一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）
1、（4分）如圖，在中，，是的中點，，，若，，
①四邊形是平行四邊形；
②是等腰三角形；
③四邊形的周長是；
④四邊形的面積是1．
則以上結論正確的是
A．①②③B．①②④C．①③④D．②④
2、（4分）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，如果 C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰直角三角形,則這樣的點C有( )
A．6個B．7個C．8個D．9個
3、（4分）下列曲線中能表示y是x的函數(shù)的為（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）如圖，在中，對角線、相交于點，且，，則的度數(shù)為（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
5、（4分）某同學粗心大意,因式分解時,把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的兩個數(shù)字弄污了,則式子中“■”和“▲”對應的一組數(shù)字可能是（ ）
A．8和1B．16和2
C．24和3D．64和8
6、（4分）如圖,在的方格紙中,兩點在格點上,線段繞某點逆時針旋轉角后得到線段,點與對應,則角的大小為( )
A．B．C．D．
7、（4分）歐幾里得是古希臘數(shù)學家，所著的《幾何原本》聞名于世．在《幾何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的圖解法是：如圖，以和b為直角邊作Rt△ABC，再在斜邊上截取BD＝，則圖中哪條線段的長是方程x2+ax＝b2的解？答：是（ ）
A．ACB．ADC．ABD．BC
8、（4分）把多項式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，則a、b的值分別是（ ）
A．a(chǎn)=2，b=3B．a(chǎn)=-2，b=-3
C．a(chǎn)=-2，b=3D．a(chǎn)=2，b=-3
二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
9、（4分）如圖，在ABCD中，∠A=45°，BC=2，則AB與CD之間的距離為________ ．
10、（4分）若一組數(shù)據(jù)1，3，x，4，5，6的平均數(shù)是4，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_____．
11、（4分）如圖，在矩形ABCD中，∠ABC的平分線交AD與點E，AB=2，BC=3，則CE=_____.
12、（4分）已知關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是_____________．
13、（4分）如圖，在平面直角坐標系中，已知OA=4，則點A的坐標為____________，直線OA的解析式為______________.
三、解答題（本大題共5個小題，共48分）
14、（12分）先化簡，再求值：，其中.
15、（8分）如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延長線于點E，點F為點B關于CE的對稱點，連接CF，分別延長DC，CF至點G，H，使FH=CG，連接AG，DH交于點P．
（1）依題意補全圖1；
（2）猜想AG和DH的數(shù)量關系并證明；
（3）若∠DAB=70°，是否存在點G，使得△ADP為等邊三角形？若存在，求出CG的長；若不存在，說明理由．
16、（8分）某文具店準備購進A、B兩種型號的書包共50個進行銷售，兩種書包的進價、售價如下表所示：
購進這50個書包的總費用不超過7300元，且購進B型書包的個數(shù)不大于A型書包個數(shù)的．
（1）該文具店有哪幾種進貨方案？
（2）若該文具店購進的50個書包全部售完，則該文具店采用哪種進貨方案，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？（利潤＝售價﹣進價）
17、（10分）上午6：00時，甲船從M港出發(fā)，以80和速度向東航行。半小時后，乙船也由M港出發(fā)，以相同的速度向南航行。上午8：00時，甲、乙兩船相距多遠？要求畫出符合題意的圖形.
18、（10分）在一條筆直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B兩地之間，甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地，乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地，在甲車出發(fā)至甲車到達C地的過程中，甲、乙兩車各自與C地的距離y（公里）與甲車行駛時間（小時）之間的函數(shù)關系如圖，請根據(jù)所給圖象關系解答下列問題：
（1）求甲、乙兩車的行駛速度；
（2）求乙車出發(fā)1.5小時后，兩車距離多少公里？
（3）求乙車出發(fā)多少小時后，兩車相遇？
B卷（50分）
一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
19、（4分）甲、乙兩人進行射擊測試，每人射擊10次．射擊成績的平均數(shù)相同，射擊成績的方差分別為S甲2＝5，S乙2＝3.5，則射擊成績比較穩(wěn)定的是_____（填“甲”或“乙“）．
20、（4分）新學期，某校欲招聘數(shù)學教師一名，對兩名候選老師進行了兩項基本素質的測試，他們的測試成績如表所示. 根據(jù)教學能力的實際需要，學校將筆試、面試的得分按2：3的比例計算兩人的總成績，那么__________（填“李老師”或“王老師”）將被錄用.
21、（4分）據(jù)統(tǒng)計，2019年全國高考報名人數(shù)達10310000人，比去年增加了560000，其中數(shù)據(jù)10310000用科學計數(shù)法表示為_________
22、（4分）已知一次函數(shù)y=x+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，寫出一個符合條件的b的值為_____.
23、（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AE=4cm，△ACE的面積是4cm2，四邊形BCED的面積是5cm2，那么AB的長是 ．
二、解答題（本大題共3個小題，共30分）
24、（8分）如圖，點在等邊三角形的邊，延長至，使，連接交于.
求證：.
25、（10分）我市某火龍果基地銷售火龍果，該基地對需要送貨且購買量在2000kg～5000kg（含2000kg和5000kg）的客戶有兩種銷售方案（客戶只能選擇其中一種方案）：方案A：每千克6.8元，由基地免費送貨；方案B：每千克6元，客戶需支付運費2000元 .
（1）請分別寫出按方案A，方案B購買這種火龍果的應付款y（元）與購買數(shù)量x（kg）之間的函數(shù)表達式；
（2）求購買量在什么范圍時，選擇方案A比方案B付款少？
（3）某水果批發(fā)商計劃用30000元，選用這兩種方案中的一種，購買盡可能多的這種火龍果，他應選擇哪種方案？
26、（12分）已知一次函數(shù)，.
（1）若方程的解是正數(shù)，求的取值范圍；
（2）若以、為坐標的點在已知的兩個一次函數(shù)圖象上，求的值；
（3）若，求的值.
參考答案與詳細解析
一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）
1、A
【解析】
證明AC∥DE，再由條件CE∥AD可證明四邊形ACED是平行四邊形；根據(jù)線段的垂直平分線證明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函數(shù)計算出AD=4，CD=2，再算出AB長可得四邊形ACEB的周長是10+2，利用△ACB和△CBE的面積和可得四邊形ACEB的面積．
【詳解】
①，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，故①正確；
②是的中點，，
，
是等腰三角形，故②正確；
③，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，，
，
，
四邊形的周長是故③正確；
④四邊形的面積：，故④錯誤，
故選．
此題主要考查了平行四邊形的判定和性質，以及三角函數(shù)的應用，關鍵是利用三角函數(shù)值計算出CB長．
2、A
【解析】
根據(jù)題意，結合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．
【詳解】
如圖：分情況討論：
①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有2個；
②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．
故選：C．
本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數(shù)學知識來求解．數(shù)形結合的思想是數(shù)學解題中很重要的解題思想．
3、D
【解析】
根據(jù)函數(shù)的定義可知，滿足對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應關系，據(jù)此即可判斷．
【詳解】
A、B、C選項，一個x的值對應有兩個y值，故不能表示y是x的函數(shù)，錯誤，
D選項，x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應，正確，
故選D．
本題考查了函數(shù)的定義．函數(shù)的定義：在一個變化過程中，有兩個變量x，y，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應，則y是x的函數(shù)，x叫自變量．
4、A
【解析】
由在中，對角線、相交于點，且可推出是矩形，可得∠DAB=90°進而可以計算的度數(shù).
【詳解】
解：在中
∵
∴AC=BD
∵在中， AC=BD
∴是矩形
所以∠DAB=90°
∵
∴
故選A
本題考查的是矩形的判定和性質.掌握是矩形的判定和性質是解題的關鍵.
5、B
【解析】
可以看出此題是用平方差公式分解因式，可以根據(jù)整式乘法與因式分解是互逆運算變形得出．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【詳解】
由（x2+4）（x+2）（x-▲）得出▲=2，
則（x2+4）（x+2）（x-2）=（x2+4）（x2-4）=x4-1，則■=1．
故選B．
此題考查了學生用平方差公式分解因式的掌握情況，靈活性比較強．
6、C
【解析】
如圖：連接AA′，BB′，作線段AA′，BB′的垂直平分線交點為O，點O即為旋轉中心．連接OA，OB′，∠AOA′即為旋轉角．
【詳解】
解：如圖：連接AA′，BB′，作線段AA′，BB′的垂直平分線交點為O，點O即為旋轉中心．連接OA，OB′
∠AOA′即為旋轉角，
∴旋轉角為90°
故選：C．
考查了旋轉的性質，解題的關鍵是能夠根據(jù)題意確定旋轉中心的知識，難度不大．
7、B
【解析】
解一元二次方程，由求根公式求得， 已知AC、BC，由勾股定理求得AB，則AD等于AB和BD之差，比較AD的長度和x的解即可知結論.
【詳解】
x2+ax＝b2 ,
即x2+ax-b2=0 ,
∴
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
則
故答案為：B.
本題主要考查一元二次方程的根，與勾股定理，解題關鍵在于能夠求出AB的長度.
8、B
【解析】
分析：根據(jù)整式的乘法，先還原多項式，然后對應求出a、b即可.
詳解：（x+1）（x-3）
=x2-3x+x-3
=x2-2x-3
所以a=2，b=-3，
故選B．
點睛：此題主要考查了整式的乘法和因式分解的關系，利用它們之間的互逆運算的關系是解題關鍵.
二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
9、
【解析】
先由平行四邊形對邊相等得AD=BC, 作DE⊥AE，由題意可知△ADE為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可以求出DE的長度，即AB和CD之間的距離.
【詳解】
如圖，過D作DE⊥AB交AB于E，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC=2，

△ADE為等腰直角三角形，
，
根據(jù)勾股定理得 ，
，
，
，
即AB和CD之間的距離為，
故答案為：
本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，熟練利用勾股定理求直角三角形中線段長是解題的關鍵.
10、5
【解析】
根據(jù)題意可知這組數(shù)據(jù)的和是24，列方程即可求得x，然后求出眾數(shù)．
【詳解】
解：由題意可知，1+3+x+4+5+6=4×6，
解得：x=5，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5.
故答案為5.
此題考查了眾數(shù)與平均數(shù)的知識．眾數(shù)是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．
11、
【解析】
根據(jù)矩形的性質可得∠AEB=∠EBC，由BE是∠ABC的角平分線可得∠ABE=∠EBC，即可證明∠ABE=∠AEB，進而可得AE=AB，即可求出DE的長，利用勾股定理即可求出CE的長.
【詳解】
∵ABCD是矩形，
∴AD//BC，CD=AB=2，AD=BC=3，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE是∠ABC的角平分線，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=2，
∴DE=AD-AE=1，
在Rt△CDE中，CE==，
故答案為：
本題考查矩形的性質、勾股定理及等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
12、且
【解析】
由題意可知方程根的判別式△＞0，于是可得關于a的不等式，解不等式即可求出a的范圍，再結合二次項系數(shù)不為0即得答案．
【詳解】
解：根據(jù)題意，得：，且，解得：且．
故答案為：且．
本題考查了一元二次方程的根的判別式和一元一次不等式的解法，屬于基本題型，熟練掌握一元二次方程根的判別式和方程根的個數(shù)之間的關系是解題的關鍵．
13、 (2,2), y=
【解析】
分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出點A的坐標，把點A坐標代入直線OA的解析式可直接求出其解析式.
詳解：如圖：過A點作x軸，y軸的垂線，交于點B,C.
∵OA=4,且∠AOC=30°，
∴AC=2,OC=2.
∴點A（2）.
設直線OA的解析式為y=kx,
∵點A（2，2），
∴k=，
∴直線OA的解析式：y=x.
點睛：本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，難點在于用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式.
三、解答題（本大題共5個小題，共48分）
14、；.
【解析】
根據(jù)分式的運算法則進行計算，即可求出答案．
【詳解】
解：
原式
當時，
原式
本題考查分式的運算，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型．
15、 (1)見解析;(2) AG=DH,理由見解析;(3) 不存在．理由見解析.
【解析】
【分析】(1)依題意畫圖；
（2）根據(jù)菱形性質得，∥，；由點為點關于的對稱點，得垂直平分，故，，所以，再證，
由，，得．可證△≌△．
（3）由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，
證得∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°，故△ADP不可能是等邊三角形．
【詳解】
（1）補全的圖形，如圖所示．
（2）AG=DH．
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴，∥，．
∵點為點關于的對稱點，
∴垂直平分．
∴，．
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
∴△≌△．
∴．
（3）不存在．
理由如下：
由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，
∴∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°．
∴△ADP不可能是等邊三角形．
【點睛】本題考核知識點：菱形，軸對稱,等邊三角形. 解題關鍵點：此題比較綜合，要熟記菱形性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱性質，等邊三角形判定.
16、（1）有4種進貨方案，分別是：①A，20個，B，30個；②A，21個，B，29個；③A，22個，B28個；④A，1個，B27個；（2）購進A型1個，B型27個獲利最大，最大利潤為3元．
【解析】
（1）設購進A型書包x個，則B型（50﹣x）個，由題意得關于x的不等式組，解得x的范圍，再根據(jù)x為正整數(shù)，可得x及（50﹣x）的值，則進貨方案可得．
（2）設獲利y元，根據(jù)利潤等于（A的售價﹣進價）×A的購進數(shù)量+（B的售價﹣進價）×B的購進數(shù)量，列出函數(shù)關系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質可得答案．
【詳解】
解：（1）設購進A型書包x個，則B型（50﹣x）個，
由題意得： ，
解得：20≤x≤1．
∴A型書包可以購進20，21，22，1個；B型書包可以購進（50﹣x）個，即30，29，28，27個．
答：有4種進貨方案，分別是：①A，20個，B，30個；②A，21個，B，29個；③A，22個，B28個；④A，1個，B27個．
（2）設獲利y元，由題意得：
y＝（300﹣200）x+（150﹣100）（50﹣x）
＝100x+50（50﹣x）
＝50x+2．
∵50＞0，
∴y隨x的增大而增大．
∴當x＝1時，y最大，y最大值＝50×1+2＝3．
答：購進A型1個，B型27個獲利最大，最大利潤為3元．
本題考查了一次函數(shù)實際應用問題的方案設計和選擇問題，根據(jù)題意列出相關的不等式，利用一次函數(shù)性質選取最佳方案即可．
17、兩船相距200，畫圖見解析.
【解析】
根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求解即可．
【詳解】
解：如圖所示，
∵甲船從港口出發(fā)，以80的速度向東行駛，
∴MA=80×2=160（km），
∵半個小時后，乙船也由同一港口出發(fā)，以相同的速度向南航行，
∴MB=80×1.5=120（km），
∴（km），
∴上午8：00時，甲、乙兩船相距200km.
本題考查的是勾股定理的應用，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵．
18、（1）甲車的行駛速度 60（km/h），乙車的行駛速度80（km/h）；（2）兩車距離170公里；（3）乙車出發(fā)小時后，兩車相遇.
【解析】
（1）根據(jù)速度=路程÷時間分別求出甲、乙兩車的速度即可；
（2）根據(jù)時間=路程÷速度即可求解；
（3）根據(jù)時間=路程÷速度和即可求解．
【詳解】
（1）甲車的行駛速度：＝60（km/h）
乙車的行駛速度：＝80（km/h）
（2）乙車出發(fā)1.5小時后，離C地距離：200－80×1.5＝80（km），
甲離C地距離：240－60×（1＋1.5）＝90（km），
80＋90＝170（km）
乙車出發(fā)1.5小時后，兩車距離170公里。
（3）設乙車出發(fā)x小時后，兩車相遇，
則80x＋60（x＋1）＝200+240，
解得：x＝小時，
所以，乙車出發(fā)小時后，兩車相遇.
本題考查了一次函數(shù)的應用，根據(jù)函數(shù)圖象逐一分析是解題的關鍵．
一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
19、乙．
【解析】
根據(jù)方差反應了數(shù)據(jù)的波動情況，即可完成作答。
【詳解】
解：因為S甲2＝5＞S乙2＝3.5，即乙比較穩(wěn)定，故答案為：乙。
本題考查了方差在數(shù)據(jù)統(tǒng)計中的作用，即方差是反映數(shù)據(jù)波動大小的量。
20、李老師.
【解析】
利用加權平均數(shù)的計算方法求出李老師、王老師的最后總成績，比較得出答案．
【詳解】
解：李老師總成績?yōu)椋?0×+85×=87，
王老師的成績?yōu)椋?5×+80×=86，
∵87＞86，
∴李老師成績較好，
故答案為：李老師．
考查加權平均數(shù)的計算方法，以及利用加權平均數(shù)對事件作出判斷，理解權對平均數(shù)的影響．
21、1.031×1
【解析】
科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
【詳解】
解：將10310000科學記數(shù)法表示為：1.031×1．
故答案為：1.031×1．
此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
22、2
【解析】
圖象經(jīng)過一、三象限，還過第二象限，所以直線與y軸的交點在正半軸上，則b＞2．
【詳解】
解：∵圖象經(jīng)過第一、二、三象限，
∴直線與y軸的交點在正半軸上，則b＞2．
∴符合條件的b的值大于2即可．
∴b=2，
故答案為2．
考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第幾象限，取決于x的系數(shù)及常數(shù)是大于2或是小于2．
23、6cm．
【解析】
試題分析：由∠ADE=∠C，∠A是公共角，根據(jù)有兩角對應相等的三角形相似，即可證得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可得，然后由AE=2，△ADE的面積為4，四邊形BCDE的面積為5，即可求得AB的長為6cm．
故答案為6cm．
考點：相似三角形的判定與性質．
二、解答題（本大題共3個小題，共30分）
24、證明見解析.
【解析】
作DG//AC，交AB于G，利用等邊三角形的性質得出△BDG為等邊三角形，再利用ASA得出△DFG≌△EAF，即可解答
【詳解】
證明：作DG//AC，交AB于G，
∵等邊三角形ABC
∴∠BDG=∠C=60°
∴∠BGD=∠BAC=60°
所以△BDG為等邊三角形
∴GD=BD=AE
∵∠GDF=∠E,∠DGF=∠EAF
∴△DFG≌△EAF
∴FD=EF.
此題考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，解題關鍵在于作輔助線
25、（1）方案A：yA=6.8x；方案B：yB=6x+1；（2）1≤x＜2；（3）選擇方案B
【解析】
（1）根據(jù)題意確定出兩種方案應付款y與購買量x之間的函數(shù)表達式即可；
（2）根據(jù)A付款比B付款少列出不等式，求出不等式的解集確定出x的范圍即可；
（3）根據(jù)題意列出算式，計算比較即可得到結果．
【詳解】
解：（1）由題意，得方案A的函數(shù)表達式為yA=6.8x，
方案B的函數(shù)表達式為yB=6x+1．
（2）當yA＜yB時，6.8x＜6x+1．解得x＜2．
故購買量x的范圍滿足1≤x＜2時，
選擇方案A比選擇方案B付費少．
（3）當y=30000時，方案A：6.8x=30 000，
解得x≈4412（kg）
方案B：6x+1=30000，解得x≈4667 （kg），
∵4412＜4667
∴要購買盡可能多的火龍果，應該選擇方案B．
本題考查了一次函數(shù)的應用，弄清題中的兩種方案是解本題的關鍵．
26、（1）；（2）；（3）－2
【解析】
（1）根據(jù)代入求出x的解，得到a的不等式即可求解；
（2）聯(lián)立兩函數(shù)求出交點坐標，代入即可求解；
（3）根據(jù)分式的運算法則得到
得到A，B的方程，即可求解.
【詳解】
（1）∵
∴
由題意可知，即，解得.
（2）由題意可知為方程組的解，解方程組得.
所以，，
將代入上式得：.
（3）∵
∴，解得.所以的值為.
此題主要考查一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是熟知一次函數(shù)的性質、二元一次方程組的解法.
題號
一
二
三
四
五
總分
得分
書包型號
進價（元/個）
售價（元/個）
A型
200
300
B型
100
150
測試項目
測試成績
李老師
王老師
筆試
90
95
面試
85
80

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