2024.01
注意事項：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間20分鐘.
2.答題前，考生務必將姓名?班級等個人信息填寫在答題卡指定位置.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答超出答題區(qū)域書寫的答案無放，在試題卷?草稿紙上作答無效.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知分別是平面的法向量，若，則（ ）
A. B. C. 1D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩個平面垂直，兩個平面的法向量也垂直，求解即可.
【詳解】因為，所以，所以，解得.
故選：D
2. 已知橢圓的長軸長為4，離心率為，則該橢圓的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)長軸以及離心率即可求解.
【詳解】由長軸長為4，可得，又離心率為，即，
解得，故，
所以橢圓方程為，
故選：A
3. 由倫敦著名建筑事務所SteynStudi設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學與建筑完美結(jié)合的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（ ）

A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可求.
【詳解】由題意，雙曲線的焦點在軸上，且漸近線方程為，
所以，即，
所以該雙曲線的離心率為：.
故選：B
4. 記為等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A. B. C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式以及前項求和公式求解即可.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由可得，即，
所以，又，所以
故選：B
5. 已知等比數(shù)列的前項和為且成等差數(shù)列，則為（ ）
A. 244B. 243C. 242D. 241
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)條件求公比，再代入等比數(shù)列的前項和公式，即可求解.
【詳解】由題意可知，且，
設等比數(shù)列的公比為，
則，得，
.
故選：A
6. 歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個數(shù).例如.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 數(shù)列是等比數(shù)列D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由特殊值，即可判斷ABD，再根據(jù)等比數(shù)列的定義，以及歐拉函數(shù)，即可判斷C.
【詳解】因為，，，所以，故A錯誤；
且，故B錯誤；
因為所有偶數(shù)與不互素，所有奇數(shù)與互素，所以，，
所以，即數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；
，，所以，故D錯誤.
故選：C
7. 一平面截正四棱錐，與棱的交點依次為，已知，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接相交于點，連接，以為原點，分別以所在的直線為軸正方向建立空間直角坐標系，設，求出，求出平面的一個法向量，利用可得答案.
【詳解】如圖，在正四棱錐中，連接相交于點，連接，
則平面，且，
以為原點，分別以所在的直線為軸正方向建立空間直角坐標系，
設，由，
可得，
則，，
設為平面的一個法向量，
則，令，則，，
可得，所以，
解得.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是建立空間直角坐標系，利用平面的法向量和向量的數(shù)量積為零求解.
8. 如圖，分別為雙曲線的左，右焦點，在左支上，在右支上，且，，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】連接，根據(jù)雙曲線定義及題干知，，，，根據(jù)，得，然后利用余弦定理建立方程求出，即可求解漸近線方程.
【詳解】連接，
因為，由雙曲線的定義可得，
則，，，
在中，，
在中，，
因為，所以，所以，
所以，所以，即，所以，
所以該雙曲線的漸近線方程為即.
故選：A
【點睛】方法點睛：求雙曲線的漸近線方程的方法：
（1）定義法：直接利用、求得比值，則焦點在軸上時，漸近線方程為，焦點在軸上時，漸近線方程為；
（2）構(gòu)造齊次式：利用已知條件結(jié)合，構(gòu)建的關(guān)系式（或先構(gòu)建的關(guān)系式），再根據(jù)焦點位置寫出漸近線方程即可.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程為：，另一組對邊.則下列命題正確的有（ ）
A.
B. 與距離相等的點的軌跡方程為
C. 該菱形一定有內(nèi)切圓和外接圓
D. 若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進行求解即可判斷A，設點的坐標利用點到直線距離列等式求解判斷B，根據(jù)菱形有外接圓時為正方形判斷C，根據(jù)焦點坐標求p判斷D.
【詳解】對于A，因為菱形四條邊都相等，所以每邊上的高也相等，且菱形對邊平行，
直線和之間的距離為：，
和之間的距離為：，
于是有：，解得，正確；
對于B，設與距離相等的點為，則，所以，
即，所以所求點的軌跡方程為，正確；
對于C，若該菱形有外接圓，則菱形兩條對角線的交點和外接圓的圓心重合，
此時菱形的兩條對角線與圓的直徑重合，故兩對角線長相等，
則對角線相等的菱形必然為正方形，則，
而，所以，矛盾，故該菱形沒有外接圓，錯誤；
對于D，直線經(jīng)過點，即的焦點為，所以，錯誤；
故選：AB
10. 已知點是平行四邊形所在平面外一點，如果，，，下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B. ∥
C. 平面D. 四邊形為矩形
【答案】AC
【解析】
【分析】運用空間向量數(shù)量積的坐標運算結(jié)合垂直關(guān)系逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知 都是非零向量，
對于A， ，即，故A正確；
對于C， ，即，
且 平面ABCD，，
所以 平面ABCD，故C正確；
對于B，因為 平面ABCD， 平面ABCD，所以，故B錯誤；
對于D，因為，即不垂直，故D錯誤；
故選：AC.
11. 已知等差數(shù)列的前項和為，是互不相同的正整數(shù)，且，若在平面直角坐標系中有點，則下列選項成立的有（ ）
A. 直線與直線的斜率相等B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列通項的性質(zhì)與前項和公式，驗證各選項的結(jié)論.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為，是互不相同的正整數(shù)，且，
則有，，
直線的斜率，直線的斜率，A選項正確；
，
，
已知條件中不能得到，B選項錯誤；
，，
，C選項正確；
，D選項正確.
故選：ACD
12. 為坐標原點，以為準線，為焦點的拋物線的方程為：.過的直線交于兩點，于于為線段的中點.下列選項正確的有（ ）
A. 面積的最小值為4
B.
C. 直線與軸交于點，過點作的垂線與軸交于點，則
D. ，當且僅當軸時取等號
【答案】BC
【解析】
【分析】設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，可得，，
對A，，而，得解；對B，易得，又，可判斷；對C，設直線的方程求出點的橫坐標，同理求出點的橫坐標，結(jié)合，，計算可得可判斷；對D，計算，，從而可判斷.
【詳解】根據(jù)題意，，準線，
設直線的方程為，，，
聯(lián)立，消去整理得，
，，，
，當且僅當時等號成立，
，故A錯誤；
又，，，
，，
，又，，故B正確；
易知，則直線的斜率為，所以直線的方程為，
令，解得，
因為直線與直線垂直，所以直線的方程為，
令，求得，又，，
，所以，故C正確；
，
，
，即恒成立，故D錯誤.
故選：BC.
【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，綜合性強難度大.
選項A，由于，所以只要求出的最小值即可判斷；選項B，由三角形面積公式結(jié)合拋物線定義可得，又，即可判斷；選項C，設出直線與直線的方程求出，結(jié)合，，化簡計算得可判斷；選項D，利用韋達定理分別計算，可判斷.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 直線被圓C：截得的弦長為__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求圓心到直線的距離，再代入弦長公式.
【詳解】圓，圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離，
所以弦長為.
故答案為：
14. 已知四面體是棱的中點，設，則________（用向量表示）.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求解即可.
【詳解】由于是棱的中點，
所以.
故答案為：
15. 已知圓上恰有3個點到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則該雙曲線的離心率為______.
【答案】##
【解析】
【分析】先求出圓的圓心和半徑，應用點線距離公式求圓心到直線距離，結(jié)合已知列方程求得，然后利用離心率公式求解即可.
【詳解】圓即圓心為，半徑為，
不妨取雙曲線一條漸近線為即，
由題意圓上恰有3點到直線的距離為2，
只需圓心到直線的距離，即，所以，
所以該雙曲線的離心率為.
故答案為：
16. 如果數(shù)列滿足以下兩個條件，稱該數(shù)列為“閉數(shù)列”.
（1）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，且單調(diào)遞增；
（2）數(shù)列的前項組成的集合記為，對于任意，如果、，則.
已知數(shù)列為“閉數(shù)列”，且，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用“閉數(shù)列”定義結(jié)合累加法可求出的值，再次利用“閉數(shù)列”的定義結(jié)合累加法可求出的值.
【詳解】因為數(shù)列為“閉數(shù)列”，且，
由題意得，，，
……
，，
等式兩邊疊加，
即，所以，，
同理可得，，，
……
，，
等式兩邊疊加得，
即，所以，.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的核心是利用“閉數(shù)列”的新定義，充分利用累加法，轉(zhuǎn)化為關(guān)系與某些特殊項的方程進行求解.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知等差數(shù)列的前項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量轉(zhuǎn)化已知條件，求得首項和公差，即可求得通項公式；
（2）根據(jù)（1）中所求，利用等比數(shù)列的前項和公式，即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
設等差數(shù)列的公差為，由，可得；
由，令，可得，即；
解方程可得：，所以.
【小問2詳解】
因為，由（1）得，所以，又，
故是首項為3，公比為9的等比數(shù)列，
所以前項和.
18. 如圖，是底面邊長為1的正四棱柱.
（1）已知點到平面的距離為，求正四棱柱的高；
（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成角的余弦值.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求解空間距離，即可求解，
（2）根據(jù)法向量的夾角即可求解.
【小問1詳解】
建立如圖所示空間直角坐標系，由是底面邊長為1的正四棱柱，設高為，則，
則，
設平面的法向量為
則即,令，則，則
已知點到平面的距離為，所以，即，
解得，所以正四棱柱的高是2
【小問2詳解】
設平面設平面的法向量為，由（1），
則，即，令，則，即，
由（1）知平面的法向量為
設向量得夾角為，則，
所以平面與平面所成角的余弦值為
19. 直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點，分別為雙曲線的左?右焦點.
（1）求過點的圓的方程；
（2）設（1）中的圓和雙曲線在第一象限交于點，求圓在點處的切線方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立方程求得兩點坐標，然后根據(jù)確定所求圓的圓心為原點，半徑為2，從而求出圓的方程即可；
（2）聯(lián)立雙曲線與圓的方程求得點的坐標，利用切線性質(zhì)求得切線斜率，代入點斜式方程即可求解.
【小問1詳解】
由雙曲線，得左焦點，
又直線與雙曲線兩條漸近線交于兩點，
將代入，得，所以兩點得坐標分別為，
所以，則過點的圓的方程為.
【小問2詳解】
由（1）得圓的方程為.解方程組得切點，
所以，又過點的圓的切線的斜率，得，
所以過點的圓的切線方程為，即.
20. “天眼”探空?神舟飛天?高鐵奔馳?北斗組網(wǎng)等，我國創(chuàng)造了一個又一個科技工程奇跡.為了順應我國科技發(fā)展戰(zhàn)略，某高科技公司決定啟動一項高科技項目，啟動資金為2000億元，為保持每年可獲利20%，每年年底需從利潤中取出200億元作為研發(fā)經(jīng)費.設經(jīng)過n年之后，該項目資金為億元.
（1）寫出的值，并求出數(shù)列的通項公式.
（2）求至少要經(jīng)過多少年，該項目的資金才可以達到或超過翻一番（即為原來的2倍）的目標.（?。?br>【答案】（1），；
（2）5年.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，容易求得；結(jié)合已知條件，求得之間的遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列，即可求得；
（2）令，結(jié)合對數(shù)運算以及參考數(shù)據(jù)，即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意知，
而且.
可知
又因，所以可知，從而可知為等比數(shù)列.
因此
所以.
【小問2詳解】
令，可得，因此，
所以，因此.
即至少要經(jīng)過5年，項目的資金才可以達到或超過翻兩番的目標.
21. 已知數(shù)列的首項為，前項和為，且.
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列.
（2）若數(shù)列公差為，當取最小值時，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）8
【解析】
【分析】（1）利用得到，再結(jié)合，得到，證明出結(jié)論；
（2）裂項相消法求和得到方程，求出，進而得到，由單調(diào)性得到當時，取最小值.
【小問1詳解】
對于，
兩式相減，得，
遞推可得：，
兩式相減：得，
所以
所以，
即為等差數(shù)列.
【小問2詳解】
因為公差為，所以，
故
，
整理得，解得或（舍去），
即，則，
由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，當時，數(shù)列單調(diào)遞增，
當時，；當時，，
由于，故當時，取最小值.
22. 已知兩圓.一動圓與圓相外切，與圓相內(nèi)切.設動圓的圓心的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）為曲線上的兩動點，直線的斜率為，直線的斜率為，直線的斜率為，其中為的等比中項，以為直徑的圓的面積為，以為直徑的圓的面積為的面積為，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義，及看看求解；
（2）首先設直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示，化簡后求的值，并利用坐標和韋達定理表示和，并根據(jù)的取值，求面積比值的最值.
【小問1詳解】
設動圓圓心為，半徑為圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為3，
則，，則，
根據(jù)橢圓的定義，知動圓圓心的軌跡為：以為焦點，長軸為4的橢圓，
即；
【小問2詳解】
設直線，
，得①，
，
由得，得，
所以：.即，得.
代回①式，得，由，得.
，
，
所以.（當且僅當時取等）

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