重難點(diǎn)30 圓錐曲線中的存在性問題（舉一反三）（新高考專用）（含答案） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc18029" 【題型1 與向量有關(guān)的存在性問題】 PAGEREF _Tc18029 \h 1
\l "_Tc1296" 【題型2 與斜率有關(guān)的存在性問題】 PAGEREF _Tc1296 \h 3
\l "_Tc30212" 【題型3 與面積有關(guān)的存在性問題】 PAGEREF _Tc30212 \h 4
\l "_Tc2563" 【題型4 存在定點(diǎn)滿足某條件問題】 PAGEREF _Tc2563 \h 6
\l "_Tc4391" 【題型5 存在常數(shù)滿足某條件問題】 PAGEREF _Tc4391 \h 7
\l "_Tc2885" 【題型6 存在點(diǎn)滿足定值問題】 PAGEREF _Tc2885 \h 9
1、圓錐曲線中的存在性問題
圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，圓錐曲線中的存在性問題考查頻率變高，此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種類型，主要在在解答題中考查，難度較高；復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練，靈活求解.
【知識(shí)點(diǎn)1 圓錐曲線中的存在性問題及其解題策略】
1．圓錐曲線中的存在性問題
此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，
成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對(duì)參數(shù)的討論.
2．圓錐曲線中的存在性問題的求解策略：
(1)若給出問題的一些特殊關(guān)系，要探索一般規(guī)律，并證明所得規(guī)律的正確性，通常要對(duì)已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括一般規(guī)律；
(2)若只給出條件，求“不存在”“是否存在”等語句表述問題時(shí)，一般先對(duì)結(jié)論給出肯定存在的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理，若在假設(shè)存在的前提下可以求出與已知、定理或公理相同的結(jié)論，則說明假設(shè)成立；否則說明假設(shè)不成立.
【題型1 與向量有關(guān)的存在性問題】
【例1】（2024·福建廈門·二模）已知A?2,0，B2,0，P為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)直線AP,BP的斜率分別為k1，k2，且滿足k1?k2=?34.記P的軌跡為曲線Γ.
(1)求Γ的軌跡方程；
(2)直線PA，PB分別交動(dòng)直線x=t于點(diǎn)C,D，過點(diǎn)C作PB的垂線交x軸于點(diǎn)H.HC?HD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.
【變式1-1】（2024·河南駐馬店·二模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)為A，直線l1:y=x?2與C的一條漸近線平行，且與C交于點(diǎn)B，直線AB的斜率為13．
(1)求C的方程；
(2)已知直線l2:y=2x+mm≠8與C交于P,Q兩點(diǎn)，問：是否存在滿足EA?EP=EP?EQ=EA?EQ的點(diǎn)Ex0,y0？若存在，求x02?y02的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式1-2】（2024·湖南邵陽·二模）已知雙曲線Γ:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F1?3,0，點(diǎn)M2,6在雙曲線上，直線l與雙曲線Γ交于A,B兩點(diǎn).
(1)若l經(jīng)過點(diǎn)?2,0，且∠AOB=90°，求AB；
(2)若l經(jīng)過點(diǎn)F1，且A,B兩點(diǎn)在雙曲線Γ的左支上，則在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得QA?QB為定值.若存在，請(qǐng)求出△QAB面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【變式1-3】（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到直線l1:y=3x與直線l2:y=?3x的距離之積等于34，且|y|0)交Γ于點(diǎn)A，B，Γ上是否存在點(diǎn)C滿足GA+GB+GC=0？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【題型2 與斜率有關(guān)的存在性問題】
【例2】（23-24高三下·廣東深圳·期中）已知拋物線C:y2=2px(00的焦距為26，離心率e=32，過點(diǎn)P0,2作兩條直線l1，l2，直線l1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線l2交橢圓于M，N兩點(diǎn)，A，B，M，N四點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上，且A，O，M三點(diǎn)共線．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)記直線AM與BN的斜率分別為k1，k2且k1k2≠0，判斷是否存在非零常數(shù)λ，使得k1=λk2．若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式2-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為32，過點(diǎn)P0,a的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)l過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，AB=2．
(1)求橢圓C的方程；
(2)當(dāng)l斜率存在時(shí)，線段OP上是否存在定點(diǎn)Q，使得直線QA與直線QB的斜率之和為定值．若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式2-3】（2024·新疆喀什·三模）已知雙曲線E：x2?3y2=3的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是直線l：y=?ca2x（其中a是實(shí)半軸長(zhǎng)，c是半焦距）上不同于原點(diǎn)O的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，斜率為k1的直線AF1與雙曲線E交于M，N兩點(diǎn)，斜率為k2的直線AF2與雙曲線E交于P，Q兩點(diǎn)．
(1)求1k1+1k2的值；
(2)若直線OM，ON，OP，OQ的斜率分別為kOM，kON，kOP，kOQ，問是否存在點(diǎn)A，滿足kOM+kON+kOP+kOQ=0，若存在，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【題型3 與面積有關(guān)的存在性問題】
【例3】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，阿波羅尼斯圓指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比MQMP=λ、(λ>0且λ≠1),λ是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x2+y2+42x?42y?4=0，定點(diǎn)分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓C的離心率為32．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)A2,1，過點(diǎn)A斜率分別為k1,k2的直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為B、D，且滿足k1+k2=0，試探究△ABD面積是否存在最大值，若存在，求出直線BD的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式3-1】（2024·北京·三模）已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1的離心率為63，其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A?3,0，B3,0.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)點(diǎn)P為橢圓上除A，B外的任意一點(diǎn)，直線AP交直線x=4于點(diǎn)E，點(diǎn)O 為坐標(biāo)原點(diǎn)：過點(diǎn)O且與直線BE垂直的直線記為l，直線BP交y軸于點(diǎn)M，交直線l于點(diǎn)N，問：是否存在點(diǎn)P使得△ABE與△MON的面積相等?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
【變式3-2】（2024·上海楊浦·二模）已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0的上頂點(diǎn)為A0,1，離心率e=32，過點(diǎn)P?2,1的直線l與橢圓Γ交于B，C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別與x軸交于點(diǎn)M、N.
(1)求橢圓Γ的方程；
(2)已知命題“對(duì)任意直線l，線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為真命題，求△AMN的重心坐標(biāo)；
(3)是否存在直線l，使得S△AMN=2S△ABC？若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.（其中S△AMN、S△ABC分別表示△AMN、△ABC的面積）
【變式3-3】（23-24高三下·上海閔行·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F2．
(1)若雙曲線的離心率為2，且M(0,26)，△MF1F2是正三角形，求C的方程；
(2)若a=1，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，且直線F1M的斜率為1b．若∠F1MF2=3π4，求b.
(3)在（1）的條件下，若動(dòng)直線l與C恰有1個(gè)公共點(diǎn)P且與C的兩條漸近線分別交于A、B記△AOP的面積為S1，△BOP的面積為S2（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），問：1S1+1S2是否存在最小值？若存在，求出該最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【題型4 存在定點(diǎn)滿足某條件問題】
【例4】（2024·浙江杭州·二模）已知A,B是橢圓E:x24+y2=1的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)Mm,0m>0與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.
(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo).
(2)過點(diǎn)M作直線l交橢圓E于C,D兩點(diǎn)（與A,B不重合），連接AC，BD交于點(diǎn)G.
（?。┳C明：點(diǎn)G在定直線上；
（ⅱ）是否存在點(diǎn)G使得CG⊥DG，若存在，求出直線l的斜率；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【變式4-1】（23-24高二下·北京·開學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率等于22，經(jīng)過其左焦點(diǎn)F?1,0且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)O為原點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得點(diǎn)F到直線QM,QN的距離總相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
【變式4-2】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，過點(diǎn)E1,?1的直線l與C交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為?12時(shí)，MN=453.
(1)求C的方程；
(2)若M,N分別在C的左?右兩支，點(diǎn)At,t?2t≠1，探究：是否存在t，使得∠EAM=∠EAN，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【變式4-3】（2024·廣西桂林·三模）雙曲線C：x24?y2b2=1b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1且傾斜角為60°的直線為l1，過F2且傾斜角為60°的直線為l2，已知l1，l2之間的距離為43．
(1)求C的方程；
(2)若過點(diǎn)F2的直線l與C的左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)M,N不在x軸上），判斷是否存在實(shí)數(shù)k使得MF2?NF2=kMF2NF2．若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【題型5 存在常數(shù)滿足某條件問題】
【例5】（23-24高三下·西藏拉薩·階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)，準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)M,Ax0,y0為拋物線C上一點(diǎn)，AD⊥l交y軸于點(diǎn)D.當(dāng)y0=42時(shí)，MA=MD+MF.
(1)求拋物線C的方程；
(2)設(shè)直線AM與拋物線C的另一交點(diǎn)為B（點(diǎn)B在點(diǎn)A,M之間），過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交AM于點(diǎn)N.是否存在實(shí)數(shù)λ，使得AMBN=λBMAN？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【變式5-1】（2024·上?！ざ＃┰凇鰽BC中，已知B?1,0，C1,0，設(shè)G,H,W分別是△ABC的重心、垂心、外心，且存在λ∈R使GH=λBC.
(1)求點(diǎn)A的軌跡Γ的方程；
(2)求△ABC的外心W的縱坐標(biāo)m的取值范圍；
(3)設(shè)直線AW與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為M，記△AWG與△MGH的面積分別為S1,S2，是否存在實(shí)數(shù)λ使S1S2=722？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【變式5-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓C1的方程為(x+2)2+y2=24，點(diǎn)C2的坐標(biāo)為(2,0)．點(diǎn)P為圓C1上的任意一點(diǎn)，線段PC2的垂直平分線與PC1交于點(diǎn)D．
(1)求點(diǎn)D的軌跡E的方程；
(2)點(diǎn)Q是圓x2+y2=r2(r>0)上異于點(diǎn)A(?r,0)和B(r,0)的任一點(diǎn)，直線AQ與軌跡E交于點(diǎn)M，N，直線BQ與軌跡E交于點(diǎn)S，T．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM，ON，OS，OT的斜率分別為kOM，kON，kOS，kOT，問：是否存在常數(shù)r，使得kOM+kON=kOS+kOT恒成立？若存在，求r的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式5-3】（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知橢圓Γ1的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，Γ1的離心率為12，且過點(diǎn) M3,32，等軸雙曲線Γ2以Γ1的焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在Γ2的右支上且異于頂點(diǎn).
(1)求Γ1與Γ2的方程;
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，直線PF1與Γ1相交于點(diǎn)A、B，直線PF2與Γ1相交于點(diǎn)C、D，AF1?BF1=m，CF2?DF2=n. 是否存在常數(shù)s使得m+n=smn，若存在求出s的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【題型6 存在點(diǎn)滿足定值問題】
【例6】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,T?1,32是C上的點(diǎn)，直線TF的斜率為?34．
(1)求C的方程；
(2)過點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線分別交C于M,N兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，MN,PQ的中點(diǎn)分別記為A,B，且TH⊥AB,H為垂足．試判斷是否存在點(diǎn)K，使得KH為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為54，且點(diǎn)?42,3在雙曲線C上．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)過點(diǎn)P0,1的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于點(diǎn)A,B．問：在y軸上是否存在定點(diǎn)Q，使直線AQ與BQ的斜率之和為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式6-2】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為6，圓x2+y2=9與橢圓C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知?jiǎng)又本€l過曲線C的左焦點(diǎn)F，且與橢圓C分別交于P，Q兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在定點(diǎn)R，使得RP→·RQ→為定值？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式6-3】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知圓E:(x+6)2+y2=32，動(dòng)圓C與圓E相內(nèi)切，且經(jīng)過定點(diǎn)F6，0
(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；
(2)若直線l:y=x+t與（1）中軌跡交于不同的兩點(diǎn)A,B，記△OAB外接圓的圓心為M（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），平面上是否存在兩定點(diǎn)C，D，使得MC?MD為定值，若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)和定值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
一、單選題
1．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A，B是橢圓C:x23+y2m=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是（）
A．（0，1]B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，1]∪[9，+∞）D．[9，+∞）
2．（2024·河北衡水·一模）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：x2m+y2=1(m>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足MF1⊥MF2，則實(shí)數(shù)m取值范圍是（）
A．(0,12]B．[2,+∞)C．(0,12]∪[2,+∞)D．[12,1)∪(1,2]
3．（2024·湖南益陽·一模）已知拋物線C1:y2=4x，C2:y2=8x的焦點(diǎn)分別為F1、F2，若P、Q分別為C1、C2上的點(diǎn)，且線段PQ平行于x軸，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．當(dāng)|PQ|=12時(shí)，△F1PQ是直角三角形B．當(dāng)|PQ|=43時(shí)，△F2PQ是等腰三角形
C．存在四邊形F1F2PQ是菱形D．存在四邊形F1F2PQ是矩形
4．（23-24高二上·上海浦東新·期末）已知直線l經(jīng)過拋物線x2=32y的焦點(diǎn)F，交拋物線于M，N兩點(diǎn)，若在y軸負(fù)半軸上存在一點(diǎn)T(0,t)，使得∠MTN為鈍角，則t的取值范圍為（）
A．(?8,0)B．(?∞,?8)
C．(?4,0)D．(?∞,?4)
5．（2024·廣東汕頭·三模）已知橢圓C：x216+y212=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上任意一點(diǎn)，則下列不正確的是（）
A．C的離心率為12B．PF1的最小值為2
C．PF1?PF2的最大值為16D．可能存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2=65°
6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l1過拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F且與C交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），ABmin=4，l為C的準(zhǔn)線，AM⊥l，垂足為M，Q0,1，則下列說法正確的是（）
A．p=4B．AM+AQ的最小值為2
C．若∠MFO=π3，則AB=5D．x軸上存在一點(diǎn)N，使kAN+kBN為定值
7．（2024·上海黃浦·二模）將曲線x216+y29=1( x≥0 )與曲線x27+y29=1( x≤0 )合成的曲線記作C．設(shè)k為實(shí)數(shù)，斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，有下列兩個(gè)結(jié)論：①存在k，使得點(diǎn)P的軌跡總落在某個(gè)橢圓上；②存在k，使得點(diǎn)P的軌跡總落在某條直線上，那么（）．
A．①②均正確B．①②均錯(cuò)誤
C．①正確，②錯(cuò)誤D．①錯(cuò)誤，②正確
8．（23-24高三上·四川成都·期末）曲線C是平面內(nèi)與三個(gè)定點(diǎn)F1?1,0，F(xiàn)21,0和F30,1的距離的和等于22的點(diǎn)的軌跡.給出下列四個(gè)結(jié)論：
①曲線C關(guān)于x軸、y軸均對(duì)稱；
②曲線C上存在點(diǎn)P，使得PF3=223；
③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF2的面積最大值是1；
④曲線C上存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2為鈍角.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）
A．②③④B．②③C．③④D．①②③④
二、多選題
9．（2024·安徽阜陽·一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:x26+y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.A,B兩點(diǎn)都在C上，A，O,B三點(diǎn)共線，P（不與A,B重合）為上頂點(diǎn)，則（）
A．AB的最小值為4B．AF1+BF1為定值
C．存在點(diǎn)A，使得AF1⊥AF2D．kPA?kPB=?13
10．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知過點(diǎn)P2,0的直線l交拋物線y2=4x于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的有（）
A．△AOB的面積存在最大值
B．△AOB的面積存在最小值
C．存在直線l，使得OA⊥OB
D．在x軸上存在異于P的定點(diǎn)Q，便得對(duì)任意的直線l，總有∠PQA=∠PQB
11．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F且與C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），ABmin=4，l為C的準(zhǔn)線，AM⊥l，垂足為M，Q0,1，則下列說法正確的是（）
A．p=2
B．AM+AQ的最小值為2
C．若∠MFO=π3，則AB=5
D．x軸上存在一點(diǎn)N，使kAN+kBN為定值
三、填空題
12．（2024·河南·二模）直線l:x?my+2=0(m>0)與拋物線：y2=4x相交于A,B兩點(diǎn)，若在y軸上存在點(diǎn)P使得PA?PB=0，則m的最小值為 .
13．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線y2=2px(x>0),P2,1為拋物線內(nèi)一點(diǎn)，不經(jīng)過P點(diǎn)的直線l:y=2x+m與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，連接AP,BP分別交拋物線于C,D兩點(diǎn)，若對(duì)任意直線l，總存在λ，使得AP=λPC,BP=λPD(λ>0,λ≠1)成立，則該拋物線方程為 .
14．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知四邊形ABCD是橢圓M:x22+y2=1的內(nèi)接四邊形，其對(duì)角線AC和BD交于原點(diǎn)O，且斜率之積為?13．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①四邊形ABCD是平行四邊形；
②存在四邊形ABCD是菱形；
③存在四邊形ABCD使得∠AOD=91°；
④存在四邊形ABCD使得|AC|2+|BD|2=645．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為．
四、解答題
15．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦點(diǎn)分別為F1?c,0，F(xiàn)2c,0，過F2的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且△MNF1的周長(zhǎng)為8，△MF1F2的最大面積為3．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)b>1，是否存在x軸上的定點(diǎn)P，使得△PMN的內(nèi)心在x軸上，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
16．（2024·全國·二模）橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b≥3)的離心率為223，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)M(3,0)的動(dòng)直線l與橢圓Γ相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，|PQ|=2725.
(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線AP與直線x=t的交點(diǎn)為N，是否存在定實(shí)數(shù)t，使Q，B，N三點(diǎn)共線?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
17．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知與圓P：x2+y?22=1內(nèi)切，且與直線l1：y=?3相切的動(dòng)圓Q的圓心軌跡為曲線C，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長(zhǎng)AO，BO分別與直線l2：y=?2相交于點(diǎn)M，N．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)A作AA1⊥l2于A1，若A1，O，B三點(diǎn)共線，試探究線段MN的長(zhǎng)度是否存在最小值．如果存在，請(qǐng)求出最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
18．（2024·四川內(nèi)江·三模）已知拋物線E的準(zhǔn)線方程為：x=?1，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線E交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、D兩點(diǎn)，直線CF與拋物線E交于M、N兩點(diǎn)，直線DF與拋物線E交于P、Q兩點(diǎn).
(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得MN?PQ=λMN+PQ恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
19．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B分別為橢圓E:x23+y24=1的上下頂點(diǎn)，P為直線l:y=12上的動(dòng)點(diǎn)，且P不在橢圓上，PA與橢圓E的另一交點(diǎn)為C，PB與橢圓E的另一交點(diǎn)為D，（C，D均不與橢圓E上下頂點(diǎn)重合）.
(1)證明：直線CD過定點(diǎn)；
(2)設(shè)（1）問中定點(diǎn)為Q，過點(diǎn)C，D分別作直線l:y=12的垂線，垂足分別為M，N，記△CMQ，△MNQ，△DNQ的面積分別為S1，S2，S3，試問：是否存在常數(shù)t，使得S1，tS2，S3總為等比數(shù)列？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

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