1．（3分）方程組的解集是 ．
2．（3分）“如果，那么”是 命題（填“真”或“假” ．
3．（3分）下列表達(dá)式中正確的序號是 ．
①；②；③，2，3，；④
4．（3分）命題“，是實(shí)數(shù)，若，則”，用反證法證明時，應(yīng)先假設(shè) ．
5．（3分）若，，，則實(shí)數(shù) ．
6．（3分）已知等式恒成立，則常數(shù) ．
7．（4分）設(shè)集合，則 ．
8．（4分）已知全集，集合且，則 ．
9．（4分）“集合至多含有一個元素”的一個充分非必要條件是 ．
10．（4分）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
11．（4分）設(shè)、是關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的最小值為 ．
12．（4分）集合，，都是非空集合，現(xiàn)規(guī)定如下運(yùn)算：且．假設(shè)集合，，，其中實(shí)數(shù)，，，，，滿足：
（1），；；（2）；（3）．
計(jì)算 ．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分16分，每題4分）
13．（4分）若，則下列不等式中不能成立的是
A．B．C．D．
14．（4分）設(shè)，命題“存在，使方程有實(shí)根”的否定是
A．對任意，方程無實(shí)根
B．對任意，方程無實(shí)根
C．對任意，方程有實(shí)根
D．對任意，方程有實(shí)根
15．（4分）設(shè)為全集，，是的子集，則“存在集合使得，”是“”的 條件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
16．（4分）若且，則稱集合為“和諧集”，已知集合，，0，1，，，則集合的子集中“和諧集”的個數(shù)為
A．0B．1C．2D．3
三、解答題（本大題共有4題，滿分42分）
17．（8分）設(shè)集合，．
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．（10分）已知集合，，．
（1）判斷8、9、10是否屬于集合；
（2）已知，，證明：“”的充分非必要條件是“”．
19．（10分）（1）當(dāng)時，求證：；
（2）已知，，，．試證明，，至少有一個不小于1．
20．（14分）已知集合，，，，，具有性質(zhì)：對任意，，與至少一個屬于．
（1）分別判斷集合，2，與，2，是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（2），，具有性質(zhì)，當(dāng)時，求集合；
（3）記，求．
參考答案
一、填空題（共有12題，滿分42分，第1～6題每題3分，第7～12題每題4分）
1．（3分）方程組的解集是 ．
【答案】．
解：根據(jù)題意，方程組，利用代入消元法，可得，
故答案為：．
2．（3分）“如果，那么”是 真 命題（填“真”或“假” ．
【答案】真．
解：，
，
由不等式性質(zhì)可得兩邊同時除以，不等號方向不變，
即，
故答案為：真．
3．（3分）下列表達(dá)式中正確的序號是 ②④ ．
①；②；③，2，3，；④
【答案】②④．
解：根據(jù)題意，①，故①錯，②空集是任何集合的子集，故，故②對，
③，2，3，，故③錯，
④由表示自然數(shù)集，表示整數(shù)集可得，，故④正確，
故答案為：②④．
4．（3分）命題“，是實(shí)數(shù)，若，則”，用反證法證明時，應(yīng)先假設(shè) ，不都等于1 ．
解：由題意，即考慮的否定，由于，都等于1，故否定為，不都等于1，
故答案為：，不都等于1．
5．（3分）若，，，則實(shí)數(shù) 或4 ．
【答案】或4．
解：因?yàn)椋?，?br>所以①若，則，，，，滿足集合元素的互異性；
②若，則或2（舍，此時，，，，，滿足集合元素的互異性；
綜上可知：或4．
故答案為：或4．
6．（3分）已知等式恒成立，則常數(shù) 4 ．
【答案】4．
解：等式恒成立，
，
，解得，
，
故答案為：4．
7．（4分）設(shè)集合，則 ， ．
解：，，
則，．
故答案為：，．
8．（4分）已知全集，集合且，則 或 ．
【答案】或．
解：，，
．
故答案為：或．
9．（4分）“集合至多含有一個元素”的一個充分非必要條件是 （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
解：由方程，
當(dāng)時，即為，解得，此時滿足題意；
當(dāng)時，要使得集合中至多含有一個元素，
則滿足△，解得，
綜上可得，方程至多一個解時，實(shí)數(shù)的取值范圍為，
所以集合中至多含有一個元素的一個充分不必要條件為．
故答案為：（答案不唯一）．
10．（4分）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】．
解：集合或，
因?yàn)?，所以，解得?br>實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
11．（4分）設(shè)、是關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的最小值為 ．
【答案】．
解：因?yàn)?、是關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根，
所以，且△，
所以，
，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時取得最小值．
故答案為：．
12．（4分）集合，，都是非空集合，現(xiàn)規(guī)定如下運(yùn)算：且．假設(shè)集合，，，其中實(shí)數(shù)，，，，，滿足：
（1），；；（2）；（3）．
計(jì)算 或 ．
【答案】或．
解：因?yàn)?，，?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以，所以，所以?br>同理，，所以；
由（1），；；（2）；（3）；
所以；
所以，，；
所以或．
故答案為：或．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分16分，每題4分）
13．（4分）若，則下列不等式中不能成立的是
A．B．C．D．
【答案】
解：對于選項(xiàng)，
，，
，
即，
故不等式成立；
對于選項(xiàng)，
，
，
故不等式成立；
對于選項(xiàng)，
，
，
即，
故不等式成立；
對于選項(xiàng)，
，
，
故不等式不成立；
故選：．
14．（4分）設(shè)，命題“存在，使方程有實(shí)根”的否定是
A．對任意，方程無實(shí)根
B．對任意，方程無實(shí)根
C．對任意，方程有實(shí)根
D．對任意，方程有實(shí)根
【答案】
解：因?yàn)槊}“存在，使方程有實(shí)根”為特稱命題，
則其否定為全稱命題，即為“任意，方程無實(shí)根”，
故選：．
15．（4分）設(shè)為全集，，是的子集，則“存在集合使得，”是“”的 條件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
【答案】
解：
若“存在集合使得，”，如圖所示，推不出“”，故充分性不滿足；
反之，若“”，如圖所示，推不出“存在集合使得，”，故必要性不滿足；
所以“存在集合使得，”是“”的既非充分又非必要條件．
故選：．
16．（4分）若且，則稱集合為“和諧集”，已知集合，，0，1，，，則集合的子集中“和諧集”的個數(shù)為
A．0B．1C．2D．3
【答案】
解：由且，
若，則；
若，則，，
；
若，則，但，不存在；
所以集合的子集中“和諧集”只有，，，
故選：．
三、解答題（本大題共有4題，滿分42分）
17．（8分）設(shè)集合，．
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】，．
解：由得或，故集合，
（1），，代入中的方程，
得或；
當(dāng)時，，，滿足條件；
當(dāng)時，，滿足條件；
綜上，的值為或；
（2）對于集合，
△．
，，
①當(dāng)△，即時，滿足條件；
②當(dāng)△，即時，，滿足條件；
③當(dāng)△，即時，，才能滿足條件，
則由根與系數(shù)的關(guān)系得
矛盾；
綜上，的取值范圍是，．
18．（10分）已知集合，，．
（1）判斷8、9、10是否屬于集合；
（2）已知，，證明：“”的充分非必要條件是“”．
【答案】（1），，；
（2）證明見解析．
解：（1），，，，
假設(shè)，，，
則，且，
，或，
顯然均無整數(shù)解，，
，，．
（2）集合，，
則恒有，，
即一切奇數(shù)都屬于，
又，，
“”的充分不必要條件是“”．
19．（10分）（1）當(dāng)時，求證：；
（2）已知，，，．試證明，，至少有一個不小于1．
【解答】證明：（1）
，
，，
（2）假設(shè)，，都小于1，即，，
則有①
而②
①與②矛盾
故，，至少有一個不小于1．
20．（14分）已知集合，，，，，具有性質(zhì)：對任意，，與至少一個屬于．
（1）分別判斷集合，2，與，2，是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（2），，具有性質(zhì)，當(dāng)時，求集合；
（3）記，求．
【答案】（1）具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)．
（2），4，．
（3）．
解：（1）集合，2，中，因?yàn)?，，，所以集合具有性質(zhì)．
集合，2，中，因?yàn)?，，所以集合不具有性質(zhì)．
（2）因?yàn)椋?，，具有性質(zhì)，所以，，
則，又因?yàn)?，所以，則，
由集合的互異性知．
故：，4，．
（3）因?yàn)榫哂行再|(zhì)，所以．，則，則，
又因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋?，，，所以，則，
所以，，，，．
所以，
即，
所以，則．

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