一、單選題
1．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，切于點(diǎn)B，連接交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，連接，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，連接．若，，，則的長(zhǎng)度是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，直線與相切于點(diǎn)C，連接，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
4．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點(diǎn)為．若，則的值是（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在斜邊上，以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)是（ ）

A．B．C．D．
二、填空題
6．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是外一點(diǎn)，，分別與相切于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，已知，則的度數(shù)是___________．

7．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)，連接，若，則__________．
8．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，與相切于點(diǎn)，連接，若，則的大小為_(kāi)_________．

9．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別與相切于兩點(diǎn)，且．若點(diǎn)是上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，則的大小為_(kāi)__________．

10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E為邊上一點(diǎn)，以為直徑的半圓O與相切于點(diǎn)D，連接，．P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)____________．

11．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，與相切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在上，且．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
12．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則_________．

13．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊所在的直線相切時(shí)，r的值為_(kāi)_______．

14．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與軸相切于點(diǎn)為的直徑，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，為軸上一點(diǎn)，的面積為6，則的值為_(kāi)_______．

15．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，，半徑為2的與角的兩邊相切，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)，則t的取值范圍是 _____．

16．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為直徑，為弦，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

（1）若，則的長(zhǎng)是_________（結(jié)果保留）；
（2）若，則_________．
17．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在中，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，且，如果過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)D，若與有公共點(diǎn)，那么半徑r的取值范圍是________．
三、解答題
18．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)若，求的度數(shù)．
(2)若，求的長(zhǎng)．
19．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且．
(1)求證：是的切線；
(2)若直徑，求的長(zhǎng)．
20．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑的與相交于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，且．

(1)求的長(zhǎng)；
(2)若，求證：為的切線．
21．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作．

(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）
(2)在（1）的條件下，求證：．
22．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且．

(1)求證：EF與相切；
(2)若，求的長(zhǎng)．
23．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，，垂足為E．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
24．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，．

(1)求證：是切線；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
25．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
26．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，D，E是上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)C，連接，．

(1)求證：；
(2)求證：是的切線；
(3)若，求的半徑．
27．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)O，A，B均在格點(diǎn)上，，，以O(shè)為圓心，為半徑畫(huà)圓，請(qǐng)按下列步驟完成作圖，并回答問(wèn)題：
①過(guò)點(diǎn)A作切線，且（點(diǎn)C在A的上方）；
②連接，交于點(diǎn)D；
③連接，與交于點(diǎn)E．
(1)求證：為的切線；
(2)求的長(zhǎng)度．
28．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知：點(diǎn)是外一點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：如圖，過(guò)點(diǎn)作出的兩條切線，，切點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法和證明）
(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)在上（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），且．求的度數(shù)．
29．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是斜邊上一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，連接．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．
30．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知內(nèi)接于的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的切線于點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)求證：平分．
31．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，于，以為直徑的分別交，于點(diǎn)，，連接．

(1)求證：
①是的切線；
②；
(2)若，，求．
32．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，平分，與相切于點(diǎn)A，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為B．

(1)求證：是的切線；
(2)若的半徑為4，，求的長(zhǎng)．
33．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)，是的切線，且，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)若，求的長(zhǎng)．
34．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是直徑，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)．在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，連接，使．

(1)求證：直線是的切線；
(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含的式子表示）．
35．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在上，以為圓心，為半徑的半圓分別交，于點(diǎn)，且點(diǎn)是弧的中點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；
(2)若，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．
36．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．

(1)求證：直線是的切線；
(2)當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
(3)在（2）的條件下，，連接交于點(diǎn)P，求的長(zhǎng)．
37．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)E，C在上，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線，垂足為D，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，①求的半徑；②求線段的長(zhǎng)．
38．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C做射線的垂線，垂足為E．

(1)求證：是切線；
(2)若，求的長(zhǎng)；
(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積（用含有的式子表示）．
39．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，，E為的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；
(2)若，求的長(zhǎng)．
40．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，以為直徑的是的外接圓，延長(zhǎng)到點(diǎn)D．使得，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段上，交于N，交于G．

(1)求證：是的切線；
(2)若，求的長(zhǎng)；
(3)若，求證：．
41．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．

(1)求證：是的切線；
(2)已知的半徑與菱形的邊長(zhǎng)之比為，求的值．
42．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)O在上，以點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)．

(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)若的半徑為3，求的長(zhǎng)．
43．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是的外接圓，，D是圓上一點(diǎn)，E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)，且．

(1)求證：直線是是的切線；
(2)若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．
44．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，連接．

(1)求證：是的切線；
(2)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
(3)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
45．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰內(nèi)接于，，是邊上的中線，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：為的切線；
(2)若的半徑為，，求的長(zhǎng)．
專題24 圓的有關(guān)位置關(guān)系（45題）
一、單選題
1．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，切于點(diǎn)B，連接交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，連接，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如圖，連接，證明，，可得，從而可得．
【詳解】解：如圖，連接，

∵切于點(diǎn)B，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴；
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
2．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，連接．若，，，則的長(zhǎng)度是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到，再根據(jù)勾股定理得到．
【詳解】解：連接，
∵是的切線，為切點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴在，，
故選：．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，直線與相切于點(diǎn)C，連接，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：如圖，連接，

直線與相切，
，
，
，
，
，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
4．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點(diǎn)為．若，則的值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，根據(jù)圓的基本性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，分別利用勾股定理求解在和，最終得到，即可根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解．
【詳解】解：如圖所示，作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

∵，，
∴，
∴四邊形為矩形，，，
∴為的切線，
由題意，為的切線，
∴，，
∵，
∴設(shè)，，，
則，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（不合題意，舍去），
∴，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及正弦函數(shù)的定義等，綜合性較強(qiáng)，熟練運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等是解題關(guān)鍵．
5．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在斜邊上，以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，，首先根據(jù)勾股定理求出，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，，證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求出．
【詳解】如圖所示，連接，，

∵，，，
∴，
∵以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴解得．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓與三角形綜合題，切線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
二、填空題
6．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是外一點(diǎn)，，分別與相切于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，已知，則的度數(shù)是___________．

【答案】
【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，根據(jù)圓周角定理即可求解．
【詳解】解：如圖，

∵，分別與相切于點(diǎn)，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，求得是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)，連接，若，則__________．
【答案】34
【分析】首先根據(jù)等邊對(duì)等角得到，然后利用外角的性質(zhì)得到，利用切線的性質(zhì)得到，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵切于點(diǎn)A，
∴，
∴．
故答案為：34．
【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
8．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，與相切于點(diǎn)，連接，若，則的大小為_(kāi)_________．

【答案】
【分析】證明，可得，結(jié)合，證明，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：∵與相切于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟記基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
9．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別與相切于兩點(diǎn)，且．若點(diǎn)是上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，則的大小為_(kāi)__________．

【答案】或
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，得出，然后根據(jù)圓周角定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，

∵分別與相切于兩點(diǎn)
∴，
∵．
∴
∵，
∴，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
∴，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，多邊形內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)與圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E為邊上一點(diǎn)，以為直徑的半圓O與相切于點(diǎn)D，連接，．P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)____________．

【答案】或
【分析】連接，勾股定理求出半徑，平行線分線段成比例，求出的長(zhǎng)，勾股定理求出和的長(zhǎng)，分和兩種情況進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：連接，

∵以為直徑的半圓O與相切于點(diǎn)D，
∴，，
∴
設(shè)，則，
在中：，即：，
解得：，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵為等腰三角形，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
∵，
∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴，

不存在的情況；
綜上：的長(zhǎng)為或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理，等腰三角形的定義．熟練掌握切線的性質(zhì)，等腰三角形的定義，確定點(diǎn)的位置，是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，與相切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在上，且．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】連接，證明，設(shè)，則，再證明，列出比例式計(jì)算即可．
【詳解】如圖，連接，
∵與相切于點(diǎn)A，
∴；
∵,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
設(shè)，則，
∴，
解得，
故的長(zhǎng)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判斷和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則_________．

【答案】
【分析】如圖所示，連接，設(shè)交于H，由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，再由切線長(zhǎng)定理得到，進(jìn)而推出是的垂直平分線，即，則．
【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于H，
∵是的內(nèi)切圓，
∴分別是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵與分別相切于點(diǎn)，，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分線，
∴，即，
∴，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線長(zhǎng)定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊所在的直線相切時(shí)，r的值為_(kāi)_______．

【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理，得，根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于邊上的高，根據(jù)直角三角形的面積不變性計(jì)算即可．
【詳解】∵，
∴，
根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于邊上的高，
∴,
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，切線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與軸相切于點(diǎn)為的直徑，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，為軸上一點(diǎn)，的面積為6，則的值為_(kāi)_______．

【答案】24
【分析】設(shè)，則，則，根據(jù)三角形的面積公式得出，列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)，
∵與軸相切于點(diǎn)，
∴軸，
∴，則點(diǎn)D到的距離為a，
∵為的直徑，
∴，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握切線的定義：經(jīng)過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
15．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，，半徑為2的與角的兩邊相切，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)，則t的取值范圍是 _____．

【答案】
【分析】利用切線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)求得，再求得，分兩種情況討論，畫(huà)出圖形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：設(shè)與兩邊的切點(diǎn)分別為D、G，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，

由，
∵，
∴，
∴，
∴，
如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，

同理，
∵，
∴，
當(dāng)與相切時(shí)，有最大或最小值，
連接，
∵D、E都是切點(diǎn)，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形是正方形，
∴的最大值為；
如圖，

同理，的最小值為；
綜上，t的取值范圍是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為直徑，為弦，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

（1）若，則的長(zhǎng)是_________（結(jié)果保留）；
（2）若，則_________．
【答案】；
【分析】（1）連接，根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)已知條件得出，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；
（2）連接，根據(jù)垂徑定理的推論得出，是的切線，則,得出，根據(jù)平行線分線段成比例得出，設(shè)，則，勾股定理求得,J進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：（1）如圖，連接，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
（2）解：如圖，連接，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵是的切線，
∴,
∴
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，，
∴，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在中，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，且，如果過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)D，若與有公共點(diǎn)，那么半徑r的取值范圍是________．
【答案】
【分析】先畫(huà)出圖形，連接，利用勾股定理可得，，從而可得，再根據(jù)與有公共點(diǎn)可得一個(gè)關(guān)于的不等式組，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】解：由題意畫(huà)出圖形如下：連接，

過(guò)點(diǎn)，且，
的半徑為7，
過(guò)點(diǎn)，它的半徑為，且，
，
，
，，
在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，
，即，
，
與有公共點(diǎn)，
，即，
不等式①可化為，
解方程得：或，
畫(huà)出函數(shù)的大致圖象如下：

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，
即不等式①的解集為，
同理可得：不等式②的解集為或，
則不等式組的解集為，
又，
半徑r的取值范圍是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓與圓的位置關(guān)系、二次函數(shù)與不等式，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系正確建立不等式組是解題關(guān)鍵．
三、解答題
18．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)若，求的度數(shù)．
(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．
（2）根據(jù)是的切線，可得，在中，勾股定理求得，根據(jù)，可得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：∵于點(diǎn)，
∴，
∴．

（2）∵是的切線，是的半徑，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴
∴，即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且．
(1)求證：是的切線；
(2)若直徑，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)詳見(jiàn)解析
(2)
【分析】(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，余角的性質(zhì)即可求得結(jié)論；
(2)根據(jù)已知條件可知，再根據(jù)正切的定義和相似三角形的性質(zhì)得到線段的關(guān)系即可求得線段的長(zhǎng)度．
【詳解】（1）證明：連接，
∵是的直徑，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切線；
（2）解：∵，
∴，
∵在中，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
又∵，
即，
解得（取正值），
∴，
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定定理，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)和判定，找出正切的定義與相似三角形相似比的關(guān)聯(lián)是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑的與相交于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，且．

(1)求的長(zhǎng)；
(2)若，求證：為的切線．
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）如圖所示，連接，先求出，再由圓周角定理得到，進(jìn)而求出，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可；
（2）如圖所示，連接，先由三角形內(nèi)角和定理得到，則由圓周角定理可得，再由是的直徑，得到，進(jìn)而求出，進(jìn)一步推出，由此即可證明是的切線．
【詳解】（1）解：如圖所示，連接，
∵是的直徑，且，
∴，
∵E為上一點(diǎn)，且，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)；

（2）證明：如圖所示，連接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的半徑，
∴是的切線．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，求弧長(zhǎng)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作．

(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）
(2)在（1）的條件下，求證：．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，即可求解；
（2）根據(jù)題意切線的性質(zhì)以及直徑所對(duì)的圓周角是直角，證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明，即可得證．
【詳解】（1）解：方法不唯一，如圖所示．

（2）∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵點(diǎn)在以為直徑的圓上，
∴，
∴．
又∵為的切線，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵在和中，
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圓的切線，切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且．

(1)求證：EF與相切；
(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用圓周角定理得到，結(jié)合已知推出，再證明，推出，即可證明結(jié)論成立；
（2）設(shè)半徑為x，則，在中，利用正弦函數(shù)求得半徑的長(zhǎng)，再在中，解直角三角形即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，

∵，∴，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為半徑，
∴EF與相切；
（2）解：設(shè)半徑為x，則，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，
∴半徑為4，則，
在中，，，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，，垂足為E．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）如圖：，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得、即，再根據(jù)可得，進(jìn)而得到即可證明結(jié)論；
（2）如圖：連接，有圓周角定理可得，再解直角三角形可得，進(jìn)而得到，然后說(shuō)明，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可解答．
【詳解】（1）證明：如圖：連接

∵，
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴。
∵，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線．
（2）解：如圖：連接
∵是的直徑，
∴,
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線證明、圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．
24．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，．

(1)求證：是切線；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可推出，利用已知條件進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換即可求出，最后利用可證明，從而證明是切線．
（2）根據(jù)互余的兩個(gè)角相等，利用可求出，設(shè)參數(shù)表示出和，再根據(jù)勾股定理用參數(shù)表示出和，最后利用即可求出參數(shù)的值，從而求出長(zhǎng)度，即可求的長(zhǎng)．
【詳解】（1）解：連接，，如圖所示，

，為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是切線．
（2）解：連接，如圖所示，

由（1）得，，
，
，
．
，
．
設(shè)則，
在中，，
．
在中，．
，
，
．
．
，
．
．
故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于利用參數(shù)表達(dá)線段長(zhǎng)度．
25．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)，
【分析】（1）根據(jù)“連半徑，證垂直”即可，
（2）先由“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，證是直角三角形，用勾股定理求出長(zhǎng)，再通過(guò)三角形相似即可求解．
【詳解】（1）連接

∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，為半徑，
∴為的切線，
（2）∵為直徑，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
【點(diǎn)睛】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，D，E是上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)C，連接，．

(1)求證：；
(2)求證：是的切線；
(3)若，求的半徑．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)的半徑為
【分析】（1）利用兩角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形相似，得出結(jié)論；
（2）連接，由圓周角定理得出，證出，由切線的判定可得出結(jié)論；
（3）由相似三角形的性質(zhì)得出，由比例線段求出和的長(zhǎng)，可求出的長(zhǎng)，則可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴；
（2）證明：連接，

∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
∴的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)O，A，B均在格點(diǎn)上，，，以O(shè)為圓心，為半徑畫(huà)圓，請(qǐng)按下列步驟完成作圖，并回答問(wèn)題：
①過(guò)點(diǎn)A作切線，且（點(diǎn)C在A的上方）；
②連接，交于點(diǎn)D；
③連接，與交于點(diǎn)E．
(1)求證：為的切線；
(2)求的長(zhǎng)度．
【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意作圖，首先根據(jù)勾股定理得到，然后證明出，得到，即可證明出為的切線；
（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）如圖所示，
∵是的切線，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)D在上，
∴為的切線；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴解得．
【點(diǎn)睛】此題考查了格點(diǎn)作圖，圓切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
28．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知：點(diǎn)是外一點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：如圖，過(guò)點(diǎn)作出的兩條切線，，切點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法和證明）
(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)在上（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），且．求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)或
【分析】（1）①連接，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，兩圓交于點(diǎn)兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，②以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓，與交于兩點(diǎn)，作直線，
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，

①連接，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，
②以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓，與交于兩點(diǎn)，作直線，
則直線即為所求；
（2）如圖所示，點(diǎn)在上（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），且，
∵是的切線，
∴，
∴，
當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，，
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
29．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是斜邊上一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，連接．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）連接，，由角平分線的定義可得，從而可得，再根據(jù)平行線的判定可得 ，從而可得，再根據(jù)切線的判定即可得出結(jié)論；
（2）連接，，由，，可得，，再由直角三角形的性質(zhì)可得，再由圓周角定理可得，根據(jù)角平分線的定義可得，利用銳角三角函數(shù)求得，再由直角三角形的性質(zhì)可得 ，證明是等邊三角形，可得，從而證明是等邊三角形，可得垂直平分，再由，可得，從而可得，再利用扇形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）證明：連接，

∵，是的半徑，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴于點(diǎn)D，
又∵為的半徑，
∴是的切線．
（2）解：連接，，
∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴ ，
∵平分，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∵，，
∴，
∴，
∴．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)及扇形的面積公式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知內(nèi)接于的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的切線于點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)求證：平分．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得，由圓周角定理可得，即，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，則根據(jù)角的和差可得，最后根據(jù)平行線的判定定理即可解答；
（2）由圓周角定理可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再結(jié)合得到即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）證明是的切線，
，即．
是的直徑，
．
∴．
，
，
，即，
．
（2）解：與都是所對(duì)的圓周角，
．
，
，
．
由（1）知，
，
平分．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．
31．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，于，以為直徑的分別交，于點(diǎn)，，連接．

(1)求證：
①是的切線；
②；
(2)若，，求．
【答案】(1)①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，根據(jù)，可得，進(jìn)而即可得證；
②連接，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等得出，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出，進(jìn)而可得，結(jié)合，即可得證；
（2）連接交于．根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)等面積法求得，由得：，在中，即可求解．
【詳解】（1）證明：①四邊形是菱形，

，
，則
又為的半徑的外端點(diǎn)，
是的切線．
②連接，

∵
∴
為直徑，
，
而
，
又
．
（2）解：連接交于．

菱形，，
，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
由得：，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求角的正弦值，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
32．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，平分，與相切于點(diǎn)A，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為B．

(1)求證：是的切線；
(2)若的半徑為4，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）首先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到即可證明；
（2）首先根據(jù)勾股定理得到，然后求得，最后利用，代入求解即可．
【詳解】（1）∵與相切于點(diǎn)A，
∴，
∵平分，，
∴，
∴是的切線；
（2）∵的半徑為4，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
33．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)，是的切線，且，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)已知可得，則，又，等量代換得出，即可證明；
（2）連接，證明，在中，，求得，根據(jù)得出，進(jìn)而可得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，

∵以為直徑的交于點(diǎn)，是的切線，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：連接，如圖，
則，

∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵是直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，平行線分線段成比例，正切的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
34．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是直徑，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)．在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，連接，使．

(1)求證：直線是的切線；
(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含的式子表示）．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）連接，由是直徑，得，再證，從而有，于是即可證明結(jié)論成立；
（2）由圓周角定理求得，在中，解直角三角形得，從而利用扇形及三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，

∵是直徑，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴直線是的切線；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，解得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定，扇形的面積公式以及解直角三角形，熟練掌握?qǐng)A周角定理，切線的判定以及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
35．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在上，以為圓心，為半徑的半圓分別交，于點(diǎn)，且點(diǎn)是弧的中點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；
(2)若，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）連接、，證出，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)，分別求出和即可得出答案．
【詳解】（1）連接、，

，
，
，
，
，
點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，
，
，
，
為半徑，
是的切線；
（2），，
為等腰直角三角形，
設(shè)，則，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定定理、扇形的面積、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定定理．
36．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．

(1)求證：直線是的切線；
(2)當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
(3)在（2）的條件下，，連接交于點(diǎn)P，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)是等邊三角形，理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）證明，可推出，即可證明直線是的切線；
（2）證明，，得到，據(jù)此計(jì)算即可證明結(jié)論成立；
（3）利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求得，得到等邊的邊長(zhǎng)，在中，利用余弦函數(shù)即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半徑，
∴直線是的切線；
（2）解：是等邊三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形；
（3）解：∵是等邊三角形，
∴，則，
∵，
∴，
∴，
∵為的直徑，，
∴，
∵，，即，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓和三角形的綜合題，切線的判定，直徑所對(duì)的圓周角為直角，等腰三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
37．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)E，C在上，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線，垂足為D，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，①求的半徑；②求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)①3；②2
【分析】（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等和等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得到，推出，進(jìn)而得到，再利用圓的切線的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）①連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角和平行線的判定，得到，進(jìn)而得到，再利用銳角三角函數(shù)，求得，即可求出的半徑；
②利用銳角三角函數(shù)，分別求出和的長(zhǎng)，即可得到線段的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，

點(diǎn)C是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：①如圖，連接，

是直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半徑為；
②由（1）可知，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是圓和三角形綜合題，考查了圓的切線的判定定理，圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)，靈活運(yùn)用正弦值求邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
38．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C做射線的垂線，垂足為E．

(1)求證：是切線；
(2)若，求的長(zhǎng)；
(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積（用含有的式子表示）．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）連接OC，證明，即可得到結(jié)論；
（2）連接AC，證明，從而可得，再代入求值即可；
（2）連接，證明，從而可得，，求出扇形的面積即可得到陰影部分的面積．
【詳解】（1）證明：連接，

∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴半徑，
∴是切線；
（2）連接，

∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）連接，

∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定、切線的判定以及扇形面積的求法，熟練掌握切線的判定定理以及扇形面積的求法是解答此題的關(guān)鍵．
39．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，，E為的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；
(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)是的外接圓，得到，由平行線的性質(zhì)，得到，即可得證．
（2）連接，等邊對(duì)等角，求出的度數(shù)，圓周角定理求出度數(shù)，得到為等邊三角形，求出半徑和的度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∵是的外接圓，
∴點(diǎn)是三邊中垂線的交點(diǎn)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；

（2）解：連接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，求弧長(zhǎng)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．
40．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，以為直徑的是的外接圓，延長(zhǎng)到點(diǎn)D．使得，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段上，交于N，交于G．

(1)求證：是的切線；
(2)若，求的長(zhǎng)；
(3)若，求證：．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）由是的直徑得到，則，由得到，則，結(jié)論得證；
（2）證明，則，可得，解得或3，由即可得到的長(zhǎng)；
（3）先證明，則，得到，由得到，則，由同角的余角相等得到，則，得，進(jìn)一步得到，則，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切線；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
解得或3，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∵，即，
∴；
（3）證明：∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
41．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．

(1)求證：是的切線；
(2)已知的半徑與菱形的邊長(zhǎng)之比為，求的值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用垂徑定理得，利用菱形的性質(zhì)得，利用半徑相等得，即可證明，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；
（2）設(shè)，由題意得，求得，由勾股定理得到，求得，利用菱形的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，

∵，由垂徑定理知，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵為的半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵四邊形是菱形，，
∴設(shè)，
∵的半徑與菱形的邊長(zhǎng)之比為，
∴在中，，
∴，，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，即，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂徑定理，切線的判定，求角的正切值，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．
42．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)O在上，以點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)．

(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)若的半徑為3，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)直線與相切，理由見(jiàn)解析
(2)6
【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理，得到，進(jìn)而得到，即可得出與相切；
（2）解直角三角形，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再解直角三角形，求出的長(zhǎng)即可．
【詳解】（1）解：直線與相切，理由如下：
連接，則：，

∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵為的半徑，
∴直線與相切；
（2）解：∵，的半徑為3，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)：，
則：，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，解直角三角形．熟練掌握切線的判定方法，正弦的定義，是解題的關(guān)鍵．
43．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是的外接圓，，D是圓上一點(diǎn)，E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)，且．

(1)求證：直線是是的切線；
(2)若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由，可知是的直徑，由，可得，由，，可得，，則，由，可得，即，進(jìn)而結(jié)論得證；
（2）作，垂足為E，如圖所示，由題意知，是等腰三角形，則，由題意知，，，可求，，，由勾股定理得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴是的直徑，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵是半徑，
∴直線是是的切線；
（2）解：作，垂足為E，如圖所示，

∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
由題意知，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，的圓周角所對(duì)的弦為直徑，同弧所對(duì)的圓周角相等，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正弦，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
44．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，連接．

(1)求證：是的切線；
(2)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
(3)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)是等腰三角形，理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)已知得出，根據(jù)得出，進(jìn)而根據(jù)對(duì)等角相等，以及三角形內(nèi)角和定理可得，即可得證；
（2）根據(jù)題意得出，則，證明，得出，等量代換得出，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)，，設(shè)，則，等邊對(duì)等角得出，則．
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
即，又是的直徑，
∴是的切線；
（2）∵，是的直徑，
∴，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴是等腰三角形，
（3）∵，，
設(shè)，則，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
45．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰內(nèi)接于，，是邊上的中線，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：為的切線；
(2)若的半徑為，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）證明，得出，則四邊形是平行四邊形，，作于．得出為的垂直平分線．則．又點(diǎn)在上，即可得證；
過(guò)點(diǎn)作于，連接．垂徑定理得出，勾股定理得，進(jìn)而可得，勾股定理求得，證明，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，然后求得，勾股定理求得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明，∵，
∴．
又，
∴．
∴．
∴四邊形是平行四邊形．
∴．
作于．

又∵，
∴為的垂直平分線．
∴點(diǎn)在上．
∴．
即．又點(diǎn)在上，
∴為的切線；
（2）解：過(guò)點(diǎn)作于，連接．

∵為的垂直平分線，
∴．
∴．∴．
∴．
∴．
∵，
∴
∴，
又，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．

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