題型一 靈活運用和與差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化簡求值
通過兩角和與差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的變形進行化簡求值。 在應用同角三角函數(shù)的關系或兩角和與差的三角函數(shù)公式求值時，需要注意解題的規(guī)范性，一要注意角的范圍對三角函數(shù)值的符號的影響；二要注意“展示”三角函數(shù)的公式．否則，就會因為不規(guī)范而導致失分．
例1、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知，且，則
A．B．
C．D．
變式1、【2019年高考江蘇卷】已知，則的值是 ▲ .
變式2、【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=
A．–2B．–1
C．1D．2
變式3、（2018年江蘇高考題）已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．
變式4、、(2019通州、海門、啟東期末）設α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，已知向量a＝(eq \r(6)sinα，eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，csα－\f(\r(6),2)))，且a⊥b.
(1) 求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值；
(2) 求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(7π,12)))的值．
題型二 探究角度之間的關系
在三角函數(shù)的化簡求值中，往往出現(xiàn)已知角與所求角不同，此時要觀察兩個角度之間的關系，尋求角度之間的特殊性，通過二倍角、互補、互與余等公式進行轉化。
應用三角公式解決問題的三個變換角度
(1)變角：目的是溝通題設條件與結論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.
(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.
(3)變式：根據(jù)式子的結構特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.
例2、（2020屆山東省濱州市三校高三上學期聯(lián)考）若，則（ ）．
A．B．C．D．
變式1、【2020屆廣東省汕頭市金山中學高三下學期第三次模擬】若sinπ6?α=13，則cs2π3+2α=______．
變式2、求值：．
變式3、(2017蘇錫常鎮(zhèn)調研）已知sinα＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，則taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝________.
題型三、運用構造法化簡與求值
通過構造方程或者轉化為關于的一元二次函數(shù)來解決。
例3、(2019揚州期末）設a，b是非零實數(shù)，且滿足eq \f(asin\f(π,7)＋bcs\f(π,7),acs\f(π,7)－bsin\f(π,7))＝taneq \f(10π,21)，則eq \f(b,a)＝________．
變式、求函數(shù)的值域
二、達標訓練
1、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知α∈(0，)，2sin2α=cs2α+1，則sinα=
A． B．
C． D．
2、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
3、【2020年高考江蘇】已知=，則的值是 ▲ ．
4、（2020屆百校聯(lián)盟高三復習全程精練）已知sinα?π3=223，則sin2α?π6=________．
5、（2020屆全國100所名校高考模擬金典卷）若sinπ6?α=33，則sinπ6+2α=_________．
6、(2019鎮(zhèn)江期末）若2cs2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，則sin2α＝________．
7、(2019無錫期末）已知θ是第四象限角，且 csθ＝eq \f(4,5)，那么eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－6π)))的值為________．
8、(2016鎮(zhèn)江期末） 由sin 36°＝cs 54°，可求得cs 2 016°的值為________．
專題24 三角函數(shù)中的化簡求值
一、題型選講
題型一 靈活運用和與差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化簡求值
通過兩角和與差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的變形進行化簡求值。 在應用同角三角函數(shù)的關系或兩角和與差的三角函數(shù)公式求值時，需要注意解題的規(guī)范性，一要注意角的范圍對三角函數(shù)值的符號的影響；二要注意“展示”三角函數(shù)的公式．否則，就會因為不規(guī)范而導致失分．
例1、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知，且，則
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故選：A．
變式1、【2019年高考江蘇卷】已知，則的值是 ▲ .
【答案】
【解析】由，得，
解得，或.
，
當時，上式
當時，上式=
綜上，
變式2、【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=
A．–2B．–1
C．1D．2
【答案】D
【解析】，，
令，則，整理得，解得，即.
故選：D．
變式3、（2018年江蘇高考題）已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．
【解析】分析：先根據(jù)同角三角函數(shù)關系得，再根據(jù)二倍角余弦公式得結果；（2）先根據(jù)二倍角正切公式得，再利用兩角差的正切公式得結果.
詳解：解：（1）因為，，所以．
因為，所以，
因此，．
（2）因為為銳角，所以．
又因為，所以，
因此．
因為，所以，
因此，．
變式4、、(2019通州、海門、啟東期末）設α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，已知向量a＝(eq \r(6)sinα，eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，csα－\f(\r(6),2)))，且a⊥b.
(1) 求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值；
(2) 求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(7π,12)))的值．
解析：(1) 因為a＝(eq \r(6)sina，eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，csα－\f(\r(6),2)))，且a⊥b.
所以eq \r(6)sina＋eq \r(2)csα＝eq \r(3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(6),4).2分
因為α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，所以α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，(4分)
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(10),4)，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))))＝eq \f(\r(6),4)
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(15),5).(6分)
(2) 由(1)得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),4)))eq \s\up12(2)－1＝eq \f(1,4).(8分)
因為α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，所以2α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(15),4).(10分)
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(7π,12)))＝cs]
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))cseq \f(π,4)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(π,3)))sineq \f(π,4)(12分)
＝eq \f(\r(2)－\r(30),8).(14分)
題型二 探究角度之間的關系
在三角函數(shù)的化簡求值中，往往出現(xiàn)已知角與所求角不同，此時要觀察兩個角度之間的關系，尋求角度之間的特殊性，通過二倍角、互補、互與余等公式進行轉化。
應用三角公式解決問題的三個變換角度
(1)變角：目的是溝通題設條件與結論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.
(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.
(3)變式：根據(jù)式子的結構特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.
例2、（2020屆山東省濱州市三校高三上學期聯(lián)考）若，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
．
故選．
變式1、【2020屆廣東省汕頭市金山中學高三下學期第三次模擬】若sinπ6?α=13，則cs2π3+2α=______．
【答案】?79
【解析】已知sinπ6?α=13，且π6?α+π3+α=π2，則csπ3+α=sinπ6?α=13，
故cs2π3+2α=2cs2π3+α?1=?79．
變式2、求值：．
【答案】
【解析】 因為
．
變式3、(2017蘇錫常鎮(zhèn)調研）已知sinα＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，則taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝________.
【答案】：2eq \r(3)－4
解法1 由題意可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)－\f(π,12)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)＋\f(π,12)))，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))cseq \f(π,12)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))·sineq \f(π,12)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))cseq \f(π,12)＋3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))sineq \f(π,12)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－2taneq \f(π,12)＝－2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,4)))＝－eq \f(2\r(3)－2,1＋\r(3))＝2eq \r(3)－4.
解法2 taneq \f(π,12)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,4)))＝eq \f(\r(3)－1,1＋\r(3))＝2－eq \r(3).因為sinα＝3sinαcseq \f(π,6)＋3csαsineq \f(π,6)，即sinα＝eq \f(3\r(3),2)sinα＋eq \f(3,2)csα，即tanα＝eq \f(3,2－3\r(3))，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(tanα＋tan\f(π,12),1－tanαtan\f(π,12))＝eq \f(\f(3,2－3\r(3))＋2－\r(3),1－\f(3,2－3\r(3))×?2－\r(3)?)＝eq \f(16－8\r(3),－4)＝2eq \r(3)－4.
題型三、運用構造法化簡與求值
通過構造方程或者轉化為關于的一元二次函數(shù)來解決。
例3、(2019揚州期末）設a，b是非零實數(shù)，且滿足eq \f(asin\f(π,7)＋bcs\f(π,7),acs\f(π,7)－bsin\f(π,7))＝taneq \f(10π,21)，則eq \f(b,a)＝________．
【答案】、 eq \r(3)
【解析】解法1(方程法) 因為a，b是非零實數(shù)，由eq \f(asin\f(π,7)＋bcs\f(π,7),acs\f(π,7)－bsin\f(π,7))＝taneq \f(10π,21)，得eq \f(tan\f(π,7)＋\f(b,a),1－\f(b,a)tan\f(π,7))＝taneq \f(10π,21)，解得eq \f(b,a)＝eq \f(tan\f(10π,21)－tan\f(π,7),1＋tan\f(10π,21)·tan\f(π,7))，即eq \f(b,a)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,21)－\f(π,7)))＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3).
解法2(系數(shù)比較法) taneq \f(10π,21)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,7)＋\f(π,3)))＝eq \f(tan\f(π,7)＋\r(3),1－\r(3)tan\f(π,7))＝eq \f(sin\f(π,7)＋\r(3)cs\f(π,7),cs\f(π,7)－\r(3)sin\f(π,7))，taneq \f(10π,21)＝eq \f(sin\f(π,7)＋\f(b,a)cs\f(π,7),cs\f(π,7)－\f(b,a)sin\f(π,7))＝eq \f(sin\f(π,7)＋\r(3)cs\f(π,7),cs\f(π,7)－\r(3)sin\f(π,7))，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3).
變式、求函數(shù)的值域
【答案】、
【解析】=
=-2
所以函數(shù)的值域為：
二、達標訓練
1、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知α∈(0，)，2sin2α=cs2α+1，則sinα=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，又，，又，，故選B．
2、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
，

.
故選：A
3、【2020年高考江蘇】已知=，則的值是 ▲ ．
【答案】
【解析】
故答案為：
4、（2020屆百校聯(lián)盟高三復習全程精練）已知sinα?π3=223，則sin2α?π6=________．
【答案】?79
【解析】sin2α?π6=sin2α?π3+π2=cs2α?π3=1?2sin2α?π3=?79
5、（2020屆全國100所名校高考模擬金典卷）若sinπ6?α=33，則sinπ6+2α=_________．
【答案】13
【解析】sinπ6+2α=csπ2?π6+2α=csπ3?2α=1?2sin2π6?α=1?2×332=13．
故答案為：13.
6、(2019鎮(zhèn)江期末）若2cs2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，則sin2α＝________．
【答案】、 －eq \f(7,8)
【解析】、解法1 設eq \f(π,4)－α＝βeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)π，－\f(π,4)))))，則α＝eq \f(π,4)－β.由2cs2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，得2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2β))＝2sin2β＝4sinβcsβ＝sinβ，而sinβ≠0，故csβ＝eq \f(1,4).所以sin2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2β))＝cs2β＝2cs2β－1＝－eq \f(7,8).
解法2 由2cs2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))得2(csα＋sinα)(csα－sinα)＝eq \f(\r(2),2)(csα－sinα)．又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，則csα－sinα≠0，故csα＋sinα＝eq \f(\r(2),2).兩邊平方得sin2α＝－eq \f(7,8).
7、(2019無錫期末）已知θ是第四象限角，且 csθ＝eq \f(4,5)，那么eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－6π)))的值為________．
【答案】eq \f(5\r(2),14)
【解析】、因為θ是第四象限角，所以sinθ

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