注意事項：
1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內容：高考全部內容．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．在復數(shù)范圍內，方程的解的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知雙曲線的離心率大于實軸長，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．若，，，則（ ）
A．B．C．D．
5．函數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．0D．
6．已知向量，滿足，，，，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
7．現(xiàn)有6個人計劃在暑期前往江西省的南昌、九江、贛州、萍鄉(xiāng)四個城市旅游，每人都要從這四個城市中選擇一個城市，且每個城市都有人選擇，則至少有2人選擇南昌的選法種數(shù)為（ ）
A．420B．660C．720D．1200
8．已知函數(shù)滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知函數(shù)，，則（ ）
A．與的值域相同
B．與的最小正周期相同
C．曲線與有相同的對稱軸
D．曲線與有相同的對稱中心
10．如圖，現(xiàn)有一個底面直徑為10cm，高為25cm的圓錐形容器，已知此刻容器內液體的高度為15cm，忽略容器的厚度，則（ ）
A．此刻容器內液體的體積與容器的容積的比值為
B．容器內液體倒去一半后，容器內液體的高度為
C．當容器內液體的高度增加5cm時，需要增加的液體的體積為
D．當容器內沉入一個棱長為的正方體鐵塊時，容器內液體的高度為
11．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與交于A，B兩點，其中點在第一象限．若動點在的準線上，則（ ）
A．的最小值為0
B．當為等腰三角形時，點的縱坐標的最大值為
C．當?shù)闹匦脑谳S上時，的面積為
D．當為鈍角三角形時，點的縱坐標的取值范圍為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則______．
13．已知，，，四點都在球的球面上，且，，三點所在平面經過球心，，，則點到平面ABC的距離的最大值為______，球O的表面積為______．
14．若，，均為正數(shù)，且，則的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程．
（2）試問是否存在實數(shù)，使得在上單調遞增？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．
16．（15分）
貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區(qū)的一種水果，其果實個大似鵝蛋，外表呈橙黃色，陽面有暈．貴妃杏口感甜美，肉質實心鮮嫩多汁，營養(yǎng)豐富，是河南省的知名特產之一．已知該地區(qū)某種植園成熟的貴妃杏（按個計算）的質量（單位：克）服從正態(tài)分布，且，．從該種植園成熟的貴妃杏中選取了10個，它們的質量（單位：克）為101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，這10個貴妃杏的平均質量（單位：克）恰等于克．
（1）求．
（2）求．
（3）甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機選取1個，若選取的貴妃杏的質量大于100克且不大于104克，則贈送1個貴妃杏；若選取的貴妃杏的質量大于104克，則贈送2個貴妃杏．記甲和乙獲贈貴妃杏的總個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．
17．（15分）
如圖，在四棱錐中，底面平面．
（1）證明：平面平面PAB．
（2）若，，且異面直線PD與BC所成角的正切值為，求平面PAB與平面PCD所成二面角的正弦值．
18．（17分）
已知點，，動點滿足，動點的軌跡為記為．
（1）判斷與圓的位置關系并說明理由．
（2）若為上一點，且點到軸的距離，求內切圓的半徑的取值范圍．
（3）若直線與交于C，D兩點，，分別為的左、右頂點，設直線的斜率為，直線的斜率為，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
19．（17分）
在個數(shù)碼1，2，…，構成的一個排列中，若一個較大的數(shù)碼排在一個較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構成逆序，這個排列的所有逆序的總個數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)，記為，例如，，．
（1）比較與的大??；
（2）設數(shù)列滿足，，求的通項公式；
（3）設排列滿足，，，，證明：．
江西省10月份高三聯(lián)考
數(shù)學參考答案
1．C 依題意可得，則．
2．D 由，得，得或．
3．A 由題意得，解得．
4．A 因為，，所以，，所以．
5．B ，令，得，令，得，所以的最小值為．
6．C 因為，，，，所以，所以在方向上的投影向量為．
7．B 將6人分成4組，分配方案有兩種：1，1，2，2和1，1，1，3．那么至少有2人選擇南昌的選法種數(shù)為．
8．D 令，得，則，則，
將以上各式相加得，所以．
9．ABC ，，則與的值域相同，A正確．與的最小正周期均為，B正確．曲線與的對稱軸方程均為，C正確．曲線沒有對稱中心，曲線有對稱中心，D錯誤．
10．BCD 此刻容器內液體的體積與容器的容積的比值為，A錯誤．設容器內液體倒去一半后液體的高度為，則，解得，B正確．因為，，所以當容器內液體的高度增加5cm時，需要增加的液體的體積為，C正確．當容器內沉入一個棱長為的正方體鐵塊時，設容器內液體的高度為，體積，則，，D正確．
11．AC 依題意可得，直線AB的方程為，代入，消去得，解得，，因為點在第一象限，所以，．的準線方程為，設，則，，所以，A正確．當為等腰三角形時，要使得點的縱坐標最大，則，即，且，解得，B錯誤．
的重心坐標為，即，當?shù)闹匦脑谳S上時，，得的面積為，C正確．
當，，三點共線時，．由，得為銳角或直角，當為直角或為直角時，或，得或，當為鈍角三角形時，點的縱坐標的取值范圍為，D錯誤．
12．－2 因為，所以．
13．4； 設球的半徑為，由正弦定理得，則，則點到平面ABC的距離的最大值為4，球的表面積為．
14． （方法一）由，得，不妨令，，，，則，且，所以．令，則，令，得，令，得，所以，即的最大值為．
（方法二）由，得．
由，得，
則，當且僅當，即時，等號成立，故的最大值為．
15．解：（1）當時，，
則，
所以，
因為，
所以曲線在點處的切線方程為，
即（或）．
（2）假設存在實數(shù)，使得在上單調遞增，
則對恒成立，
即對恒成立．
當時，為增函數(shù)，則，
所以，又，所以的取值范圍為．
16．解：（1）．
（2）因為，所以，
所以．
（3）設1人獲贈貴妃杏的個數(shù)為，則，，．
依題意可得的可能取值為0，1，2，3，4，
，
，
則的分布列為
所以．
17．（1）證明：底面，．
，，平面PAB.
平面PAD，平面平面，，
平面PAB．
又平面平面平面PAB.
（2）解：，直線PD與直線BC所成的角為．
底面ABCD，，即．
設AD為2個單位長度，以為原點，AB，AD，AP所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，
設平面PCD的法向量為，則
取，則，得．
易知平面PAB的一個法向量為，
則．
故平面PAB與平面PCD所成二面角的正弦值為．
18．解：（1）因為，所以是以，為焦點，且長軸長為6的橢圓．
設的方程為，則，可得，又，所以，
聯(lián)立與，得，，所以與圓相切．
（2）的周長，
的面積，
所以內切圓的半徑，
故內切圓的半徑的取值范圍為．
（3）聯(lián)立得，
易知，且，．
設，則，
所以．
（方法一）由，，得，
所以．
（方法二）因為，
所以
．
所以，
故為定值，且定值為．
19．（1）解：在排列613245中，與6構成逆序的有5個，與3構成逆序的有1個，與1，2，4，5構成逆序的均有0個，所以；
在排列15432中，與5構成逆序的有3個，與4構成逆序的有2個，與3構成逆序的有1個，與1，2構成逆序的均有0個，所以．
故．
（2）解：由（1）知，所以，即．
因為，所以數(shù)列是首項為1，公差為6的等差數(shù)列，
所以，則．
（3）證明：因為，所以在排列中，排在前面的10個數(shù)依次為，，，…，，排在后面的10個數(shù)依次為10，9，8，…，1，
所以
所以，則．
設函數(shù)，
則，
當時，，當時，，
所以，
所以，當且僅當時，等號成立．
取，則，
即
所以，
即．0
1
2
3
4
0.25
0.3
0.29
0.12
0.04

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