滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.
1.已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．B．C．D．
3.展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）
A．20B．C．160D．
4.化簡(jiǎn)的值為（ ）
A．1B．2C．4D．6
5.已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值可以為（ ）
A．B．C．1D．2
6.小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（ ）
A．144B．72C．36D．24
7.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，均成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，為奇函?shù)，且，則
A．B．C．D．0
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測(cè)某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．極差是4B．眾數(shù)小于平均數(shù)
C．方差是1.8D．?dāng)?shù)據(jù)的80%分位數(shù)為4
10.已知曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．（）B．的最小正周期是
C．的值域是D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
11.已知函數(shù)（）在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，且，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．a(chǎn)的取值范圍是B．
C．D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，已知，則 .
13.已知，，則 .
14.如圖，在四面體中，，，，用向量，，表示，則 ；若，且平面，則 .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15.（本小題滿分13分.第（1）問(wèn)6分，第（2）問(wèn)7分）
在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，.
（1）求的周長(zhǎng)；
（2）若，求的面積.
16.（本小題滿分15分.第（1）小問(wèn)6分，第（2）小問(wèn)9分）
如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，，底面為直角梯形，其中，，.
（1）求B點(diǎn)到平面的距離.
（2）線段上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
17.（本小題滿分15分.第（1）小問(wèn)7分，第（2）小問(wèn)8分）
已知函數(shù)，（k，）.
（1）令，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，且在上恒成立，求的最大值.
18.（本小題滿分17分.第（1）小問(wèn)5分，第（2）小問(wèn)12分）
已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)O為原點(diǎn)，直線l：（）與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q，
（1）求橢圓的方程；
（2）若，求面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程.
19.（本小題滿分17分.第（1）小問(wèn)4分，第（2）小問(wèn)5分，第（3）小問(wèn)8分）
一袋中裝8個(gè)球，其中3個(gè)白球5個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同.從該袋中任取出一個(gè)球，如果取出的是白球，就把它放回袋中；如果取出的是黑球，就不放回，并且另補(bǔ)放一個(gè)白球到袋中.在重復(fù)n次這樣的操作后口袋里白球個(gè)數(shù)記為.
（1）求隨機(jī)變量的方差；
（2）求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）設(shè)，求（，1，2，…，5），并用表示.
重慶市朝陽(yáng)中學(xué)高2025屆高三上10月質(zhì)量檢測(cè)
數(shù)學(xué)試卷答案
1.C2.C3.D4.B5.A6.B7.B8.D
9.AC10.BD11.BCD
13.14.；
8．【答案】D
【詳解】由于，
所以，
則，因此.
令，則，故.
由于為奇函數(shù)，故，
即，故關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
由題，，
∴，故關(guān)于直線對(duì)稱，
因此當(dāng)時(shí)，，，…，
故，
因此.
故選：D．
11．【答案】BCD
【詳解】令，
令，
由題可知，，，
令，得，
顯然，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞増；
，得示意圖
所以都符合題意，故A錯(cuò)誤；
由示意圖可知，
顯然，
當(dāng)且時(shí)，易知x取兩個(gè)互為倒數(shù)的數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等，
因?yàn)?，所以，互為倒?shù)，即，故B正確；
，
等且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
因?yàn)?，所以，故C正確；
因?yàn)?，要證，
即證，
因?yàn)?，所以?br>即證，
我們分別證明，，
證明：
因?yàn)椋?br>所以，，
證明：
要證，即證，
不妨設(shè)（），得，
顯然，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞増；
故，故，即，
所以證得，即證得，
即得，故選項(xiàng)D正確.
故選：BCD
14.【答案】；
【解析】【分析】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算，屬于較難題.
運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則，將用基底，，表示出來(lái)，延長(zhǎng)與交于D，由平面推得，令，，用基底，，表示出，
求得m，，利用，可求得的值.
【解答】解：由條件可知：
；
延長(zhǎng)與交于D，連接，如圖，
∵平面，平面，平面平面，
∴，
令，，則有，
，
所以，解得，，
∵，∴，∴，
∴
15．【詳解】
（1）由得：，
即得，所以的周長(zhǎng)為；
（2）由得：，
所以，因?yàn)锳，，
∴，，
所以，
所以，
又，則，即，
所以，
所以的面積．
16.（本小題滿分15分.第（1）小問(wèn)7分，第（2）小問(wèn)8分）
解：
（1）取的中點(diǎn)O，連接，，
因?yàn)?，所以?br>又側(cè)面底面，交線為AD，平面，
所以PO⊥平面．
又在直角梯形中，易得，建立如圖示空間直角坐標(biāo)系
則，，，，；
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則且，取得
所以B點(diǎn)到平面的距離
（注：其他方法如體積法對(duì)照給分）
（2）假設(shè)Q存在，設(shè)（）
因?yàn)?，所以，，?br>設(shè)平面的法向量為，則且
即且，
所以取，
又是平面的一個(gè)法向量
因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋?br>所以，即
所以．
所以或（舍去），
所以，，，
故點(diǎn)Q存在，且.
17.【答案】解：
（1）因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，令，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
綜上所述，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）結(jié)合（1）與題意可得，
即，即.
所以.
令，，
則，令，則.
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.
所以.
所以，即的最大值為.
18．【答案】
（1）；
（2）面積的最大值，直線l的方程為.
【詳解】
（1）由橢圓的右焦點(diǎn)為，得橢圓半焦距，
由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，則，
所以橢圓的方程為.
（2）顯然直線，的斜率存在且不為0，
令直線方程為，則直線方程為，
由消去y并整理得，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，
于是，同理，
因此的面積，，
即函數(shù)是偶函數(shù)，
不妨令，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上遞增，在上遞減，
因此當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，直線方程為，點(diǎn)，
直線方程為，點(diǎn)，于是直線方程為，
所以面積的最大值，直線l的方程為.
19.解：
（1）∵的取值為3、4，且，
∴
∴
（2）∵的取值為3、4、5
∵表示兩次均摸出白球，則
表示兩次摸球，一次白球，一次黑球，則
表示兩次均摸出黑球，則
∴的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望
（3）∵時(shí)，
當(dāng)時(shí)，第次取球后袋中有個(gè)白球的可能性有兩種：
①第n次后袋中有個(gè)白球，顯然每次取球后袋中球的總數(shù)不變，即個(gè)白球，個(gè)黑球，則第次取出白球的概率為
②第n次后袋中有個(gè)白球，則第次取出的是黑球.由于每次取球后袋中球的總數(shù)不變，故此時(shí)黑球?yàn)閭€(gè)，概率為（）
∴3
4
5
P

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