1、數(shù)學(xué)試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。
2、本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁。
3、請務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的。
4、考試結(jié)束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回。
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分，每小題都給出A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A.B.C.D.
2.一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是（ ）
A.2B.1C.4D.
3.二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A.B.C.D.
4.用配方法解一元二次方程，此方程可化為（ ）
A.B.C.D.
5.關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)，說法正確的是（ ）
A對稱軸為直線B.函數(shù)最小值為0
C.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大D.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小
6.如表是某同學(xué)求代數(shù)式的值的情況，根據(jù)表格可知方程的根是（ ）
A.B.C.或D.或
7.一次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象大致是（ ）
A.B.C.D.
8.某?！巴孓D(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)小組在一次實(shí)踐調(diào)查中發(fā)現(xiàn)某種植物的1個(gè)主干上長出x個(gè)支干，每個(gè)支干上再長出x個(gè)小分支，若在1個(gè)主干上的主干、支干和小分支的總數(shù)是31個(gè)，則列出的下列方程中正確的是（ ）
A.B.
C.D.
9.如圖，正方形的頂點(diǎn)A，C在拋物線上，點(diǎn)D在y軸上若A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，，下列結(jié)論正確的是（ ）
第9題圖
A.B.C.D.
10.如圖，已知拋物線（a，b，c為常數(shù)，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與x軸交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①；②；③；④若方程的兩根為m，，則.
第10題圖
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11.寫出有一個(gè)根為1的關(guān)于x的一元二次方程：______.
12.將拋物線先向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，那么平移后所得的拋物線的解析式為______.
13.已知實(shí)數(shù)a，b是方程的兩根，則的值為______.
14.已知二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，且經(jīng)過點(diǎn)，.
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；
（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值是______.
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15.解方程：.
16.將長為，寬為的長方形的長和寬都增加相同長度，結(jié)果增加后長方形的面積增加了.求增加后長方形的長和寬.
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17.已知關(guān)于x的一元二次方程（k為常數(shù)）.
（1）求證：不論k為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的一個(gè)根為1，求k的值和方程的另一個(gè)根.
18.已知二次函數(shù).
（1）填寫表中空格處的數(shù)值；
（2）根據(jù)上表，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)表格、圖象可知，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是______.
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19.配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)等，所謂配方法是指將一個(gè)式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，其實(shí)這種方法還經(jīng)常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義解決某些問題，我們規(guī)定：一個(gè)整數(shù)能表示成（a，b是整數(shù)）的形式，稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”.例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”.
【解決問題】
（1）下列各數(shù)中，“完美數(shù)”有______（只填序號）；
①10②24③34④60
【探究問題】
（2）若可配方成（m，n為常數(shù)），求mn的值；
【拓展應(yīng)用】
（3）已知（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，求符合條件的k的值.
20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，且交x軸于A，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn).
（1）求拋物線的解析式；
（2）若P是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線于點(diǎn)E，當(dāng)線段的長取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
六、（本題滿分12分）
21.某超市以每只35元的價(jià)格購進(jìn)某款玻璃杯，并以每只58元的價(jià)格出售.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，7月份的銷售量為256只，9月份的銷售量為400只.
（1）求該款玻璃杯7月份到9月份銷售量的月平均增長率；
（2）經(jīng)市場預(yù)測，10月份的銷售量將與9月份持平，現(xiàn)超市為了減少庫存，采用降價(jià)促銷方式.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該玻璃杯售價(jià)每降價(jià)1元，月銷售量就會(huì)增加20只.當(dāng)該玻璃杯每只售價(jià)為多少元時(shí)，月銷售利潤可達(dá)到8400元？
七、（本題滿分12分）
22.在中，，，.
圖1 圖2
（1）如圖1，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿向點(diǎn)A以的速度移動(dòng).當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨即停止移動(dòng).如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過t秒后，的長為______cm.
（2）在（1）的條件下，經(jīng)過幾秒的面積等于?
（3）如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿向點(diǎn)C以的速度移動(dòng).當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨即停止移動(dòng).如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒的面積等于?
八、（本題滿分14分）
23.已知某二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且圖象經(jīng)過點(diǎn).
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)的最大值與最小值的差是8，求t的值；
（3）已知點(diǎn)，，若該二次函數(shù)的圖象與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，請求出m的取值范圍.
九年級
數(shù)學(xué)（人教版）（參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）
1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C 8.C 9.B
10.C 【解析】由圖象，得，對稱軸是直線，∴.又∵拋物線交y軸于負(fù)半軸，∴，∴，故①正確；∵對稱軸是直線，且拋物線過點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，∴結(jié)合圖象得，當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，故③正確；如圖，由方程的兩根為m，n，得直線與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，n.∵直線經(jīng)過第一、二、三象限，且過點(diǎn)，∴直線與拋物線的交點(diǎn)在第一、三象限.由圖象可知，故④正確.綜上，正確的結(jié)論有3個(gè).
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11.（答案不唯一） 12. 13.
14.（1）（2分） （2）3（3分）
【解析】（1）∵當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
（2）∵，是二次函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A，B關(guān)于對稱軸直線對稱，∴，即.∵，∴將代入，得，即.
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15.解：整理，得，
因式分解，得，……（3分）
∴或，
∴，……（8分）
16.解：設(shè)長和寬各增加，則增加后長方形的長為，寬為.
由題意，得，……（3分）
整理，得，
解得，（不合題意，舍去），
∴，，
答：增加后長方形的長為10cm，寬為8cm.……（8分）
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17.（1）證明：由題意，得
.
∵，∴，
∴該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.……（4分）
（2）解：∵方程的一個(gè)根為1，代入方程得，
解得，∴原方程為，
解得，，∴k的值為2，方程的另一個(gè)根為3.……（8分）
18.解：（1） 3……（2分）
（2）函數(shù)圖象如圖所示.（5分）
（3）
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19.解：（1）①③（2分）
（2）由題意，得.
∵可配方成，
∴，∴，或.
當(dāng)，時(shí)，；
當(dāng)，時(shí)，，
即的值為6或.……（7分）
（3）由題意，得.
∵S為“完美數(shù)”，∴，∴.……（10分）
20.解：（1）∵拋物線過點(diǎn)，，，
∴解得
∴拋物線的解析式為.……4分
（2）設(shè)，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m.
設(shè)直線的解析式為，把，代入，
得解得
∴直線的解析式為，
∴，
∴.……（8分）
當(dāng)時(shí)，取最大值，
此時(shí)，.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.……（10分）
六、（本題滿分12分）
21.解：（1）設(shè)該款玻璃杯7月份到9月份銷售量的月平均增長率為x.
根據(jù)題意，得，
解得，（不符合題意，舍去）.
答：該款玻璃杯7月份到9月份銷售量的月平均增長率為25%.……（6分）
（2）設(shè)該玻璃杯每只售價(jià)為y元，則每只銷售利潤為元，
月銷售量為只.
根據(jù)題意，得，
解得，（不符合題意，舍去）.
答：當(dāng)該款玻璃杯每只售價(jià)為50元時(shí)，月銷售利潤可達(dá)到8400元.……（12分）
七、（本題滿分12分）
22.解：（1）……（3分）
（2）設(shè)經(jīng)過t秒，的面積等于.
由題意，得，
化簡，得，
解得，.
答：經(jīng)過秒或秒，的面積等于.……（7分）
（3）如圖，連接，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H.
∵，，∴.
∵，∴當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，，
即，
整理，得，解得.
答：經(jīng)過秒，的面積等于.……（12分）
八、（本題滿分14分）
23.解：（1）由題意知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
設(shè)該二次函數(shù)的解析式為.
把點(diǎn)代入，得，解得，
∴該二次函數(shù)的解析式為.……（4分）
（2）由題意知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
①當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為，最大值為，
∴，此時(shí)方程無實(shí)數(shù)解；
②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為.
∴當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)最大值與最小值的差是8，
∴該二次函數(shù)最大值為.
∵時(shí)，∴時(shí)，，
即，解得（舍去）或，
∴當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)的最大值與最小值的差是8，t的值為.……（9分）
（3）由題意知，該二次函數(shù)的大致圖象如圖所示.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
由圖知當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)只有一個(gè).
∵，∴當(dāng)時(shí)，圖中也符合只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴該二次函數(shù)的圖象與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為或.……（14分）
…
0
1
2
3
…
…
10
4
0
0
…
x
…
0
1
2
3
…
…
2
2
…

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