2024.09
本試卷共4頁，120分。考試時長90分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項
1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A.（1，1）B.（-1，1）C.（-1，-1）D.（1，-1）
2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）
A.B.C.D.
3.如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，若四邊形是邊長為2的正方形，則這個八面體的表面積為（）
A.8B.6C.D.
4.已知圓錐的母線長為5，底面圓的半徑為3，則該圓錐的體積為（）
A.B.C.D.
5.在正方體中，直線與直線所成角的大小為（）
A.30°B.45°C.60°D.120°
6.已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）
A.若，，則B.若，，則
C.若，，則D.若，，則
7.已知空間中的不過同一點(diǎn)的三條直線，m，n.“，m，n共面”是“，m，n兩兩相交”的（）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
8.在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）
A.平面B.平面
C.A，E，B，F(xiàn)四點(diǎn)共面D.直線與底面所成角的正切值為
9.四面體的一條棱長為x，其余棱長均為2，記四面體的表面積為，則函數(shù)的最大值為（）
A.B.C.D.
10.已知正方體的棱長為2，M，N分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)，點(diǎn)Q在線段上.若，則長度的最小值為（）
A.B.C.D.
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11.已知長方體的長、寬、高分別為3，2，1，則它的體對角線長為________.
12.如圖，已知矩形中，，，平面，且，則的長為________.
13.在正三棱柱中，，則直線與所成角的大小為__________；點(diǎn)A到平面的距離為________.
14.在邊長為4的正方形內(nèi)剪去四個全等的等腰三角形（如圖1中陰影部分），折疊成底面邊長為的正四棱錐（如圖2），則正四棱錐的體積為________.
15.如圖，正方體的棱長為4，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得截面記為S，當(dāng)時，截面S與，分別交于M，N，則_________.
三、解答題：本大題共4小題，共45分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程
16.（本小題滿分10分）
已知正三棱錐，請從條件①，條件②，條件③中選擇兩個條件作為已知，便三棱錐存在，并求出此正三棱錐的體積.
①底面邊長為2；
②側(cè)棱長為；
③斜高為2.
17.（本小題滿分10分）
如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn).求證：
（I）平面；
（Ⅱ）平面；
18.（本小題滿分15分）
如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，且，側(cè)面是正三角形，是上一動點(diǎn)，N是的中點(diǎn)、
（Ⅰ）若平面，求證：M是的中點(diǎn)；
（Ⅱ）若平面平面，求線段的長；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M、使得?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
19.（本小題滿分10分）
已知定義在上的函數(shù)，滿足以下三個條件：
①；
②；
③存在集合.
（I）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明現(xiàn)由、
（Ⅱ）求，的值.
（Ⅲ）判斷命題p：“是周期函數(shù)”的真假，并說明理由.
2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期9月月考答案
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1~5DCCAC6~10DBBBC
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11.12.6 13.； 14. 15.
第13題第一空3分，第二空2分
三、解答題：本大題共4小題，共45分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16.（本小題滿分10分）解答：若選②③得0分.
選①②
過點(diǎn)P作平面，O為的中心，
在中，
正三棱錐的體積為
選①③過點(diǎn)P作平面，O為的中心，在中過點(diǎn)P作
，
在中，
正三棱錐的體積為.
17.（本小題滿分10分）
解：（I）∵E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，，
∴且，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（Ⅱ）∵四邊形為正方形，∴
∵，.
∵平面，平面，∴.
∵，∴，
又，平面，∴平面.
18.（本小題滿分15分）
（1）證明：若平面.
因?yàn)槠矫?，平面平?br>所以.
又因?yàn)樵谥校c(diǎn)N是中點(diǎn)，
所以點(diǎn)M是中點(diǎn).
（2）證明：如圖，取中點(diǎn)F，連接，.
因?yàn)槭钦切?，所以?br>又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，所?
在因?yàn)閭?cè)面是正三角形，所以.
因?yàn)榈酌媸橇庑?，且?br>所以是等邊三角形.所以且.
所以.
（3）如圖，取中點(diǎn)E，連接，.
因?yàn)樗睦忮F的底面是菱形，側(cè)面是正三角形，
所以，所以.
又由（2）可得，，平面，，
所以平面，.
又因?yàn)?，、在面?nèi)，
所以平面.
過E作交于點(diǎn)M.
因?yàn)?，所以點(diǎn)平面.
所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)镋為的中點(diǎn)，，所以.
所以.
19.（本小題滿分10分）
解答：（I）由①可得，，故為偶函數(shù).
（Ⅱ）在②中令可得，，故或.
又在①中令可得，，故時有
矛盾.故.
故，或1.
又時，.
此時與③矛盾，故.
（Ⅲ）假命題.反例如下：，，
這時，
即①成立.
又，
即②成立.
又，，即③成立.
而在上遞增，不是周期函數(shù)，證畢.

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