精品解析：2024年高考全國甲卷數(shù)學(文)真題（原卷及解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試
全國甲卷文科數(shù)學
使用范圍：陜西、寧夏、青海、內蒙古、四川
注意事項：
1．答題前，務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．
2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號．
3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．
4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．
5．考試結束后，只將答題卡交回．
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設，則（）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)共軛復數(shù)的定義寫出，然后根據(jù)復數(shù)的乘法計算.
【詳解】依題意得，，故.
故選：D
2. 若集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合的定義先算出具體含有的元素，然后根據(jù)交集的定義計算.
【詳解】依題意得，對于集合中的元素，滿足，
則可能的取值為，即，
于是.
故選：C
3. 若滿足約束條件，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】畫出可行域后，利用的幾何意義計算即可得.
【詳解】實數(shù)滿足，作出可行域如圖：
由可得，
即的幾何意義為的截距的，
則該直線截距取最大值時，有最小值，
此時直線過點，
聯(lián)立，解得，即，
則.
故選：D.
4. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：畫出樹狀圖，結合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分類討論甲乙的位置，結合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計算公式進行求解.
【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖，
由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，
其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，
故所求概率.
解法二：當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；
當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；
于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；
基本事件總數(shù)顯然是，
根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.
故選：B
5. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質進行處理，或者特殊值法處理.
【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量
由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數(shù)列的性質
根據(jù)等差數(shù)列的性質，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數(shù)列公差，則，則.
故選：D
6. 已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）
A. 4B. 3C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】由焦點坐標可得焦距，結合雙曲線定義計算可得，即可得離心率.
【詳解】由題意，設、、，
則，，，
則，則.
故選：C.
7. 設函數(shù)，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助導數(shù)的幾何意義計算可得其在點處的切線方程，即可得其與坐標軸的交點坐標，即可得其面積.
【詳解】，
則，
即該切線方程為，即，
令，則，令，則，
故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積.
故選：A.
8. 函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【詳解】，
又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故選：B.
9. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.
【詳解】因為，
所以，，
所以，
故選：B.
10. 已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點，從而可得當時，的最小，結合勾股定理代入計算，即可求解.
【詳解】因為直線，即，令，
則，所以直線過定點，設，
將圓化為標準式為，
所以圓心，半徑，
當時，的最小，
此時.
故選：C
11. 設為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：
①若，則或 ②若，則或
③若且，則 ④若與,所成的角相等，則
其中所有真命題的編號是（）
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質即可判斷③.
【詳解】對①，當，因為，，則，
當，因為，，則，
當既不在也不在內，因為，，則且，故①正確；
對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；
對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，
因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質定理知，
同理可得，則，因為平面，平面，則平面，
因為平面，，則，又因為，則，故③正確；
對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯誤；
綜上只有①③正確，
故選：A.
12. 在中,內角所對的邊分別為，若，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計算即可.
【詳解】因為，則由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根據(jù)正弦定理得，
所以，
因為為三角形內角，則，則.
故選：C.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 函數(shù)在上的最大值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】結合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.
【詳解】，當時，，
當時，即時，.
故答案為：2
14. 已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為______．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺結構特征分別求出兩圓臺的高，再根據(jù)圓臺的體積公式直接代入計算即可得解.
【詳解】由題可得兩個圓臺的高分別為，
，
所以.
故答案為：.
15. 已知且，則______．
【答案】64
【解析】
【分析】將利用換底公式轉化成來表示即可求解.
【詳解】由題，整理得，
或，又，
所以，故
故答案：64.
16. 曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】將函數(shù)轉化為方程，令，分離參數(shù)，構造新函數(shù)結合導數(shù)求得單調區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結合即可求解.
詳解】令，即，令
則，令得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，，
因為曲線與在上有兩個不同的交點，
所以等價于與有兩個交點，所以.
故答案為：
三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 已知等比數(shù)列的前項和為，且.
（1）求的通項公式；
（2）求數(shù)列的前n項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；
（2）利用分組求和法即可求.
【小問1詳解】
因為,故，
所以即故等比數(shù)列的公比為，
故，故，故.
【小問2詳解】
由等比數(shù)列求和公式得，
所以數(shù)列的前n項和
.
18. 某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：
（1）填寫如下列聯(lián)表：
能否有的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？
（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，設為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）
附：
【答案】（1）答案見詳解
（2）答案見詳解
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算，并與臨界值對比分析；
（2）用頻率估計概率可得，根據(jù)題意計算，結合題意分析判斷.
小問1詳解】
根據(jù)題意可得列聯(lián)表：
可得，
因為，
所以有的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.
【小問2詳解】
由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為，
用頻率估計概率可得，
又因為升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，
則，
可知，
所以可以認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品優(yōu)級品率提高了.
19. 如圖，，，，,為的中點.
（1）證明：平面；
（2）求點到的距離.
【答案】（1）證明見詳解；
（2）
【解析】
【分析】（1）結合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進而得證；
（2）先證明平面，結合等體積法即可求解.
【小問1詳解】
由題意得，，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又平面平面，
所以平面；
【小問2詳解】
取的中點，連接，，因為，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，
可得，
又，所以，故.
又平面，所以平面，
易知.
在中，，
所以.
設點到平面的距離為，由，
得，得，
故點到平面的距離為.
20. 已知函數(shù)．
（1）求的單調區(qū)間；
（2）當時，證明：當時，恒成立．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】（1）求導，含參分類討論得出導函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調性；
（2）先根據(jù)題設條件將問題可轉化成證明當時，即可.
【小問1詳解】
定義域為，
當時，，故在上單調遞減；
當時，時，，單調遞增，
當時，，單調遞減.
綜上所述，當時，的單調遞減區(qū)間為；
時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
，且時，，
令，下證即可.
，再令，則，
顯然在上遞增，則，
即在上遞增，
故，即在上單調遞增，
故，問題得證
21. 已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．
（1）求的方程；
（2）過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設，根據(jù)的坐標及軸可求基本量，故可求橢圓方程.
（2）設，，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用的坐標表示，結合韋達定理化簡前者可得，故可證軸.
【小問1詳解】
設，由題設有且，故，故，故，
故橢圓方程為.
【小問2詳解】
直線的斜率必定存在，設，，，
由可得，
故，故，
又，
而，故直線，故，
所以
，
故，即軸.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．
22. 在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.
（1）寫出的直角坐標方程；
（2）設直線l：（為參數(shù)），若與l相交于兩點，若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)可得的直角方程.
（2）將直線的新的參數(shù)方程代入的直角方程，
法1：結合參數(shù)的幾何意義可得關于的方程，從而可求參數(shù)的值；
法2：將直線的直角方程與曲線的直角方程聯(lián)立，結合弦長公式可求的值.
【小問1詳解】
由，將代入，
故可得，兩邊平方后可得曲線的直角坐標方程為.
【小問2詳解】
對于直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，得直線的普通方程為.
法1：直線的斜率為，故傾斜角為，
故直線的參數(shù)方程可設為，.
將其代入中得
設兩點對應的參數(shù)分別為，則，
且，故，
，解得.
法2：聯(lián)立，得，
，解得，
設,，
則，
解得
23. 已知實數(shù)滿足．
（1）證明：；
（2）證明：．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）直接利用即可證明.
（2）根據(jù)絕對值不等式并結合（1）中結論即可證明.
【小問1詳解】
因為，
當時等號成立，則，
因為，所以;
【小問2詳解】
優(yōu)級品
合格品
不合格品
總計
甲車間
26
24
0
50
乙車間
70
28
2
100
總計
96
52
2
150
優(yōu)級品
非優(yōu)級品
甲車間
乙車間
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
優(yōu)級品
非優(yōu)級品
甲車間
26
24
乙車間
70
30

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