1．（2023·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式．
(2)如圖1，點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn)，射線軸于點(diǎn)，若，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)如圖2，點(diǎn)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，連接，若，求面積．
2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式．
(2)直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作直線軸，交于點(diǎn)F，連接．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．
(3)如圖2，點(diǎn)N為x軸正半軸上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)M．若，，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
3．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與直線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．
(3)如圖2，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與平行，則在直線上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
4．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
(1)求，的值；
(2)如圖①，是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
(3)如圖②，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作的垂線與過(guò)點(diǎn)且平行于的直線交于點(diǎn)，為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，使，是軸上一點(diǎn)，且在點(diǎn)的右側(cè)，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，使，若，求直線的解析式．
5．（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與拋物線交于B，C兩點(diǎn)（B在C的左邊）．

(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖1，若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A，，C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；
(3)定義：將平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫作格點(diǎn)，如，等均為格點(diǎn)．如圖2，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，求a的取值范圍．
6．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線交于B，D兩點(diǎn)，以為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C，圓C與直線m交于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的點(diǎn)，直線m上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都等于1．
(1)求拋物線的解析式；
(2)證明：圓C與x軸相切；
(3)過(guò)點(diǎn)B作，垂足為E，再過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，求的值．
7．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）某校想將新建圖書(shū)樓的正門(mén)設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門(mén)，并要求所設(shè)計(jì)的拱門(mén)的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門(mén)按要求給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案．現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門(mén)圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：
方案一，拋物線型拱門(mén)的跨度，拱高．其中，點(diǎn)N在x軸上，，．
方案二，拋物線型拱門(mén)的跨度，拱高．其中，點(diǎn)在x軸上，，．
要在拱門(mén)中設(shè)置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計(jì)）．方案一中，矩形框架的面積記為，點(diǎn)A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點(diǎn)，在拋物線上，邊在上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：
(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在方案一中，當(dāng)時(shí)，求矩形框架的面積并比較，的大?。?br>8．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式和的值．
(2)在二次函數(shù)位于軸上方的圖像上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)如圖（2），作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，作以為直徑的圓．點(diǎn)是圓在軸上方圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與圓弧的端點(diǎn)重合，但與圓弧的另一個(gè)端點(diǎn)可以重合），平移線段，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，線段的對(duì)應(yīng)線段為，連接，，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)，求的值．
9．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對(duì)稱(chēng)右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
10．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)，在軸上，，．拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)如圖1，若拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，作直線，平移線段，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若拋物線與正方形恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．
11．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)以下素材，探究完成任務(wù)．
12．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．

(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)是線段長(zhǎng)度的2倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作直線，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
13．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值．
(2)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)
①當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
14．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)，在軸正半軸上，，點(diǎn)在線段上，以線段，為鄰邊作矩形，連接，設(shè)．
連接，當(dāng)與相似時(shí)，求的值；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到線段，連接，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，連接當(dāng)?shù)倪吪c線段垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
15．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點(diǎn)，且自變量的部分取值與對(duì)應(yīng)函數(shù)值如下表：

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)（在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，求的值；
(3)若將線段先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的線段與二次函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，其中為常數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．
16．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線．

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)，使的值最?。簏c(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；
(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
17．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象．當(dāng)平面內(nèi)的直線與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求k的值；
(3)如圖2，如果把直線沿y軸向上平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線的交點(diǎn)分別是，，直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若．求點(diǎn)的坐標(biāo)．
18．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是直線．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)B在拋物線上，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)C、當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求出此三角形的邊長(zhǎng)；
(3)已知點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P在二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)面積為5時(shí)，求P坐標(biāo)；
(3)小明認(rèn)為，在第三象限拋物線上有一點(diǎn)D，使；請(qǐng)判斷小明的說(shuō)法是否正確，如果正確，請(qǐng)求出D的坐標(biāo)；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．
20．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)．

(1)如圖，若，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為．求拋物線的解析式，并直接寫(xiě)出時(shí)的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，若為軸上的點(diǎn)，為軸上方拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；
(3)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，且，求正整數(shù)m，n的值．
21．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接和交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)．求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
22．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為．
(1)若對(duì)于，有，求的值；
(2)若對(duì)于，，都有，求的取值范圍．
23．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線交y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D．

(1)求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時(shí)，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P為直線上方拋物線上一點(diǎn)，將直線沿直線翻折，交x軸于點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，以線段為邊向上作正方形．
①若，求正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為時(shí)，求a的值．
24．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出，的值；
(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．
①求的最大值；
②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
25．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
(1)連接，求線段的長(zhǎng)；
(2)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．比較大?。篲__________；
(3)若點(diǎn)在拋物線上，，求的取值范圍．
26．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．連接，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，連接．點(diǎn)分別在線段上，連接與交于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)隨著點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．
①的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②線段的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)當(dāng)線段的中點(diǎn)在該二次函數(shù)的因象的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，的面積為 ．
27．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，作軸，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)為11時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
(3)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
28．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計(jì)了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點(diǎn)在處，對(duì)稱(chēng)軸與水平線垂直，，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離是1．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在上找一點(diǎn)，加裝拉桿，同時(shí)使拉桿的長(zhǎng)度之和最短，請(qǐng)你幫小星找到點(diǎn)的位置并求出坐標(biāo)；
(3)為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計(jì)拋物線，其表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值總大于等于9．求的取值范圍．
29．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)該拋物線與軸的左交點(diǎn)為，當(dāng)拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，求的值．
(4)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（不包括四邊形的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．當(dāng)以點(diǎn)、、、（或以點(diǎn)、、、）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的的值．
30．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)是線段上一點(diǎn)，連接，且．
①求證：是直角三角形；
②的平分線交線段于點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
專(zhuān)題13 二次函數(shù)解答壓軸題（30道）
一、解答題
1．（2023·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式．
(2)如圖1，點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn)，射線軸于點(diǎn)，若，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)如圖2，點(diǎn)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，連接，若，求面積．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）將點(diǎn)，代入拋物線得到，解方程組即可得到答案；
（2）設(shè)，，則，則，，從而表示出點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線解析式，求出的值即可得到答案；
（3）求出直線的表達(dá)式，利用，得到，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點(diǎn)，，
，
解得：，
拋物線的解析式為：；
（2）解：，
設(shè)，，
，
，
，
點(diǎn)，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn)，
，
解得：（舍去）或，
；
（3）解：設(shè)點(diǎn)，直線的解析式為，
，
，
解得：，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
在拋物線中，當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，
，
，
，
，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
．
【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合，主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、三角形面積的計(jì)算，確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．
2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式．
(2)直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作直線軸，交于點(diǎn)F，連接．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．
(3)如圖2，點(diǎn)N為x軸正半軸上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)M．若，，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法，把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求解函數(shù)的解析式；
（2）分別過(guò)，向軸作垂線，垂足為，，根據(jù)證得 ，從而，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出，坐標(biāo)，再列方程求解即可；
（3）將平移到，連接，則；過(guò)作于，過(guò)作軸于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交軸于，設(shè)，則，，，由可得，從而，設(shè)由 可得，， ，再求出點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線解析式中即可求得或，從而可得點(diǎn)坐標(biāo) ．
【詳解】（1）解：把和代入到解析式中可得，解得，
拋物線的解析式為：；
（2）直線中，令，則，所以，直線中，令，則，所以，
分別過(guò)，向軸作垂線，垂足為，，

根據(jù)題意可得，
軸，軸，
和為直角三角形，
在和中，
，
，
，
設(shè)，
則，
，，
從而，，
則有，解得（舍去），或，
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；
（3）將平移到，連接，則四邊形為平行四邊形，，過(guò)作于，過(guò)作軸于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交軸于，
，
可設(shè)，則，
∴，
則，

設(shè)，
軸，
，
，
，，，
，，，
，
，，
，
，
，，則，
，，
，
代入拋物線解析式中有：，
解得：或，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與相似三角形綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正切的定義等知識(shí)，解題關(guān)鍵是在坐標(biāo)系中利用等線段構(gòu)造全等進(jìn)行計(jì)算，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．
3．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與直線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．
(3)如圖2，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與平行，則在直線上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或
【分析】（1）根據(jù)拋物線的交點(diǎn)式直接得出結(jié)果；
（2）作于，作于，交于，先求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而求得，坐標(biāo)及的長(zhǎng)，從而得出過(guò)的直線與拋物線相切時(shí)，的面積最大，根據(jù)的△求得的值，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得上的高的值，進(jìn)一步得出結(jié)果；
（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，交于，設(shè)，根據(jù)求得的值，可推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣方法得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：由題意得，
；
（2）解：如圖1，
作于，作于，交于，
，，
，
，
拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線：，
，
，
，
，
故只需的邊上的高最大時(shí)，的面積最大，
設(shè)過(guò)點(diǎn)與平行的直線的解析式為：，
當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，的面積最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖2，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，交于，
點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
，
設(shè)，
由得，，
，（舍去），
，
∵，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
∴；
如圖3，
當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，由上可知：，
同理可得：，
綜上所述：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論．
4．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
(1)求，的值；
(2)如圖①，是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
(3)如圖②，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作的垂線與過(guò)點(diǎn)且平行于的直線交于點(diǎn)，為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，使，是軸上一點(diǎn)，且在點(diǎn)的右側(cè)，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，使，若，求直線的解析式．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）把點(diǎn)，代入拋物線解析式，得方程組，求出，的值即可；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，由（1）知，拋物線的解析式是，得，根據(jù)“是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為”，得，根據(jù)，代入整理即可得到關(guān)于的函數(shù)解析式；
（3）以為一邊作，的另一邊交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；作，垂足為；作，垂足為；作軸，垂足為；根據(jù)和，求出，根據(jù)“，，，”推理出，，得到，結(jié)合，推理出，用證，用證，推理出，根據(jù)“，”，得出，，，代入，求出，勾股定理算出，根據(jù)“，”，設(shè)，則，，代入，算出，運(yùn)用勾股定理計(jì)算，計(jì)算，結(jié)合點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，得，設(shè)直線的解析式為，把，代入求出完整解析式即可．
【詳解】（1）點(diǎn)，在拋物線上，
，
解得：，
，
（2）由（1）知，拋物線的解析式是，
是拋物線與軸的交點(diǎn)，
時(shí)，，
，
，
如下圖，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，
是第二象限拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，
（3）如下圖，以為一邊作，的另一邊交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；作，垂足為；作，垂足為；作軸，垂足為，
，由（2）知，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，軸，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
設(shè)，則，，
，
，
，
，
，
又點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，
，
設(shè)直線的解析式為，
把，代入，得：，
解得：，
直線的解析式為
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，難度大，結(jié)合全等三角形、勾股定理、三角函數(shù)解直角三角形知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用知識(shí)、畫(huà)出輔助線、數(shù)形結(jié)合、分析與計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與拋物線交于B，C兩點(diǎn)（B在C的左邊）．

(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖1，若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A，，C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；
(3)定義：將平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫作格點(diǎn)，如，等均為格點(diǎn)．如圖2，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）對(duì)于直線，令，求出x，即可求解；
（2）表示出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，利用勾股定理解方程求解，注意直角頂點(diǎn)不確定，需分類(lèi)討論；
（3）直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點(diǎn)只能落在軸和直線上，各為13個(gè)，分別求出的范圍．
【詳解】（1）解：對(duì)于直線，
當(dāng)時(shí)，，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）解：聯(lián)立直線與拋物線得：
，
，
或，
，，
點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，
，
，
，
，
若，則，即，所以，
若，則，即，所以，
若，則，即，此方程無(wú)解．
或；
（3）解：如圖，直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點(diǎn)只能落在軸和直線上，

，，，
，
格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，
落在軸和直線上的格點(diǎn)數(shù)應(yīng)各為13個(gè)，
落在軸的格點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足，即，
①若，即，
所以線段上的格點(diǎn)應(yīng)該為，，，，
②若，，，所以線段上的格點(diǎn)正好13個(gè)，
綜上，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是弄清格點(diǎn)只能落在軸和直線上，各為13個(gè)，并對(duì)點(diǎn)、進(jìn)行定位．
6．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線交于B，D兩點(diǎn)，以為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C，圓C與直線m交于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的點(diǎn)，直線m上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都等于1．
(1)求拋物線的解析式；
(2)證明：圓C與x軸相切；
(3)過(guò)點(diǎn)B作，垂足為E，再過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，求的值．
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)
【分析】〔1〕可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，再結(jié)合拋物線過(guò)點(diǎn)，可求得拋物線的解析式；
〔2〕聯(lián)立直線和拋物線解析式可求得、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，那么可求得C點(diǎn)坐標(biāo)和線段的長(zhǎng)，可求得圓的半徑，可證得結(jié)論；
〔3〕過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，連接，可求得，利用〔2〕中所求B、D的坐標(biāo)可求得，那么可求得和的長(zhǎng)，可求得其比值．
【詳解】（1）解：拋物線的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
可設(shè)拋物線解析式為，
拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，
解得，
拋物線解析式為；
（2）解：聯(lián)立直線和拋物線解析式可得，
解得或，
，，
為的中點(diǎn)，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，
圓的半徑為，
點(diǎn)到軸的距離等于圓的半徑，
圓與軸相切；
（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為H，連接，
由〔2〕可知，，
在中，由勾股定理可求得，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】此題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、切線的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．在〔1〕中注意利用拋物線的頂點(diǎn)式，在〔2〕中求得B、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在〔3〕中求得、的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．此題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大，難度較大．
7．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）某校想將新建圖書(shū)樓的正門(mén)設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門(mén)，并要求所設(shè)計(jì)的拱門(mén)的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門(mén)按要求給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案．現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門(mén)圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：
方案一，拋物線型拱門(mén)的跨度，拱高．其中，點(diǎn)N在x軸上，，．
方案二，拋物線型拱門(mén)的跨度，拱高．其中，點(diǎn)在x軸上，，．
要在拱門(mén)中設(shè)置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計(jì)）．方案一中，矩形框架的面積記為，點(diǎn)A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點(diǎn)，在拋物線上，邊在上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：
(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在方案一中，當(dāng)時(shí)，求矩形框架的面積并比較，的大小．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法則，求出拋物線的解析式即可；
（2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比較大小即可．
【詳解】（1）解：由題意知，方案一中拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
把代入得：，
解得：，
∴；
∴方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：在中，令得：，
解得或，
∴，
∴；
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法則，求出函數(shù)解析式．
8．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式和的值．
(2)在二次函數(shù)位于軸上方的圖像上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)如圖（2），作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，作以為直徑的圓．點(diǎn)是圓在軸上方圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與圓弧的端點(diǎn)重合，但與圓弧的另一個(gè)端點(diǎn)可以重合），平移線段，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，線段的對(duì)應(yīng)線段為，連接，，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)，求的值．
【答案】(1)，
(2)不存在，理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入得到二元一次方程組求解可得，的值，可確定二次函數(shù)的解析式，再令，解關(guān)于的一元二次方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定的值；
（2）不存在．設(shè)，根據(jù)，可得，根據(jù)，可確定方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即可作出判斷；
（3）根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及判定可得，，再根據(jù)為圓的直徑，可得，然后分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，由平移的性質(zhì)可得四邊形是平行四邊形，從而得到，，再證明，可得，可得的值；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得，，代入可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，得：，
解得：，，
∴，
∴二次函數(shù)的解析式為，；
（2）不存在．理由如下：
如圖，設(shè)，
∵，，，
∴，，，
∵點(diǎn)在二次函數(shù)位于軸上方的圖像上，且，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴不存在符合條件的點(diǎn)；

（3）如圖，設(shè)交軸于點(diǎn)，
∵，，
∴，
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為圓的直徑，
∴，
∵平移線段，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，線段的對(duì)應(yīng)線段為，
①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴，，
∴，
綜上所述，的值為．

【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元二次方程的應(yīng)用，直徑所對(duì)的圓周角為直角，對(duì)稱(chēng)和平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了分類(lèi)討論的思想．找到全等三角形是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對(duì)稱(chēng)右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）方法一：連接，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．先求得直線的表達(dá)式為：．再設(shè)，，則，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；方法二：令拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；
（3）如下圖，連接，，由菱形及等邊三角形的性質(zhì)證明得．從而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解，又連接，，，證．得，又證．得．進(jìn)而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
∴，解得．
∴拋物線的表達(dá)式為：．
（2）解：方法一：如下圖，連接，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．
∵
，
∴．
令中，則，
解得或，
∴，
設(shè)直線為，
∵過(guò)點(diǎn)，，，
∴，
解得，
∴直線的表達(dá)式為：．
設(shè)，，
∴
．
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
方法二：
如下圖，
拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
設(shè)，
∴，
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
（3）解：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
如下圖，連接，，
∵四邊形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形．
∴，
∵，，，
∴，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
∴，，
∴是等邊三角形，，
∴，
∴即，，
∴．
∴．
∴直線的表達(dá)式為：．
與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．
∴點(diǎn)坐標(biāo)為．
如下圖，連接，，，
同理可證：是等邊三角形，是等邊三角形，．
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴直線的表達(dá)式為：．
與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．
∴點(diǎn)坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，一元二次方程的應(yīng)用，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)，在軸上，，．拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)如圖1，若拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，作直線，平移線段，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若拋物線與正方形恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）將點(diǎn)，代入拋物線，利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，再令，求出值，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入解析式，利用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)平移的性質(zhì)，得到點(diǎn)，將點(diǎn)P代入，求出的值，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)正方形和點(diǎn)C的坐標(biāo)，得出，，，將代入，求得，進(jìn)而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，分兩種情況討論：①當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在正方形內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)拋物線與直線交點(diǎn)在點(diǎn)上方，且與直線交點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，分別列出不等式組求解，即可得到答案．
【詳解】（1）解：拋物線過(guò)點(diǎn)，
，解得：，
拋物線表達(dá)式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得：（舍去），，
；
（2）解：設(shè)直線的表達(dá)式為，
直線過(guò)點(diǎn)，，
，解得：，
直線的表達(dá)式為：，
點(diǎn)在拋物線上，
設(shè)點(diǎn)，
，，且由平移得到，
點(diǎn)向左平移2個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，

點(diǎn)在直線上，
將代入，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
當(dāng)時(shí)，
點(diǎn)坐標(biāo)為；
（3）解：四邊形是正方形，，
，，
，
點(diǎn)A和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，
將代入，得：，
，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
①如圖，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在正方形內(nèi)部時(shí)，與正方形有兩個(gè)交點(diǎn)，

，解得：；
②如圖，當(dāng)拋物線與直線交點(diǎn)在點(diǎn)上方，且與直線交點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，與正方形有兩個(gè)交點(diǎn)，

，解得：，
綜上所述，的取值范圍為或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線與直線交點(diǎn)問(wèn)題，解一元二次方程，解一元一次不等式組等知識(shí)，利用分類(lèi)討論的思想，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
11．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)以下素材，探究完成任務(wù)．
【答案】任務(wù)一：4m；任務(wù)二：；任務(wù)三：應(yīng)該盡量提高擲出點(diǎn)的高度、盡量提高擲出點(diǎn)的速度、選擇適當(dāng)?shù)臄S出仰角
【分析】任務(wù)一：建立直角坐標(biāo)系，由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出解析式，當(dāng)時(shí)求出x的值即可得到；
任務(wù)二：建立直角坐標(biāo)系，求出任務(wù)二的拋物線解析式，得到頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，與任務(wù)一的縱坐標(biāo)相減即可；
任務(wù)三：根據(jù)題意給出合理的建議即可．
【詳解】任務(wù)一：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，
∴，
解得，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
得（舍去），
∴素材1中的投擲距離為4m；
（2）建立直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)素材2中拋物線的解析式為，
由題意得，過(guò)點(diǎn)，
∴，
解得，
∴
∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，
（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的變化量為；
任務(wù)三：應(yīng)該盡量提高擲出點(diǎn)的高度、盡量提高擲出點(diǎn)的速度、選擇適當(dāng)?shù)臄S出仰角．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求函數(shù)解析式，求拋物線與坐標(biāo)軸的距離，正確理解題意建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．

(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)是線段長(zhǎng)度的2倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作直線，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；
（2）根據(jù)直角三角形三角函數(shù)值可得，，進(jìn)而可得的周長(zhǎng)，結(jié)合已知條件可得，設(shè)，則，，從而可得方程，解方程即可；
（3）先求出，，設(shè)，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，通過(guò)證明，求出，再求出直線的解析式為，將點(diǎn)代入解析式求出n的值即可．
【詳解】（1）解：將，代入，
可得，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：，，
，，
，
，，
的周長(zhǎng)，
的周長(zhǎng)是線段長(zhǎng)度的2倍，
，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入可得，
解得，
直線的解析式為，
設(shè)，則，，
，，
，
解得，（舍），
，
；
（3）解：，
當(dāng)時(shí)，y取最大值，
，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，

由題意知，
，
，
，
又，，
，
，，
，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，
直線的解析式為，
將點(diǎn)代入，得，
解得或，
或．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值．
(2)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)
①當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)①當(dāng)時(shí)，的面積由最大值，最大值為；
②當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形
【分析】（1）將將、代入拋物線即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，易得，根據(jù)的面積，可得的面積，即可求解；
②由題意可知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，則，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，即時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)的解析式為：，將，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式為：，
過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，

∵，則，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為，則縱坐標(biāo)為，
∴，
的面積
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值為；
②存在，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由題意可知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，
∵軸，
∴，，則，
當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，即時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時(shí)，即點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，即時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時(shí)：，即點(diǎn)；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行分類(lèi)討論．
14．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)，在軸正半軸上，，點(diǎn)在線段上，以線段，為鄰邊作矩形，連接，設(shè)．
連接，當(dāng)與相似時(shí)，求的值；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到線段，連接，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，連接當(dāng)?shù)倪吪c線段垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)①或；②或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）①利用已知條件用含a的代數(shù)式表示出點(diǎn)E，D，F(xiàn)，G的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段的長(zhǎng)度，利用分類(lèi)討論的思想方法和相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于a的方程，解方程即可得出結(jié)論；
②利用已知條件，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，平行四邊形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)求得 ，和的長(zhǎng)，利用分類(lèi)討論的思想方法分三種情形討論解答利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理求得相應(yīng)線段的長(zhǎng)度即可得出結(jié)論；
【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，
解得：
此拋物線的解析式為
（2）令，則
解得：或，
∴
．
∵,
∴
四邊形為矩形，
∴
∴
∴
Ⅰ當(dāng)時(shí)，
∴
∴
∴
Ⅱ當(dāng)時(shí)，
∴
∴
∴
綜上，當(dāng)與相似時(shí)，的值為或；
點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴
∴
∴

四邊形為平行四邊形，
在和中，
Ⅰ、當(dāng) 所在直線與 垂直時(shí)，如圖，
，，三點(diǎn)在一條直線上，
過(guò)點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ， 則
∴此時(shí)點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為

Ⅱ當(dāng)所在直線與垂直時(shí)，如圖，
，
，
設(shè)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則軸，．
，
，
．
，
．
，
，
此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
Ⅲ當(dāng)所在直線與垂直時(shí)，如圖，
，，
，
，，三點(diǎn)在一條直線上，則，
過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
，
此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
綜上，當(dāng)?shù)倪吪c線段垂直時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度和正確利用分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵
15．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點(diǎn)，且自變量的部分取值與對(duì)應(yīng)函數(shù)值如下表：

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)（在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，求的值；
(3)若將線段先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的線段與二次函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，其中為常數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)且或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的表達(dá)式即可；
（2）連接，，過(guò)點(diǎn)R作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，分別表示出、的長(zhǎng)，根據(jù)正切的定義即可得到的值；
（3）分和兩種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：由表格可知，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，代入得到
，
解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)R作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴，
∵，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，
∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
設(shè)點(diǎn)，
則，解得，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
即，
則，
∴，
，
∴，
即的值為；
（3）由表格可知點(diǎn)、，
將線段先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到、，
由題意可得，二次函數(shù)，與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在下方，
當(dāng)時(shí)，，
即，
解得，
∴，
當(dāng)時(shí)，，即，
解得，
∴，
此時(shí)滿(mǎn)足題意，
當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在上時(shí)，，
解得，
此時(shí)滿(mǎn)足題意，
將點(diǎn)代入得到，解得，
將點(diǎn)代入得到，解得，
∴，此時(shí)滿(mǎn)足題意，

綜上可知， 且或．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)、不等式的應(yīng)用等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線．

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)，使的值最?。簏c(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；
(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)，的最小值為
(3)
【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，得到，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，求出直線的解析式，解析式與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)的坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式求出的長(zhǎng)，即為的最小值；
（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，設(shè)，得到，，將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得解．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線，
∴點(diǎn)為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴，
連接，

∵，
∴，
∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，
∴；
∴點(diǎn)，的最小值為；
（3）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，
設(shè)拋物線的解析式為：，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則：，
由（2）知：直線：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性以及數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象．當(dāng)平面內(nèi)的直線與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求k的值；
(3)如圖2，如果把直線沿y軸向上平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線的交點(diǎn)分別是，，直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若．求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為，
，
，
，
把，代入，得：，
解得：，
拋物線的解析式為
（2）直線表達(dá)式，
直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
將過(guò)點(diǎn)的直線旋轉(zhuǎn)觀察和新圖象的公共點(diǎn)情況
把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的解析式為，
新圖象表達(dá)式為：時(shí)，；或時(shí)，，
如下圖當(dāng)直線與翻折上去的部分拋物線相切時(shí)，和新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，

聯(lián)立，得：，
整理得：
，
，
，
，
，
時(shí)，即如上圖所示，符合題意，
時(shí)，如下圖所示，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

不符合題意，故舍去，
如下圖，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，和新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，

把代入，得：，
解得：，
綜上所述，當(dāng)平面內(nèi)的直線與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的值為或
（3）在拋物線上，
設(shè)坐標(biāo)為，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去），
，代入，
點(diǎn)的坐標(biāo)為
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合、翻折、交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合一元二次方程、三角函數(shù)解直角三角形知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握、綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是直線．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)B在拋物線上，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)C、當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求出此三角形的邊長(zhǎng)；
(3)已知點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在點(diǎn)F，當(dāng)或或或時(shí)，以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和過(guò)點(diǎn)列二元一次方程組求解即可；
（2）如圖：過(guò)點(diǎn)M作交于D，設(shè)點(diǎn)，則；然后表示出，再根據(jù)是等邊三角形可得,，根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形可得，進(jìn)而求得即可解答；
（3）如圖可知：線段為菱形的邊和對(duì)角線，然后通過(guò)作圖、結(jié)合菱形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解答．
【詳解】（1）解：由題意可得：
，解得：，
所以?huà)佄锞€的函數(shù)表達(dá)式為；
當(dāng)時(shí)，，則頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
（2）解：如圖：過(guò)點(diǎn)M作交于D，設(shè)點(diǎn)，則,
∴，
∵是等邊三角形,
∴,
∴,即，解得：或（舍去）
∴，，
∴該三角形的邊長(zhǎng)．
（3）解：存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形
①如圖：線段作為菱形的邊，
當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，作關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)線段交于E，連接,作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，即為菱形，由對(duì)稱(chēng)性可得F的坐標(biāo)為，故存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，此時(shí)．
當(dāng)為菱形對(duì)角線時(shí)，，
設(shè)，，
則，解得：或，
∴或
②線段作為菱形的對(duì)角線時(shí)，
如圖：設(shè)
∵菱形,
∴,的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，
∴，解得，
∴，
設(shè)，
則有：，解得：，
∴．

綜上，當(dāng)或或或時(shí)，以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．
19．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P在二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)面積為5時(shí)，求P坐標(biāo)；
(3)小明認(rèn)為，在第三象限拋物線上有一點(diǎn)D，使；請(qǐng)判斷小明的說(shuō)法是否正確，如果正確，請(qǐng)求出D的坐標(biāo)；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)正確，
【分析】（1）直接運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；
（2）首先求出直線解析式，然后通過(guò)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，并表示對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用“割補(bǔ)法”計(jì)算的面積表達(dá)式并建立方程求解即可；
（3）首先連接，，設(shè)與對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)為，對(duì)稱(chēng)軸與軸交點(diǎn)為，連接，延長(zhǎng)與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)，根據(jù)已知信息求出，然后推出，從而在中求出，確定出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線解析式，通過(guò)與拋物線解析式聯(lián)立，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：將代入得：
，解得：，
∴拋物線解析式為：；
（2）解：由拋物線可知，其對(duì)稱(chēng)軸為直線，，
設(shè)直線解析式為：，
將，代入解得：，
∴直線解析式為：，
此時(shí)，如圖所示，作軸，交于點(diǎn)，

∵點(diǎn)P在二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸上，
∴設(shè)，則，
∴，
∴，
∵要使得面積為5，
∴，解得：或，
∴的坐標(biāo)為或；
（3）解：正確，，理由如下：
如圖所示，連接，，設(shè)與對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)為，對(duì)稱(chēng)軸與軸交點(diǎn)為，連接，延長(zhǎng)與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)，

由（1）、（2）可得，，
∴，，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵且，
∴，
∴，
即：在中，，
∵，
∴，
∴，
設(shè)直線解析式為：，
將、代入解得：，
∴直線解析式為：，
聯(lián)立，解得：或（不合題，舍去）
∴小明說(shuō)法正確，D的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合問(wèn)題，包括“割補(bǔ)法”計(jì)算面積，以及解直角三角形等，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并熟練運(yùn)用解三角形的方法進(jìn)行數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．
20．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)．

(1)如圖，若，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為．求拋物線的解析式，并直接寫(xiě)出時(shí)的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，若為軸上的點(diǎn)，為軸上方拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；
(3)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，且，求正整數(shù)m，n的值．
【答案】(1)；
(2)；或,；
(3)，或，
【分析】（1）根據(jù)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，待定系數(shù)法求解析式即可求解；當(dāng)時(shí)，求得的范圍，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象即可求解；
（2）①連接，，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D，由四點(diǎn)共圓，得，證明，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，確定直線的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，勾股定理即可求解；②由①可得，則當(dāng)與重合時(shí)也存在等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解．
（3）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，可得拋物線對(duì)稱(chēng)為直線，則，則，進(jìn)而令，求得的范圍，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象可知或，進(jìn)而分別討論求得的值，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為．
∴
解得：
∴拋物線解析式為，
當(dāng)時(shí)，即
解得：，
∴當(dāng)時(shí)，
（2）解：①如圖所示，連接，，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D，

∵，
∴，
則
∴，，
∵為等邊三角形，
∴，
∴，
∴四點(diǎn)共圓，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，則，
設(shè)直線的解析式為
則
解得：
所以直線的解析式為
聯(lián)立
解得：或
∴，
∵，設(shè)，
∵
∴
解得：
∴；
②由①可得，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，為等邊三角形
則與對(duì)稱(chēng)，此時(shí)，，
綜上所述；；或，；
（3）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，
∴拋物線對(duì)稱(chēng)為直線，
則，則
∴拋物線解析式為
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，
解得：或
∵，且為正整數(shù)，過(guò)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，
∴或，
當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)代入解析式，
解得：
∵
則，
當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)代入解析式
解得：
∵
則，
綜上所述，，或，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)特三角函數(shù)求角度，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接和交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)．求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線，待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意求得，，求得，則，進(jìn)而求得直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，證明，根據(jù)已知條件得出設(shè)，則，將點(diǎn)代入，即可求解．
（3）根據(jù)題意可得，以為對(duì)角線作正方形，則，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求得的解析式，聯(lián)立解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，則對(duì)稱(chēng)軸為直線，
∴，
解得：
∴拋物線解析式為；
（2）解：由，當(dāng)時(shí)，，
解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，則，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，則，
設(shè)直線的解析式為，則，解得：，
∴直線的解析式為，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，

∵，
∴
∵
∴，則
設(shè)，則即，
將點(diǎn)代入
即
解得：或（舍去）
當(dāng)時(shí)，，
∴；
（3）∵，，
則，是等腰直角三角形，
∴，由（2）可得，
∵
∴，
由（2）可得，
設(shè)直線的解析式為，則
解得：
∴直線的解析式為
如圖所示，以為對(duì)角線作正方形，則，

∵，則，則，，
設(shè)，則，
解得：，，
則，，
設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為
則，，
解得：，，
設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，
∴解得：，則，
解得：,則，
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為．
(1)若對(duì)于，有，求的值；
(2)若對(duì)于，，都有，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對(duì)稱(chēng)軸即可求解；
（2）根據(jù)題意可得離對(duì)稱(chēng)軸更近，，則與的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵對(duì)于，有，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為．
∴；
（2）解：∵當(dāng)，，
∴，，
∵，，
∴離對(duì)稱(chēng)軸更近，，則與的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線交y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D．

(1)求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時(shí)，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P為直線上方拋物線上一點(diǎn)，將直線沿直線翻折，交x軸于點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，以線段為邊向上作正方形．
①若，求正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為時(shí)，求a的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①，，；②
【分析】（1）先求出，再求出拋物線對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)題意可知C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，據(jù)此求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；
（2）先求出，如圖，設(shè)上與點(diǎn)M關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，利用勾股定理建立方程組，解得或（舍去），則，求出直線的解析式為，然后聯(lián)立，解得或，則；
（3）分圖3-1，圖3-2，圖3-3三種情況，利用到x軸的距離之差即為縱坐標(biāo)之差結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵拋物線解析式為，
∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，
∵過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D，
∴C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
∴；
（2）解：當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，
當(dāng)，即，解得或，
∴；
如圖，設(shè)上與點(diǎn)M關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，
由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或
∴；

（3）解：①當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，，
∴，
∴，，
當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線恰好經(jīng)過(guò)；
∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，
由對(duì)稱(chēng)性可知拋物線經(jīng)過(guò)，
∴點(diǎn)時(shí)拋物線與正方形的一個(gè)交點(diǎn)，
又∵點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，
∴拋物線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)；
綜上所述，正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)為，，；

②如圖3-1所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、D，
∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，
∴點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為，
∴，
∴，
解得（舍去）或；

如圖3-2所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、S，
∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，
∴，
解得（舍去，因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)D下方）

如圖3-3所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、S，
∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng) 時(shí)，，
∴不符合題意；

綜上所述，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等等，利用分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．
24．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出，的值；
(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．
①求的最大值；
②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)①；②2或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）①過(guò)點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進(jìn)而可得，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
②根據(jù)已知，令，，在上取點(diǎn)，使得，得出，然后根據(jù)，設(shè)，．進(jìn)而分兩種情況討論，ⅰ當(dāng)時(shí)，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當(dāng)時(shí)，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)
∴
解得：
∴，，；
（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．
∵，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：
直線解析式為．
設(shè)，
，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
的最大值為．
②如圖2，已知，令，則，
在上取點(diǎn)，使得，
∴，
設(shè)，則，
則，
解得，
∴，即．
如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，
又∵，
設(shè)，則．
分類(lèi)討論：ⅰ當(dāng)時(shí)，則，
∴與的相似比為，
∴，，
∴，
代入拋物線求得，（舍）．
∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．
ⅱ當(dāng)時(shí)，則，
∴相似比為，
∴，，
∴，
代入拋物線求得，（舍）．
∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．
綜上所示，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段長(zhǎng)的最值問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義．利用分類(lèi)討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
(1)連接，求線段的長(zhǎng)；
(2)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．比較大?。篲__________；
(3)若點(diǎn)在拋物線上，，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）知道拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而求出結(jié)果；
（2）用兩點(diǎn)式設(shè)出拋物線解析式，把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，再把，代入比較即可；
（3）根據(jù)，則點(diǎn)P離對(duì)稱(chēng)軸更近，可得，解不等式即可．
【詳解】（1）解：由題意可得：，，
∴；
（2）解：由題意得：設(shè)拋物線：，拋物線：，
由（1）得：，，
∴，
∴，
∴，
把代入拋物線得：，
把代入拋物線得：，
∵，
∴；
（3）解： ∵，
∴點(diǎn)P離對(duì)稱(chēng)軸更近，
∴，
∴，
∴；
∴或
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)壓軸題，綜合性強(qiáng)，掌握數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．
26．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．連接，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，連接．點(diǎn)分別在線段上，連接與交于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)隨著點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．
①的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②線段的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)當(dāng)線段的中點(diǎn)在該二次函數(shù)的因象的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，的面積為 ．
【答案】(1)，
(2)①的大小不變，理由見(jiàn)解析；②線段的長(zhǎng)度存在最大值為
(3)
【分析】（1）得，解方程即可求得的坐標(biāo)，把化為頂點(diǎn)式即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①在上取點(diǎn)，使得，連接，證明是等邊三角形即可得出結(jié)論；②由，得當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)最大，即當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最大，進(jìn)而解直角三角形即可求解；
（3）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證四邊形是菱形，得，進(jìn)而證明得，再證，得即，結(jié)合三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴頂點(diǎn)為，
令，，
解得或，
∴；
（2）解：①的大小不變，理由如下：
在上取點(diǎn)，使得，連接，

∵，
∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為，即，
∵將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是等邊三角形，，
∴，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，又，
∴是等邊三角形，
∴，即的大小不變；
②，∵，
∴當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)最大，即當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最大，
∵是等邊三角形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即線段的長(zhǎng)度存在最大值為；
（3）解：設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，
∴四邊形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵的中點(diǎn)為點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵的中點(diǎn)為點(diǎn)，是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)以及解直角三角形，題目綜合性較強(qiáng)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，作軸，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)為11時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
(3)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線的解析式為
(2)
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先求得直線的解析式為，設(shè)，則，利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求得，推出，，利用矩形周長(zhǎng)公式列一元二次方程計(jì)算即可求解；
（3）先求得直線的解析式為，分別過(guò)點(diǎn)M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，證明，推出，，設(shè)，則，由點(diǎn)M在直線上，列式計(jì)算，可求得m的值，利用平移的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：∵點(diǎn)和，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)，且，則，
∴，
∵解析式的對(duì)稱(chēng)軸為，
∴，
∴，
依題意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，則，
解得或，
∴，同理，直線的解析式為，
∵四邊形是正方形，
∴，，分別過(guò)點(diǎn)M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，如圖，

，，
∴，
∴，，
設(shè)，
∴，，則，
∵點(diǎn)M在直線上，
∴，解得或，
當(dāng)時(shí)，，，
即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，四邊形是正方形，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，，
點(diǎn)O向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)M，
則點(diǎn)E向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)N，
∴，即．
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)之間的距離公式和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的題，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論．
28．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計(jì)了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點(diǎn)在處，對(duì)稱(chēng)軸與水平線垂直，，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離是1．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在上找一點(diǎn)，加裝拉桿，同時(shí)使拉桿的長(zhǎng)度之和最短，請(qǐng)你幫小星找到點(diǎn)的位置并求出坐標(biāo)；
(3)為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計(jì)拋物線，其表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值總大于等于9．求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，將，代入即可求解；
（2）點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，求出直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）分和兩種情況，根據(jù)最小值大于等于9列不等式，即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與y軸重合，
設(shè)拋物線的解析式為，
，，
，，
將，代入，得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解： 拋物線的解析式為，點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離是1，
當(dāng)時(shí)，，
，
作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
則，，
，
當(dāng)，，A共線時(shí)，拉桿長(zhǎng)度之和最短，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入，得，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，位置如下圖所示：

（3）解：中，
拋物線開(kāi)口向下，
當(dāng)時(shí)，
在范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為：
則，
解得，
；
當(dāng)時(shí)，
在范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為：
則，
解得，
；
綜上可知，或，
的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求線段的最值，拋物線的增減性等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，第3問(wèn)注意分情況討論．
29．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)該拋物線與軸的左交點(diǎn)為，當(dāng)拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，求的值．
(4)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（不包括四邊形的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．當(dāng)以點(diǎn)、、、（或以點(diǎn)、、、）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的的值．
【答案】(1)；頂點(diǎn)坐標(biāo)為
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法即可求解；
（2）當(dāng)時(shí)，，求得拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線上的點(diǎn)在軸上時(shí)，橫坐標(biāo)為．其中，得出，即可求解；
（3）①如圖所示，當(dāng)，即時(shí)，②當(dāng)，即時(shí)，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為，建立方程，解方程即可求解；
（4）根據(jù)在軸的上方，得出，根據(jù)題意分三種情況討論①當(dāng)是的中點(diǎn)，②同理當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，③，根據(jù)題意分別得出方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入拋物線，得，
解得：
∴拋物線解析式為；
∵，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
（2）解：由，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
∵拋物線上的點(diǎn)在軸上時(shí)，橫坐標(biāo)為．其中．
∴
∴
解得：，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴；
（3）①如圖所示，當(dāng)，即時(shí)，

拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)為頂點(diǎn)，最低點(diǎn)為點(diǎn)，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
則縱坐標(biāo)之差為
依題意，
解得：；
②當(dāng)，即時(shí)，

∵，即，
依題意，，
解得：或（舍去），
綜上所述，或；
（4）解：如圖所示，

∵在軸的上方，
∴
∴
∵以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點(diǎn)為
∴
∵,
①當(dāng)是的中點(diǎn)，如圖所示

則，
∴代入，
即，
解得：（舍去）或；
②同理當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖所示，，，則點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半，

∴，
解得：，
③如圖所示，

設(shè)，則，
∵以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點(diǎn)為
∴
即
∴，
∴，
∴，
∵關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
∴，
解得：，
綜上所述，或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問(wèn)題，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分類(lèi)討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)是線段上一點(diǎn)，連接，且．
①求證：是直角三角形；
②的平分線交線段于點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，，
(2)①證明見(jiàn)解析，②點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)求解即可；
（2）①設(shè)然后利用勾股定理求解，，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．再由等腰三角形及各角之間的關(guān)系即可證明；②根據(jù)題意得出，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意得．分兩種情況分析：（i）當(dāng)點(diǎn)在直線的左側(cè)拋物線上時(shí)，．（ii）當(dāng)點(diǎn)在直線的右側(cè)拋物線上時(shí)，．求解即可．
【詳解】（1）解：∵直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，
．
∵直線交拋物線于兩點(diǎn)，
，
，解得．
∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
當(dāng)時(shí)，．
；
（2）如圖，

①拋物線交軸于點(diǎn)A，
當(dāng)時(shí)，．
,
在中，，
由勾股定理得，
設(shè)
，
．
，
，
，
．
，
．
是等腰直角三角形，
．
過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．
，
是等腰直角三角形，
是直角三角形．
②平分
軸．
，
．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意得．
（i）當(dāng)點(diǎn)在直線的左側(cè)拋物線上時(shí)，．
過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．
，
．
，
在中，
，
，
（舍去）．
當(dāng)時(shí)，
（ii）當(dāng)點(diǎn)在直線的右側(cè)拋物線上時(shí)，．
過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．
，
在中，
，
，
（舍去）．
當(dāng)時(shí)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】題目主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合問(wèn)題，特殊三角形問(wèn)題及解三角形，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
如何把實(shí)心球擲得更遠(yuǎn)？
素材1
小林在練習(xí)投擲實(shí)心球，其示意圖如圖，第一次練習(xí)時(shí)，球從點(diǎn)A處被拋出，其路線是拋物線．點(diǎn)A距離地面，當(dāng)球到OA的水平距離為時(shí)，達(dá)到最大高度為．

素材2
根據(jù)體育老師建議，第二次練習(xí)時(shí)，小林在正前方處（如圖）架起距離地面高為的橫線．球從點(diǎn)A處被拋出，恰好越過(guò)橫線，測(cè)得投擲距離．

問(wèn)題解決
任務(wù)1
計(jì)算投擲距離
建立合適的直角坐標(biāo)系，求素材1中的投擲距離．
任務(wù)2
探求高度變化
求素材2和素材1中球的最大高度的變化量
任務(wù)3
提出訓(xùn)練建議
為了把球擲得更遠(yuǎn)，請(qǐng)給小林提出一條合理的訓(xùn)練建議．
如何把實(shí)心球擲得更遠(yuǎn)？
素材1
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素材2
根據(jù)體育老師建議，第二次練習(xí)時(shí)，小林在正前方處（如圖）架起距離地面高為的橫線．球從點(diǎn)A處被拋出，恰好越過(guò)橫線，測(cè)得投擲距離．

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計(jì)算投擲距離
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探求高度變化
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提出訓(xùn)練建議
為了把球擲得更遠(yuǎn)，請(qǐng)給小林提出一條合理的訓(xùn)練建議．

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