為得到切線的斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以知道處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，建立等量關(guān)系，求出a即可;
（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可轉(zhuǎn)化成，對(duì)恒成立，將參數(shù)a分離，轉(zhuǎn)化成當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，利用均值不等式求出不等式右邊函數(shù)的最小值，進(jìn)而得實(shí)數(shù)a的范圍【新題展示】1．【2019貴州遵義聯(lián)考】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得函數(shù)的極值.（2）依題意可知函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為非正數(shù)，列不等式后利用分離常數(shù)法，求解出的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)， ， ，由解得，由解得，故當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，無(wú)極小值.2．【2019陜西西安市期末】已知函數(shù)（1）求的極值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）由已知可得，求出其導(dǎo)函數(shù)，解得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求得極值（2）由函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，可得恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式求得最值可得答案【解析】(2)，，由題意可知恒成立，即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，則【同步訓(xùn)練】1．已知函數(shù)．（1）若的圖像在處的切線與軸平行，求的極值；（2）若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）求出，由求得，研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求得的極值；（2）化簡(jiǎn)，可得，對(duì)求實(shí)數(shù)分三種情況討論，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，驗(yàn)證函數(shù)在內(nèi)是否單調(diào)遞增即可得結(jié)果． （2），則 ．設(shè)，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， ，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足條件；②當(dāng)時(shí)，是開(kāi)口向下的拋物線，方程有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)較大實(shí)根為．當(dāng)時(shí)，有，即，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，故不符合條件；③當(dāng)時(shí)，由可得在內(nèi)恒成立，學(xué)科&網(wǎng)故只需或，即或，解之得．綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是．學(xué)科&網(wǎng)2．已知函數(shù)．（1）若在上遞增，求的取值范圍；[來(lái)源:Zxxk.Com]（2）證明：．【思路引導(dǎo)】（1）要使在上遞增，只需，且不恒等于0，所以先求得函數(shù)的增區(qū)間， 是增區(qū)間的子區(qū)間．（2）當(dāng)時(shí)， ， 顯然成立． 當(dāng)時(shí)，即證明 ，令（），即求，由導(dǎo)數(shù)可證．∴，即．綜上， ．3．已知函數(shù)．（1）若曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，求的表達(dá)式；（2）若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的方程，求出a的值，計(jì)算g（1）=0，求出b的值，從而求出g（x）的解析式即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，x∈[1，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．點(diǎn)睛：求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為： ．若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為．4．設(shè)函數(shù)．（1）若時(shí)，取得極值，求的值；（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)若時(shí)，取得極值得，解之即可；（2）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)可轉(zhuǎn)化成只需在內(nèi)有恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立不等式關(guān)系，解之即可．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題．利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見(jiàn)方法：① 視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的; ② 利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍，本題(2)是利用方法②求解的．5．己知函數(shù)，．（I）求函數(shù)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （II）設(shè)，若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）先求得， 時(shí)， 恒成立，可證明時(shí)， ，可得在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)定理可得結(jié)果；（2）化簡(jiǎn)為分段函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論兩種情況，分別分離參數(shù)求最值即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．（II）由（Ⅰ）知：當(dāng)時(shí)， ＞0，當(dāng)時(shí)， ＜0．∴當(dāng)時(shí)， =求導(dǎo)，得由于函數(shù)在上是增函數(shù)， 故在， 上恒成立． ①當(dāng)時(shí)， ≥0在上恒成立，即在上恒成立，記， ，則，，所以， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴min= 極小值= ，故“在上恒成立”，只需 ，即．6．已知函數(shù)的切線方程為y=3x+1．(1) 若函數(shù)處有極值，求的表達(dá)式；(2) 若函數(shù)在區(qū)間[－2，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【思路引導(dǎo)】已知函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率，曲線與切線都經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，函數(shù)的極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零，列方程組求出；函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，說(shuō)明導(dǎo)數(shù)大于或等于零恒成立，求出的范圍．【點(diǎn)睛】已知曲線在某點(diǎn)處的切線方程，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率，曲線與切線都經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，函數(shù)的極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零，列方程組求出；函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，說(shuō)明導(dǎo)數(shù)大于或等于零恒成立．，而函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞減，說(shuō)明導(dǎo)數(shù)小于或等于零恒成立．[來(lái)源:Z&xx&k.Com]7．已知函數(shù)．            （1）若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）先求得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，即可得實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得在上恒成立，即，在上恒成立，即在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出結(jié)論．試題解析：（1），由已知，解得．學(xué)科&網(wǎng)(2)由，得，由已知函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù)，則，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令在上 ，在上為減函數(shù)，，．學(xué)科&網(wǎng)【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題． 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1) 已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2) 己知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3) 巳知切線過(guò)某點(diǎn)(不是切點(diǎn)) 求切點(diǎn), 設(shè)出切點(diǎn)利用求解．8．（本題15分）已知函數(shù)．（I）若在處的切線方程為，求的值；（II）若在上為增函數(shù)，求得取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義布列所求量的方程組即可；（2）因?yàn)?/span>在上為增函數(shù)，所以在上恒成立，變量分離求最值即可．點(diǎn)睛：高考對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：（1）已知切點(diǎn)求切線方程；（2）已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)或曲線方程；[來(lái)源:Zxxk.Com]（3）已知曲線求切線傾斜角的取值范圍．9．已知函數(shù)  （I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】 (Ⅰ)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分別討論 和 兩種情況即可；(Ⅱ)結(jié)合(I)的結(jié)論，得到,據(jù)此可得． 10．已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，即在上恒成立，令，可得在上恒成立，可令，由且，解不等式即可得到所求范圍．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程．11．已知函數(shù) ．  （Ⅰ）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；  （Ⅱ）討論的單調(diào)性．[來(lái)源:學(xué).科.網(wǎng)]【思路引導(dǎo)】（Ⅰ） 在上恒成立，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造 ， ，求最值即可．（Ⅱ）=，分討論可得單調(diào)區(qū)間．試題解析：   （Ⅱ）定義域?yàn)?/span>=，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]     因?yàn)?/span>，所以，因此方程有兩個(gè)根，， ，，當(dāng)，即時(shí)，學(xué)科&網(wǎng)當(dāng)變化時(shí)， 、變化如下表[來(lái)源:學(xué)§科§網(wǎng)] 0 ↗ ↘[來(lái)源:學(xué)_科_網(wǎng)Z_X_X_K]      由上表知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)即時(shí)當(dāng)變化時(shí)， 、變化如下表 00 ↘ ↗ ↘[來(lái)源:Z#xx#k.Com] 12．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性；（2）若在上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后因式分解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的知識(shí)可寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）當(dāng)時(shí)，可判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒為非負(fù)數(shù)，函數(shù)遞增符合題意．當(dāng)和時(shí)，利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判斷出不符合題意．故．點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的求解，考查利用導(dǎo)數(shù)解決已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上遞增求參數(shù)的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．第一問(wèn)已知的值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其基本步驟是：求函數(shù)導(dǎo)數(shù)、對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行通分因式分解、畫出導(dǎo)函數(shù)圖像、畫出原函數(shù)圖像，最后根據(jù)圖像來(lái)研究題目所求的問(wèn)題．第二問(wèn)由于一階導(dǎo)數(shù)無(wú)法解決問(wèn)題，故考慮用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)解決． 

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