一、單選題
1．已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長均為2，則該正四棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
2．已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，，則D．若，，則
3．如圖，空間四邊形中，點在線段上，且，為的中點，，則，，的值分別為（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
4．已知，，是三個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
5．已知四棱錐的正視圖和側(cè)視圖均為邊長為2（單位：cm）的正三角形，俯視圖為正方形，則該四棱錐的體積（單位：）是（ ）
A．B．C．D．
6．在正方體中，則直線與直線所成角大小為（ ）
A．B．C．D．
7．正方體的棱長為，為側(cè)面內(nèi)動點，且滿足，則△面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．在直三棱柱中，.、分別是、的中點，，則與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，則以下結(jié)論錯誤的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1B．AD⊥平面CB1D1
C．AC1⊥BDD．異面直線AD與CB1所成的角為45°
10．已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，則實數(shù)m的值等于（ ）
A．B．－2
C．0D．或－2
11．正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．異面
C．平行D．垂直
12．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．0C．D．
13．把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點（皮球不變形），則皮球的半徑為（ ）
A． cmB．10 cm
C． cmD．30 cm
14．一種特殊的四面體叫做“鱉臑”，它的四個面均為直角三角形.如圖，在四面體PABC中，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點，連接AE，AF，EF（此外不再增加任何連線），則圖中直角三角形最多有（ ）
A．6個B．8個
C．10個D．12個
15．在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，且，則四棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
16．給出下列命題，其中正確的有（ ）
A．空間任意三個向量都可以作為一組基底
B．已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底
C．已知空間向量，，則
D．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是
17．如圖，正方體的棱長為4，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．直線與是異面直線
B．直線與平行
C．直線與垂直
D．三棱錐的體積為
18．如圖，正方體的棱長為1，點是棱上的一個動點（包含端點），則下列說法正確的是（ ）
A．存在點，使面
B．二面角的平面角大小為
C．的最小值是
D．到平面的距離最大值是
19．已知、是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面.下列說法中正確的是（ ）
A．若，，，則B．若，，則
C．若，，，則D．若，，，則
20．在下列條件中，不能使M與A，B，C一定共面的是（ ）
A．＝2－－；B．；
C．；D．＋＋＋＝0；
21．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（ ）
A．B．
C．D．
22．設(shè)一空心球是在一個大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個有相同球心的小球(稱為內(nèi)球)，已知內(nèi)球面上的點與外球面上的點的最短距離為1，若某正方體的所有頂點均在外球面上?所有面均與內(nèi)球相切，則（ ）
A．該正方體的核長為2B．該正方體的體對角線長為
C．空心球的內(nèi)球半徑為D．空心球的外球表面積為
23．在正三棱柱中，，，與交于點，點是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．存在點，使得
C．三棱錐的體積為
D．直線與平面所成角的余弦值為
第II卷（非選擇題）
三、填空題
24．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、BC的中點，則三棱錐N-DMC1的體積為___________.
25．已知正三棱錐的底面邊長是，側(cè)棱與底面所成角為，則此三棱錐的體積為__．
26．如圖，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，，則異面直線與AC所成角的余弦值是__________________．
27．已知圓臺上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺的外接球的表面積為______．
28．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長為3，且，則__.
29．如圖，在空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且，N為BC的中點，則用向量表示向量________．
30．已知四棱錐P﹣ABCD的頂點都在球O的球面上，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥平面ABCD.若四棱錐P﹣ABCD的體積為，則球O的表面積為___________.
任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題
一、單選題
1．在三棱錐P－ABC中，，△PAB，△PAC，△PBC的面積分別記為，且，則此三棱錐的內(nèi)切球的半徑為（ ）
A．B．
C．D．
2．在立體幾何探究課上，老師給每個小組分發(fā)了一個正四面體的實物模型，同學(xué)們在探究的過程中得到了一些有趣的結(jié)論.已知直線平面，直線平面，F(xiàn)是棱BC上一動點，現(xiàn)有下列三個結(jié)論：
①若分別為棱的中點，則直線平面；
②在棱BC上存在點F，使平面；
③當(dāng)F為棱BC的中點時，平面平面.
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．③B．①③C．①②D．②③
3．已知圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為4，高為7，若點A、B、C在下底面圓的圓周上，且，點Р在上底面圓的圓周上，則的最小值為（ ）
A．246B．226C．208D．198
4．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和，例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．不確定
6．如圖已知正方體，點是對角線上的一點且，，則（ ）
A．當(dāng)時，平面B．當(dāng)時，平面
C．當(dāng)為直角三角形時，D．當(dāng)?shù)拿娣e最小時，
7．如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于a，點E、F、G分別為AB、AD、DC的中點，則a2等于（ ）
A．2?B．2?C．2?D．2?
8．如圖一，矩形中，，交對角線于點，交于點．現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點為棱的中點，則下列判斷一定成立的是（ ）
A．B．平面
C．平面D．平面平面
9．點M是棱長為3的正方體中棱的中點，，動點P在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，且平面，則的長度范圍為（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，在正方體中，點M在線段(不包含端點)上運動，則下列判斷中正確的是（ ）
①平面； ②異面直線與所成角的取值范圍是；
③平面恒成立； ④三棱錐的體積不是定值．
A．①③B．①②C．①②③D．②④
11．在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積是（ ）
A．B．100πC．D．20π
12．已知圓錐的母線長為，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
13．如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，，，點是的中點，過，，三點的平面與平面的交線為，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
（1）平面；
（2）平面；
（3）直線與所成角的余弦值為；
（4）平面截四棱錐所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為．
A．1個B．2個
C．3個D．4個
14．在四棱錐中，平面平面，且是邊長為2的正三角形，是正方形，則四棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
15．已知在正四面體ABCD中，E是AD的中點，P是棱AC上的一動點，BP＋PE的最小值為，則該四面體內(nèi)切球的體積為（ ）
A．πB．π
C．4πD．π
16．在棱長為2的正方體中，點，，，分別為棱，，，的中點，若平面平面，且平面與棱，，分別交于點，，，其中點是棱的中點，則三棱錐的體積為（ ）
A．1B．C．D．
17．已知球，過其球面上，，三點作截面，若點到該截面的距離是球半徑的一半，且，，則球的表面積為（ ）（注：球的表面積公式
A．B．C．D．
18．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1，P是A1C1的中點，則異面直線BC與AP所成角的余弦值為（ ）
A．0B．C．D．
19．一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為、、，則（ ）
A．B．C．D．
20．如圖，二面角的大小是，線段．，與所成的角為．直線與平面所成的角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
21．如圖，已知正方體，則四個推斷正確的是（ ）
A．B．
C．平面平面D．平面平面
22．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為的中點，則（ ）
A．直線與直線垂直B．直線與平面平行
C．平面截正方體所得的截面面積為D．點C到平面的距離為
23．正四棱錐的所有棱長為2，用垂直于側(cè)棱的平面截該四棱錐，則（ ）
A．截面可以是三角形
B．與底面所成的角為
C．與底面所成的角為
D．當(dāng)平面經(jīng)過側(cè)棱中點時，截面分四棱錐得到的上下兩部分幾何體體積之比為3：1
24．如圖，等腰直角三角形的斜邊為正四面體的側(cè)棱，，直角邊繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（ ）
A．三棱錐體積的最大值為
B．三棱錐體積的最小值為
C．存在某個位置，使得
D．設(shè)二面角的平面角為，且，則
25．如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中不正確的是（ ）
A．
B．平面
C．向量與的夾角是60°
D．直線與AC所成角的余弦值為
26．正方體中，是棱的中點，在側(cè)面上運動，且滿足平面.以下命題正確的有（ ）
A．側(cè)面上存在點，使得
B．直線與直線所成角可能為
C．平面與平面所成銳二面角的正切值為
D．設(shè)正方體棱長為1，則過點，，的平面截正方體所得的截面面積最大為
27．如圖，邊長為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動點M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且.則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．當(dāng)時，ME與CN相交
B．MN始終與平面BCE平行
C．異面直線AC與BF所成的角為
D．當(dāng)時，MN的長最小，最小為
28．(多選)如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論正確的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．異面直線AD與CB1所成的角為60°
29．已知四邊形ABCD為正方形，GD⊥平面ABCD，四邊形DGEA與四邊形DGFC也都為正方形，連接EF，F(xiàn)B，BE，H為BF的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．DE⊥BF
B．EF與CH所成角為
C．EC⊥平面DBF
D．BF與平面ACFE所成角為
30．下圖中正方體邊長為2，則下列說法正確的是（ ）
A．平面平面
B．正方體外接球與正四面體外接球半徑相等均為
C．正四面體內(nèi)切球半徑為
D．四面體內(nèi)切球半徑為
第II卷（非選擇題）
三、填空題
31．空間四面體中，，，，直線和所成的角為，則該四面體的外接球的表面積為 __.
32．如圖，A、B、C、D、P是球O上5個點，ABCD為正方形，球心O在平面ABCD內(nèi)，，，則PA與CD所成角的余弦值為______．
33．已知圓錐、圓柱的底面半徑和體積都相等，則它們的軸截面的面積之比的比值是___________
34．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左圖是南北朝官員獨孤信的印信，它是由正方形和正三角形圍成.右圖是根據(jù)這只印信作出的直觀圖，直觀圖的所有頂點都在一正方體的表面上（如果一個正八邊形的八個頂點都在這個正方體同一個側(cè)面的四條棱上，那么這個八邊形的邊長就等于這個直觀圖的棱長）.若這個正方體的所有頂點都在半徑為的球面上，則這只印信的表面積為__________.
35．如圖，在直三棱柱中，，，已知G與E分別為和的中點，D和F分別為線段AC和AB上的動點（不包括端點），若，則線段DF的長度的平方取值范圍為__________.
36．如圖，在長方體中，已知，點，分別在棱，上.二面角的大小為30°.若三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的表面積為___________.
37．異面直線a、b所成角為，直線c與a、b垂直且分別交于A、B，點C、D分別在直線a、b上，若，，，則________．
38．已知四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長為4的正方形，SD⊥面ABCD，點M、N分別是AD、CD的中點，P為SD上一點，且SD＝3PD＝3，H為正方形ABCD內(nèi)一點，若SH∥面PMN，則SH的最小值為__．
39．如圖，在中，，，是棱的中點，以為折痕把折疊，使點到達點的位置，則當(dāng)三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為___________.
40．在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是，且平面平面，活動彈子分別在正方形對角線上移動，若，則長度的最小值為__________．
任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-30題
一、單選題
1．已知四面體ABCD的所有棱長均為，M，N分別為棱AD，BC的中點，F(xiàn)為棱AB上異于A，B的動點．有下列結(jié)論：
①線段MN的長度為1；
②若點G為線段MN上的動點，則無論點F與G如何運動，直線FG與直線CD都是異面直線；
③的余弦值的取值范圍為；
④周長的最小值為．
其中正確結(jié)論的為（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
2．已知三棱錐，其中平面，，，.已知點為棱（不含端點）上的動點，若光線從點出發(fā)，依次經(jīng)過平面與平面反射后重新回到點，則光線經(jīng)過路徑長度的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
3．如圖，已知銳二面角的大小為，，，，，，，C，D為AB，MN的中點，若，記AN，CD與半平面所成角分別為，，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．在棱長為2的正方體中，點是對角線上的點（點與不重合），有以下四個結(jié)論：
①存在點，使得平面平面；
②存在點，使得平面；
③若的周長為L，則L的最小值為；
④若的面積為，則．
則正確的結(jié)論為（ ）
A．①③B．①②③C．①②④D．②④
5．在棱長為1的正方體中，點P是正方體棱上一點，若滿足的點P的個數(shù)為4，則d的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．在三棱錐中，，點在面上的投影是的垂心，二面角的平面角記為，二面角的平面角記為，二面角的平面角記為，則（ ）
A．B．
C．D．
7．已知正方體的棱長為1，是的中點，是棱上一點（不包括端點），則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．存在點，使得直線與直線相交
C．當(dāng)是棱的中點時，直線與直線所成的角為
D．平面截正方體所得的截面是五邊形
8．如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點的動點，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當(dāng)從滑動到的過程中，則下列選項中錯誤的是（ ）
A．的大小不會發(fā)生變化B．二面角的平面角的大小不會發(fā)生變化
C．與平面所成的角變大D．與所成的角先變小后變大
9．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.如圖所示，已知某“鞠”的表面上有四個點，，，滿足，，則該“鞠”的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
10．已知在中，斜邊，，若將沿斜邊上的中線折起，使平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
11．如圖，在長方體中，，，，點是的中點，點為棱上的動點，則平面與平面所成的銳二面角正切的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知正方體的棱長為，M，N為體對角線的三等分點，動點P在三角形內(nèi)，且三角形的面積，則點P的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
13．已知半球與圓臺有公共的底面，圓臺上底面圓周在半球面上，半球的半徑為1，則圓臺側(cè)面積取最大值時，圓臺母線與底面所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
14．如圖，等腰直角中，，點為平面外一動點，滿足，，給出下列四個結(jié)論：
①存在點，使得平面平面；
②存在點，使得平面平面；
③設(shè)的面積為，則的取值范圍是；
④設(shè)二面角的大小為，則的取值范圍是.
其中正確結(jié)論是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
15．已知AB、CD是圓O的兩條直徑，且，如圖1，沿AB折起，使兩個半圓面所在的平面垂直，折到點位置，如圖2．設(shè)直線與直線OC所成的角為，則（ ）
A．且B．且
C．且D．且
二、多選題
16．如圖，底面ABCD為邊長是4的正方形，半圓面底面ABCD．點P為半圓弧(不含A，D點)一動點．下列說法正確的是（ ）
A．三梭錐P—ABD的每個側(cè)面三角形都是直角三角形
B．三棱錐P—ABD體積的最大值為
C．三棱錐P—ABD外接球的表面積為定值
D．直線PB與平面ABCD所成最大角的正弦值為
17．已知正方體的棱長為2，動點在正方形內(nèi)，則（ ）
A．若，則三棱錐的的外接球表面積為
B．若平面，則不可能垂直
C．若平面，則點的位置唯一
D．若點為中點，則三棱錐的體積是三棱錐體積的一半
18．為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②.則下列結(jié)論正確（ ）
A．經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的面積為
B．異面直線與所成的角的余弦值為
C．多面體的體積為
D．球離球托底面的最小距離為
19．已知邊長為的菱形中，，將沿翻折，下列說法正確的是（ ）
A．在翻折的過程中，直線，始終不可能垂直
B．在翻折的過程中，三棱錐體積最大值為
C．在翻折過程中，三棱錐表面積最大時，其內(nèi)切球表面積為
D．在翻折的過程中，點在面上的投影為，為棱上的一個動點，的最小值為
20．如圖，是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板組成的三角形，，.現(xiàn)將沿斜邊翻折成△不在平面內(nèi)）.若，分別為和的中點，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面
B．與不可能垂直
C．二面角正切值的最大值為
D．直線與所成角的取值范圍為
21．已知邊長為的菱形中，，將沿翻折，下列說法正確的是（ ）
A．在翻折的過程中，直線，可能相互垂直
B．在翻折的過程中，三棱錐體積最大值為
C．在翻折的過程中，三棱錐表面積最大時，其內(nèi)切球表面積為
D．在翻折的過程中，點在面上的投影為，為棱上的一個動點，的最小值為
22．已知正方體的棱長為2，是底面的中心，是棱上一點（不與端點重合），則（ ）
A．平面截正方體所得截面一定是梯形
B．存在點，使得三棱錐的體積為
C．存在點，使得與相交
D．當(dāng)是棱的中點時，平面截正方體外接球所得截面圓的面積
23．在四面體中，，，直線，所成的角為60°，，，則四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非選擇題）
三、填空題
24．已知一正三棱錐的體積為，設(shè)其側(cè)面與底面所成銳二面角為，則當(dāng)?shù)扔赺_____時，側(cè)面積最小．
25．球面幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等面都有廣泛的應(yīng)用，如圖，A，B，C是球面上不同的大圓（大圓是過球心的平面與球面的交線）上的三點，經(jīng)過這三個點中任意兩點的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧圍成的圖形稱為球面．已知地球半徑為R，北極為點N，P，Q是地球表面上的兩點若P，Q在赤道上，且，則球面的面積為________；若，則球面的面積為________．
26．如圖，在矩形中，是邊的中點，將沿直線折成，使得二面角的平面角為銳角，點在線段上運動(包括端點)，當(dāng)直線與平面所成角最大時，在底面內(nèi)的射影面積為___________.
27．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，與底面成角，是平面內(nèi)任意一點，則的最小值是________.
28．已知正方體的棱長為2，點E是棱的中點，點在平面內(nèi)，若，，則的最小值為_________．
29．在棱長為的正方體中，過對角線的一個平面交于，交于，得四邊形，給出下列結(jié)論：
①四邊形有可能為梯形；
②四邊形有可能為菱形；
③四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形；
④四邊形有可能垂直于平面；
⑤四邊形面積的最小值為.
其中正確結(jié)論的序號是_____________
30．在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點，經(jīng)過點A，E，F(xiàn)的平面把正方體截成兩部分，則截面的周長為________.
專題19 立體幾何綜合小題必刷100題
任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-30題
一、單選題
1．已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長均為2，則該正四棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
計算出正四棱錐的底面積，然后利用錐體的體積公式可求出該正四棱錐的體積．
【詳解】
正四棱錐的底面積為，正四棱錐的高為
因此，該正四棱錐的體積為．
故選：A．
2．已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，，則D．若，，則
【答案】D
【分析】
利用線面平行、面面平行的判定、性質(zhì)定理，依次分析即得解
【詳解】
選項A：有可能出現(xiàn)的情況；
選項B：和有可能異面；
選項C：和有可能相交；
選項D：由，，得直線和平面沒有公共點，所以，
故選：D
3．如圖，空間四邊形中，點在線段上，且，為的中點，，則，，的值分別為（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】B
【分析】
利用空間向量的基本定理求解.
【詳解】
因為，
，
所以，，.
故選：B.
4．已知，，是三個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】C
【分析】
利用空間中點線面之間的位置關(guān)系即可對每個選項做出判斷，從而選出正確選項.
【詳解】
對于選項A：若，，則與平行或相交，故選項A不正確；
對于選項B：若，，則與 可平行、異面、或相交，故選項B不正確；
對于選項C：若，，則，垂直于同一平面的兩個直線平行，故選項C正確；
對于選項D：若，，則與平行或相交，故選項D不正確.
故選：C
5．已知四棱錐的正視圖和側(cè)視圖均為邊長為2（單位：cm）的正三角形，俯視圖為正方形，則該四棱錐的體積（單位：）是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)四棱錐是正四棱錐求解.
【詳解】
如圖所示：
由題意知：四棱錐是正四棱錐，
因為四棱錐的正視圖和側(cè)視圖均為邊長為2（單位：cm）的正三角形，
所以，
則正四棱錐的高為：，
又因為俯視圖為正方形，
所以，
故選：B
6．在正方體中，則直線與直線所成角大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
設(shè)正方體的棱長為，連接，證明可得或其補角即為直線與直線所成角，在中求即可求解.
【詳解】
設(shè)正方體的棱長為，連接，
因為且，所以四邊形是平行四邊形，
可得，
所以或其補角即為直線與直線所成角，
在中，，所以，
所以直線與直線所成角大小為，
故選：C.
7．正方體的棱長為，為側(cè)面內(nèi)動點，且滿足，則△面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
建立空間直角坐標系如圖所示，設(shè)由，得出點的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求得，再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值．
【詳解】
以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
則，，設(shè)
所以，得，
所以
因為平面，所以
故△面積的最小值為
故選：B
8．在直三棱柱中，.、分別是、的中點，，則與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
以C為坐標原點，以CB、CA、方向分別為x、y、z軸正方向，建立空間坐標系，如圖，設(shè)，分別求出的坐標，根據(jù)空間向量的數(shù)量積求出即可.
【詳解】
以C為坐標原點，以CB、CA、方向分別為x、y、z軸正方向，建立空間坐標系，
如圖，設(shè)，
則，
所以，
故選：D
9．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，則以下結(jié)論錯誤的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1B．AD⊥平面CB1D1
C．AC1⊥BDD．異面直線AD與CB1所成的角為45°
【答案】B
【分析】
利用直線與平面平移以及垂直的關(guān)系，結(jié)合異面直線所成角判斷命題的真假即可.
【詳解】
解：A，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，①BD∥B1D1，B1D1?平面CB1D1；
BD?平面CB1D1；所以BD∥平面CB1D1；A正確；
B，；AD∥A1D1，且⊥平面，所以⊥平面，
又平面與平面CB1D1不平行，所以AD與平面CB1D1不平行，；B不正確；
C，AC1在底面ABCD上的射影AC，BD⊥AC；所以AC1⊥BD；C正確；
D，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得
所以異面直線AD與CB1所成的角即為直線與CB1所成的角,
由，所以異面直線AD與CB1所成的角為45°；D正確
故選：B.
10．已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，則實數(shù)m的值等于（ ）
A．B．－2
C．0D．或－2
【答案】B
【分析】
利用空間向量平行的坐標表示，即可求得結(jié)果.
【詳解】
當(dāng)m＝0時，=(1，3，－1)，＝(2，0，0)，
與不平行，∴m≠0，∵，
∴，解得m＝－2.
故選：B
11．正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．異面
C．平行D．垂直
【答案】A
【分析】
連接與交于點F，易得是平行四邊形，根據(jù)平面的基本性質(zhì)即可判斷直線與直線的位置關(guān)系.
【詳解】
如圖所示，連接與交于點F，
由題意，易得四邊形是平行四邊形，
在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是線段的中點，
∴，又且共面，則直線與直線相交.
故選：A.
12．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．0C．D．
【答案】B
【分析】
先用余弦定理求出，再由勾股定理可證，可所以兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，求出各點坐標以及、的坐標，利用空間向量夾角公式計算即可求解.
【詳解】
因為直三棱柱中，，，，
在中，由余弦定理可得：，
所以，
所以，所以，進而可得兩兩垂直，
所以以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，，，
所以，
設(shè)異面直線與所成角的平面角為，
則異面直線與所成角的余弦值為：，
故選：B.
13．把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點（皮球不變形），則皮球的半徑為（ ）
A． cmB．10 cm
C． cmD．30 cm
【答案】B
【分析】
判斷出球心的位置，由此計算出球的半徑.
【詳解】
依題意可知該四棱錐是正四棱錐，且平面，則.
，
，
所以，
到的距離都是，
在等腰直角三角形中，到的距離為，
同理可得到的距離也是.
所以是皮球的球心，且皮球的半徑為.
故選：B
14．一種特殊的四面體叫做“鱉臑”，它的四個面均為直角三角形.如圖，在四面體PABC中，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點，連接AE，AF，EF（此外不再增加任何連線），則圖中直角三角形最多有（ ）
A．6個B．8個
C．10個D．12個
【答案】C
【分析】
由題設(shè)，若四面體PABC為“鱉臑”，應(yīng)用線面、面面垂直的判定、性質(zhì)只需AE⊥EF、AE⊥PC、EF⊥PC，即PAEF也是“鱉臑”，即可保證直角三角形最多，進而確定個數(shù)即可.
【詳解】
為使題圖中有盡可能多的直角三角形，設(shè)四面體PABC為“鱉臑”，
其中PA⊥面ABC，BC面ABC，則PA⊥BC，
又AB⊥BC，ABPA = A，
∴CB⊥面PAB.
若AE⊥PB，EF⊥PC：
由CB⊥面PAB，BC面PBC，則面PAB⊥面PBC，又AE面PAB，面PAB∩面PBC=PB，
∴AE⊥面PBC，EF、PC面PBC，則AE⊥EF且AE⊥PC，又EF⊥PC，
∴四面體PAEF也是“鱉臑”，則10個三角形全是直角三角形，
故選：C.
15．在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，且，則四棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用勾股定理判斷平面，過正方形的中心作垂線，再過中點作此垂線的垂線，交點即為外接球的球心，求出外接球半徑，由表面積公式即可求解.
【詳解】
由題意可知，，
所以，，
又，
所以平面，
過正方形的中心作垂線，
再過中點作此垂線的垂線，交點為，
此點即為外接球的球心，
則外接球半徑，
所以四棱錐外接球的表面積.
故選：C
二、多選題
16．給出下列命題，其中正確的有（ ）
A．空間任意三個向量都可以作為一組基底
B．已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底
C．已知空間向量，，則
D．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是
【答案】BD
【分析】
對選項A，B，根據(jù)空間向量基底概念即可判斷A錯誤，B正確，對選項C，根據(jù)空間向量平行的坐標運算即可判斷C錯誤，對選項D，根據(jù)投影向量概念求解即可.
【詳解】
對選項A，因為空間中只有不共面的三個向量可以作為一組基底，故A錯誤.
對選項B，因為，則、與任何向量都是共面向量，故B正確.
對選項C，，，
因為，所以、不平行，故C錯誤.
對選項D，，，
所以向量在向量上的投影向量為.故D正確.
故選：BD
17．如圖，正方體的棱長為4，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．直線與是異面直線
B．直線與平行
C．直線與垂直
D．三棱錐的體積為
【答案】AD
【分析】
A選項結(jié)合異面直線的定義即可判斷；B證得即可判斷；C由直線與是矩形的兩條對角線即可判斷；D用正方體的體積減去四個三棱錐的體積即可求出結(jié)果判斷.
【詳解】
直線在平面內(nèi)與沒有交點，所以直線與是異面直線，故A項正確；
因為，且，所以四邊形為平行四邊，因此，又因為，所以,故B項錯誤；
直線與是矩形的兩條對角線，不垂直，故C項錯誤；
．
故D項正確．
故選：AD.
18．如圖，正方體的棱長為1，點是棱上的一個動點（包含端點），則下列說法正確的是（ ）
A．存在點，使面
B．二面角的平面角大小為
C．的最小值是
D．到平面的距離最大值是
【答案】AC
【分析】
對于A，當(dāng)與重合時可得結(jié)論，對于B，二面角就是二面角，從而可求出結(jié)果，對于C，如圖沿棱展開面為面，利用兩點之間線段最短判斷，對于D，當(dāng)與重合時，點到面的距離最大，從而可求得結(jié)果
【詳解】
對于A，當(dāng)與重合時，，根據(jù)線面平行的判定，可得使面，故正確；
對于B，二面角就是二面角，其平面角大小為.故錯；
對于C，如圖沿棱展開面為面，使點，，，，，共面，則的最小值為，故正確；
對于D，當(dāng)與重合時，垂直平面，此時點到面距離最大值為，故錯.
故選：AC.
19．已知、是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面.下列說法中正確的是（ ）
A．若，，，則B．若，，則
C．若，，，則D．若，，，則
【答案】ACD
【分析】
對于A，利用線面平行的性質(zhì)定理判斷，對于B，利用線面平行的判定定理判斷，對于C，利用線面垂直的判定定理判斷即可，對于D，利用面面平行的判定方法判斷
【詳解】
由線面平行的性質(zhì)定理可知，A正確；
若∥∥，則∥或，即B錯誤；
設(shè)的法向量分別為，若，則，又，則∥，∥，所以，即C正確；
若，則∥，又∥，則∥，即D正確.
故選：ACD
20．在下列條件中，不能使M與A，B，C一定共面的是（ ）
A．＝2－－；B．；
C．；D．＋＋＋＝0；
【答案】ABD
【分析】
根據(jù)四點共面的條件對選項逐一分析，由此確定正確選項．
【詳解】
與，，一定共面的充要條件是，
對于A選項，由于，所以不能得出共面，
對于B選項，由于，所以不能得出共面，
對于C選項，由于，則為共面向量，所以共面，
對于D選項，由得，而，所以不能得出共面．
故選：ABD
21．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】
根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.
【詳解】
設(shè)正方體的棱長為，
對于A，如圖（1）所示，連接，則，
故（或其補角）為異面直線所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A錯誤.
對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，
由正方體可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正確.
對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，
故，故C正確.
對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，
則，
因為，故，故，
所以或其補角為異面直線所成的角，
因為正方體的棱長為2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D錯誤.
故選：BC.
22．設(shè)一空心球是在一個大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個有相同球心的小球(稱為內(nèi)球)，已知內(nèi)球面上的點與外球面上的點的最短距離為1，若某正方體的所有頂點均在外球面上?所有面均與內(nèi)球相切，則（ ）
A．該正方體的核長為2B．該正方體的體對角線長為
C．空心球的內(nèi)球半徑為D．空心球的外球表面積為
【答案】BD
【分析】
設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r，R，利用正方體的對角線求得，根據(jù)兩球上點的距離最小值為，求解后得到r，R，進而求得正方體的對角線和外接球的表面積.
【詳解】
設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r，R，則正方體的棱長為，體對角線長為，∴，
又由題知，所以，，
∴正方體棱長為，體對角線長為，
∴外接球表面積為，
故選：BD.
23．在正三棱柱中，，，與交于點，點是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．存在點，使得
C．三棱錐的體積為
D．直線與平面所成角的余弦值為
【答案】AC
【分析】
A.利用空間向量運算求解判斷；B. 利用空間向量運算求解判斷；C.利用等體積法求解判斷；D.利用線面角的求解判斷.
【詳解】
由題意，畫出正三棱柱如圖所示，
向量，故A正確；
假設(shè)存在點，設(shè)，，所以.因為，所以.解得.故B錯誤；
因為正三棱柱，所以，所以，所以，故C正確；
設(shè)中點為，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即與平面所成的角，.故D錯誤.
故選：AC.
第II卷（非選擇題）
三、填空題
24．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、BC的中點，則三棱錐N-DMC1的體積為___________.
【答案】1
【分析】
利用等體法以及三棱錐的體積公式即可求解.
【詳解】
.
故答案為：1
25．已知正三棱錐的底面邊長是，側(cè)棱與底面所成角為，則此三棱錐的體積為__．
【答案】
【分析】
過作平面交于點，延長交于，在中，求得，
根據(jù)平面，得到，求得，結(jié)合體積公式，即可求解.
【詳解】
如圖所示，過作平面交于點，延長交于，
所以點是的中心，所以是等邊的一條高，其中邊長為，
所以，可得，
因為平面，所以，
在直角中，可得，
由的邊長為，可得，
所以三棱錐的體積為.
故答案為：.
26．如圖，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，，則異面直線與AC所成角的余弦值是__________________．
【答案】
【分析】
由AC∥，知是異面直線與AC所成角（或所成角的補角），由此能求出異面直線與AC所成角的余弦值．
【詳解】
解：連結(jié)，∵AC∥，
∴是異面直線與AC所成角（或所成角的補角），
∵在直三棱柱中，∠ACB＝90°，，
∴，，，，
∴
∴異面直線與AC所成角的余弦值為．
故答案為：．
27．已知圓臺上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺的外接球的表面積為______．
【答案】
【分析】
先畫出圓臺的軸截面，利用圓心到上底圓周上一點等于外接球半徑，圓心到下底圓周上一點等于外接球半徑，建立方程，解出外接球半徑，求出外接球表面積.
【詳解】
如圖所示，
設(shè)外接球半徑為r，球心到上底的距離為h，則球心到下底的距離為
則有，，解得，．所以外接球的表面積為．
故答案為：
28．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長為3，且，則__.
【答案】
【分析】
由空間向量的加法法則有，然后平方，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算可得．
【詳解】
平行六面體中，，
..
故答案為：．
29．如圖，在空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且，N為BC的中點，則用向量表示向量________．
【答案】
【分析】
根據(jù)，由此能求出結(jié)果．
【詳解】
∵在空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且，N為BC的中點，
∴．
故答案為：．
30．已知四棱錐P﹣ABCD的頂點都在球O的球面上，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥平面ABCD.若四棱錐P﹣ABCD的體積為，則球O的表面積為___________.
【答案】
【分析】
由題意，畫出示意圖，四棱錐P﹣ABCD的體積，，，，球O的半徑，進而求解.
【詳解】
解：由題意，畫出示意圖如圖：
則正方形ABCD面積S=4，
∵ 四棱錐P﹣ABCD的體積，∴ ，
，
球O的半徑
球O的表面積：.
故答案為：
任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題
一、單選題
1．在三棱錐P－ABC中，，△PAB，△PAC，△PBC的面積分別記為，且，則此三棱錐的內(nèi)切球的半徑為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)三角形面積公式求出面積，聯(lián)立方程求出棱長，再求出棱錐高得出棱錐體積，由等體積法求出內(nèi)切球的半徑即可.
【詳解】
，
，
，
解得，，
由余弦定理可得，，
取的中點，連接，，如圖，
可得，，，，，
所以，
所以平面ABC，
內(nèi)切球半徑，
故選：B
2．在立體幾何探究課上，老師給每個小組分發(fā)了一個正四面體的實物模型，同學(xué)們在探究的過程中得到了一些有趣的結(jié)論.已知直線平面，直線平面，F(xiàn)是棱BC上一動點，現(xiàn)有下列三個結(jié)論：
①若分別為棱的中點，則直線平面；
②在棱BC上存在點F，使平面；
③當(dāng)F為棱BC的中點時，平面平面.
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．③B．①③C．①②D．②③
【答案】A
【分析】
將正四面體放在正方體中，如圖，由正方體的性質(zhì)判斷各選項．
【詳解】
可將正四面體放在正方體中研究，如圖，
對于①，由直線平面，直線平面，知平面是與左右兩個側(cè)面平行的平面，
是前后兩個側(cè)面的中心（對角線交點），則直線平面或直線平面，故①錯誤.
對于②，正方體的左、右兩個側(cè)面與平面平行，因此，與平面垂直的直線只能是與其四條側(cè)棱平行或重合的直線，故②錯誤.
對于③，平面就是平面，由與側(cè)面垂直，得面面垂直，故③正確，
故選：A．
3．已知圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為4，高為7，若點A、B、C在下底面圓的圓周上，且，點Р在上底面圓的圓周上，則的最小值為（ ）
A．246B．226C．208D．198
【答案】D
【分析】
問題可轉(zhuǎn)化為三棱錐且三棱錐有外接球，求轉(zhuǎn)化為求的最值，再轉(zhuǎn)化為利用向量求解即可.
【詳解】
如圖，
ABC的外心是AC中點，點P到底面ABC的距離為7，設(shè)Р所在截面圓的圓心為，此截面與平面ABC平行，球心在上，
，
則，
設(shè)P在平面ABC上的射影為Q，則Q在以為圓心，3為半徑的圓，因為PQ⊥平面ABC，所以PQ與平面ABC內(nèi)所有直線都垂直，PQ=7,
所以
，
當(dāng)反向時，取得最小值-12，
所以的最小值
故選：D
4．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和，例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題中給出的定義，由多面體的總曲率計算求解即可．
【詳解】
解：由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點的曲率之和，
因為四棱錐有5個頂點，5個面，其中4個三角形，1個四邊形，
所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個三角形和1個四邊形組成，
所以面角和為，
故總曲率為．
故選：B.
5．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．不確定
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意可知平面，而，在線段上運動，則平面，從而得出點到直線的距離不變，求出的面積，再根據(jù)線面垂直的判定定理可證出平面，得出點到平面的距離為，最后利用棱錐的體積公式求出三棱錐的體積.
【詳解】
解：由題可知，正方體的棱長為1，
則平面，又，在線段上運動，
平面，
點到直線的距離不變，
由正方體的性質(zhì)可知平面，則，
而，，
故的面積為，
又由正方體可知，，，且，
平面，則平面，
設(shè)與交于點，則平面，
點到平面的距離為，
.
故選：A.
6．如圖已知正方體，點是對角線上的一點且，，則（ ）
A．當(dāng)時，平面B．當(dāng)時，平面
C．當(dāng)為直角三角形時，D．當(dāng)?shù)拿娣e最小時，
【答案】D
【分析】
建立空間直角坐標系，利用空間向量法一一計算可得；
【詳解】
解：由題可知，如圖令正方體的棱長為1，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，因為，所以，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以
對于A：若平面，則，則，解得，故A錯誤；
對于B：若平面，則，即，解得，故B錯誤；
當(dāng)為直角三角形時，有，即，解得或（舍去），故C錯誤；
設(shè)到的距離為，則，
當(dāng)?shù)拿娣e最小時，，故正確．
故選：．
7．如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于a，點E、F、G分別為AB、AD、DC的中點，則a2等于（ ）
A．2?B．2?C．2?D．2?
【答案】B
【分析】
由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義，對各個選項中式子進行運算，可得結(jié)論．
【詳解】
由題意可得，22a?a?cs（π﹣∠BAD）＝2a2?（﹣cs60°）＝﹣a2，故排除A．
∵2?2?a?a?cs60°＝a2，故B滿足條件．
∵2?2??a?csπ＝﹣a2，故排除C．
∵2?2??a?cs60°，故排除D，
故選：B
8．如圖一，矩形中，，交對角線于點，交于點．現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點為棱的中點，則下列判斷一定成立的是（ ）
A．B．平面
C．平面D．平面平面
【答案】D
【分析】
利用反證法可判斷A選項；由二面角的變化可判斷B選項；利用反證法結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷C選項；利用面面垂直的判定定理可判斷D選項.
【詳解】
翻折前，，，
翻折后，對應(yīng)地有，，，
，則平面，
平面，故平面平面，D選項一定成立；
對于B選項，由上可知，二面角的平面角為，
在翻折的過程中，會發(fā)生變化，則與不一定垂直，
即與平面不一定垂直，故B選項不一定成立；
對于A選項，設(shè)，在圖一中，，
所以，，可得，，
因為，則，
故，所以，，
在圖二中，過點在平面內(nèi)作交于點，連接，
則，故，則，
又因為，故不為的中點，
因為，，則，
若，且，則平面，
平面，則，
由于、平面，且，故，
由于為的中點，則為的中點，與已知條件矛盾，A選項不成立；
對于C選項，由A選項可知，因為，平面，平面，
所以，平面，
若平面，，則平面平面，
因為平面平面，平面平面，則，
由于為的中點，則為的中點，與已知條件矛盾，C選項不成立.
故選：D.
9．點M是棱長為3的正方體中棱的中點，，動點P在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，且平面，則的長度范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)平面與于，取中點F，在上取點H，使，在上取點G，使，可得截面，
【詳解】
解：以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，
設(shè)平面與于，連接，由平面平面，是截面與這兩個平面的交線，因此，取中點F，在上取點H，使，在上取點G，使，連接，
易得，所以，又，所以，
所以，而平面，平面，所以平面，
易知，，，，，
∴，，，，，所以，共面，
，，所以，同理得平面，
是平面內(nèi)兩相交直線，則平面平面，
∵動點P在正方形（含邊界）內(nèi)運動，且平面，∴P點的軌跡是線段，
又點C到線段的距離，
∴的長度的最小值為，，，
∴長度的最大值為.
∵的長度范圍為．
故選：B.
10．如圖，在正方體中，點M在線段(不包含端點)上運動，則下列判斷中正確的是（ ）
①平面； ②異面直線與所成角的取值范圍是；
③平面恒成立； ④三棱錐的體積不是定值．
A．①③B．①②C．①②③D．②④
【答案】B
【分析】
根據(jù)給定條件證得平面平面可判斷①；由及正可判斷②；
取特殊位置說明與不垂直判斷③；利用等體積法轉(zhuǎn)化可判斷④即可作答.
【詳解】
在正方體中，連接，如圖，

因?qū)敲鍭BC1D1是矩形，則AD1//BC1，而平面ACD1，平面ACD1，于是得BC1//平面ACD1，同理，A1B//平面ACD1，
而，平面，因此，平面平面，又平面，故有平面，①正確；
因，即異面直線與所成角即為與所成角，而是正三角形，
點M在線段(不包含端點)上運動時，與所成角范圍為，②正確；
當(dāng)M為的中點時，直線過點C，，即此時與不垂直，平面不恒成立，③錯誤；
因BC1//平面ACD1，則，即三棱錐的體積是定值，④錯誤.
故選：B
11．在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積是（ ）
A．B．100πC．D．20π
【答案】D
【分析】
由題知，，，設(shè)為三角形的外心，進而得，過作三角形的垂線，球心在上，且，進而得外接球半徑，再計算表面積即可得答案.
【詳解】
如圖：因為平面，，
所以，，
因為，由余弦定理可解得，
設(shè)為三角形的外心，
則由正弦定理得三角形外接圓半徑為2，
即，
過作三角形的垂線，球心在上，則，
可求外接球半徑，
故該四面體的外接球的表面積是，
故選：D.
12．已知圓錐的母線長為，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由圓錐側(cè)面展開圖的圓心角可構(gòu)造方程求得圓錐底面半徑，在中，利用勾股定理可構(gòu)造關(guān)于圓錐外接球半徑的方程，解方程求得，根據(jù)球的表面積公式即可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)圓錐的底面半徑為，由題意得：，解得：.
如圖，是圓錐的一條母線，由圓錐的性質(zhì)知其外接球的球心在上，連接，，
設(shè)圓錐的外接球的半徑為，則，
則，
，即，解得：，
圓錐的外接球的表面積為.
故選：C.
13．如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，，，點是的中點，過，，三點的平面與平面的交線為，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
（1）平面；
（2）平面；
（3）直線與所成角的余弦值為；
（4）平面截四棱錐所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為．
A．1個B．2個
C．3個D．4個
【答案】C
【分析】
對A，取的中點，連接，證明平面，即平面，可判斷A；對B，若平面，則，結(jié)合，可判斷B；對C， 根據(jù)，故判斷C；對D，連接，分別求出兩部分的體積即可判斷D.
【詳解】
對A，取的中點，連接，則，即，，，四點共面，即為，
因為，平面，平面，所以平面，即平面，故A正確；
對B：由，若平面．則必有，即四邊形為平行四邊形，則，因為，，所以矛盾，故B錯誤；
對C：與所成角，即與所成角，即與所成角，由底面得．則，故C正確；
對D：連接，由A知截面就是平面，下半部分分為四棱錐和三棱錐.
，，
由底面得，又，，平面，所以平面，即平面.
所以，即下半部分體積為.
所以上半部分體積與下半部分體積之比為，故D正確．
因此正確的結(jié)論有3個.
故選：C．
14．在四棱錐中，平面平面，且是邊長為2的正三角形，是正方形，則四棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點F,取AD的中點E,在截面PEF中，利用勾股定理求出球的半徑，即可求四棱錐P-ABCD的外接球的體積.
【詳解】
連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點F，取AD的中點E,在截面PEF中，連結(jié)，如圖，
在等邊中，AD的中點為E，
所以, 又平面平面, 是交線，
所以平面, 且，
設(shè)，外接球半徑為R,
則在正方形中，，
在中，，
而在截面中，，
由可得：
解得，
所以,
所以.
故選：D
15．已知在正四面體ABCD中，E是AD的中點，P是棱AC上的一動點，BP＋PE的最小值為，則該四面體內(nèi)切球的體積為（ ）
A．πB．π
C．4πD．π
【答案】D
【分析】
首先設(shè)正四面體的棱長為，將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，根據(jù)題意得到的最小值為，從而得到，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化得到內(nèi)切球半徑，再計算其體積即可.
【詳解】
設(shè)正四面體的棱長為，將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，如圖所示：
則的最小值為，
解得.
如圖所示：為正四面體的高，
，正四面體高.
所以正四面體的體積.
設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，如圖所示：
則到正四面體四個面的距離相等，都等于，
所以正四面體的體積，解得.
所以內(nèi)切球的體積.
故選：D
16．在棱長為2的正方體中，點，，，分別為棱，，，的中點，若平面平面，且平面與棱，，分別交于點，，，其中點是棱的中點，則三棱錐的體積為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)已知條件結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理可確定出，根據(jù)點的位置可確定出的位置，由此可計算出三棱錐的體積.
【詳解】
如圖所示，取的中點，連接，
由正方體結(jié)構(gòu)特點可知：，
所以六點共面，
又因為平面平面，所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，由為所在邊中點可知為中點，
同理可知：為的中點，
所以，且，，兩兩垂直，
所以三棱錐的體積為，
故選：D.
17．已知球，過其球面上，，三點作截面，若點到該截面的距離是球半徑的一半，且，，則球的表面積為（ ）（注：球的表面積公式
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)條件先計算出外接圓的半徑，然后根據(jù)球的半徑、球心到截面的距離、外接圓的半徑構(gòu)成直角三角形的三邊，由此列出方程可求外接球的半徑，則球的表面積可求.
【詳解】
如圖，
設(shè)球的半徑為，是的外心，外接圓的半徑為，
則平面，
在中，，，則，
由正弦定理可得，即，
在中，有，得．
球的表面積為．
故選：A．
18．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1，P是A1C1的中點，則異面直線BC與AP所成角的余弦值為（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】
取的中點Q，連接.先證明即異面直線與所成的角或其補角. 在三角形APQ中，由余弦定理求出異面直線BC與AP所成角的余弦值.
【詳解】
如圖，
取的中點Q，連接.
因為，所以即異面直線與所成的角或其補角.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
設(shè)，則，
在三角形APQ中，由余弦定理得：.
故選：D
19．一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為、、，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由題設(shè)易知，設(shè)利用正方形、正三角形的性質(zhì)及勾股定理求出、、，即可知它們的比例關(guān)系.
【詳解】
設(shè)四棱錐為，三棱錐為，則三棱錐為正四面體，四棱錐為正四棱錐，顯然．
設(shè)，正方形的中心為，正三角形的中心為，
連接，，，，則，，
，，即，，
．
故選：C
20．如圖，二面角的大小是，線段．，與所成的角為．直線與平面所成的角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
過點作平面的垂線，垂足為，在內(nèi)過作的垂線．垂足為連接，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角為，在即可得到答案；
【詳解】
解：過點作平面的垂線，垂足為，在內(nèi)過作的垂線．垂足為連接，
由三垂線定理可知，故為二面角的平面角為
又由已知，
連接，則為與平面所成的角，
設(shè)，則，，
直線與平面所成的角的正弦值．
故選：．
二、多選題
21．如圖，已知正方體，則四個推斷正確的是（ ）
A．B．
C．平面平面D．平面平面
【答案】BCD
【分析】
對于A，與成角；對于B，由，，得；對于C，由，，得平面平面；對于D，由，，得平面平面．
【詳解】
在正方體中，
對于A，由正方體的性質(zhì)可知，
所以即為異面直線與所成的角，
在中顯然，所以與成角，故A錯誤；
對于B，，，，故B正確；
對于C，，，、平面，、平面，
∴平面，平面，又，
平面平面，故C正確；
對于D，，，，平面，
所以平面，又平面
平面平面，故D正確．
故選：BCD．
22．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為的中點，則（ ）
A．直線與直線垂直B．直線與平面平行
C．平面截正方體所得的截面面積為D．點C到平面的距離為
【答案】BCD
【分析】
A. 設(shè)，易證平面AEF判斷； B.取的中點，連接，證明平面 平面AEF判斷；C.接，易證，得到截面為等腰梯形 求解判斷； D. 利用等體積法，由求解判斷.
【詳解】
A. 若，因為 平面ABCD，則 ，又，所以平面AEF，則 ，則 ，故錯誤；
B.如圖所示：
取的中點，連接，易知，又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF，同理平面AEF，
又，所以平面 平面AEF，因為平面，所以平面AEF，故正確；
C.如圖所示：
連接，因為E，F(xiàn)分別為的中點，則 ，所以 共面，則截面為等腰梯形 ，又，
等腰梯形的高為 ，所以等腰梯形的面積為，故正確；

D. 因為，且，所以點C到平面的距離為，故正確.
故選：BCD
23．正四棱錐的所有棱長為2，用垂直于側(cè)棱的平面截該四棱錐，則（ ）
A．截面可以是三角形
B．與底面所成的角為
C．與底面所成的角為
D．當(dāng)平面經(jīng)過側(cè)棱中點時，截面分四棱錐得到的上下兩部分幾何體體積之比為3：1
【答案】ACD
【分析】
對于A：取PC的中點E，連結(jié)BE、DE、BD.可以證明面BDE，即可判斷A；
對于B、C：作為與底面所成的角.即可求得；
對于D：分別求出上下兩部分幾何體的體積，即可判斷.
【詳解】
對于A:取PC的中點E，連結(jié)BE、DE、BD.
因為正四棱錐的所有棱長為2，所以△PBC、△PBC為正三角形，所以又,則面BDE，即△BDE為截面.故A正確；
對于B、C:過P作底面ABCD于O，則O為AC中點.則即為與底面所成的角.
因為正四棱錐的所有棱長為2，所以,
所以,所以.故B錯誤，C正確；
對于D:由A的推導(dǎo)過程可知：平面經(jīng)過側(cè)棱中點時，平面即為平面BDE.
此時.
因為,
所以,
所以.故D正確
故選：ACD
24．如圖，等腰直角三角形的斜邊為正四面體的側(cè)棱，，直角邊繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（ ）
A．三棱錐體積的最大值為
B．三棱錐體積的最小值為
C．存在某個位置，使得
D．設(shè)二面角的平面角為，且，則
【答案】AC
【分析】
是的中點﹐點在以為圓心，為半徑的圓上運動（圓錐的底面圓），作出圖形，觀察到平面距離的最大值和最小值，計算體積判斷AB，把去掉，作出圖形，分析與所成角，二面角的大小判斷CD．
【詳解】
在圖1中，是的中點，是的中點﹐點在以為圓心，為半徑的圓上運動，
易知當(dāng)三點共線，且在之間時，三棱錐的體積最大，當(dāng)運動到的位置時，的體積最小.
在中，.
設(shè)到平面的距離分別為，則，
所以三棱錐體積的最大值為，最小值為，A正確，B錯誤.
如圖2，因為直線與旋轉(zhuǎn)軸所成的角為，母線與旋轉(zhuǎn)軸所成的角為﹐
所以直線與所成角的范圍為，即，
因為，所以存在夾角為的情況，
又因為線線角的取值范圍不包含鈍角，所以直線與所成角的范圍為，
即可得出C正確.
如圖2，當(dāng)運動到時，二面角的平面角為，
在與中，
所以，
所以，所以，即，D錯誤.
故選：AC
25．如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中不正確的是（ ）
A．
B．平面
C．向量與的夾角是60°
D．直線與AC所成角的余弦值為
【答案】AC
【分析】
根據(jù)題意，利用空間向量的線性運算和數(shù)量積運算，對選項中的命題分析，判斷正誤即可．
【詳解】
解：對于，
，
所以，選項錯誤；
對于
，所以，即，
，所以，即，因為，平面，所以平面，選項正確；
對于：向量與 的夾角是，所以向量與的夾角也是，選項錯誤；
對于，
所以，
，
同理，可得
，
所以，所以選項正確．
故選：AC．
26．正方體中，是棱的中點，在側(cè)面上運動，且滿足平面.以下命題正確的有（ ）
A．側(cè)面上存在點，使得
B．直線與直線所成角可能為
C．平面與平面所成銳二面角的正切值為
D．設(shè)正方體棱長為1，則過點，，的平面截正方體所得的截面面積最大為
【答案】ACD
【分析】
由面面平行的性質(zhì)可得出點的軌跡，再找出點，使得可判斷A；由異面直線所成的角的定義求出角的范圍可判斷B；計算二面角的平面角可判斷C；求出最大截面的面積可判斷D，進而可得正確選項.
【詳解】

對于A:取和的中點分別為，，連接，，，則，，，，所以面面，因為在側(cè)面上運動，且滿足平面，所以點在線段上，因為是正方體，所以，若為線段的中點，可得，因為，所以，故選項A正確；
對于B：因為，所以與直線所成角即為與直線所成角，則即為異面直線所成的角，設(shè)正方體的棱長為，在中，，若所成的角為，則，而最大為，所以，所以所成角不可能為，故選項B不正確；
對于C：因為面面，所以平面與平面所銳二面角，
即為平面與平面所成銳二面角，因為面面，，，當(dāng)為線段的中點，可得，，所以即為二面角的平面角，且，，
所以，故選項C正確；
對于D:當(dāng)為與的交點時過點，，的平面截正方體所得的截面面積最大，取的中點，，，則截面為菱形，，，其面積為 故選項D正確，
故選：ACD.
27．如圖，邊長為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動點M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且.則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．當(dāng)時，ME與CN相交
B．MN始終與平面BCE平行
C．異面直線AC與BF所成的角為
D．當(dāng)時，MN的長最小，最小為
【答案】BD
【分析】
以B為原點，BA，BE，BC所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系.
證明向量不共面可判斷選項A錯誤；判斷與平面BCE的法向量垂直可判斷選項B；利用向量法可求異面直線所成的角，從而判斷選項C；利用兩點間的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項D.
【詳解】
以B為原點，BA，BE，BC所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
則，
因為，所以，
當(dāng)時，，
，
若ME與CN相交，則四點共面，
設(shè)，則，該方程無解，所以ME與CN不相交，故選項A錯誤；
平面BCE的法向量為，此時，
所以MN始終與平面BCE平行，故B正確；
，設(shè)異面直線AC與BF所成的角為，
所以，所以異面直線AC與BF所成的角為60°，故C錯誤；
，
所以當(dāng)時，MN的長最小，最小為，故D正確.

故選：BD.
28．(多選)如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論正確的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．異面直線AD與CB1所成的角為60°
【答案】ABC
【分析】
由的射影、、，結(jié)合線面垂直的判定即可知B、C的正誤；構(gòu)建空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可得，結(jié)合C選項即可判斷A的正誤，再利用線線角的向量求法求AD與CB1所成角.
【詳解】
以D為坐標原點，分別以所在方向為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，
由在面、面、面的射影、、，即，，，又，則AC1⊥面CB1D1，
∴B、C正確；
設(shè)正方體棱長為1，易知＝(－1,－1,0)，＝(－1,1,1)，
∴，即BD∥面CB1D1，故A正確；
∵＝(－1,0,0)，＝(1,0,1)，
∴，
∴AD與CB1所成的角為45°，故D錯，
故選：ABC．
29．已知四邊形ABCD為正方形，GD⊥平面ABCD，四邊形DGEA與四邊形DGFC也都為正方形，連接EF，F(xiàn)B，BE，H為BF的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．DE⊥BF
B．EF與CH所成角為
C．EC⊥平面DBF
D．BF與平面ACFE所成角為
【答案】ABC
【分析】
根據(jù)題意，將幾何體補形為正方體，進而建立空間直角坐標系，通過空間向量的運算得到答案.
【詳解】
由題意得，所得幾何體可以補形成一個正方體，如圖所示．
以D為坐標原點，DA，DC，DG所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．
設(shè)AD＝DC＝DG＝2，
則D(0，0，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(xiàn)(0，2，2)，B(2，2，0)，H(1，2，1)．
對A，，所以，
則，正確；
對B，，設(shè)所成角為，
所以，正確；
對C，，
設(shè)是平面DBF的一個法向量，所以，
令x=1，則，所以，則EC⊥平面DBF，正確；
對D，由題意，EA⊥平面ABCD，則EA⊥DB，易得：DB⊥AC，EA與AC交于A，
則DB⊥平面ACFE，則是平面ACFE的一個法向量，
設(shè)BF與平面ACFE所成的角為，
所以，錯誤.
故選：ABC.
30．下圖中正方體邊長為2，則下列說法正確的是（ ）
A．平面平面
B．正方體外接球與正四面體外接球半徑相等均為
C．正四面體內(nèi)切球半徑為
D．四面體內(nèi)切球半徑為
【答案】BCD
【分析】
取的中點，連接和，計算二面角的平面角即可判斷A；由正四面體與正方體有同一個外接球可判斷B，利用等體積求內(nèi)切球的半徑可判斷CD，進而可得正確選項.
【詳解】
對于A：因為正方體的邊長為，所以，
所以和是等邊三角形，取的中點，連接和，
則，，所以即為二面角的平面角，
因為，，因為，
所以不等于，即二面角的平面角不等于，所以平面平面不成立，故選項A不正確；
對于B：正四面體的四個頂點都是正方體的頂點，所以正四面體與正方體有同一個外接球，且外接球的半徑為，故選項B正確；
對于C：正四面體內(nèi)切球半徑為，正四面體的高為
，
由體積相等可得：，可得 ，故選項C正確；
對于D：設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為，
由體積相等可得：，
即，解得：，
故選項D正確；
故選：BCD.
第II卷（非選擇題）
三、填空題
31．空間四面體中，，，，直線和所成的角為，則該四面體的外接球的表面積為 __.
【答案】/11.5π
【分析】
將該四面體的六條棱看成某長方體的六個面的對角線，然后該長方體的外接球即為該四面體的外接球，最后求出外接球的表面積
【詳解】
如圖所示，
因為，，，先將四面體的六條棱看成該長方體如圖所示的六條面對角線，下面驗證直線和所成的角為，
易知，，且，互相平分于點，所以，
設(shè)長方體的三邊長為，，，則，解得，
故是等邊三角形，則，即直線和所成的角為，即成立，
故四面體的六條棱看成該長方體如圖所示的六條面對角線，四面體的外接球即為該長方體的外接球，所以外接球的直徑，故外接球的表面積為.
故答案為：.
32．如圖，A、B、C、D、P是球O上5個點，ABCD為正方形，球心O在平面ABCD內(nèi)，，，則PA與CD所成角的余弦值為______．
【答案】
【分析】
由題可得∠PAB即為所求，設(shè)球O的半徑為r，則可得，，在等腰三角形PAB中，即得.
【詳解】
∵ABCD為正方形，
∴AB∥CD，
∴∠PAB即為異面直線PA與CD所成角，
設(shè)球O的半徑為r，球心O在平面ABCD內(nèi)，則O為正方形ABCD的中心，
由題可知，又，
∴，又，
∴，
在等腰三角形PAB中，.
故答案為：.
33．已知圓錐、圓柱的底面半徑和體積都相等，則它們的軸截面的面積之比的比值是___________
【答案】
【分析】
利用公式分別求出圓錐和圓柱的體積以及他們的軸截面面積，然后結(jié)合已知條件求出圓錐與圓柱的高的比值，進而求出它們的軸截面的面積之比的比值.
【詳解】
由題意，設(shè)圓錐、圓柱的底面半徑為，高分別為、，體積分別為、，軸截面面積為、，
從而，，，，
因為圓錐、圓柱的體積相等，
所以，即，
故，
從而圓錐、圓柱的軸截面的面積之比的比值是.
故答案為：.
34．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左圖是南北朝官員獨孤信的印信，它是由正方形和正三角形圍成.右圖是根據(jù)這只印信作出的直觀圖，直觀圖的所有頂點都在一正方體的表面上（如果一個正八邊形的八個頂點都在這個正方體同一個側(cè)面的四條棱上，那么這個八邊形的邊長就等于這個直觀圖的棱長）.若這個正方體的所有頂點都在半徑為的球面上，則這只印信的表面積為__________.
【答案】/
【分析】
根據(jù)正方體外接球的半徑可確定其棱長為；根據(jù)正八邊形的八個頂點都在這個正方體同一個側(cè)面的四條棱上可構(gòu)造方程求得正八邊形的邊長，即為直觀圖的棱長，進而根據(jù)直觀圖的構(gòu)成可求得表面積.
【詳解】
設(shè)正方體棱長為，
正方體的所有頂點都在半徑為的球面上，
，解得：；
設(shè)正八邊形的邊長為，則，
整理可得：，解得：，即直觀圖棱長為；
由直觀圖可知：印信是由個正方形，個等邊三角形拼接而成，
印信的表面積.
故答案為：.
35．如圖，在直三棱柱中，，，已知G與E分別為和的中點，D和F分別為線段AC和AB上的動點（不包括端點），若，則線段DF的長度的平方取值范圍為__________.
【答案】.
【分析】
建立空間直角坐標系，根據(jù)題設(shè)條件可得，再表示出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.
【詳解】
解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則
，，，，
∴，，
∵，∴，∴，
又，
∴，
∴當(dāng)時，有最小值，即為，顯然線段DF長度的最大值是1，但不包括端點，故不能取1，
綜上，線段DF長度的平方取值范圍為.
故答案為：.
36．如圖，在長方體中，已知，點，分別在棱，上.二面角的大小為30°.若三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的表面積為___________.
【答案】
【分析】
由題條件可求，再利用長方體的性質(zhì)可得三棱錐的外接球的半徑，即求.
【詳解】
如圖過D作DE⊥MN于E，連D1E，則，
由長方體的性質(zhì)可知，DD1⊥平面ABCD，
∴DD1⊥MN，DD1∩DE=D，
∴MN⊥平面DED1
∴∠D1ED為二面角的平面角，
∴∠D1ED，又，
∴，又三棱錐的體積為，
∴，
∴，
∴，
設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R，則
，
∴三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：
37．異面直線a、b所成角為，直線c與a、b垂直且分別交于A、B，點C、D分別在直線a、b上，若，，，則________．
【答案】或
【分析】
過B作BE//AC且過D作DE⊥BE于E，連接BE、CE，要注意E、C在AB的同側(cè)或異側(cè)兩種情況，結(jié)合已知有，再過C作CF⊥BE于F，求出DE、EC的長度，在Rt△DEC中應(yīng)用勾股定理求.
【詳解】
由題意，過B作BE//AC且過D作DE⊥BE于E，連接BE、CE，如下示意圖，
∴由題設(shè)知：面ABEC為直角梯形且，
過C作CF⊥BE于F，則CF=AB=2，，可得DE=，BE=，
∴如圖1，易得EF=，則EC=，
在Rt△DEC中，CD=.
如圖2，易得EF=，則EC=，
在Rt△DEC中，CD=.
故答案為：或
38．已知四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長為4的正方形，SD⊥面ABCD，點M、N分別是AD、CD的中點，P為SD上一點，且SD＝3PD＝3，H為正方形ABCD內(nèi)一點，若SH∥面PMN，則SH的最小值為__．
【答案】
【分析】
取為中點，連結(jié)，可證明平面平面，故當(dāng)H在上運動時，始終有SH∥面PMN，由于，故當(dāng)在中點時，，SH取得最小值，計算即得解
【詳解】
連接BD,AC交于點O，MN交BD于Q,如圖所示：
四棱錐S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以SD⊥BD；
由點M、N分別是AD、CD的中點，所以MN∥AC；
取為中點，連結(jié)，交BD于E，故,
又SD＝3PD＝3，連接SE，
則＝＝，所以PQ∥SE；
又,故平面平面,
故當(dāng)H在上運動時，始終有SH∥面PMN
由于為中點，故,
當(dāng)在中點時，,
此時SH取得最小值為＝＝．
故答案為：
39．如圖，在中，，，是棱的中點，以為折痕把折疊，使點到達點的位置，則當(dāng)三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為___________.
【答案】
【分析】
由已知求出，當(dāng)，即平面，三棱錐體積最大，再利用模型法求出外接球半徑即得解.
【詳解】
在中，因為，，
由余弦定理可得
，所以，
當(dāng)，即平面，三棱錐體積最大，
此時??兩兩垂直，可把三棱錐補形為一個長方體，
且長方體長?寬?高分別為：，
所以三棱錐的外接球半徑為：
，
所以外接球的表面積為.
故答案為：
40．在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是，且平面平面，活動彈子分別在正方形對角線上移動，若，則長度的最小值為__________．
【答案】
【分析】
的最小值即為兩條異面直線間的距離，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)異面直線的公垂向量為，由距離公式可求得答案.
【詳解】
分別是異面直線上的點，的最小值即為兩條異面直線間的距離，
平面平面，，平面平面，平面，
又，兩兩垂直．以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，
設(shè)異面直線的公垂向量為，則,
令，則，，
，即的最小值為．
故答案為：
任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-30題
一、單選題
1．已知四面體ABCD的所有棱長均為，M，N分別為棱AD，BC的中點，F(xiàn)為棱AB上異于A，B的動點．有下列結(jié)論：
①線段MN的長度為1；
②若點G為線段MN上的動點，則無論點F與G如何運動，直線FG與直線CD都是異面直線；
③的余弦值的取值范圍為；
④周長的最小值為．
其中正確結(jié)論的為（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】D
【分析】
將正四面體ABCD放置于正方體中，由M，N所處位置即可判斷①；取AB，MN，CD中點F，G，E，探討它們的關(guān)系可判斷②；
計算可判斷③；把正與正展開在同一平面內(nèi)，計算即可判斷④并作答.
【詳解】
如圖，在棱長為1的正方體上取頂點A，B，C，D，并順次連接即可得四面體ABCD，其棱長均為，
因M，N分別為棱AD，BC的中點，則M，N恰為正方體相對面的中心，即MN=1，①正確；
取AB的中點F，MN的中點G，CD的中點E，由正方體的結(jié)構(gòu)特征知F，G，E共線，即直線FG與直線CD交于E，②不正確；
中，，，由余弦定理得：
，當(dāng)點F無限接近于點B時，無限接近于，③不正確；
把四面體ABCD中的正與正展開在同一平面內(nèi)，連接MN，MN必過AB的中點，在AB上任取點，連，如圖，
此時，，當(dāng)且僅當(dāng)點與線段AB中點重合時取“=”，則對AB上任意點F，有最小值，
于是得在四面體ABCD中，周長有最小值，④正確，
所以①④為正確的結(jié)論.
故選：D
2．已知三棱錐，其中平面，，，.已知點為棱（不含端點）上的動點，若光線從點出發(fā)，依次經(jīng)過平面與平面反射后重新回到點，則光線經(jīng)過路徑長度的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
依題意可知光線所構(gòu)成的平面與平面和平面均垂直，即平面. 問題等價于：光線從線段（不含端點）上的點出發(fā)，經(jīng)過反射后重新回到點，求光線經(jīng)過路徑長度的取值范圍. 以為原點，以為軸建立平面直角坐標系，設(shè)（），分別求得關(guān)于的對稱點和關(guān)于的對稱點，根據(jù)幾何光學(xué)知識可得光線經(jīng)過路徑長度為線段的長度，進而可求得結(jié)果.
【詳解】
依題意可知光線所構(gòu)成的平面與平面和平面均垂直.
如圖，取的中點，連接，則，又平面，所以，因為，所以平面，又平面，所以平面平面；因為平面，且平面，所以平面平面.
所以平面與平面和平面均垂直.
因此，問題等價于：光線從線段（不含端點）上的點出發(fā)，經(jīng)過反射后重新回到點，求光線經(jīng)過路徑長度的取值范圍.
以為原點，以為軸建立平面直角坐標系如圖所示.
則，，所以的方程為，即，
設(shè)（）關(guān)于的對稱點為，
則，解得，即，
關(guān)于的對稱點為，
根據(jù)幾何光學(xué)知識可得光線經(jīng)過路徑長度為線段的長度.
因為，所以.
故選：C.
3．如圖，已知銳二面角的大小為，，，，，，，C，D為AB，MN的中點，若，記AN，CD與半平面所成角分別為，，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】
根據(jù)面面角的定義求得，根據(jù)線面角的定義找到，，通過比較的正弦值比較兩角的大小，接著根據(jù)的范圍判斷的大小，根據(jù)線段長度的大小關(guān)系求得的大小關(guān)系.
【詳解】
分別過點和點作，的平行線相交于點，
因為，所以,所以，
過點作，連接，所以，
所以,,由于，所以，
所以，又因為都為銳角，
所以，又，所以，則，
所以；
取線段中點為點，又C，D為AB，MN的中點，
所以與平行且相等，所以，
所以CD與半平面所成角為，
顯然，又因為，所以；
故選：A.
4．在棱長為2的正方體中，點是對角線上的點（點與不重合），有以下四個結(jié)論：
①存在點，使得平面平面；
②存在點，使得平面；
③若的周長為L，則L的最小值為；
④若的面積為，則．
則正確的結(jié)論為（ ）
A．①③B．①②③C．①②④D．②④
【答案】B
【分析】
根據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正確；由面面平行的性質(zhì)定理，可判定②正確；將平面與平面展開到同一平面，由兩點之間線段最短，可判定③正確；由三角形的面積公式，可求得的面積的范圍，可判定④錯誤.
【詳解】
解：
連接，設(shè)平面與體對角線交于點，
由，，,
平面，即平面,
平面，平面平面，
存在點，使得平面平面，故①對；
由，平面，平面，
所以平面，同理由可得平面，
又，所以平面平面，
設(shè)平面與交于點M，則平面，
所以平面，故②對；
將平面與平面展開到同一平面，如圖所示
則，
所以的周長為L的最小值為，故③對；
連接交于點O，過O作，

在正方體中，平面，
平面，，
由，
則，即，
此時面積為，
故④錯；
故選：B．
5．在棱長為1的正方體中，點P是正方體棱上一點，若滿足的點P的個數(shù)為4，則d的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先求得正方體的8個頂點到兩點的距離之和，進而得到得到在棱上的運動時d的取值范圍，然后再根據(jù)點的個數(shù)為4取交集即可.
【詳解】
如圖所示：

因為頂點到兩點的距離之和分別為
所以當(dāng)點分別在棱上運動時，的取值范圍是；
因為頂點，到兩點的距離之和分別為：
，
所以當(dāng)點分別在棱上運動時，的取值范圍是；
因為頂點到兩點的距離之和分別為：
， ， ，，
所以當(dāng)點分別在棱上運動時，的取值范圍是；
當(dāng)點分別在棱上運動時，設(shè)，
易得，此式可看成點與間的距離，
所以
因為頂點到兩點的距離之和分別為：
，，
所以當(dāng)點分別在棱上運動時，的取值范圍是.
由幾何直觀可知，點在正方體的每一條棱上運動時，它所在的位置與的值是一一對應(yīng)的，
所以當(dāng)?shù)狞c的個數(shù)為4時，則的取值范圍是，
故選：C（無答案）
6．在三棱錐中，，點在面上的投影是的垂心，二面角的平面角記為，二面角的平面角記為，二面角的平面角記為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
先根據(jù)題意作出各二面角的平面角，再在每一個直角三角形中將角用三角函數(shù)表示出達，然后再通過比較邊長從而達到比較角的大小的目的.
【詳解】
因為為點在平面的投影，且為的垂心連接交于點，連接，可知平面，所以，可知，所以在上的投影為，過作，連接.連接交于，連接.
這樣.
又因為,在中，,可得.
在中，
,
,
，
又因為在中，，所以，所以，
所以，所以
而
所以.
所以在中，，
所以在中，，
因為，所以，所以.
由題意，可知平面，所以，
又為的垂心，所以，且，
所以平面，所以，
取的中點，連接、.
由于為正三角形，所以，且，
所以平面，因此，由于為的中點，所以，
又，所以三棱錐為正三棱錐.
在分別，中，，
而，，
從而可知選項C正確.
故選：C.
7．已知正方體的棱長為1，是的中點，是棱上一點（不包括端點），則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．存在點，使得直線與直線相交
C．當(dāng)是棱的中點時，直線與直線所成的角為
D．平面截正方體所得的截面是五邊形
【答案】B
【分析】
對A用等體積轉(zhuǎn)換可知其正確；對B用反證法可知其錯誤；對C用兩異面直線所成的角可知其正確；對D由作圖可知其正確.
【詳解】
對于選項A：如圖，因為，所以A正確；
對于選項B：若存在點，使得直線與直線相交，則，，，四點共面，又平面平面，平面，平面，所以，又，所以，矛盾. 所以B錯誤；
對于選項C：取的中點，連接，則，則或其補角 是異面直線與所成的角，連接，易知，連接，，，由余弦定理得，所以直線與直線所成的角為，所以C正確；
對于選項D：過點作的平行線，交線段于點，交直線于點，連接，交于點，連接，，則五邊形就是平面截正方體表面所得的截面，所以D正確．
故選：B．
8．如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點的動點，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當(dāng)從滑動到的過程中，則下列選項中錯誤的是（ ）
A．的大小不會發(fā)生變化B．二面角的平面角的大小不會發(fā)生變化
C．與平面所成的角變大D．與所成的角先變小后變大
【答案】C
【分析】
過點作，交于點，交于點，連接，可證明在三角形沿直線折起的過程中，平面，然后用的值分別將各個選項中的角的相應(yīng)三角函數(shù)表示出來，然后判斷可得答案.
【詳解】
設(shè)等邊三角形的邊長為1，，則
在中，由，則
過點作，交于點，交于點，連接，則
,所以，
在三角形沿直線折起的過程中，始終滿足.
由平面平面，平面平面，所以平面
由平面,則
在中， ,
所以
所以
所以大小不變，故選項A正確.
過作交于點，由，則
由平面，又平面，則
由,所以平面,
所以為二面角的平面角
在直角中，
所以大小不變，故選項B正確.

由,則，又, 且
所以 平面，又平面,所以
由平面，由平面,則
所以

設(shè)點到平面的距離為.
由等體積法可得,即
則
設(shè)與平面所成的角為，則
當(dāng)從滑動到的過程中，的值從1變小到0，這一過程中逐漸變大.
所以在這一過程中，變小，則角變小， 故選項C不正確.
由，則 (或其補角)為與所成的角.
由上可知：，則
函數(shù)的對稱軸為
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減.
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)從1變到的過程中，變小，當(dāng)從變到0的過程中，變大，
所以選項D正確.
故選：C
9．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.如圖所示，已知某“鞠”的表面上有四個點，，，滿足，，則該“鞠”的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
本題實際上是求四面體外接球的面積問題. 設(shè)出球心，根據(jù)已知條件求出外接球半徑即可.
【詳解】
由已知得△，△均為等邊三角形.如圖所示，
設(shè)球心為，△的中心為，
取的中點，連接，，，，，，
則，，得平面，
且可求得，
而，所以.
在平面中過點作的垂線，與的延長線交于點，
由平面，得，
故平面，過點作于點，
則四邊形是矩形.
則，，
，.
設(shè)球的半徑為，，
則由，，
得，，
解得，.
故三棱錐外接球的表面積.
故選：B.
10．已知在中，斜邊，，若將沿斜邊上的中線折起，使平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
依題意作出三棱錐的外接球的球心，進而通過計算求得外接球半徑，最終可求得外接球的表面積.
【詳解】
依題意知，△是邊長為1的等邊三角形，設(shè)其外接圓半徑為，由正弦定理易得；
△是腰長為1的等腰三角形，同理可得其外接圓半徑.
在三棱錐中，分別過△和的外心、作它們的垂線，二者交于點，則是三棱錐的外接球的球心.
取的中點為，連接，，由平面平面可知，四邊形為矩形.
在直角△中，，，所以，所以，在直角△中，，
所以.
故三棱錐的外接球的表面積.
故選：A.
11．如圖，在長方體中，，，，點是的中點，點為棱上的動點，則平面與平面所成的銳二面角正切的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
以A為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，
用向量法求解即可.
【詳解】
以A為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，
則、、、、、、、、、其中.
則,.
設(shè)是平面的一個法向量，則，不妨設(shè)x=-1，則，
顯然是面的一個法向量.
設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，
要使平面與平面所成的銳二面角正切的最小，只需平面與平面所成的銳二面角最小，只需平面與平面所成的銳二面角余弦最大.
所以當(dāng)時，最小，最大.
此時，
所以.
故選：B
12．已知正方體的棱長為，M，N為體對角線的三等分點，動點P在三角形內(nèi)，且三角形的面積，則點P的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先通過位置關(guān)系的證明說明在平面內(nèi)，然后根據(jù)已知條件求解出的長度，根據(jù)的長度確定出在平面內(nèi)的軌跡形狀，由此求解出對應(yīng)的軌跡長度.
【詳解】
如圖所示：
連接，因為四邊形是正方形，所以，
因為平面，平面，所以，
又平面，平面，
所以平面，所以，
同理可知：，
又因為平面，平面，，
所以平面，
根據(jù)題意可知：，所以為正三角形，所以，
所以，設(shè)到平面的距離為，
因為，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以即為與平面的交點，由題意可知：平面，所以，
所以，再如下圖所示：
在正三角形中，高，
所以內(nèi)切圓的半徑，且，
取的兩個三等分點，連接，所以，
所以是以長度為邊長的正三角形，所以的軌跡是以為圓心，半徑等于的圓，圓的周長為，
在內(nèi)部的軌跡是三段圓弧，每一段圓弧的圓心角為，所以對應(yīng)的軌跡長度是圓周長的一半為，
故選：B.
13．已知半球與圓臺有公共的底面，圓臺上底面圓周在半球面上，半球的半徑為1，則圓臺側(cè)面積取最大值時，圓臺母線與底面所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)，，作于點，延長交球面于點，則由圓的相交弦定理可得，從而可求得，進而可表示出圓臺的側(cè)面積，求出其最大值，從而可得的值，然后在求出圓臺母線與底面所成角的余弦值即可
【詳解】
如圖1所示，設(shè)，，作于點，延長交球面于點，則，，由圓的相交弦定理及圖2得，即，解得，
則圓臺側(cè)面積，
則，令，則或（舍去），
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值．
當(dāng)時，，則．
在軸截面中，為圓臺母線與底面所成的角，在中可得，
故選：D．
14．如圖，等腰直角中，，點為平面外一動點，滿足，，給出下列四個結(jié)論：
①存在點，使得平面平面；
②存在點，使得平面平面；
③設(shè)的面積為，則的取值范圍是；
④設(shè)二面角的大小為，則的取值范圍是.
其中正確結(jié)論是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】
①當(dāng)時，結(jié)合條件，利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判斷；②取AP的中點M，根據(jù)，得到，利用反證法判斷；③由AP=4，AC=2，得到，由點P在平面上的極限位置判斷；④根據(jù)，由點在平面內(nèi)時 ，當(dāng)點運動時，設(shè)點A到平面的距離為h，根據(jù)，由判斷.
【詳解】
如圖所示：
①當(dāng)時，又，所以平面ABC，所以，又，所以平面PBC，又平面PAC，所以平面平面，故正確；
②取AP的中點M，連接BM，CM，因為，所以，假設(shè)平面平面，則平面PAC，則，而BM=BC=2，，不成立，故錯誤；
③因為AP=4，AC=2，所以，當(dāng)點P在平面上，且C，P在A，B的異側(cè) ，當(dāng)C，P在A，B的同側(cè)時，A，C，P共線， ，因為點為平面外，則的取值范圍是，故錯誤；
④因為，當(dāng)點在平面內(nèi)時 ，當(dāng)點運動時，設(shè)點A到平面的距離為h，因為，則，所以，所以的取值范圍是，故正確.
故選：B
15．已知AB、CD是圓O的兩條直徑，且，如圖1，沿AB折起，使兩個半圓面所在的平面垂直，折到點位置，如圖2．設(shè)直線與直線OC所成的角為，則（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【分析】
根據(jù)圓的性質(zhì)知，過D作于，連接CE、AC，設(shè)圓的半徑為，有，利用余弦定理、線面垂直的性質(zhì)證，結(jié)合勾股定理判斷是否為直角；再過作交于，則F為中點，連接，即直線與直線OC所成的角為，過F作于，連接，利用勾股定理及余弦定理求，即可比較與60°的大小.
【詳解】
圖1中過D作于，連接CE、AC，設(shè)圓的半徑為，
由，則且，
∴在△中，，而，
∵圖2中兩個半圓面所在的平面垂直，它們交線為AB，且面，
∴面，面，則，
∴在Rt△中，，而
∴，故，
過作交于，則F為中點，連接，即直線與直線OC所成的角為，，，
過F作于，連接，且面面，面，
∴面，面，則，
而在圖1中，，，，在△中，，
∴圖2，在Rt△中，，則在△中，，
∴.
故選：C
二、多選題
16．如圖，底面ABCD為邊長是4的正方形，半圓面底面ABCD．點P為半圓弧(不含A，D點)一動點．下列說法正確的是（ ）
A．三梭錐P—ABD的每個側(cè)面三角形都是直角三角形
B．三棱錐P—ABD體積的最大值為
C．三棱錐P—ABD外接球的表面積為定值
D．直線PB與平面ABCD所成最大角的正弦值為
【答案】AC
【分析】
對于A，根據(jù)面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可證得，由平面幾何知識可證得，，，由此可判斷；
對于B，當(dāng)點P是半圓弧的中點時，三棱錐P—ABD的底面積取得最大值，由棱錐的體積公式計算可判斷；
對于C，取BD的中點O，則有點O為三棱錐P—ABD外接球的球心，由球的表面積公式計算可判斷；
對于D，過點P作于，連接HB，則有就是直線PB與平面ABCD所成的角的平面角，設(shè)，表示，令，由基本不等式可求得，由此可判斷.
【詳解】
解：對于A，因為底面ABCD為邊長是4的正方形，所以，
又半圓面底面ABCD，半圓面底面，所以半圓面，所以，所以是直角三角形，，
因為AD是圓的直徑，所以，所以是直角三角形，；
因為，所以是直角三角形，，
所以在中有，所以，所以是直角三角形，所以三棱錐P—ABD的每個側(cè)面三角形都是直角三角形，故A正確；
對于B，在三棱錐P—ABD中，半圓面，所以AB是三棱錐P—ABD的高，當(dāng)點P是半圓弧的中點時，三棱錐P—ABD的底面積取得最大值，三棱錐P—ABD的體積取得最大值，故B不正確；
對于C，取BD的中點O，由A選項的解析得，所以點O為三棱錐P—ABD外接球的球心，所以三棱錐P—ABD外接球的表面積為，故C正確；
對于D，過點P作于，連接HB，
又半圓面底面ABCD，半圓面底面，所以面，
所以BH就是PB在面內(nèi)的射影，所以就是直線PB與平面ABCD所成的角的平面角，
設(shè)，則，，所以在直角三角形中，，，
所以，
所以，
令，則，且，所以，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即（滿足）時，取等號，
所以，所以，
所以，即直線PB與平面ABCD所成最大角的正弦值為，故D不正確，
故選：AC.

17．已知正方體的棱長為2，動點在正方形內(nèi)，則（ ）
A．若，則三棱錐的的外接球表面積為
B．若平面，則不可能垂直
C．若平面，則點的位置唯一
D．若點為中點，則三棱錐的體積是三棱錐體積的一半
【答案】CD
【分析】
根據(jù)題意，建立空間直角坐標系并得出各點坐標，設(shè)，其中，由，可知，設(shè)三棱錐的的外接球的球心為，根據(jù)球心到球上各點距離相等以及空間兩點間的距離公式，可求出球心的坐標，再利用球的表面積公式進行計算即可判斷A選項；利用空間向量求法向量的方法求出平面的法向量，有條件得出，利用向量的數(shù)量積運算得出，進而求出，可知當(dāng)時，從而可判斷B選項；根據(jù)平面，得出，再利用向量的數(shù)量積運算即可求出和的值，即可判斷C選項；利用三棱錐體積公式和等體積法分別求出和，結(jié)合條件即可判斷D選項.
【詳解】
解：如圖，建立空間直角坐標系：
則，
由于動點在正方形內(nèi)，可設(shè)，其中，
對于A選項，由于，則為的中點，此時，
設(shè)三棱錐的的外接球的球心為，
則，即，
解得：，所以，
則三棱錐的的外接球的半徑為，
所以三棱錐的的外接球表面積為，故A不正確；
對于B選項，設(shè)平面的法向量為，，，
則，令，得，故，
而，若平面，則，
則，即，所以，
此時，而，
所以，
當(dāng)時，，此時，則，故B不正確；
對于C選項，若平面，則，
由于，，
則，解得：或（舍去），
此時，即點的位置唯一，使得平面，故C正確；
對于D選項，點為中點，由正方體可知平面，
三棱錐的體積為：，
由于在正方形內(nèi)，則到平面為，
三棱錐體積為：，
而，所以，
所以三棱錐的體積是三棱錐體積的一半，故D正確.
故選：CD.
18．為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②.則下列結(jié)論正確（ ）
A．經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的面積為
B．異面直線與所成的角的余弦值為
C．多面體的體積為
D．球離球托底面的最小距離為
【答案】BCD
【分析】
根據(jù)球的體積，應(yīng)用球體體積公式求其半徑，A由已知條件求過A、B、C的截面圓半徑，進而求其面積即可；B過作且，找到異面直線的所成角，應(yīng)用余弦定理求余弦值；C將多面體補全為三棱柱，可知多面體為三棱柱去掉三個三棱錐，應(yīng)用棱柱、棱錐的體積公式求體積即可；D由球體縱向軸截面求球心到過A、B、C所在截面圓的距離，進而求球離球托底面的最小距離.
【詳解】
設(shè)球的半徑為，則，解得，
A：經(jīng)過A、B、C的球的截面圓，如下圖即為等邊△的外接圓，若其半徑為，則，所以面積為，故錯誤；
B：如下圖，過作且，則為異面直線與所成角，且△△，為中點，
∴，故，故正確；
C：將幾何體補全為直三棱柱，如下圖示，
∴多面體的體積為直三棱柱體積減去三個相同的三棱錐，
∴由下圖知：，故正確.
D：如下圖為球體縱向軸截面，為球面上過A、B、C的截面圓直徑，則，
∴球離球托底面的最小距離為，故正確.
故選：BCD
19．已知邊長為的菱形中，，將沿翻折，下列說法正確的是（ ）
A．在翻折的過程中，直線，始終不可能垂直
B．在翻折的過程中，三棱錐體積最大值為
C．在翻折過程中，三棱錐表面積最大時，其內(nèi)切球表面積為
D．在翻折的過程中，點在面上的投影為，為棱上的一個動點，的最小值為
【答案】BC
【分析】
直接利用平面圖形翻折問題的應(yīng)用，結(jié)合面面垂直、體積公式、異面直線的夾角逐項判斷.
【詳解】
如圖，
在翻折過程中構(gòu)成四面體D-ABC，和是正三角形，取AC中點O，連接BO，DO，
A.BO=DO=，則在翻折過程中，BD的范圍是，當(dāng)時，四面體D-ABC是正四面體，則，故錯誤；
B. 三棱錐的底面積為，因為，所以 平面，
又 平面，則平面平面BOD，
過D作，平面平面BOD=BO，則平面ABC，
又， 當(dāng)且僅當(dāng)與O重合時，等號成立，
所以體積最大值為，故正確；
C.三棱錐中，，而，
所以三棱錐表面積為：，
而在翻折過程中，的范圍是，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此三棱錐表面積的最大值為，
此時，，等腰的底邊BD上的高為，則，
所以，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則，
當(dāng)三棱錐表面積取最大值時， ，
此時內(nèi)切球的表面積為，故正確；
D.在翻折的過程中，點無限接近點B時，點也無限接近點B，而E為棱CD上的動點，E接近于點D時，接近于0，故錯誤；
故選：BC
20．如圖，是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板組成的三角形，，.現(xiàn)將沿斜邊翻折成△不在平面內(nèi)）.若，分別為和的中點，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面
B．與不可能垂直
C．二面角正切值的最大值為
D．直線與所成角的取值范圍為
【答案】AD
【分析】
對于A，由題得，從而判斷平面；對于B，由，則，當(dāng)時，且，此時滿足平面；對于C，作出二面角的平面角，設(shè)，所以，求得最值；對于D，作，可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，從而求得與所成角的最大值和最小值.
【詳解】
對于A選項：由，分別為和的中點，則，由平面，平面，
所以平面，故A正確；
對于B選項：由，則，當(dāng)時，且，此時滿足平面，因此，所以B錯誤；
對于C選項：如圖，取的中點O，連接DO并延長到E，使DO=OE,
作于，作于，連接，
所以，為二面角的平面角，
設(shè)，，
所以，所以C錯誤；
對于D選項：如圖，作，可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，
所以與夾角為，與夾角為，又不在平面內(nèi)，
，，
所以與所成角的取值范圍，所以D正確，
故選：AD.
21．已知邊長為的菱形中，，將沿翻折，下列說法正確的是（ ）
A．在翻折的過程中，直線，可能相互垂直
B．在翻折的過程中，三棱錐體積最大值為
C．在翻折的過程中，三棱錐表面積最大時，其內(nèi)切球表面積為
D．在翻折的過程中，點在面上的投影為，為棱上的一個動點，的最小值為
【答案】ABC
【分析】
直接利用平面圖形翻折問題的應(yīng)用，結(jié)合面面垂直、體積公式、異面直線夾角逐一判斷各選項即可作答.
【詳解】
如圖，在翻折過程中構(gòu)成四面體，和是正三角形，取AC中點O，連接BO，DO，
對于A，，則在翻折過程中，BD的范圍是，當(dāng)時，是正四面體，此時，則A正確；
對于B，三棱錐的底面積是定值，因，，則平面BOD，
平面ABC，則平面平面BOD，過D作直線BO于，而平面平面，
于是得平面ABC，則有，當(dāng)且僅當(dāng)點與點O重合時取“=”，
因此，，B正確；
對于C，三棱錐中，，而，即三棱錐的表面積，
而在翻折過程中，的范圍是，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
因此得三棱錐的表面積的最大值為，此時，
等腰的底邊BD上的高，，
從而得，設(shè)三棱錐內(nèi)切球半徑為r，
由得取最大值時的，此球的表面積為，C正確；
對于D，在翻折過程中，當(dāng)點D無限接近點B時，點也無限接近點B，而E為棱CD上的動點，E接近于點D時，接近于0，D不正確.
故選：ABC
22．已知正方體的棱長為2，是底面的中心，是棱上一點（不與端點重合），則（ ）
A．平面截正方體所得截面一定是梯形
B．存在點，使得三棱錐的體積為
C．存在點，使得與相交
D．當(dāng)是棱的中點時，平面截正方體外接球所得截面圓的面積
【答案】ABD
【分析】
對于A選項，連接，，過點作的平行線，交于點，進而得四邊形就是平面截正方體所得的截面，即可判斷；對于B選項，連接，在平面中，過點作，垂足為，故，即可判斷；對于C選項，根據(jù)異面直線的定義容易判斷；對于D選項，設(shè)平面的中心為，連接，取的中點，連接，當(dāng)是棱的中點時，設(shè)與交于點，連接，過點作，垂足為，再根據(jù)幾何關(guān)系求解平面截正方體外接球所得截面圓的半徑即可.
【詳解】
如圖1，連接，，過點作的平行線，交于點，易知與平行且不相等，連接，則四邊形就是平面截正方體所得的截面，由，可得，四邊形為梯形，A正確；

如圖2，連接，在平面中，過點作，垂足為，則平面，所以，所以存在點，使得三棱錐的體積為，所以B正確；
因為是平面外一點，在平面內(nèi)，直線平面，且直線，所以與一定異面，C錯誤；
如圖3，設(shè)平面的中心為，連接，則的中點就是正方體外接球的球心，連接，當(dāng)是棱的中點時，設(shè)與交于點，易知為的中點，連接，過點作，垂足為，因為，，所以平面，所以，又，所以平面，易知，所以，又正方體外接球的直徑為，所以平面截正方體外接球所得截面圓的半徑，故所得截面圓的面積為，所以D正確．
故選:ABD．
23．在四面體中，，，直線，所成的角為60°，，，則四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】
直線，所成的角為60°，則△分頂角為的等腰三角形、等邊三角形兩種情況，過作且，連接、、，且與交于O點，易證面，進而得到面面，根據(jù)矩形、等邊或等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合四面體的外接球球心、半徑與兩個垂直平面外接圓圓心、半徑的關(guān)系，即可求外接球半徑，進而求表面積.
【詳解】
當(dāng)四面體如下圖示，
過作且，連接、、，且與交于O點，則△為等邊三角形，為矩形且O點為外接圓圓心，即，又，，
∴面，面，則面面，
過為中點，連接、，若為面外接圓圓心，為四面體的外接球球心，則，，有，如下圖示，
∴四面體的外接球半徑，則外接球表面積為.
當(dāng)四面體如下圖示，
過作且，連接、、，且與交于O點，則△為等腰三角形，為矩形且O點為外接圓圓心，即，又，，
∴面，面，則面面，
過為中點，連接，若為面外接圓圓心，為四面體的外接球球心，則，，如下圖示，
∴四面體的外接球半徑，則外接球表面積為.
故選：CD
第II卷（非選擇題）
三、填空題
24．已知一正三棱錐的體積為，設(shè)其側(cè)面與底面所成銳二面角為，則當(dāng)?shù)扔赺_____時，側(cè)面積最?。?br>【答案】
【分析】
畫出正三棱錐，設(shè)底面邊長為，高為，結(jié)合體積公式列出關(guān)系式，三角函數(shù)表示出，面積公式表示出側(cè)面積，結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)即可求解.
【詳解】
如圖：設(shè)正三棱錐底面邊長為，高為，在底面投影為，則，化簡得，由二面角定義可知，應(yīng)為側(cè)面與底面所成銳二面角的平面角，，即，，
側(cè)面積為：，結(jié)合得，代入側(cè)面積公式得，令，則，令，則，當(dāng)時，，單減，時，，單增，故，此時側(cè)面積有最小值，即，，此時.
故答案為：
25．球面幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等面都有廣泛的應(yīng)用，如圖，A，B，C是球面上不同的大圓（大圓是過球心的平面與球面的交線）上的三點，經(jīng)過這三個點中任意兩點的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧圍成的圖形稱為球面．已知地球半徑為R，北極為點N，P，Q是地球表面上的兩點若P，Q在赤道上，且，則球面的面積為________；若，則球面的面積為________．
【答案】
【分析】
先證明“如果確定球面三角形的三個大圓所成的二面角分別為，則球面三角形的面積為，其中為球的半徑”，再根據(jù)題設(shè)條件求出二面角的大小，從而可求球面面積的大小.
【詳解】
現(xiàn)證明一個結(jié)論：如果確定球面三角形的三個大圓所成的二面角分別為，則球面三角形的面積為，其中為球的半徑.
證明：如圖，設(shè)為關(guān)于球心的對稱點，則均為球面上的點，
且均為直徑，我們用表示球面三角形的面積.
設(shè)，，，
則，
同理，.
所以，
而，
故，
又，
故.
若P，Q在赤道上，因為為極點且，故，
故確定球面三角形的三個大圓所成的二面角均為，故球面面積為.
若，則，
同理.
過作的垂線，垂足為，連接，則，
因為，故，
故，而，故，
故且
故，而為三角形內(nèi)角，
故，故的大小為，
故根據(jù)對稱性可知確定球面三角形的三個大圓所成的二面角均為，
故球面三角形的面積為.
故答案為：，.
26．如圖，在矩形中，是邊的中點，將沿直線折成，使得二面角的平面角為銳角，點在線段上運動(包括端點)，當(dāng)直線與平面所成角最大時，在底面內(nèi)的射影面積為___________.
【答案】
【分析】
如圖，設(shè)二面角的平面角，則由已知條件可得，所以為鈍角，所以，即直線與平面所成角最大時，點與點重合，然后求出直線與平面所成角的正弦值，利用基本不等式求出其最大值，即可得，從而可求出在底面內(nèi)的射影面積
【詳解】
解：如圖所示，取的中點，連接交于，連接，則由題意可知，則是二面角的平面角，
因為，所以在平面上的投影在上，記為
設(shè)二面角的平面角，則
，
所以，即，
所以為鈍角，所以，即直線與平面所成角最大時，點與點重合，
因為在矩形中，是邊的中點，
所以均為等腰直角三角形，,
所以,即，
所以到平面的距離為，
所以此時直線與平面所成角的正弦值為
，
令，則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即，此時，
所以在底面內(nèi)的射影面積為，
故答案為：
27．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，與底面成角，是平面內(nèi)任意一點，則的最小值是________.
【答案】
【分析】
作，再由，易得，從而平面ABE，由面面垂直的判定定理得到平面ABE平面BCD，得到與底面成的角為,然后在中，設(shè) ，BA與BP的夾角為，利用余弦定理得，根據(jù)直線與平面所成的角是平面內(nèi)直線與該直線所成的角中最小的角，得到，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解.
【詳解】
如圖所示：
作，垂足為E，連接BE，
因為,
所以平面ACD，則，又，
所以平面ABE，又平面BCD，
所以平面ABE平面BCD，
所以點A的射影在直線BE上，
所以與底面成的角為,
在中，設(shè) ，BA與BP的夾角為，
由余弦定理得，
兩邊同除以得 ，
因為直線與平面所成的角是平面內(nèi)直線與該直線所成的角中最小的角，
所以 ，
所以，當(dāng)點在BE上取等號，
又因為 ，所以，
當(dāng)時，即點P在E處，取得最小值，
所以的最小值是，
故答案為；
28．已知正方體的棱長為2，點E是棱的中點，點在平面內(nèi)，若，，則的最小值為_________．
【答案】．
【分析】
由已知求得F的軌跡，再由CE⊥BG分析得到，G的軌跡，然后數(shù)形結(jié)合即可求得|FG|的最小值．
【詳解】
如圖，取A1D1的中點O，連接EO，F(xiàn)O，
則EO⊥平面A1B1C1D1，連接OE，由，OE＝2，
可得OF＝1，則F在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓上，
取CD中點K，連接BK，在正方形ABCD中，
由E為AD的中點，K為CD的中點，
可得CE⊥BK，取C1D1的中點H，連接KH，B1H，
由BB1∥KH，BB1＝KH，得四邊形BB1HK為平行四邊形，則BK∥B1H，得G在線段B1H上．
過O作OG⊥B1H，交半圓弧于F，則|FG|為要求的最小值．
由已知可得，設(shè)|OG|＝h，
由等面積法可得，，
可得h，∴|FG|的最小值為．
故答案為:．
29．在棱長為的正方體中，過對角線的一個平面交于，交于，得四邊形，給出下列結(jié)論：
①四邊形有可能為梯形；
②四邊形有可能為菱形；
③四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形；
④四邊形有可能垂直于平面；
⑤四邊形面積的最小值為.
其中正確結(jié)論的序號是_____________
【答案】②③④⑤
【分析】
利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷①的正誤；取、分別為、的中點，結(jié)合①可判斷②的正誤；利用正投影的概念可判斷③的正誤；取、分別為、的中點，利用面面垂直的判定定理可判斷④的正誤；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出四邊形面積的最小值，可判斷⑤的正誤.
【詳解】
對于①，因為平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，同理可得，
所以，四邊形為平行四邊形，①錯誤；
對于②，當(dāng)為的中點時，，同理可得，
又因為四邊形為平行四邊形，此時，四邊形為菱形，②正確；
對于③，四邊形在底面內(nèi)的投影為正方形，③正確；
對于④，連接、、、、，
在正方體中，且，、分別為、的中點，
且，所以，四邊形為平行四邊形，，
因為四邊形為正方形，則，
平面，平面，，
，平面，則平面，
因為平面，此時，平面平面，④正確；
對于⑤，取線段的中點，設(shè)，其中，則，，
由勾股定理可得，
，
由余弦定理可得，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；
當(dāng)點在線段上運動時，同理可知，四邊形面積的最小值為.
綜上可知，⑤正確.
故答案為：②③④⑤.
30．在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點，經(jīng)過點A，E，F(xiàn)的平面把正方體截成兩部分，則截面的周長為________.
【答案】
【分析】
首先通過線面之間的平行關(guān)系，畫出過點A，E，F(xiàn)和正方體的截面五邊形，再利用平行線相交的應(yīng)用和成比例問題的應(yīng)用，求出截面五邊形的邊長，進而求得周長得解.
【詳解】
通過線面之間的平行關(guān)系，畫出過點A，E，F(xiàn)的截面五邊形，如圖所示
如圖，過點作交于H，易知，故點H為的4等分點，
在直角中，，，由勾股定理知
在直角中，，，由勾股定理知
連接AH，過點E作交于點P，則
，即，解得，
在直角中，，，由勾股定理知．
在直角中，，，由勾股定理知．
在直角中，，，由勾股定理知．
所以截面五邊形的周長為
故答案為：.

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