1．（3分）若二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x≤3B．x≥3C．x＜3D．x≠3
解析：解：由題意得：2x﹣6≥0，
解得：x≥3，
故選：B．
2．（3分）下列四條線段成比例的是（ ）
A．4，2，1，3B．1，2，2，4C．3，4，5，6D．1，2，3，5
解析：解：A、∵，故選項不符合題意；
B、∵，故選項符合題意；
C、∵，故選項不符合題意；
D、∵，故選項不符合題意．
故選：B．
3．（3分）將一個三角形按2：1的比放大后，它的面積（ ）
A．保持不變B．放大到原來的2倍
C．放大到原來的4倍D．無法確定
解析：解：根據(jù)相似三角形的性質，面積比等于相似比的平方，
相似比為2，則面積就是原來面積的四倍．
故選：C．
4．（3分）觀察下列各組式子：
①，；
②，；
③，．
可猜想得到：（a≥0，b≥0），上述探究過程體現(xiàn)的數(shù)學思想方法是（ ）?
A．從特殊到一般B．類比
C．轉化D．公理化
解析：解：由題意得：探究過程體現(xiàn)的數(shù)學思想方法是：從特殊到一般．
故選：A．
5．（3分）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：A．的被開方數(shù)中含有能開方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B．的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
C．的被開方數(shù)中含有能開方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
D．是最簡二次根式，故本選項符合題意；
故選：D．
6．（3分）方程（x+1）（x﹣3）＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
解析：解：∵（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
故選：C．
7．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：與無法合并，則A不符合題意；
2﹣＝，則B不符合題意；
×＝＝，則C符合題意；
÷3＝＝，則D不符合題意；
故選：C．
8．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0時，原方程應變形為（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
解析：解：由原方程移項，得
x2﹣2x＝5，
方程的兩邊同時加上一次項系數(shù)﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6．
故選：C．
9．（3分）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（ ）
A．x2﹣1＝0B．x2+1＝2xC．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝0
解析：解：A、Δ＝02﹣4×（﹣1）＝4＞0，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，此方程有兩個相等的實數(shù)根，符合題意；
C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意．
故選：B．
10．（3分）如圖，AD、BC相交于點O，由下列條件不能判定△AOB與△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CDB．∠A＝∠DC．D．
解析：解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本選項不符合題意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本選項不符合題意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本選項不符合題意．
D、已知兩組對應邊的比相等：，但其夾角不一定對應相等，不能判定△AOB與△DOC相似，故本選項符合題意．
故選：D．
11．（3分）若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，則關于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（ ）
A．y1＝2，y2＝﹣4B．y1＝0，y2＝﹣4
C．y1＝3，y2＝﹣3D．y1＝1，y2＝﹣3
解析：解：∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴關于（y+1）的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1+1＝1，y2+1＝﹣3，
∴關于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1＝0，y2＝﹣4．
故選：B．
12．（3分）若a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個實數(shù)根，則a2+3a+b的值是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
解析：解：∵a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個實數(shù)根，
∴a2+2a＝2024，a+b＝﹣2，
∴a2+3a+b＝（a2+2a）+a+b＝2024+（﹣2）＝2022，
故選：B．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
13．（3分）最簡二次根式是同類二次根式，則a的值為 4 ．
解析：解：∵最簡二次根式是同類二次根式，
∴a+1＝5，
∴a＝4．
故答案為：4．
14．（3分）式子的值為 2 ．
解析：解：原式＝|﹣2|＝2．
故答案為：2．
15．（3分）已知關于x方程x2﹣3x+a＝0有一個根為﹣1，則方程的另一個根為 4 ．
解析：解：設方程的另一個根為m，
根據(jù)題意得：﹣1+m＝3，
解得：m＝4．
故答案為：4．
16．（3分）根據(jù)表格估計方程x2+2x＝6其中一個解的近似值．
根據(jù)上表，求方程x2+2x＝6的一個解大約是 1.65 .（精確到0.01）
解析：解：根據(jù)題意得：
6﹣5.9696＝0.0304，
6.0225﹣6＝0.0225，
0.0304＞0.0225，
可見6.0225比5.9696更逼近6，
當精確度為0.01時，方程x2+2x＝6的一個解約是1.65；
故答案為：1.65．
17．（3分）如圖，用一個卡鉗（AD＝BC，＝＝）測量某個零件的內孔直徑AB，量得CD長度為6cm，則AB等于 18 cm．
解析：解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝3，
∵CD＝6cm，
∴AB＝6×3＝18（cm），
故答案為：18．
18．（3分）我國古代數(shù)學家曾經(jīng)研究過一元二次方程的幾何解法，以方程x2+5x＝14為例，三國時期的數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構造如圖所示的大正方形ABCD，它由四個全等的長方形和中間一個小正方形組成，根據(jù)面積關系可求得AB的長，從而解得x．根據(jù)此法，圖中正方形ABCD的面積是 81 ．
解析：解：由x2+5x＝14得到：．
解得：x1＝2，x2＝﹣7（負值舍去），
所以正方形ABCD的面積＝（x+x+5）2＝（4+5）2＝81，
故答案為：81．
三、解答題（本大題共8小題，滿分66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（6分）計算：×．
解析：解：原式＝﹣﹣2
＝4﹣2﹣2
＝0．
20．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F(xiàn)是邊AB上一點，且CB＝CF，過點A作CF的垂線，交CF的延長線于點D，求證：△ADF∽△ACB．
解析：解：∵CB＝CF，
∴∠B＝∠CFB，
∴∠CFB＝∠AFD，
∵AD⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠BCA，
∴△ADF∽△ACB．
21．（8分）已知長方形長a＝，寬b＝．
①求長方形的周長；
②求與長方形等面積的正方形的周長，并比較長方形周長與正方形周長大小關系．
解析：解：①長方形的周長為2×（+）＝2×（2+）＝6；
②長方形的面積為×＝2×＝6，
則正方形的邊長為，
∴此正方形的周長為4，
∵6＝，4＝，且＜，
∴6＞4，
則長方形的周長大于正方形的周長．
22．（8分）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．
（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若該方程兩個實數(shù)根的差為3，求m的值．
解析：（1）證明：∵一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0，
∴Δ＝（1﹣m）2﹣4（m﹣2）
＝m2﹣2m+1﹣4m+8
＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，
∴Δ≥0．
∴該方程總有兩個實數(shù)根．
（2）解：∵一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0，
解方程，得x1＝1，x2＝m﹣2．
∵該方程的兩個實數(shù)根的差為3，
∴|1﹣（m﹣2）|＝3．
∴m＝0或m＝6．
綜上所述，m的值是0或6．
23．（8分）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是AB、BC上的點，且DE∥AC，AE∥DF．
（1）當，BF＝6cm時，求BE的長；
（2）求證：BE2＝BF?BC．
解析：（1）解：∵，
∴＝，
∵AE∥DF，
∴＝＝，
∴BE＝BF＝×6＝10（cm）；
（2）證明：∵DE∥AC，
∴＝，
∵AE∥DF，
∴＝，
∴＝，
∴BE2＝BF?BC．
24．（8分）小明在解一元二次方程時，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：
如：解方程x（x+4）＝6，
解：原方程可變形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．
（x+2）2﹣22＝6，
（x+2）2＝6+22，
（x+2）2＝10．
直接開平方并整理，得．，，
我們稱小明這種解法為“平均數(shù)法”．
（1）下面是小明用“平均數(shù)法”解方程（x+3）（x+7）＝5時寫的解題過程．
解：原方程可變形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．
（x+a）2﹣b2＝5，
（x+a）2＝5+b2．
直接開平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述過程中的a，b，c，d表示的數(shù)分別為 5 ， 2 ， 2 ， ﹣8 ；
（2）請用“平均數(shù)法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝5．
解析：解：（1）由題意知a＝5，b＝2，
∴（x+a）2＝5+b2．可變形為（x+5）2＝9，
∴x+5＝3或x+5＝﹣3，
解得x1＝2，x2＝﹣8，
即c＝2，d＝﹣8，
故答案為：5、2、2、﹣8；
（2）原方程可變形為[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝5．
（x﹣1）2﹣42＝5，
（x﹣1）2＝5+42，
（x﹣1）2＝21．
直接開平方并整理，得x1＝1+，x2＝1﹣．
25．（10分）解決問題：鄧州公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔7月份到9月份的銷量，該品牌頭盔7月份銷售500個，9月份銷售720個，且從7月份到9月份銷售量的月增長率相同．
（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
（2）若此種頭盔的進價為30元/個，經(jīng)市場預測，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，該品牌頭盔的實際售價應定為多少元？
解析：解：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，
依題意，得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．
（2）設該品牌頭盔的實際售價為y元，
依題意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合題意，舍去），y2＝50，
答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元．
26．（12分）綜合與實踐
問題情境：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點B順時針旋轉得到Rt△EBD，連接AE，連接CD并延長交AE于點F．
猜想驗證：（1）試猜想△CBD與△ABE是否相似？并證明你的猜想．
探究證明：（2）如圖，連接BF交DE于點H，AB與CF相交于點G，是否成立？并說明理由．
拓展延伸：（3）若CD＝EF，直接寫出的值．
解析：解：（1）△CBD與△ABE相似，
∵將△ABC繞點B順時針旋轉得到Rt△EBD，
∴CB＝BD，AB＝BE，∠CBD＝∠ABE，
∴，
∴，
∴△CBD∽△ABE；
（2）成立，
理由：由（1）知△CBD∽△ABE，
∴∠GCB＝∠GAF，
∵∠CGB＝∠AGF，
∴△CGB∽△AGF，
∴＝，
∴＝，
∵∠AGC＝∠FGB，
∴△AGC∽△FGB，
∴∠BAC＝∠BFG，
∵∠BAC＝∠BED，
∴∠BFG＝∠BED，
∵∠DHF＝∠BHE，
∴△DHF∽△BHE，
∴＝；
（3）由（2）知，＝，
∴＝，
∵∠DHB＝∠FHE，
∴△DHB∽△FHE，
∴∠EFH＝∠BDH＝90°，
∴BF⊥AE，
∴AF＝EF＝AE，
∴CD＝EF＝AE，
∴＝＝，
∴的值為．x
1.63
1.64
1.65
1.66
…
x2+2x
5.9169
5.9696
6.0225
6.0756
…

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