1.如圖，下列圖案中，是軸對稱圖形的是( )
A. (1)(2)B. (1)(3)C. (1)(4)D. (2)(3)
2.線段AB的垂直平分線上一點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為5，則點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離( )
A. 等于5B. 大于5C. 小于5D. 無法確定
3.下列條件中，不能判定直線MN是線段AB(M,N不在AB上)的垂直平分線的是( )
A. MA=MB，NA=NBB. MA=MB，MN⊥AB
C. MA=NA，MB=NBD. MA=MB，MN平分AB
4.如圖，在△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于12DE長為半徑畫弧，交于∠BAC內(nèi)一點(diǎn)F.連結(jié)AF并延長，交BC于點(diǎn)G.連結(jié)DG，EG.添加下列條件，不能使BG=CG成立的是( )
A. AB=AC
B. AG⊥BC
C. ∠DGB=∠EGC
D. AG=AC
5.在△ABC中，∠C=90°，AB的中垂線交直線BC于D，若∠BAD?∠DAC=22.5°，則∠B等于( )
A. 37.5°B. 67.5°C. 37.5°或67.5°D. 無法確定
6.如圖，在△ABC中，P，Q分別是BC，AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別為R，S，若AQ=PQ，PR=PS，則以下四個(gè)結(jié)論：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP/?/AR；④△BRP≌△CSP.其中正確的有( )
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。
7.從鏡中看到的一串?dāng)?shù)字是80080，這串?dāng)?shù)字應(yīng)為______．
8.如圖，AE=AD，請你添加一個(gè)條件：______，使△ABE≌△ACD．
9.如圖，直線a、b、c表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站．要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有______處．
10.如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，將點(diǎn)D分別以AB、AC為對稱軸，畫出對稱點(diǎn)E、F，并連接AE、AF.根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，則∠EAF的度數(shù)為______．
11.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD是中線，BD=BE，則∠AED是______度.
12.已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊AB，BC，CA的距離相等，連接OB，OC，若∠A=50°，則∠BOC的大小是______．
13.如圖：AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分別為B，C，AB=BC，E為BC的中點(diǎn)，且AE⊥BD于F，若CD=4cm，則AB的長度為______．
14.如圖，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=4，∠BDC=140°，BD=CD，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作∠MDN=70°，兩邊分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，連接MN，則△AMN的周長為______．
15.如圖，點(diǎn)A、B、C都在方格紙的格點(diǎn)上，請你再找一個(gè)格點(diǎn)D，使點(diǎn)A、B、C、D組成一個(gè)軸對稱圖形，這樣的格點(diǎn)D有______個(gè).
16.如圖，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，若∠1=39°，則∠AOC=______．
三、解答題：本題共10小題，共92分。
17.如圖是由4個(gè)邊長為1個(gè)單位長度的小正方形拼成，請你在圖上添加一個(gè)小正方形，使添加后的圖形是一個(gè)軸對稱圖形，要求畫出三種．
18.如圖所示，由每一個(gè)邊長均為1的小正方形構(gòu)成的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上(小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn))，利用網(wǎng)格畫圖，(保留必要的畫圖痕跡)
(1)在直線AC上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)B，C的距離相等；
(2)在圖中找一點(diǎn)O，使得OA=OB=OC；
(3)在(1)、(2)小題的基礎(chǔ)上，請?jiān)谥本€AB上確定一點(diǎn)M，使MP+MO的值最?。?br>19.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折疊△CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處，若∠A=22°，求∠CDE的度數(shù)．
20.如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，且∠ACB=2∠A，BD⊥AC于點(diǎn)D，求∠DBC的度數(shù)．
21.如圖，BC=20cm，DE是線段AB的垂直平分線，與BC交于點(diǎn)E，AC=12cm，則△ACE的周長為______．
22.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，求證：AD垂直平分EF．
23.如圖所示，點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，ED是過點(diǎn)M的一條直線，連接AE、BD，過點(diǎn)B作BF//AE交ED于F，且EM=FM．
(1)若AE=6，求BF的長；
(2)若∠AEC=90°，∠DBF=∠CAE，求證：CD=FE．
24.如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E是BC邊上的點(diǎn)，連接AD，AE，以△ADE的邊AE所在直線為對稱軸作△ADE的軸對稱圖形△AD′E，連接D′C，若BD=CD′．
(1)求證：△ABD≌△ACD′．
(2)若∠BAC=100°，求∠DAE的度數(shù)．
25.如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD=100°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF=50°，連接DE．
(1)求∠CAD的度數(shù)；
(2)求證：DE平分∠ADC；
(3)若AB=7，AD=4，CD=8，且S△ACD=15，求△ABE的面積．
26.問題情境：如圖1，∠AOB=90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)E、F，PE與PF相等嗎？請你給出證明；
變式拓展：如圖2，已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，∠EPF=60°，PE邊與OA邊相交于點(diǎn)E，PF邊與射線OB的反向延長線相交于點(diǎn)F.試解決下列問題：
①PE與PF還相等嗎？為什么？
②試判斷OE、OF、OP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：(1)是軸對稱圖形，
(2)不是軸對稱圖形，
(3)不是軸對稱圖形，
(4)是軸對稱圖形；
綜上所述，是軸對稱圖形的是(1)(4)．
故選C．
根據(jù)軸對稱圖形的概念對各小題分析判斷即可得解．
本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，
∴PB=PA，
∵PA=5，
∴PB=5，
故選：A．
根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)解答即可．
本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟記線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查的是線段的垂直平分線的判定，掌握線段垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線的判定定理進(jìn)行判斷即可．
【解答】
解：∵M(jìn)A=MB，NA=NB，
∴直線MN是線段AB的垂直平分線；
∵M(jìn)A=MB，MN⊥AB，
∴直線MN是線段AB的垂直平分線；
當(dāng)MA=NA，MB=NB時(shí)，直線MN不一定是線段AB的垂直平分線；
∵M(jìn)A=MB，MN平分AB，
∴直線MN是線段AB的垂直平分線，
故選：C．
4.【答案】D
【解析】解：根據(jù)題中所給的作圖步驟可知，
AB是△ABC的角平分線，即∠BAG=∠CAG．
當(dāng)AB=AC時(shí)，又∠BAG=∠CAG，且AG=AG，
所以△ABG≌△ACG(SAS)，
所以BG=CG，
故A選項(xiàng)不符合題意．
當(dāng)AG⊥BC時(shí)，
∠AGB=∠AGC=90°，
又∠BAG=∠CAG，且AG=AG，
所以△ABG≌△ACG(ASA)，
所以BG=CG，
故B選項(xiàng)不符合題意．
當(dāng)∠DGB=∠EGC時(shí)，
因?yàn)椤螧AG=∠CAG，AD=AE，AG=AG，
所以△ADG≌△AEG(SAA)，
所以∠AGD=∠AGE，
又∠DGB=∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB=∠AGE+∠EGC，
即∠AGB=∠AGC．
又∠AGB+∠AGC=90°，
所以∠AGB=∠AGC=90°，
則方法同(2)可得出BG=CG，
故C選項(xiàng)不符合題意．
故選：D．
根據(jù)題意可知AG是三角形的角平分線，再結(jié)合選項(xiàng)所給的條件逐次判斷能否得出BG=CG即可．
本題考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
5.【答案】C
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
分為兩種情況：①如圖1，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAD?∠DAC=22.5°，
∴∠B=∠DAB=∠DAC+22.5°
∴∠DAC+22.5°+∠DAC+22.5°+∠DAC=90°，
∠DAC=15°，
∴∠B=15°+22.5°=37.5°；
②如圖2，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAD?∠DAC=22.5°，
∴∠B=∠DAB=∠DAC+22.5°
∴∠DAC+22.5°+∠DAC+22.5°?∠DAC=90°，
∠DAC=45°，
∴∠B=45°+22.5°=67.5°；
故選：C．
求出AD=BD，推出∠B=∠DAB，∠B+∠BAC=90°，分為兩種情況：畫出圖形后，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
本題考查了線段垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確根據(jù)題意畫出圖形，注意分類討論．
6.【答案】C
【解析】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴PA平分∠BAC，故①正確；
∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2?PR2，AS2=AP2?PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，故②正確；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP/?/AR，故③正確；
在△BRP和△CSP中，缺少全等條件，故④錯(cuò)誤，
故選：C．
根據(jù)角平分線判定定理即可推出①，根據(jù)勾股定理即可推出②AR=AS，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根據(jù)平行線判定推出③QP//AB即可；無法證明△BRP≌△CSP故④錯(cuò)誤．
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7.【答案】08008
【解析】解：∵是從鏡子中看，
∴對稱軸為豎直方向的直線，
∵鏡子中數(shù)字的順序與實(shí)際數(shù)字順序相反，
∴這串?dāng)?shù)字應(yīng)為08008，
故答案為：08008．
此題考查了鏡面對稱的知識(shí)，鏡面對稱的知識(shí)實(shí)際上是數(shù)學(xué)上的軸對稱的知識(shí)，由于在鏡子中看到的順序是顛倒的，可根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)來解決鏡面對稱的問題．
考查鏡面對稱，得到相應(yīng)的對稱軸是解決本題的關(guān)鍵；若是豎直方向的對稱軸，數(shù)的順序正好相反．
8.【答案】AB=AC(答案不唯一)
【解析】解：添加AB=AC．
在△ABE與△ACD中，
AE=AD∠A=∠AAB=AC，
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
添加∠B=∠C．
在△ABE與△ACD中，
∠B=∠C∠A=∠AAE=AD，
∴△ABE≌△ACD(AAS)．
故答案為：AB=AC(答案不唯一)．
要使△ABE≌△ACD，且已知AE=AD，圖中可以看出有一個(gè)共同的角∠A，則可以用AAS、SAS來判定．
本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL(適合于兩直角三角形).添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．
9.【答案】4
【解析】解：∵△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，
∴△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件；
如圖：點(diǎn)P是△ABC兩條外角平分線的交點(diǎn)，
過點(diǎn)P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴點(diǎn)P到△ABC的三邊的距離相等，
∴△ABC兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，滿足這條件的點(diǎn)有3個(gè)；
綜上，到三條公路的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)，
∴可供選擇的地址有4個(gè)．
故填4．
由三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件；然后利用角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，這樣的點(diǎn)有3個(gè)，可得可供選擇的地址有4個(gè)．
此題考查了角平分線的性質(zhì)．注意掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，小心別漏解．
10.【答案】130°
【解析】解：如圖，連接AD，
∵D點(diǎn)分別以AB、AC為對稱軸，畫出對稱點(diǎn)E、F，
∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，
∵∠B=61°，∠C=54°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°?61°?54°=65°，
∴∠EAF=2∠BAC=130°，
故答案為：130°．
連接AD，利用軸對稱的性質(zhì)解答即可．
此題考查軸對稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用軸對稱的性質(zhì)解答．
11.【答案】110
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=12(180°?100°)=40°，
∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，
∴∠ADB=90°，
∵BD=BE，
∴∠BDE=12(180°?40°)=70°，
∴∠AED=∠B+∠BDE=40°+70°=110°，
故答案為：110．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=40°，∠ADB=90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求解．
本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)；做題時(shí)兩次運(yùn)用了等邊對等角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，要熟練掌握并能靈活應(yīng)用這些知識(shí)．
12.【答案】115°
【解析】根據(jù)題意可知點(diǎn)O是△ABC三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)角平分線的定義得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=130°，則∠OBC+∠OCB=65°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出答案即可．
本題考查了角平分線的定義和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，得出點(diǎn)O是△ABC三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．
解：根據(jù)題意畫出圖形如下，
∵點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊AB，BC，CA的距離相等，
∴點(diǎn)O是△ABC三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=130°，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=65°，
∴∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=180°?65°=115°．
故答案為：115°．
13.【答案】8cm
【解析】【分析】
本題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是找出圖形中隱含的等量關(guān)系或全等關(guān)系．
如圖，證明△ABE≌△BCD，得到BE=CD，結(jié)合AB=BC=2BE，即可解決問題．
【解答】
解：如圖，∵AB⊥BC，AE⊥BD，
∴∠A+∠FEB=∠FBE+∠FEB，
∴∠A=∠FBE；
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠BCD；
在△ABE與△BCD中，
∠A=∠DBCAB=BC∠ABE=∠BCD，
∴△ABE≌△BCD(ASA)，
∴BE=CD=4cm，AB=BC；
又∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴AB=BC=2BE=8(cm)．
故答案為8cm．
14.【答案】8
【解析】解：如圖，延長AC到點(diǎn)E，使CE=BM，連接DE，
∵∠A=40°，∠BDC=140°，
∴∠ABD+∠ACD=360°?40°?140°=180°，
∵AB=AC=4，BD=CD，
∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠DCE=180°?∠ACD=90°，
∴∠DCE=∠DBM=90°，
在△DCE和△CBM中，
CD=BD∠DCE=∠DBMCE=BM，
∴△DCE≌△CBM(SAS)，
∴DE=DM，∠CDE=∠BDM，
∵∠MDN=70°，
∴∠EDN=∠CDE+∠CDN=∠BDM+∠CDN=70°，
∴∠EDN=∠MDN，
在△EDN和△MDN中，
DE=DM∠EDN=∠MDNDN=DN，
∴△EDN≌△MDN(SAS)，
∴EN=MN，
∴AM+AN+MN=AM+AN+EN=AM+AN+CN+CE=AM+BM+AN+CN=AB+AC=8，
故答案為：8．
延長AC到點(diǎn)E，使CE=BM，連接DE，先由∠A=40°，∠BDC=140°證明∠ABD+∠ACD=180°，再由AB=AC，BD=CD得∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，即可證明∠ABD=∠ACD=90°，再證明△DCE≌△CBM，得DE=DM，∠CDE=∠BDM，再證明△EDN≌△MDN，得EN=MN，即可推導(dǎo)出AM+AN+MN=AB+AC=8．
此重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
15.【答案】4
【解析】解：如圖所示：符合題意有2個(gè)點(diǎn)．
故答案為：4．
利用軸對稱圖形的性質(zhì)，分別得出符合題意的圖形即可．
本題考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16.【答案】78°
【解析】【分析】
本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
過點(diǎn)O作射線BP，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得AO=OB=OC和∠BDO=∠BEO=90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°得∠DOE+∠ABC=180°，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)知∠DOE+∠1=180°，從而推出∠ABC=∠1=39°，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可得結(jié)論．
【解答】
解：如圖，過點(diǎn)O作射線BP，l1、l2分別交AB，BC于點(diǎn)D，E．
∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，
∴AO=OB=OC，∠BDO=∠BEO=90°，
∴∠DOE+∠ABC=360°?∠BDO?∠BEO=180°．
∵∠DOE+∠1=180°，
∴∠ABC=∠1=39°．
∵OA=OB=OC，
∴∠A=∠ABO，∠OBC=∠C，
∴∠A+∠C=∠ABO+∠OBC=∠ABC=39°．
∵∠AOP=∠A+∠ABO，∠COP=∠C+∠OBC，
∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABO+∠C+∠OBC=∠A+∠ABC+∠C=2×39°=78°．
故答案為：78°．
17.【答案】解：如圖所示．

【解析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解可得．
本題主要考查作圖?軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的概念．
18.【答案】解：(1)如圖，點(diǎn)P，即為所求．
(2)如圖，點(diǎn)O即為所求．
(3)如圖，點(diǎn)M即為所求．

【解析】(1)取格點(diǎn)O，J，作直線OJ交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．
(2)△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)O，即為所求．
(3)作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)P′，連接OP′交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求．
本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，軸對稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
19.【答案】解：由折疊的性質(zhì)得：∠BCD=∠ECD，∠CDB=∠CDE，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ECD=12∠ACB=45°，
又∵∠A=22°，
∴∠CDB=∠A+∠ECD=45°+22°=67°，
∴∠CDE=67°．
【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠BCD=∠ECD=45°，∠CDB=∠CDE，再根據(jù)∠CDB=∠A+∠ECD=67°可得∠CDE度數(shù)．
此題主要考查了圖形的折疊變換，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握圖形的折疊變換，三角形的外角性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
20.【答案】解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
∴∠C=∠ABC=2∠A=72°．
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°?∠C=18°．
【解析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得∠DBC的度數(shù)．
本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，解答此類題目時(shí)往往用到三角形的內(nèi)角和是180°這一隱藏條件．
21.【答案】32cm
【解析】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴EA=EB，
∴△ACE的周長=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=32(cm)，
故答案為：32cm．
根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，根據(jù)三角形周長公式計(jì)算即可．
本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
22.【答案】證明：設(shè)AD、EF的交點(diǎn)為K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF．
∵AD是△ABC的角平分線
∴AD是線段EF的垂直平分線．
【解析】根據(jù)三角形的角平分線的性質(zhì)定理和垂直平分線的性質(zhì)定理解答．
找到Rt△AED和Rt△ADF，通過兩個(gè)三角形全等，找到各量之間的關(guān)系，即可證明．
23.【答案】解：(1)∵BF//AE，
∴∠MFB=∠MEA，∠MBF=∠MAE，
∵EM=FM，
∴△AEM≌△BFM(AAS)，
∴AE=BF，
∵AE=6，
∴BF=6；
(2)∵BF//AE，
∴∠MFB=∠MEA，
∵∠AEC=90°，
∴∠MFB=90°，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFD=∠AEC，
∵∠DBF=∠CAE，BF=AE，
∴△AEC≌△BFD(ASA)，
∴EC=FD，
∴EF+FC=FC+CD，
∴CD=FE．
【解析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠MFB=∠MEA，∠MBF=∠MAE，再證明△AEM≌△BFM(AAS)即可；
(2)求出∠BFD=∠AEC，證明△AEC≌△BFD(ASA)，得到EC=FD，利用等式性質(zhì)可得CD=FE．
本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
24.【答案】(1)證明：∵△ADE與△AD′E是關(guān)于AE的軸對稱圖形，
∴AD=AD′，
在△ABD和△ACD′中，
AB=ACBD=CD′AD=AD′，
∴△ABD≌△ACD′(SSS)；
(2)解：∵△ABD≌△ACD′，
∴∠BAD=∠CAD′，
∴∠DAD′=∠BAC=100°，
∵△ADE與△AD′E是關(guān)于AE的軸對稱圖形，
∴∠DAE=∠D′AE=12∠DAD′=50°，
即∠DAE=50°．
【解析】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對稱圖形的性質(zhì)和三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．
(1)根據(jù)對稱得出AD=AD′，根據(jù)全等三角形判定的“SSS”定理即可證得△ABD≌△ACD′；
(2)根據(jù)全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根據(jù)對稱得出∠DAE=12∠DAD′，代入求出即可．
25.【答案】(1)解：∵EF⊥AB，∠AEF=50°，
∴∠FAE=90°?50°=40°，
∵∠BAD=100°，
∴∠CAD=180°?100°?40°=40°；
(2)證明：過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE=∠DAE=40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF=EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF=EH，
∴EG=EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
(3)解：∵S△ACD=15，
∴12×AD×EG+12×CD×EH=15，即12×4×EG+12×8×EG=15，
解得，EG=EH=52，
∴EF=EH=52，
∴△ABE的面積=12×AB×EF=12×7×52=354．
【解析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠FAE，根據(jù)補(bǔ)角的定義計(jì)算，得到答案；
(2)過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF=EG，EF=EH，等量代換得到EG=EH，根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論；
(3)根據(jù)三角形的面積公式求出EG，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．
本題考查的是角平分線的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
26.【答案】問題情境：證明：過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM=PN，∠PMO=∠PNO=∠PMF=90°
∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，
∴∠MPN=360°?3×90°=90°，
∵∠NPE+∠EPM=∠MPF+∠EPM=90°，
∴∠MPF=∠NPE，
在△PMF和△PNE中，
∠FPM=∠EPNPM=PN∠PMF=∠PNE=90°,
∴△PMF≌△PNE(ASA)，
∴PF=PE；
變式拓展：①解：結(jié)論：PE=PF．
理由：過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM=PN，∠AOC=∠BOC
∵∠PMO=∠PNO=∠PNE=90°，∠MON=120°，
∴∠MPN=360°?2×90°?120°=60°，
∵∠MPN=∠EPF=60°，
∴∠MPF=∠NPE，
在△PMF和△PNE中，
∠FPM=∠EPNPM=PN∠PMF=∠PNE=90°,
∴△PMF≌△PNE(ASA)，
∴PF=PE；
②解：結(jié)論：OE?OF=OP．
理由：在△OPM和△OPN中，
∠PMO=∠PNO=90°∠POM=∠PONOP=OP，
∴△POM≌△PON(AAS)，
∴OM=ON，
∵△PMF≌△PNE，
∴FM=EN，
∴OE?OF=EN+ON?(FM?OM)=2OM，
在Rt△OPM中，∠PMO=90°，∠POM=12∠AOB=60°，
∴∠OPM=30°，
∴OP=2OM，
∴OE?OF=OP．
【解析】本題屬于三角形綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
問題情境：過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.證明△PMF≌△PNE，可得結(jié)論；
變式拓展：①過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.證明△PMF≌△PNE，可得結(jié)論；
②結(jié)論：OE?OF=OP.證明△POM≌△PON，推出OM=ON，再由△PMF≌△PNE，推出FM=EN，可得結(jié)論．

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