注意事項：
1．答題前，請先將自己的姓名、班級、考場號、座位號填寫清楚；
2．必須在答卷上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；
3．答題時，請考生注意各大題號后面的答題提示；
4．請注意卷面，保持字體工整、筆跡清晰、卷面清潔；
5．答卷上不準使用涂改液、涂改膠和貼紙；
6．本試卷時量120分鐘，滿分120分．
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1．下列函數(shù)是二次函數(shù)的是
A．B．C．D．
2．下列二次根式中，與是同類二次根式的是
A．B．C．D．
3．下列長度的三條線段能組成直角三角形的是
A．5，11，12B．2，3，4C．4，6，7D．3，4，5
4．如圖，在中，，點D，E分別是直角邊，的中點，連接，則的度數(shù)是
A．B．C．D．
5．為評估一種水稻的種植效果，選了10塊地作試驗田．這10塊地的畝產量（單位：）分別為，，，，下面給出的統(tǒng)計量中可以用來評估這種水稻畝產量穩(wěn)定程度的是
A．這組數(shù)據(jù)的方差B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)
C．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)
6．如圖，在中，，，，則的面積為
A．30B．60C．65D．
7．下列說法不正確的是
A．一組鄰邊相等的矩形是正方形B．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
C．正方形是軸對稱圖形，且有四條對稱軸D．正方形的對角線平分一組對角
8．拋物線上部分點的橫坐標x、縱坐標y的對應值如表所示：
從上表可知，時，y的值為
A．3B．4C．5D．6
9．某公司今年銷售一種產品，一月份獲得利潤5萬元，由于產品暢銷，利潤逐月增加，一月份到二月份的增長率為x，二月份到三月份的增長率是1.5x，若三月份獲得利潤為7.8萬元，則可列出方程為
A．B．
C．D．
10．二次函數(shù)的最大值為，且，，，，中只有兩點不在該二次函數(shù)圖象上，下列關于這兩點的說法正確的是
A．這兩點一定是M和NB．這兩點一定是Q和R
C．這兩點可能是M和QD．這兩點可能是P和Q
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11．一組數(shù)據(jù)：1，1，1，2，2，5，6，它們的眾數(shù)為__________．
12．若二次根式有意義，則x的取值范圍是__________．
13．若關于x的方程的一個根為3，則k的值為__________．
14．如圖，函數(shù)和的圖象相交于點，則不等式的解集為__________．
15．一個小球在空中飛行時，飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間的函數(shù)關系式為，則小球從飛出到落地要用的時間為__________s．
16．如圖，中，，，，線段的兩個端點D，E分別在邊，上滑動，且保持，若點M，N分別是，的中點，則的最小值為__________．
三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25題每題10分，共72分）
17．（6分）計算：．
18．（6分）如圖，已知線段，用直尺和圓規(guī)作菱形：
①以A為頂點，任意作一條射線；
②以A為圓心，長為半徑畫弧交射線于點D；
③分別以B，D為圓心，長為半徑畫弧，兩弧相交于點C，連接，．
根據(jù)作圖步驟及痕跡回答下列問題：
（1）能得到四邊形是菱形的依據(jù)是
A．一組鄰邊相等的四邊形是菱形B．四邊相等的四邊形是菱形
C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D．每條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形
（2）連接，若，求的度數(shù)．
19．（6分）如圖，沿方向開山修路．為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工，從上的一點B取，，．那么另一邊開挖點E離D點多遠可使A，C，E三點在一直線上？（取1.732，結果取整數(shù)）
20．（8分）某企業(yè)生產了2000個充電寶，為了解這批充電寶的使用壽命（完全充放電次數(shù)），從中隨機抽取了20個進行檢測，數(shù)據(jù)整理如下：
（1）表中a的值為__________，本次檢測采用的是__________調查（填“全面”或“抽樣”）；
（2）根據(jù)上述信息，下列說法中正確的是__________（寫出所有正確說法的序號）；
①這20個充電寶的完全充放電次數(shù)都不低于300次；
②這20個充電寶的完全充放電次數(shù)t的中位數(shù)滿足；
③這20個充電寶的完全充放電次數(shù)t的平均數(shù)滿足．
（3）估計這批充電寶中完全充放電次數(shù)在600次及以上的數(shù)量．
21．（8分）已知關于x的方程．
（1）當時，解這個方程；
（2）若方程有兩個實數(shù)根，，且，求k的值．
22．（9分）某次氣象探測活動中，在一廣場上同時釋放兩個探測氣球．1號探測氣球從距離地面5米處出發(fā)，以1米/分的速度上升，2號探測氣球距離地面的高度y（單位：米）與上升時間x（單位：分）滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示．
（1）求y關于x的函數(shù)解析式；
（2）探測氣球上升多長時間時，兩個氣球位于同一高度？此時它們距離地面多少米？
23．（9分）如圖，矩形中，的角平分線交于點E，F(xiàn)是延長線上一點，滿足，連接，．
（1）求證：；
（2）當時，求的值．
24．（10分）我們約定：平面直角坐標系中，點，滿足，，則稱A，B為一對“等值點”．根據(jù)約定，解決下列問題：
（1）若點和點為函數(shù)圖象上的一對“等值點”，求的值；
（2）關于x的函數(shù)（k，b為常數(shù)）的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，請指出它有多少對“等值點”，如果不是，請說明理由；
（3）已知二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的圖象與x軸交于 C，D兩點，點和，點和是該函數(shù)圖象上的兩對“等值點”，且滿足．若以，，這三條線段的長為邊長的三角形是直角三角形，試求該直角三角形的周長．
25．（10分）已知拋物線（n為常數(shù)）的頂點為P．
（1）求證：當時，拋物線與x軸無交點；
（2）若時，y有最小值7，時，y有最小值3，求t的值；
（3）如圖，拋物線與直線交于A，B兩點，記的面積為S，的周長為l，當n取不同實數(shù)時，求的最大值．
2025屆九年級第一次質量調研檢測
數(shù)學參考答案
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11．1 12． 13． 14． 15．4 16．3
三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25題每題10分，共72分）
17．（6分）解：原式
．
18．（6分）解：（1）B；
（2）在菱形中，，，
．
19．（6分）解：，，
，
在中，，，
，
．
答：另一邊開挖點離點可使，，三點在一直線上．
20．（8分）解：（1）3，抽樣；
（2）①②；
（3）（個），
答：估計這批充電寶中完全充放電次數(shù)在600次及以上的數(shù)量為500個．
21．（8分）解：（1）當時，方程化為，
配方得，解得，．
（2），
方程總有實數(shù)根，
又，
或，
或（即），
或0．
22．（9分）解：（1）由題意，可設關于的函數(shù)解析式為．
由題意，得
關于的函數(shù)解析式為；
（2）由題意，可知1號氣球上升分時高度為米，
由題意，得，解得，
當時，．
答：上升20分鐘時，兩個氣球位于同一高度，此時它們距離地面25米．
23．（9分）（1）證明：矩形中，，，，
平分，
，又，
，又，
，即，
又，，
，
；
（2）解：，且，
為等邊三角形，
，設，，
則，，
，整理得，
故，開方得，又，
，
．
24．（10分）解：（1），是函數(shù)圖象上的一對“等值點”，
，且，，又，
，
；
（2）法一：當時，函數(shù)的圖象是一條平行于軸的直線，其上的點的縱坐標都相等，故存在無數(shù)對“等值點”；
當時，假設函數(shù)圖象是一條與軸不平行的直線，其上任意兩點的縱坐標都不相等，故不存在“等值點”；
法二：假設函數(shù)的圖象上存在一對“等值點”，，滿足，，
那么，，故，
，又，
當時，上式恒成立，此時存在無數(shù)對“等值點”，
當時，上式不成立，此時不存在“等值點”．
（3），
，
，，又和，和是兩對“等值點”，
，，，，
，為方程的兩根，
，
同理可知：，為方程的兩根，
，
設，的橫坐標為，，它們?yōu)榉匠痰膬筛?br>，
顯然，又以，，這三條線段的長為邊長的三角形是直角三角形，
，即，
，
，，，
該直角三角形的周長為．
25．（10分）（1）證明：法一：，
拋物線的頂點在第一象限，又拋物線開口向上，
此時拋物線與軸無交點．
法二：令，得，即，
，又，
，
方程無實根，即此時拋物線與軸無交點．
（2）解：①當時，如圖，
有最小值7，
時，，
時，有最小值3，
時，，
，解得或5，又，
．
②當時，如圖，
此時時，無最小值，不合題意，舍去，
綜上，．
（3）解：聯(lián)立和，消整理得，
，
，，
，，
，且，
如圖，過點作軸，交直線于點，
故，
的面積，為定值．
當取不同實數(shù)時，線段在直線上滑動，且保持不變，
設點關于直線的對稱點為，連接，并構造平行四邊形，
，
的周長，
根據(jù)平移規(guī)律，可知，故，
，
．
x
…
0
1
3
y
…
6
2
0
2
…
完全充放電次數(shù)t
充電寶數(shù)量/個
2
a
10
5
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
B
A
B
B
D
D
C

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