命題人：黃能武 審題人：劉小榮
一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．
1．設(shè)，則“且”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．下列命題是假命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若且，則D．若且，則
3．已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
4．下列說法不正確的是（ ）
A．命題p：，，則命題p的否定：，
B．若集合中只有一個(gè)元素，則
C．若，，則
D．已知集合，且，滿足條件的集合N的個(gè)數(shù)為4
5．若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列說法正確的是（ ）
A．，對任意的，，這個(gè)對應(yīng)是A到B的函數(shù)
B．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?br>C．和表示同一函數(shù)
D．函數(shù)的最小值是-1
7．在R上定義運(yùn)算：．已知時(shí)，存在x使不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，若對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知關(guān)于x的不等式的解集為，則下列說法正確的是（ ）
A．B．的解集是
C．D．的解集是
10．已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)镽B．的值域?yàn)?br>C．若，則x的值是D．的解集為
11．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知命題p：，，命題q：，使得成立，若p是真命題，q是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
13．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為______．
14．若關(guān)于x的不等式的解集中的整數(shù)恰有2個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知全集，集合，，．
（1）求集合；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
16．（15分）設(shè)函數(shù)．
（1）若關(guān)于x的不等式有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若不等式對于實(shí)數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
17．（15分）某學(xué)校要建造一個(gè)長方體形的體育館，其地面面積為，體育館高5m，如果甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為：館頂每平方米的造價(jià)為100元，體育館前后兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米150元，左右兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米250元，設(shè)體育館前墻長為x米．
（1）當(dāng)前墻的長度為多少米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？
（2）現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與該校的體育館建造競標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無論前墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功（學(xué)校選擇報(bào)價(jià)更低的工程隊(duì)），試求a的取值范圍．
18．（17分）已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的值域；
（2）試判斷在區(qū)間，的單調(diào)性，并證明；
（3）對，總，使成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
19．（17分）高斯，著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如，．
（1）求的解集和的解集．
（2）設(shè)方程的解集為A，集合，若，求k的取值范圍．
（3）若的解集為，求a的范圍．
邵東一中2024年下學(xué)期高一第一次月考數(shù)學(xué)試卷
答案
一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．
1．A 【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可．
【詳解】若且，由不等式的可加性得到，即則“且”是“”的充分條件，若不一定得到且，如，滿足，但是，所以“且”不是“”的必要條件．故選：A
2．答案：A
解析：對于A項(xiàng)，取，，，，則，，所以，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于B選項(xiàng)，若，有，則，B選項(xiàng)正確；
對于C選項(xiàng)，若，則，則，又因?yàn)?，由不等式的性質(zhì)可得，所以C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)，若且，則，所以，，D選項(xiàng)正確．故選：A．
3．答案：D
解析：由題意可知：，
集合，
因?yàn)榇硭械呐紨?shù)，代表所有的整數(shù)，所以，即．
故選：D．
4．答案：B
解析：對于A，由全稱命題的否定知，命題p：，，的否定為，，故A正確；
對于B，若集合中只有一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，，符合題意，又，解得，也符合題意，故B不正確；
對于C，因?yàn)?，，所以，，則，故C正確．
對于D，由，故集合N的個(gè)數(shù)為，故D正確．故選：B
5．答案：B（學(xué)法大視野課時(shí)作業(yè)p232頁12題）
解析：若的定義域是R，則在R恒成立，時(shí)，顯然成立，時(shí)，只需，解得：，綜上，m的取值范圍是，故選：B．
6．答案：C
解析：對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，故不符合函數(shù)定義，A錯(cuò)誤；
對于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，∴，∴，所以函?shù)的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，兩個(gè)函數(shù)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，故是同一函數(shù)，C正確；
對于D選項(xiàng)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，則，，故D錯(cuò)誤．故選C．
7．答案：C
解析：由，即為，
當(dāng)時(shí)，存在x使不等式成立，
等價(jià)于，
由，可得時(shí)，取得最大值，且為6，
所以，解得，故選C．
8．答案：B
【分析】利用換元法構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性求函數(shù)值域，結(jié)合題意即可求解．
【詳解】設(shè)，則，，
令，則，
因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)y在上單調(diào)遞減，則，
當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)y在上單調(diào)遞增，則，
所以，當(dāng)時(shí)，，，
由于對任意的，都有成立，
所以，，解得，
當(dāng)時(shí)，，顯然符合題意，
當(dāng)時(shí)，，，
由題意知，，解得，，
綜上可得，k的取值范圍為，故選：B．
二、選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．答案：ABD（學(xué)法大視野課時(shí)作業(yè)p227頁第4題）
【分析】由題意可得的兩個(gè)根為-2和4，且，則有，，表示出b，c，再逐個(gè)分析判斷即可．
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為，
所以的兩個(gè)根為-2和4，且，
所以，得，，所以A正確，
對于B，因?yàn)?，，所以可化為，因?yàn)椋?，得，所以的解集為，所以B正確，
對于C，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò)誤，
對于D，因?yàn)?，，所以可化為，因?yàn)?，所以，，得或，所以原不等式的解集為，所以D正確，故選：ABD
10．答案：BC（學(xué)法大視野課時(shí)作業(yè)p236頁第11題）
【解析】根據(jù)解析式判斷定義域，結(jié)合單調(diào)性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集．
【詳解】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，因此的值域?yàn)?，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），故C正確；
當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，因此的解集為；故D錯(cuò)誤．故選：BC．
【點(diǎn)睛】此題考查分段函數(shù)，涉及定義域，值域，根據(jù)函數(shù)值求自變量取值，解不等式，關(guān)鍵在于分段依次求解．
11．答案：ACD
解析：對A、B：因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確，B錯(cuò)誤；
對C：若，則，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故C正確，
對D：若，則，所以，由，，及，可知，則當(dāng)，即，時(shí)，，故D正確，故選：ACD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．答案：（學(xué)法大視野課時(shí)作業(yè)p214頁第12題）
【分析】根據(jù)p是真命題可得，再分析當(dāng)q是真命題時(shí)，進(jìn)而求得q是假命題時(shí)a的取值范圍即可
【詳解】命題p：，恒成立，若p是真命題，則：，
命題q：，使得成立，若命題q為真命題，則．
所以命題q是假命題時(shí)，，
綜上，參數(shù)a的取值范圍是：，即
故答案為：
13．答案：（填或或也可）
【詳解】．畫出函數(shù)圖象，如圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
14．答案：
【解析】【分析】先根據(jù)判別式確定a的范圍，運(yùn)用求根公式求出方程的根，再根據(jù)解的情況確定a的范圍．
【詳解】由不等式得：，因?yàn)榻饧兄挥?個(gè)整數(shù)，必有，，并且，∴，∴，
由求根公式得方程的解為，，
∵∴，即不等式的2個(gè)整數(shù)解必定為1和2，
∴，解得；
故答案為：．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（1）；（2）．
【解析】（1）先求出集合A，B，再根據(jù)補(bǔ)集定義求出，進(jìn)一步根據(jù)交集運(yùn)算求出；
（2）由可知，分和兩種情況討論可求出．
【詳解】（1）∵，
，
∴，∴；
（2）∵，∴，
當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，滿足，解得，
綜上，實(shí)數(shù)?的取值范圍是
【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集交集運(yùn)算，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，考查根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．
16．【解題思路】（1）將給定的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化成，按與并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論存在實(shí)數(shù)使不等式成立即可；
（2）將給定的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化成，根據(jù)給定條件借助一次函數(shù)的性質(zhì)即可作答；
【解答過程】（1）依題意，有實(shí)數(shù)解，即不等式有實(shí)數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)解，則，
當(dāng)時(shí)，取，則成立，即有實(shí)數(shù)解，于是得，
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，要有解，當(dāng)且僅當(dāng)，從而得，
綜上，，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是；
另解：解題思路：將參數(shù)a分離，，分別按，，三種情況結(jié)合基本不等式及不等式的性質(zhì)求出函數(shù)的值域，
（2）不等式對于實(shí)數(shù)時(shí)恒成立，即，，
顯然，函數(shù)在上遞增，從而得，即，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是；
17．答案：（1）當(dāng)前墻的長度為20米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低為84000元
（2）當(dāng)時(shí)，無論前墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功
解析：（1）因?yàn)轶w育館前墻長為x米，地面面積為，
所以體育館的左右兩側(cè)墻的長度均為米（），
設(shè)甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為y元，所以，
解析：（1）因?yàn)轶w育館前墻長為x米，地面面積為，
所以體育館的左右兩側(cè)墻的長度均為米（），
設(shè)甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為y元，
所以．
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)前墻的長度為20米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低為84000元；
（2）根據(jù)題意可知對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，
故當(dāng)時(shí)，無論前墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功．
18．解析：（1）令，則，∴，
即
則函數(shù)的值域?yàn)椋?br>（2）由（1）知，，則
在區(qū)間是增函數(shù)分，證明如下：，且
則
∵，∴，，∴，
則，即
∴在區(qū)間是增函數(shù)
（3）由（1）（2）知，則
當(dāng)時(shí)，
則，記集合
當(dāng)時(shí)，由（2）知在區(qū)間單調(diào)遞增
∴?記集合
∵對，總，使成立，∴，則，
又∵，∴，∴
則實(shí)數(shù)的取值范圍是
19．【分析】（1）由表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)可得x的范圍；
（2）根據(jù)高斯函數(shù)的定義求得集合A，從而得出集合B的可能情形，根據(jù)集合的情形求解．
（3）不等式可化為，分，，三類討論解集情況可得．
【詳解】（1）由題意得，且，
由，即，所以，
故的解集為；
由，即，
∴，則，所以．所以的解集為．
（2），則，，∴
，
（時(shí)）或（時(shí)），，則，解得，即k的范圍是．
注：按，，分論討論也可給分．
（3）不等式，即，
由方程可得或．
①若，不等式為，即，所以，顯然不符合題意；
②若，，由，解得，
因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br>所以，解得
③若，，
由，解得，
因?yàn)椴坏仁浇饧癁椋?br>所以，解得．
綜上所述，或．
故a的范圍為．

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