大聯(lián)考（高三）
數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知命題，命題，，則（ ）
A．和都是真命題B．和都是真命題
C．和都是真命題D．和都是真命題
2．已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
3．已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．已知，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．對(duì)數(shù)螺線在自然界中廣泛存在，比如鸚鵡螺的外殼就是精度很高的對(duì)數(shù)螺線，向日葵種子的排列方式、松子在松果上的排列方式都和對(duì)數(shù)螺線高度吻合．已知某種對(duì)數(shù)螺線的解析式可以用表示，其中，則（ ）
A．B．
C．D．
7．“”是“函數(shù)的值域?yàn)椤钡模? ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（ ）
A．10B．20C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知集合，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．集合有15個(gè)真子集D．
10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的圖象無(wú)對(duì)稱中心
B．
C．的圖象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
D．的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
11．記函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．當(dāng)時(shí)，D．為函數(shù)的極值點(diǎn)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．
13．已知，則的最小值為_(kāi)_____．
14．若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)使得在處的切線與在處的切線的夾角為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（13分）
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：
（1）已知，證明：；
（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16．（15分）
已知正數(shù)滿足．
（1）求的取值范圍；
（2）證明：．
17．（15分）
已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，比較與0的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
18．（17分）
一天中，區(qū)域的居民活動(dòng)類型（工作、學(xué)習(xí)和休閑）越豐富，活動(dòng)地點(diǎn)總數(shù)越多，區(qū)域之間人口流動(dòng)越頻繁，其活力越高．市基于大數(shù)據(jù)測(cè)算城市活力，發(fā)現(xiàn)該市一工作日中活力度與一日中時(shí)間的關(guān)系可以用函數(shù)來(lái)刻畫(huà)，其中，正午12點(diǎn)時(shí)，該市的活力度為20，是該工作日內(nèi)活力度的最高值．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求市該工作日內(nèi)活力度不大于10的時(shí)長(zhǎng)；
（3）證明：市該工作日內(nèi)活力度升高時(shí)所對(duì)應(yīng)瞬時(shí)變化率的絕對(duì)值恒大于活力度降低時(shí)所對(duì)應(yīng)瞬時(shí)變化率的絕對(duì)值（附：）．
19．（17分）
有一種美，叫做對(duì)稱美，數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的最重要的特征．若函數(shù)的圖象在其定義域內(nèi)連續(xù)，在的定義域內(nèi)且函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，則稱直線為函數(shù)圖象的一條“準(zhǔn)對(duì)稱軸”．
（1）已知二次函數(shù)，直線為函數(shù)圖象的“準(zhǔn)對(duì)稱軸”，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值；
（2）已知三次函數(shù)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線為函數(shù)圖象的一條“準(zhǔn)對(duì)稱軸”；
（3）已知為函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷直線是否是函數(shù)圖象的一條“準(zhǔn)對(duì)稱軸”，并說(shuō)明理由．

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