?2022-2023學(xué)年湖南省衡陽市衡南縣九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每小題3分，共36分，每小題只有一個(gè)正確答案）
1．下列根式中，屬于最簡二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（　?。?br /> A．x2+2x＝x2﹣1 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0
C．3（x+1）2＝2（x+1） D．+﹣2＝0
3．已知3x＝2y，那么下列等式一定成立的是（　?。?br /> A．x＝2，y＝3 B． C． D．3x+2y＝0
4．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
5．下列計(jì)算正確的是（　　）
A． B． C． D．
6．對于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，則該方程根的情況為（　?。?br /> A．沒有實(shí)數(shù)根 B．兩根之和是3
C．兩根之積是﹣2 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
7．如圖，下列選項(xiàng)中不能判定△ACD∽△ABC的是（　?。?br />
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD?AB D．BC2＝BD?AB
8．如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為（　　）

A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
9．下面給出了一些關(guān)于相似的命題，其中真命題有（　?。?br /> （1）菱形都相似；
（2）等腰直角三角形都相似；
（3）正方形都相似；
（4）矩形都相似；
（5）正六邊形都相似；
（6）等腰三角形都相似．
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
10．如圖，△ABO的頂點(diǎn)A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∠ABO＝90°，過AO邊的三等分點(diǎn)M、N分別作x軸的平行線交AB于點(diǎn)P、Q．若△ANQ的面積為1，則k的值（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
11．下面是李剛同學(xué)在一次測驗(yàn)中解答的題目，其中答對的是（　?。?br /> A．若x2＝4，則x＝2
B．方程x（2x﹣1）＝2x﹣1的解為x＝1
C．若方程﹣0.5x2+x+k＝0一根等于1，則k＝﹣0.5
D．若分式的值為0，則x＝1或2
12．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF，有下列結(jié)論：①∠BAE＝30°；②S△ABE＝4S△BCF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
二.填空題（每小題3分，共18分）
13．若代數(shù)式有意義，則x必須滿足條件是 　 ?。?br /> 14．關(guān)于x的一元二次方程（k+2）x2+6x+k2﹣4＝0有一個(gè)根是0，則k的值是 　 　．
15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)根，則2x1+2x2﹣x1x2的值為 　 　．
16．《九章算術(shù)》中記載了一種測量井深的方法．如圖所示，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E，如果測得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC為　 　米．

17．如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為8cm2和18cm2的兩個(gè)小正方形，則留下的陰影部分面積和為 　 　cm2．

18．如圖，等邊△ABC的邊長為3，P為BC上一點(diǎn)，且BP＝1，D為AC上一點(diǎn)，若∠APD＝60°，則CD的長為　 ?。?br />
三、解答題（共8小題，滿分66分）
19．計(jì)算：（+2）（﹣2）﹣×+
20．解方程：2（x﹣3）2＝x2﹣9．
21．去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷活動(dòng)期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．
（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；
（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．
22．如圖，AB∥CD，AC與BD交于點(diǎn)E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．
（1）求CD的長；
（2）求證：△ABE∽△ACB．

23．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的兩實(shí)數(shù)根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個(gè)三角形的周長．
24．如圖，直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊為c，且a，b，c滿足a2+b2＝c2，已知a＝4﹣，b＝4+
（1）求斜邊c及斜邊上的高h(yuǎn)的長；
（2）在△ACB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到三邊的距離都相等，這個(gè)距離是　 ?。?br />
25．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問題：
（1）通過計(jì)算，判斷下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式．
26．【基礎(chǔ)鞏固】
（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．
【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．
【拓展提高】
（3）如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的邊長．



參考答案
一、選擇題（每小題3分，共36分，每小題只有一個(gè)正確答案）
1．下列根式中，屬于最簡二次根式的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．
解：A、是最簡二次根式，符合題意；
B、＝＝2，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；
C、＝，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；
D、＝|x|，被開方數(shù)中含能開得盡方的因式，不是最簡二次根式，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．
2．下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（　?。?br /> A．x2+2x＝x2﹣1 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0
C．3（x+1）2＝2（x+1） D．+﹣2＝0
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．
解：A、x2+2x＝x2﹣1是一元一次方程，故A錯(cuò)誤；
B、ax2+bx+c＝0，a＝0時(shí)是一元一次方程，故B錯(cuò)誤；
C、3（x+1）2＝2（x+1）是一元二次方程，故C正確；
D、+﹣2＝0是分式方程，故D錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
3．已知3x＝2y，那么下列等式一定成立的是（　?。?br /> A．x＝2，y＝3 B． C． D．3x+2y＝0
【分析】已知3x＝2y，根據(jù)內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積，即若，則ad＝bc列出比例式判斷即可．
解：∵3x＝2y，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．
4．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
【分析】把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)，判斷出配方結(jié)果正確的是哪個(gè)即可．
解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x+1＝2，
∴（x+1）2＝2．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了配方法在解一元二次方程中的應(yīng)用，要熟練掌握．
5．下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)同類二次根式、二次根式的除法、二次根式的性質(zhì)逐一判斷即可．
解：A．＝2，與不是同類二次根式，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．÷＝＝，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．＝|﹣2|＝2，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．＝＝×＝2，此選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
6．對于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，則該方程根的情況為（　?。?br /> A．沒有實(shí)數(shù)根 B．兩根之和是3
C．兩根之積是﹣2 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，即可求出Δ＝﹣23＜0，進(jìn)而可得出該方程沒有實(shí)數(shù)根（若方程有實(shí)數(shù)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系去驗(yàn)證B，C兩個(gè)選項(xiàng)）．
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0沒有實(shí)數(shù)根．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，下列選項(xiàng)中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD?AB D．BC2＝BD?AB
【分析】利用相似三角形判定方法依次判斷可求解．
解：由題意可得：△ACD和△ABC中，∠CAD＝∠BAC，
若∠ACD＝∠B，由有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△ACD∽△ABC，故選項(xiàng)A不合題意；
若∠ADC＝∠ACB，由有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△ACD∽△ABC，故選項(xiàng)B不合題意；
若AC2＝AD?AB，由兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△ACD∽△ABC，故選項(xiàng)C不合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為（　?。?br />
A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
【分析】若設(shè)小道的寬為x米，則陰影部分可合成長為（35﹣2x）米，寬為（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面積公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
解：依題意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
9．下面給出了一些關(guān)于相似的命題，其中真命題有（　?。?br /> （1）菱形都相似；
（2）等腰直角三角形都相似；
（3）正方形都相似；
（4）矩形都相似；
（5）正六邊形都相似；
（6）等腰三角形都相似．
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【分析】根據(jù)真命題與假命題的定義解答．
解：（1）菱形角度可能不一樣，不一定相似，是假命題；
（2）等腰直角三角形都有兩個(gè)角相等是45°，都相似，是真命題；
（3）正方形四個(gè)角都是90°，對應(yīng)邊一定成比例，都相似，是真命題；
（4）不同矩形邊長不一定成比例，不一定相似，是假命題；
（5）正六邊形各角都相等，各邊成比例，是真命題；
（6）等腰三角形對應(yīng)邊不一定成比例，對應(yīng)角不一定相等，不一定相似，是假命題．
可得真命題有3個(gè)，故選B．
【點(diǎn)評】本題考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．掌握真假命題的定義是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，△ABO的頂點(diǎn)A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∠ABO＝90°，過AO邊的三等分點(diǎn)M、N分別作x軸的平行線交AB于點(diǎn)P、Q．若△ANQ的面積為1，則k的值（　?。?br />
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】由平行可證△ANQ∽△AOB，由面積比等于相似比的平方求出△AOB的面積，則可求出k的值．
解：∵M(jìn)Q∥NP∥OB，
∴△ANQ∽△AOB，
∵M(jìn)、N是OA的三等分點(diǎn)，
∴＝，
∴S△ANQ：S△AOB＝1：9，
∵△ANQ的面積為1，
∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，以及相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握相似三角形的性質(zhì)：面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
11．下面是李剛同學(xué)在一次測驗(yàn)中解答的題目，其中答對的是（　?。?br /> A．若x2＝4，則x＝2
B．方程x（2x﹣1）＝2x﹣1的解為x＝1
C．若方程﹣0.5x2+x+k＝0一根等于1，則k＝﹣0.5
D．若分式的值為0，則x＝1或2
【分析】A、4的平方根為±2，故x＝±2；
B、通過整理，解一元二次方程得，x的值不只為1，還有；
C，將x＝1代入方程中，解出k的值即可判斷其是否正確；
D、根據(jù)分母不能為0，得x﹣1≠0，再進(jìn)行判斷即可．
解：A、通過解方程得，x＝±2，所以A不正確；
B、通過解方程得，x＝1或x＝，所以B不正確；
C、直接將x＝1代入方程中，解關(guān)于k的方程即可求得k＝﹣0.5，所以C正確；
D、因?yàn)榉质街械姆帜覆荒転?，所以x不能等于1，所以D不正確．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查解一元二次方程﹣因式分解法，分式值為零的條件等知識(shí)，解題的會(huì)客室熟練掌握一元二次方程的解法，屬于中考常考題型．
12．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF，有下列結(jié)論：①∠BAE＝30°；②S△ABE＝4S△BCF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)與同角的余角相等證得：△BAE∽△CEF，則可證得②正確，①③錯(cuò)誤，利用有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似即可證得△ABE∽△AEF，即可求得答案．
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴，
∵BE＝CE＝BC，
∴＝（）2＝4，
∴S△ABE＝4S△ECF，故②正確；
∴CF＝EC＝CD，故③錯(cuò)誤；
∴tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE≠30°，故①錯(cuò)誤；
設(shè)CF＝a，則BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，
∴＝，＝＝，
∴，
∴△ABE∽△AEF，故④正確．
∴②與④正確．
∴正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有2個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
二.填空題（每小題3分，共18分）
13．若代數(shù)式有意義，則x必須滿足條件是 　x＞2　．
【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．
解：代數(shù)式有意義，則x必須滿足條件是：3x﹣6＞0，
解得：x＞2．
故答案為：x＞2．
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．
14．關(guān)于x的一元二次方程（k+2）x2+6x+k2﹣4＝0有一個(gè)根是0，則k的值是 　2?。?br /> 【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到k2﹣4＝0，再解關(guān)于k的方程，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定k的值．
解：把x＝0代入一元二次方程（k+2）x2+6x+k2﹣4＝0，得
k2﹣4＝0，
解得k1＝2，k2＝﹣2，
而k+2≠0，即k≠﹣2．
所以k的值為2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定義．
15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)根，則2x1+2x2﹣x1x2的值為 　8?。?br /> 【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，將其代入2x1+2x2﹣x1x2＝2（x1+x2）﹣x1x2中，即可求出結(jié)論．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，
∴2x1+2x2﹣x1x2＝2（x1+x2）﹣x1x2＝2×2﹣（﹣4）＝8．
故答案為：8．
【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“兩根之和等于﹣，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．
16．《九章算術(shù)》中記載了一種測量井深的方法．如圖所示，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E，如果測得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC為　7　米．

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴＝，
∴AC＝7（米），
故答案為：7．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為8cm2和18cm2的兩個(gè)小正方形，則留下的陰影部分面積和為 　24　cm2．

【分析】直接利用正方形的性質(zhì)得出兩個(gè)小正方形的邊長，進(jìn)而得出大正方形的邊長，即可得出答案．
解：∵兩個(gè)小正方形面積為8cm2和18cm2，
∴大正方形邊長為：+＝2+3＝5（cm），
∴大正方形面積為（5）2＝50（cm2），
∴留下的陰影部分面積和為：50﹣8﹣18＝24（cm2）．
故答案為：24．
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確得出大正方形的邊長是解題關(guān)鍵．
18．如圖，等邊△ABC的邊長為3，P為BC上一點(diǎn)，且BP＝1，D為AC上一點(diǎn)，若∠APD＝60°，則CD的長為　　．

【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，證△BAP∽△CPD，得出＝，代入求出即可．
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠APD＝60°，
∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴＝，
∵AB＝BC＝3，CP＝BC﹣BP＝3﹣1＝2，BP＝1，
即＝，
解得：CD＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△BAP∽△CPD，主要考查了學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力．
三、解答題（共8小題，滿分66分）
19．計(jì)算：（+2）（﹣2）﹣×+
【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案．
解：原式＝3﹣4﹣+
＝﹣1
【點(diǎn)評】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
20．解方程：2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【分析】方程移項(xiàng)后，提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解．
解：方程變形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，
解得：x1＝3，x2＝9．
【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解法是解本題的關(guān)鍵．
21．去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷活動(dòng)期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．
（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；
（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．
【分析】（1）根據(jù)該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額＝前六天的總營業(yè)額+第七天的營業(yè)額，即可求出結(jié)論；
（2）設(shè)該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，根據(jù)該商店去年7月份及9月份的營業(yè)額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
解：（1）450+450×12%＝504（萬元）．
答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元．
（2）設(shè)該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，
依題意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為20%．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，AB∥CD，AC與BD交于點(diǎn)E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．
（1）求CD的長；
（2）求證：△ABE∽△ACB．

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（2）利用相似三角形的判定解答即可．
【解答】（1）解：∵AE＝4，AC＝9
∴CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5；
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE；
∴＝，
∴CD＝＝＝，
（2）證明：∵＝＝，＝＝
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB；
【點(diǎn)評】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定證明△ABE∽△ACB．
23．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的兩實(shí)數(shù)根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個(gè)三角形的周長．
【分析】（1）根據(jù)判別式的意義可得m≥2，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，接著利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝28得到m2+5﹣2（m+1）+1＝28，解得m1＝6，m2＝﹣4，于是可得m的值為6；
（2）分類討論：若x1＝7時(shí)，把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m1＝10，m2＝4，當(dāng)m＝10時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，m＝10舍去；當(dāng)m＝4時(shí)，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，則三角形周長為3+7+7＝17；若x1＝x2，則m＝2，方程化為x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，m＝2舍去．
解：（1）根據(jù)題意得Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，
x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝28，
∴m2+5﹣2（m+1）+1＝28，
整理得m2﹣2m﹣24＝0，解得m1＝6，m2＝﹣4，
而m≥2，
∴m的值為6；
（2）當(dāng)腰長為7時(shí)，則x＝7是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一個(gè)解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，
當(dāng)m＝10時(shí)，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；
當(dāng)m＝4時(shí)，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，則三角形周長為3+7+7＝17；
當(dāng)7為等腰三角形的底邊時(shí)，則x1＝x2，所以m＝2，方程化為x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，則3+3＜7，故舍去，
所以這個(gè)三角形的周長為17．
【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判別式和等腰三角形的性質(zhì)．
24．如圖，直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊為c，且a，b，c滿足a2+b2＝c2，已知a＝4﹣，b＝4+
（1）求斜邊c及斜邊上的高h(yuǎn)的長；
（2）在△ACB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到三邊的距離都相等，這個(gè)距離是　1　．

【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算c的長，利用面積法計(jì)算h的長；
（2）根據(jù)面積法可得這個(gè)距離．
解：（1）∵a2+b2＝c2，且a＝4﹣，b＝4+，
∴c＝＝6，
∵S△ABC＝，
∴ab＝ch，即（4﹣）（4+）＝6h，
h＝；

（2）如圖，連接PC、AP、PB，

∵PE＝PF＝PG，且PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥AC，
∴S△ABC＝ch＝S△BPC+S△APB+S△APC，
∴＝++，
∴PF＝1，即這個(gè)距離為1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、直角三角形的面積以及平方差公式，能運(yùn)用面積法計(jì)算線段的長是關(guān)鍵．
25．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問題：
（1）通過計(jì)算，判斷下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式．
【分析】（1）據(jù)“差根方程”定義判斷即可；
（2）根據(jù)x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，從而得到a＝±；
（3）設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到＝1，整理即可得到b2＝a2+4a．
解：（1）①設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝4，x1?x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝＝＝6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②設(shè)x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝，x1?x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝1，
∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；

（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；

（3）設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣，x1?x2＝，
∵關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝＝1，即＝1，
∴b2＝a2+4a．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，正確的理解“差根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．
26．【基礎(chǔ)鞏固】
（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．
【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．
【拓展提高】
（3）如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的邊長．

【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，得出，則可得出結(jié)論；
（2）證明△BFE∽△BCF，得出比例線段，則BF2＝BE?BC，求出BC，則可求出AD．
（3）分別延長EF，DC相交于點(diǎn)G，證得四邊形AEGC為平行四邊形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，證明△EDF∽△EGD，得出比例線段，則DE＝EF，可求出DG，則答案可求出．
解：（1）證明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AD?AB．
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BE?BC，
∴BC＝＝，
∴AD＝．
（3）如圖，分別延長EF，DC相交于點(diǎn)G，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四邊形AEGC為平行四邊形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴DE2＝EF?EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，
又∵，
∴DG＝，
∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．
【點(diǎn)評】此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．

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