【幾何法】“兩圓一線”得坐標(biāo)
（1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC；
（2）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB．
【注意】若有三點(diǎn)共線的情況，則需排除．
作圖并不難，問題是還需要把各個點(diǎn)坐標(biāo)算出來，可通過勾股或者三角函數(shù)來求．
同理可求，下求．
顯然垂直平分線這個條件并不太適合這個題目，如果A、B均往下移一個單位，當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,2）時(shí)，可構(gòu)造直角三角形勾股解：
而對于本題的，或許代數(shù)法更好用一些．
【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等
（1）表示點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），又A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1）、B點(diǎn)坐標(biāo)（4,3），
（2）表示線段：，
（3）分類討論：根據(jù)，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐標(biāo)為．
小結(jié)
幾何法：（1）“兩圓一線”作出點(diǎn)；
（2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長，由線段長得點(diǎn)坐標(biāo)．
代數(shù)法：（1）表示出三個點(diǎn)坐標(biāo)A、B、C； （2）由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AC、BC；
（3）根據(jù)題意要求?、貯B=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解．
問題總結(jié)：
（1）兩定一動：動點(diǎn)可在直線上、拋物線上；
（2）一定兩動：兩動點(diǎn)必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長度列方程求解；
（3）三動點(diǎn)：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口．
二、【問題描述】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5,3），在x軸上找一點(diǎn)C使得△ABC是直角三角形，求點(diǎn)C坐標(biāo)．
【幾何法】兩線一圓得坐標(biāo)
（1）若∠A為直角，過點(diǎn)A作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；
（2）若∠B為直角，過點(diǎn)B作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；
（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C．（直徑所對的圓周角為直角）
重點(diǎn)還是如何求得點(diǎn)坐標(biāo)，求法相同，以為例：
【構(gòu)造三垂直】
求法相同，以為例：
構(gòu)造三垂直步驟：
第一步：過直角頂點(diǎn)作一條水平或豎直的直線；
第二步：過另外兩端點(diǎn)向該直線作垂線，即可得三垂直相似．
例題精講
考點(diǎn)一：二次函數(shù)中的直角三角形存在性問題
【例1】．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）直線l過點(diǎn)A與拋物線交于點(diǎn)P，當(dāng)∠PAB＝45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
?變式訓(xùn)練
【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D是直線AC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE垂直于y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
考點(diǎn)二：二次函數(shù)中的等腰三角形存在性問題
【例2】．如圖，拋物線y＝﹣x2+5x+n經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
?變式訓(xùn)練
【變2-1】．如圖．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸的一個交點(diǎn)為A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P．使得△PAB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變2-2】．如圖，拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸左側(cè)且位于x軸下方拋物線上一動點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m．
（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段BD（點(diǎn)D是點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)），求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)D是否在拋物線上；
（3）過點(diǎn)P作PM⊥x軸交直線BD于點(diǎn)M，試探究是否存在點(diǎn)P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)m的值；若不存在，說明理由．

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），連接AC，點(diǎn)P為第二象限拋物線上的動點(diǎn)．
（1）求a、b、c的值；
（2）連接PA、PC、AC，求△PAC面積的最大值；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QAC為直角三角形，若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
2．已知拋物線y＝﹣x2﹣x的圖象如圖所示：
（1）將該拋物線向上平移2個單位，分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，則平移后的解析式為 ．
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．
（3）在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
3．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接AC，BD．
（1）求點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)F為拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，且△BEF與△AOC相似，請直接寫出符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△BDP是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）拋物線與直線y＝﹣x﹣1交于A、E兩點(diǎn)，P是x軸上點(diǎn)B左側(cè)一動點(diǎn)，當(dāng)以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若F是直線BC上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在動點(diǎn)M，使△MBF為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；否則說明理由．
5．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且BO＝OC＝3AO．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M是線段BC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC上一點(diǎn)，當(dāng)△MBC的面積最大時(shí)，求：
①點(diǎn)M的坐標(biāo)，說明理由；
②MN+BN的最小值 ；
（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
7．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
8．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸相交于點(diǎn)C，直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)C的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M也是直線l上的動點(diǎn)，且△MAC為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
9．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使以A，N，M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請說明理由．
10．拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對稱軸．
（3）探究對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
11．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若M為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，使得△MBC為直角三角形，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）如圖1，P為直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)，PD∥y軸交BC于D點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E點(diǎn)．設(shè)m＝PD+DE，求m的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
12．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D是對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)E在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)Q在直線BC上方的拋物線上，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
13．已知如圖1，在以O(shè)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣1），連接AC，AO＝2CO，直線l過點(diǎn)G（0，t）且平行于x軸，t＜﹣1．
（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；
（2）若D（﹣4，m）為拋物線y＝x2+bx+c上一定點(diǎn)，點(diǎn)D到直線l的距離記為d，當(dāng)d＝DO時(shí)，求t的值．
（3）如圖2，若E（﹣4，m）為上述拋物線上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF是直角三角形，若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在說明理由．
14．如圖①，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于O、A兩點(diǎn)，直線y＝﹣x+3與y軸交于B點(diǎn)，與該拋物線交于A，D兩點(diǎn)，已知點(diǎn)D橫坐標(biāo)為﹣1．（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖①，在線段OA上有一動點(diǎn)H（不與O、A重合），過H作x軸的垂線分別交AB于P點(diǎn)，交拋物線于Q點(diǎn)，若x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，請求出H點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖②，在拋物線上是否存在點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
15．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA＝OC＝3，頂點(diǎn)為D．
（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；
（2））在AC下方的拋物線上有一點(diǎn)N，過點(diǎn)N作直線l∥y軸，交AC與點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N坐標(biāo)為多少時(shí)，線段MN的長度最大？最大是多少？
（3）在對稱軸上有一點(diǎn)K，在拋物線上有一點(diǎn)L，若使A，B，K，L為頂點(diǎn)形成平行四邊形，求出K，L點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使△ADE為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
16．如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，請問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
17．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C（3，1），二次函數(shù)y＝x2+bx﹣的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x軸正方向平移，當(dāng)點(diǎn)B落在拋物線上時(shí)，求△ABC掃過區(qū)域的面積；
（3）在拋物線上是否存在異于點(diǎn)C的點(diǎn)P，使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？如果存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
18．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x＝．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ，當(dāng)線段PQ長度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；
（3）點(diǎn)N坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)M在拋物線上，且∠NBM＝45°，直接寫出點(diǎn)M坐標(biāo)；
（4）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
19．如圖，已知直線y＝3x﹣3分別交x軸，y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)（與A點(diǎn)不重合）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上求一點(diǎn)P，使△ABP的周長最小，并求出最小周長和P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
20．如圖，已知直線y＝3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過A，B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）在拋物線上求一點(diǎn)Q，使得△ACQ為以AC為底邊的等腰三角形，并寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）除（3）中所求的Q點(diǎn)外，在拋物線上是否還存在其它的點(diǎn)Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點(diǎn)Q（要求簡要說明理由，但不證明）；若不存在這樣的點(diǎn)Q，請說明理由．
21．如圖，拋物線交x軸于A（﹣2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），連接AC，BC．M為線段OB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M（m，0），請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？
（3）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
22．如圖，拋物線y＝ax2+x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y＝﹣x﹣2經(jīng)過點(diǎn)A，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)△PCM是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)B'，則平面內(nèi)存在直線l，使點(diǎn)M，B，B′到該直線的距離都相等．當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)的拋物線上，且與點(diǎn)B不重合時(shí)，請直接寫出直線l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
23．如圖，直線y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y 軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）如圖①，連接BC，在y軸上存在一點(diǎn)D，使得△BCD是以BC為底的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖②，在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使△EAC是以AC為底的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖③，連接BC，在直線AC上是否存在點(diǎn)F，使△BCF是以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）如圖④，若拋物線的頂點(diǎn)為H，連接AH，在x軸上是否存在一點(diǎn)K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（5）如圖⑤，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

模型介紹
一、如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,3），在x軸上取點(diǎn)C使得△ABC是等腰三角形．
【幾何法】“兩圓一線”得坐標(biāo)
（1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC；
（2）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB．
【注意】若有三點(diǎn)共線的情況，則需排除．
作圖并不難，問題是還需要把各個點(diǎn)坐標(biāo)算出來，可通過勾股或者三角函數(shù)來求．
同理可求，下求．
顯然垂直平分線這個條件并不太適合這個題目，如果A、B均往下移一個單位，當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,2）時(shí)，可構(gòu)造直角三角形勾股解：
而對于本題的，或許代數(shù)法更好用一些．
【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等
（1）表示點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），又A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1）、B點(diǎn)坐標(biāo)（4,3），
（2）表示線段：，
（3）分類討論：根據(jù)，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐標(biāo)為．
小結(jié)
幾何法：（1）“兩圓一線”作出點(diǎn)；
（2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長，由線段長得點(diǎn)坐標(biāo)．
代數(shù)法：（1）表示出三個點(diǎn)坐標(biāo)A、B、C； （2）由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AC、BC；
（3）根據(jù)題意要求?、貯B=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解．
問題總結(jié)：
（1）兩定一動：動點(diǎn)可在直線上、拋物線上；
（2）一定兩動：兩動點(diǎn)必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長度列方程求解；
（3）三動點(diǎn)：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口．
二、【問題描述】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5,3），在x軸上找一點(diǎn)C使得△ABC是直角三角形，求點(diǎn)C坐標(biāo)．
【幾何法】兩線一圓得坐標(biāo)
（1）若∠A為直角，過點(diǎn)A作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；
（2）若∠B為直角，過點(diǎn)B作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；
（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C．（直徑所對的圓周角為直角）
重點(diǎn)還是如何求得點(diǎn)坐標(biāo)，求法相同，以為例：
【構(gòu)造三垂直】
求法相同，以為例：
構(gòu)造三垂直步驟：
第一步：過直角頂點(diǎn)作一條水平或豎直的直線；
第二步：過另外兩端點(diǎn)向該直線作垂線，即可得三垂直相似．
例題精講
考點(diǎn)一：二次函數(shù)中的直角三角形存在性問題
【例1】．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）直線l過點(diǎn)A與拋物線交于點(diǎn)P，當(dāng)∠PAB＝45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）設(shè)y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：
（﹣1﹣2）2+k＝0，
解得：k＝﹣9，
∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，
答：拋物線的解析式為y＝x2﹣4x﹣5；
（2）過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖：
設(shè)P（m，m2﹣4m﹣5），則PM＝|m2﹣4m﹣5|，
∵A（﹣1，0），
∴AM＝m+1
∵∠PAB＝45°
∴AM＝PM，
∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，
即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），
當(dāng)m2﹣4m﹣5＝m+1時(shí)，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合題意，舍去），
當(dāng)m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合題意，舍去），
∴P的坐標(biāo)是（6，7）或P（4，﹣5）；
（3）在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：
在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，
∴B（5，0），C（0，﹣5），
由拋物線y＝x2﹣4x﹣5的對稱軸為直線x＝2，設(shè)Q（2，t），
∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，
當(dāng)BC為斜邊時(shí)，BQ2+CQ2＝BC2，
∴9+t2+4+（t+5）2＝50，
解得t＝﹣6或t＝1，
∴此時(shí)Q坐標(biāo)為（2，﹣6）或（2，1）；
當(dāng)BQ為斜邊時(shí)，BC2+CQ2＝BQ2，
∴50+4+（t+5）2＝9+t2，
解得t＝﹣7，
∴此時(shí)Q坐標(biāo)為（2，﹣7）；
當(dāng)CQ為斜邊時(shí)，BC2+BQ2＝CQ2，
∴50+9+t2＝4+（t+5）2，
解得t＝3，
∴此時(shí)Q坐標(biāo)為（2，3）；
綜上所述，Q的坐標(biāo)為（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．
?變式訓(xùn)練
【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D是直線AC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE垂直于y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（﹣1，0），
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+3x+4；
（2）連接OD，由題意知，四邊形OFDE是矩形，則OD＝EF，據(jù)垂線段最短，可知：
當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短．
由（1）知，在Rt△AOC中，OC＝OA＝4，
∴AC＝4．
又∵D為AC的中點(diǎn)．
∴DF∥OC，
∴DF＝OC＝2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）；
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+3m+4）．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），
∴AP2＝（m﹣4）2+（﹣m2+3m+4﹣0）2＝m4﹣6m3+2m2+16m+32，CP2＝（m﹣0）2+（﹣m2+3m+4﹣4）2＝m4﹣6m3+10m2，AC2＝（0﹣4）2+（4﹣0）2＝32．
分兩種情況考慮，
①當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，AP2＝CP2+AC2，
即m4﹣6m3+2m2+16m+32＝m4﹣6m3+10m2+32，
整理得：m2﹣2m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6）；
②當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，CP2+AP2＝AC2，
即m4﹣6m3+10m2+m4﹣6m3+2m2+16m+32＝32，
整理得：m（m3﹣6m2+6m+8）＝0，
∴m（m﹣4）（m2﹣2m﹣2）＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝4（舍去），（舍去），，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+，3+）．
綜上所述，假設(shè)成立，
即存在點(diǎn)P（2，6）或（1+，3+），使得△ACP是直角三角形．
考點(diǎn)二：二次函數(shù)中的等腰三角形存在性問題
【例2】．如圖，拋物線y＝﹣x2+5x+n經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：（1）由題意得，﹣1+5+n＝0，
解得，n＝﹣4，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x﹣4；
（2）y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+，
拋物線對稱軸為：x＝，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （，）；
（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣4），
∴OA＝1，OB＝4，
在Rt△OAB中，AB＝＝，
①當(dāng)PB＝BA時(shí)，PB＝，
∴OP＝PB﹣OB＝﹣4，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣4），
②當(dāng)PA＝AB時(shí)，OP＝OB＝4
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）．
?變式訓(xùn)練
【變2-1】．如圖．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸的一個交點(diǎn)為A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P．使得△PAB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）把點(diǎn)A（4，0）代入二次函數(shù)有：
0＝﹣16+4b+3
得：b＝
所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y＝﹣x2+x+3．
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．
（2）如圖：
作AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，連接BP，
則：BP＝AP
設(shè)BP＝AP＝x，則OP＝4﹣x，
在直角△OBP中，BP2＝OB2+OP2
即：x2＝32+（4﹣x）2
解得：x＝
∴OP＝4﹣＝
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，0）
綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．
【變2-2】．如圖，拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸左側(cè)且位于x軸下方拋物線上一動點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m．
（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段BD（點(diǎn)D是點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)），求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)D是否在拋物線上；
（3）過點(diǎn)P作PM⊥x軸交直線BD于點(diǎn)M，試探究是否存在點(diǎn)P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)m的值；若不存在，說明理由．
解：（1）把點(diǎn)A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入解析式y(tǒng)＝ax2+4x+c，
得，
解得，
∴y＝x2+4x﹣1；
（2）如圖，作AC⊥y軸于點(diǎn)C，作DH⊥y軸于點(diǎn)H，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠HBD+∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠HBD，
在△ABC和△DBH中，
，
∴△ABC≌△BDH（AAS），
∴HB＝AC＝3，DH＝BC＝3，
∴OH＝2，
∴D（﹣3，2），
把D（﹣3，2）代入y＝x2+4x﹣1中，
得（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1＝﹣4≠2，
∴點(diǎn)D不在拋物線上；
（3）存在點(diǎn)P，
∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），
∴直線BD的解析式為y＝﹣x﹣1，
設(shè)P（m，m2+4m﹣1），則M（m，﹣m﹣1），
由（2）知：∠BMP＝45°，
當(dāng)△PBM是等腰三角形，且45°為底角時(shí)，
有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，
若∠MBP＝90°，則P與A重合，即m＝﹣3，
若∠MPB＝90°，則PB∥x軸，即P的縱坐標(biāo)為﹣1，
∴m2+4m﹣1＝﹣1，
解得m＝0（舍）或m＝﹣4，
∴m＝﹣4，
若45°為頂角，
即MP＝MB，
∵M(jìn)P＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB＝﹣＝﹣，
∴﹣m2﹣5m＝﹣m，
解得m＝0（舍）或m＝﹣5+，
∴m的值為﹣3，﹣4，﹣5．

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），連接AC，點(diǎn)P為第二象限拋物線上的動點(diǎn)．
（1）求a、b、c的值；
（2）連接PA、PC、AC，求△PAC面積的最大值；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QAC為直角三角形，若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)
∴，
解得：
∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；
（2）如圖1，
過點(diǎn)P作PE∥y軸，交AC于E，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴直線AC的解析式為y＝x+3，
由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2﹣2m+3），則E（m，m+3），
∴S△ACP＝PE?（xC﹣xA）＝×[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）＝﹣（m2﹣3m）＝﹣（m+）2+，
∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，S△PAC最大＝；
（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
如圖2，∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴拋物線對稱軸為x＝﹣1，
設(shè)點(diǎn)Q（﹣1，n），
則AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，
∵△QAC為直角三角形，
∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，
①當(dāng)∠CAQ＝90°時(shí)，根據(jù)勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，
∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，
解得：n＝﹣2，
∴Q1（﹣1，﹣2）；
②當(dāng)∠ACQ＝90°時(shí)，根據(jù)勾股定理，得：CQ2+AC2＝AQ2，
∴n2﹣6n+10+18＝n2+4，
解得：n＝4，
∴Q2（﹣1，4）；
③當(dāng)∠AQC＝90°時(shí)，根據(jù)勾股定理，得：CQ2+AQ2＝AC2，
∴n2﹣6n+10+n2+4＝18，
解得：n1＝，n2＝，
∴Q3（﹣1，），Q4（﹣1，）；
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
2．已知拋物線y＝﹣x2﹣x的圖象如圖所示：
（1）將該拋物線向上平移2個單位，分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，則平移后的解析式為 y＝﹣x2﹣x+2 ．
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．
（3）在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
解：（1）將該拋物線向上平移2個單位，得y＝﹣x2﹣x+2，
故答案為：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2﹣x+2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1，即B（﹣4，0），A（1，0）．
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，即C（0，2）．
AB＝1﹣（﹣4）＝5，AB2＝25，
AC2＝（1﹣0）2+（0﹣2）2＝5，BC2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2＝20，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）y＝﹣x2﹣x+2的對稱軸是直線x＝﹣，設(shè)P（﹣，n），
AP2＝（1+）2+n2＝+n2，CP2＝+（2﹣n）2，AC2＝12+22＝5
當(dāng)AP＝AC時(shí)，AP2＝AC2，+n2＝5，方程無解；
當(dāng)AP＝CP時(shí)，AP2＝CP2，+n2＝+（2﹣n）2，解得n＝0，即P1（﹣，0），
當(dāng)AC＝CP時(shí)AC2＝CP2，+（2﹣n）2＝5，解得n1＝2+，n2＝2﹣，P2（﹣，2+），P3（﹣，2﹣）．
綜上所述：使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣，0），（﹣，2+），（﹣，2﹣）．
3．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接AC，BD．
（1）求點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)F為拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，且△BEF與△AOC相似，請直接寫出符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△BDP是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）對于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，則y＝3，
故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），
則函數(shù)的對稱軸為直線x＝（6﹣2）＝2，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣x2+x+3＝4，即點(diǎn)D（2，4）；
（2）tan∠CAO＝，
當(dāng)△BEF與△AOC相似時(shí)，則，
即，
解得：EF＝6或，
故點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（2，6）或（2，﹣6）或或；
（3）存在，理由：
△BDP是直角三角形只要可能是∠DBP和∠BDP為直角，
①當(dāng)∠DBP為直角時(shí)，
過點(diǎn)B作y軸的平行線，交過點(diǎn)P與x軸的平行線于點(diǎn)H，交過點(diǎn)D與x軸的平行線于點(diǎn)G，
∵DG＝BG＝4，則△BDG為等腰三角形，∠DBG＝45°，
則∠PBH＝45°，即△PBH為等腰直角三角形，
則設(shè)PH＝BH＝m，則點(diǎn)P（6﹣m，﹣m），
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：﹣m＝﹣（6﹣m）2+（6﹣m）+3，
解得：m＝0（舍去）或12，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣6，﹣12）；
②當(dāng)∠BDP為直角時(shí)，
∵AD＝BD＝3，AB＝64，
則△ABD為等腰直角三角形，即∠ADB＝90°，
即點(diǎn)P于點(diǎn)A重合，
故點(diǎn)P（﹣2，0）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（﹣6，﹣12）．
4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）拋物線與直線y＝﹣x﹣1交于A、E兩點(diǎn)，P是x軸上點(diǎn)B左側(cè)一動點(diǎn)，當(dāng)以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若F是直線BC上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在動點(diǎn)M，使△MBF為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；否則說明理由．
解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）聯(lián)立直線AE和拋物線的函數(shù)關(guān)系式成方程組，
得：，
解得：，，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，﹣5），
∴AE＝＝5，
在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∵C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠CBO＝45°，BC＝3，
∵直線AE的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x﹣1，
∴∠BAE＝45°＝∠CBO．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則PB＝3﹣m，
∵以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，
∴＝或＝，
∴＝或＝，
解得：m＝或m＝﹣，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（﹣，0）；
（3）∵∠CBO＝45°，
∴存在兩種情況（如圖2）．
①取點(diǎn)M1與點(diǎn)A重合，過點(diǎn)M1作M1F1∥y軸，交直線BC于點(diǎn)F1，
∵∠CBM1＝45°，∠BM1F1＝90°，
∴此時(shí)△BM1F1為等腰直角三角形，
∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（﹣1，0）；
②取點(diǎn)C′（0，﹣3），連接BC′，延長BC′交拋物線于點(diǎn)M2，過點(diǎn)M2作M2F2∥y軸，交直線BC于點(diǎn)F2，
∵點(diǎn)C、C′關(guān)于x軸對稱，∠OBC＝45°，
∴∠CBC′＝90°，BC＝BC′，
∴△CBC′為等腰直角三角形，
∵M(jìn)2F2∥y軸，
∴△M2BF2為等腰直角三角形．
∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C′（0，﹣3），
∴直線BC′的函數(shù)關(guān)系式為y＝x﹣3，
聯(lián)立直線BC′和拋物線的函數(shù)關(guān)系式成方程組，得：，
解得：，，
∴點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（﹣2，﹣5），
綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（﹣2，﹣5）．

5．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且BO＝OC＝3AO．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3，
∴c＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵BO＝OC＝3AO，
∴BO＝3，AO＝1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
∵該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
（2）存在，
理由：設(shè)P（1，m），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC＝3，PB＝，PC＝，
∵△PBC是等腰三角形，
①當(dāng)PB＝PC時(shí)，
∴＝，
∴m＝﹣1，
∴P（1，﹣1），
②當(dāng)PB＝BC時(shí)，
∴3＝，
∴m＝±，
∴P（1，）或P（1，﹣），
③當(dāng)PC＝BC時(shí)，
∴3＝，
∴m＝﹣3±，
∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），
∴符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）．
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M是線段BC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC上一點(diǎn)，當(dāng)△MBC的面積最大時(shí)，求：
①點(diǎn)M的坐標(biāo)，說明理由；
②MN+BN的最小值 ；
（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵∠ABC＝45°，
∴OB＝OC，
∵OA：OB＝1：3，AB＝4，
∴OA＝1，OB＝3，
∴OC＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
將A、B、C代入y＝ax2+bx+c中，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）①設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
過點(diǎn)M作MG∥y軸交BC于點(diǎn)G，
設(shè)M（t，﹣t2+2t+3），則G（t，﹣t+3），
∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴S△MBC＝×3×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，
∵0＜t＜3，
∴當(dāng)t＝時(shí)，S△MBC有最大值，
此時(shí)M（，）；
②過點(diǎn)M作MH⊥x軸交于H，交BC于N，
∵∠OBC＝45°，
∴NH＝BN，
∴MN+BN＝MN+NH≥MH，
∵M(jìn)（，），
∴MH＝，
∴MN+BN的最小值為，
故答案為：；
（3）存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，理由如下：
設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），
如圖2，當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，
過點(diǎn)C作EF∥x軸，過點(diǎn)A作AE⊥EF交于E，過點(diǎn)P作PF⊥EF交于F，
∴∠ECA+∠FCP＝90°，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠FCP＝∠EAC，
∴△ACE∽△CPF，
∴＝，
∴＝，
解得m＝0（舍）或m＝，
∴P（，）；
如圖3，當(dāng)∠CAP＝90°時(shí)，過點(diǎn)A作MN⊥x軸，過點(diǎn)C作CM⊥MN交于M，過點(diǎn)P作PN⊥MN交于N，
∵∠MAC+∠NAP＝90°，∠MAC+∠MCA＝90°，
∴∠NAP＝∠MCA，
∴△ACM∽△PAN，
∴＝，
∴＝，
解得m＝﹣1（舍）或m＝，
∴P（，﹣）；
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，﹣）．
7．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）將A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，
∴，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為：；
（2）存在點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，理由如下：
令x＝0，則y＝4，
∴點(diǎn)C（0，4），
∵A（﹣3，0）、C（0，4），
∴AC＝5，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+4，
設(shè)點(diǎn)M（m，0），則點(diǎn)Q（m，﹣m+4），
①當(dāng)AC＝CQ時(shí)，過點(diǎn)Q作QE⊥y軸于點(diǎn)E，連接AQ，
∵CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，
解得：舍去負(fù)值），
∴點(diǎn)；
②當(dāng)AC＝AQ時(shí)，則AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，
解得：m＝1或m＝0（舍去0），
∴點(diǎn)Q（1，3）；
③當(dāng)CQ＝AQ時(shí)，則2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：舍去）；
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，3）或．
8．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸相交于點(diǎn)C，直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)C的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M也是直線l上的動點(diǎn)，且△MAC為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解：∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
（2）如圖1，∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對稱，
∴連接BC交直線l于點(diǎn)P，
由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
∴直線l：x＝1，C（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2，
∴P（1，﹣2），
（3）設(shè)點(diǎn)M（1，m），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC2＝10，AM2＝m2+4，CM2＝（m+3）2+1＝m2+6m+10，
∵△MAC為直角三角形，
∴當(dāng)∠ACM＝90°時(shí)，∴AC2+CM2＝AM2，
∴10+m2+6m+10＝m2+4，
∴m＝﹣，
∴M（1，﹣）
當(dāng)∠CAM＝90°時(shí)，∴AC2+AM2＝CM2，
∴10+m2+4＝m2+6m+10，
∴m＝，
∴M（1，）
當(dāng)∠AMC＝90°時(shí)，AM2+CM2＝AC2，
∴m2+4+m2+6m+10＝10，
∴m＝﹣1或m＝﹣2，
∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），
即：滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，﹣2）．
9．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使以A，N，M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請說明理由．
解：（1）由拋物線y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0）及C（2，3）得，
解得，
故拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3．
設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+n，將A（﹣1，0）、C（2，3）分別代入y＝kx+n中可得
解得，
故直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+1．
（2）存在，理由：由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為x＝1，設(shè)點(diǎn)M（1，m），
∵A（﹣1，0），M（1，m），N（0，3），
∴AM2＝（1+1）2+m2＝4+m2，同理AN2＝10，MN2＝1+（m﹣3）2．
當(dāng)AM是斜邊時(shí)，則4+m2＝10+1+（m﹣3）2，
解得；
當(dāng)AN是斜邊時(shí)，4+m2+1+（m﹣3）2＝10，
解得：m＝1或2；
當(dāng)MN是斜邊時(shí)，4+m2+10＝1+（m﹣3）2，
解得：．
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為或（1，1）或（1，2）或．
10．拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對稱軸．
（3）探究對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），
∴，解得，
即此拋物線的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，﹣4），對稱軸是直線x＝1；
（3）存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，y），
當(dāng)PA＝PD時(shí)，則＝，
解得y＝﹣，
當(dāng)DA＝DP時(shí)，則＝，
解得y＝﹣4±2，
當(dāng)AD＝AP時(shí)，則＝，
解得，y＝±4（舍去﹣4），
由上可得，以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+2）或（1，4）．
11．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若M為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，使得△MBC為直角三角形，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）如圖1，P為直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)，PD∥y軸交BC于D點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E點(diǎn)．設(shè)m＝PD+DE，求m的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)代入解析式y(tǒng)＝ax2+bx+3，得，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．
（2）如圖，當(dāng)∠MCB＝90°時(shí)，延長MC交x軸于點(diǎn)G，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，AB＝3﹣（﹣1）＝4
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠MCB＝90°，
∴∠GCB＝90°，∠GCO＝45°，
∴∠GCO＝∠CGO＝45°，
∴OG＝OC＝3，
∴G（﹣3，0），
設(shè)直線GC的解析式為y＝kx+3，
∴0＝﹣3k+3，
解得k＝1，
∴直線GC的解析式為y＝x+3，
∴x＝1時(shí)，y＝x+3＝4，
此時(shí)M（1，4）；
如圖，當(dāng)∠MBC＝90°時(shí)，延長BM交y軸于點(diǎn)H，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠MBC＝90°，
∴∠HBO＝45°，
∴∠HBO＝∠BHO＝45°，
∴OH＝OB＝3，
∴H（0，﹣3），
設(shè)直線BH的解析式為y＝px﹣3，
∴0＝3p﹣3，
解得p＝1，
∴直線BH的解析式為y＝x﹣3，
∴x＝1時(shí)，y＝x﹣3＝﹣2，
此時(shí)M（1，﹣2）；
當(dāng)∠CMB＝90°時(shí)，設(shè)M（1，a），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴BC2＝32+32＝18，MC2＝1+（a﹣3）2，BM2＝4+a2，
∵∠CMB＝90°，
∴BC2＝MC2+BM2，
∴18＝1+（a﹣3）2+4+a2，
整理，得a2﹣3a﹣2＝0，
解得，
此時(shí)或；
綜上所述，點(diǎn)M（1，4）或點(diǎn)M（1，﹣2）或點(diǎn)或點(diǎn)．
（3）如圖，設(shè)PD與x軸的交點(diǎn)為F，點(diǎn)P（n，﹣n2+2n+3），
∵B（3，0），C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝qx+3，
∴0＝3q+3，
解得q＝﹣1，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
∴D（n，﹣n+3），
∴PD＝﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝﹣n2+3n；
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴，
∴，
連接AD，
∴，
∵S△ADC＝S△ABC﹣S△ADB，AB＝3﹣（﹣1）＝4
∴，
∴，
∴
∵拋物線開口向下，
∴m有最大值，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，且為，
此時(shí)，
故點(diǎn)．
12．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D是對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)E在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)Q在直線BC上方的拋物線上，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵點(diǎn)B（5，0），C（0，5）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，
∴，解得，，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x+5；
（2）設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M′，連接MM′，BM′，
則直線FM′為拋物線對稱軸關(guān)于直線BC的對稱直線，
∵點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，點(diǎn)E落在拋物線上，
∴直線FM′與拋物線的交點(diǎn)E1，E2為D1，D2落在拋物線上的對稱點(diǎn)，
∵對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)F，
∴，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∴△MBF是等腰直角三角形，
∴MB＝MF，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（2，3），
∵點(diǎn)M關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M′，
∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°，
∴△MBM′是等腰直角三角形，
∴BM′＝BM＝3，
∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（5，3），
∴FM′∥x軸，
∴﹣x2+4x+5＝3，解得，x1＝，x2＝，
∴E1（，3），E2（，3），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，3）或（，3）；
（3）存在，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．
設(shè)Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），
①當(dāng)OP＝PQ，∠OPQ＝90°時(shí)，作PL⊥y軸于L，過Q作QK⊥x軸，交PL于K，
∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°，
∴∠LOP＝∠KPQ，
∵OP＝PQ，
∴△LOP≌△KPQ（AAS），
∴LO＝PK，LP＝QK，
∴，
解得m1＝，m2＝（舍去），
當(dāng)m1＝時(shí)，﹣m2+4m+5＝，
∴Q（，）；
②當(dāng)QO＝PQ，∠PQO＝90°時(shí)，作PL⊥y軸于L，過Q作QK⊥x軸于T，交PL于K，
同理可得△PKQ≌△QTO（AAS），
∴QT＝PK，TO＝QK，
∴，
解得m1＝，m2＝（舍去），
當(dāng)m1＝時(shí)，﹣m2+4m+5＝，
∴Q（，）；
③當(dāng)QO＝OP，∠POQ＝90°時(shí)，作PL⊥y軸于L，過Q作QK⊥x軸于T，交PL于K，
同理可得△OLP≌△QSO（AAS），
∴SQ＝OL，SO＝LP，
∴，
解得m1＝2+，m2＝2﹣（舍去），
當(dāng)m1＝2+時(shí)，﹣m2+4m+5＝2，
∴Q（，2）；
綜上，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．
13．已知如圖1，在以O(shè)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣1），連接AC，AO＝2CO，直線l過點(diǎn)G（0，t）且平行于x軸，t＜﹣1．
（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；
（2）若D（﹣4，m）為拋物線y＝x2+bx+c上一定點(diǎn)，點(diǎn)D到直線l的距離記為d，當(dāng)d＝DO時(shí)，求t的值．
（3）如圖2，若E（﹣4，m）為上述拋物線上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF是直角三角形，若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在說明理由．
解：（1）∵C（0，﹣1），
∴y＝x2+bx﹣1，
又∵AO＝2OC，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣2，0），
代入得：1﹣2b﹣1＝0，
解得：b＝0，
∴解析式為：y＝x2﹣1；
（2）∵D（﹣4，m）為拋物線y＝x2﹣1上一定點(diǎn)，
∴m＝×16﹣1＝3，
∴D（﹣4，3），
∴OD＝＝5，
∴d＝5，
∴t＝﹣（5﹣3）＝﹣2；
（3）點(diǎn)E（﹣4，m）在拋物線y＝x2﹣1的上，
∴m＝3，
∴E（﹣4，3），
∵B（2，0），
∴直線BE為y＝﹣x+1，
①如圖1，當(dāng)B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，則BF⊥BE，
∴直線BF的斜率為2，
設(shè)直線BF的解析式為y＝2x+n，
把B（2，0）代入得2×2+n＝0，
∴n＝﹣4，
∴直線BF的解析式為y＝2x﹣4，
解得或，
∴F（6，8）；
②當(dāng)F點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，
設(shè)BE的平行線y＝﹣x+b與拋物線有且只有一個交點(diǎn)P，
∴﹣x+b＝x2﹣1，
整理得x2+2x﹣4b﹣4＝0，
∴△＝4+4（4b+4）＝0，
解得b＝﹣，
∴平行線為y＝﹣﹣，
∴x2+2x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴y＝﹣，
∴平行線與拋物線的交點(diǎn)P為（﹣1，﹣），
∵B（2，0），E（﹣4，3），
∴BE＝＝3，
∴BE的中點(diǎn)Q為（﹣1，），
∴QP＝+＝＜＝BE，
∴此種情況不存在，
③當(dāng)E點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖2，
設(shè)點(diǎn)F（n，n2﹣1），
而點(diǎn)E（﹣4，3），B（2，0），
過點(diǎn)E作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)N，交過點(diǎn)F與x軸的平行線于點(diǎn)M，
則∠EBN＝∠MEF，
則tan∠EBN＝tan∠MEF，即，
∴，
解得：n＝﹣4（舍去）或12，
故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（12，35）；
故在拋物線上存在點(diǎn)F，使得△BEF是直角三角形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，8）或（12，35）．
14．如圖①，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于O、A兩點(diǎn)，直線y＝﹣x+3與y軸交于B點(diǎn)，與該拋物線交于A，D兩點(diǎn)，已知點(diǎn)D橫坐標(biāo)為﹣1．（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖①，在線段OA上有一動點(diǎn)H（不與O、A重合），過H作x軸的垂線分別交AB于P點(diǎn)，交拋物線于Q點(diǎn)，若x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，請求出H點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖②，在拋物線上是否存在點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（1）解：y＝﹣x+3，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
∴B（0，3），
把x＝﹣1代入y＝﹣x+3得：y＝4，
∴D（﹣1，4），
當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣x+3，
∴x＝3，
∴A（3，0），
∵拋物線過A（3，0），O（0，0），
把D（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c＝a（x﹣0）（x﹣3）得：4＝a（﹣1﹣0）（﹣1﹣3），
∴a＝1，
∴y＝（x﹣0）（x﹣3），
即拋物線的解析式是y＝x2﹣3x．
（2）解：設(shè)H（x，0），
則P（x，﹣x+3），Q（x，x2﹣3x），
∴PH＝﹣x+3，QH＝3x﹣x2，
∵x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，
∴＝或＝2，
即＝或＝2，
解得：x1＝2，x2＝3（舍去），x3＝3（舍去），x4＝，
∴H點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）或（，0）．
（3）解：分為三種情況：
①若∠BAC＝90°，設(shè)C（x，x2﹣3x），
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°，
∴∠OAC＝45°，
∴tan∠OAC＝1，
∴＝1，
解得：x1＝1，x2＝3（舍去），
∴C（1，﹣2）；
②若∠ABC＝90°時(shí)，
∵∠OBA＝45°，
∴∠OBC＝45°，
設(shè)直線BC交于x軸于E，其解析式是y＝kx+3，
∴OE＝OB＝3，
∴E（﹣3，0），
代入得：0＝﹣3k+3，
∴k＝1，
∴y＝x+3，
解方程組得：，，
∴C（2+，5+）或（2﹣，5﹣）；
③若∠ACB＝90°時(shí)，設(shè)C（n，k），
AC2+BC2＝AB2，
即（n﹣3）2+k2+n2+（k﹣3）2＝18，
n2﹣3n+k2﹣3k＝0，
∵k＝n2﹣3n，
代入求出k1＝0，k2＝2，
∴n2﹣3n＝0，n2﹣3n＝2，
解得：n1＝0，n2＝3（舍去），n3＝，n4＝，
∴C（0，0）或（，2）或（，2），
綜合上述：存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，﹣2）或（2+，5+）或（2﹣，5﹣）或（0，0）或（，2）或（，2）．
15．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA＝OC＝3，頂點(diǎn)為D．
（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；
（2））在AC下方的拋物線上有一點(diǎn)N，過點(diǎn)N作直線l∥y軸，交AC與點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N坐標(biāo)為多少時(shí)，線段MN的長度最大？最大是多少？
（3）在對稱軸上有一點(diǎn)K，在拋物線上有一點(diǎn)L，若使A，B，K，L為頂點(diǎn)形成平行四邊形，求出K，L點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使△ADE為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴將其分別代入拋物線解析式，得，
解得．
故此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2+2x﹣3；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+t，
將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，
解得，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，
設(shè)N的坐標(biāo)為（n，n2+2n﹣3），則M（n，﹣n﹣3），
∴MN＝﹣n﹣3﹣（n2+2n﹣3）＝﹣n2﹣3n＝﹣（n+）2+，
把n＝﹣代入拋物線得，N的坐標(biāo)為（﹣，﹣），
當(dāng)N的坐標(biāo)為（﹣，﹣），MN有最大值；
（3）①當(dāng)以AB為對角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，
∴KL必過（﹣1，0），
∴L必在拋物線上的頂點(diǎn)D處，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴L（﹣1，﹣4），K（﹣1，4）
②當(dāng)以AB為邊時(shí)，AB＝KL＝4，
∵K在對稱軸上x＝﹣1，
∴L的橫坐標(biāo)為3或﹣5，
代入拋物線得L（﹣5，12）或L（3，12），此時(shí)K都為（﹣1，12），
綜上，K（﹣1，4），L（﹣1，﹣4）或K（﹣1，12），L（﹣5，12）或K（﹣1，12），L（3，12）；
（4）存在，
∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），
∴AD2＝（﹣3+1）2+（0+4）2＝20，
設(shè)E（0，m），則AE2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣m）2＝9+m2，DE2＝（﹣1﹣0）2+（﹣4﹣m）2＝17+m2+8m，
①AE為斜邊，由AE2＝AD2+DE2得：9+m2＝20+17+m2+8m，
解得：m＝，
②DE為斜邊，由DE2＝AD2+AE2得：9+m2+20＝17+m2+8m，
解得：m＝，
③AD為斜邊，由AD2＝ED2+AE2得：20＝17+m2+8m+9+m2，
解得：m＝﹣1或﹣3，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
16．如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，請問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），
∴，
解得：．
∴所求拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在，如圖1，
∵拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴其對稱軸為，
∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，a），
∴C（0，3），M（﹣1，0），
PM2＝a2，CM2＝（﹣1）2+32，CP2＝（﹣1）2+（3﹣a）2，
分類討論：
（1）當(dāng)PC＝PM時(shí)，
（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P1（﹣1，）；
（2）當(dāng)MC＝MP時(shí)，
（﹣1）2+32＝a2，解得，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：或；
（3）當(dāng)CM＝CP時(shí)，
（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，a＝0（舍），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P4（﹣1，6）．
綜上所述存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為或或P（﹣1，6）或．
（3）存在，Q（﹣1，2），
理由如下：如圖2，點(diǎn)C（0，3）關(guān)于對稱軸x＝﹣1的對稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（﹣2，3），連接AC′，直線AC′與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q．
設(shè)直線AC′函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+t（k≠0）．
將點(diǎn)A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，
解得，
所以，直線AC′函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x+1．
將x＝﹣1代入，得y＝2，即Q（﹣1，2）．
17．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C（3，1），二次函數(shù)y＝x2+bx﹣的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x軸正方向平移，當(dāng)點(diǎn)B落在拋物線上時(shí)，求△ABC掃過區(qū)域的面積；
（3）在拋物線上是否存在異于點(diǎn)C的點(diǎn)P，使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？如果存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
解：（1）∵點(diǎn)C（3，1）在二次函數(shù)的圖象上，
∴x2+bx﹣＝1，解得：b＝﹣，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x﹣
y＝x2﹣x﹣＝（x2﹣x+﹣）﹣＝（x﹣）2﹣
（2）作CK⊥x軸，垂足為K．
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AB＝AC．
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAK＝90°．
又∵∠CAK+∠ACK＝90°，
∴∠BAO＝∠ACK．
在△BAO和△ACK中，∠BOA＝∠AKC，∠BAO＝∠ACK，AB＝AC，
∴△BAO≌△ACK．
∴OA＝CK＝1，OB＝AK＝2．
∴A（1，0），B（0，2）．
∴當(dāng)點(diǎn)B平移到點(diǎn)D時(shí)，D（m，2），則2＝m2﹣m﹣，解得m＝﹣3（舍去）或m＝．
∴AB＝＝．
∴△ABC掃過區(qū)域的面積＝S四邊形ABDE+S△DEH＝×2+××＝9.5
（3）當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥y軸，垂足為G．
∵△APB為等腰直角三角形，
∴PB＝AB，∠PBA＝90°．
∴∠PBG+∠BAO＝90°．
又∵∠PBG+∠BPG＝90°，
∴∠BAO＝∠BPG．
在△BPG和△ABO中，∠BOA＝∠PGB，∠BAO＝∠BPG，AB＝PB，
∴△BPG≌△ABO．
∴PG＝OB＝2，AO＝BG＝1，
∴P（﹣2，1）．
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y≠1，
∴點(diǎn)P（﹣2，1）不在拋物線上．
當(dāng)∠PAB＝90°，過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F．
同理可知：△PAF≌△ABO，
∴FP＝OA＝1，AF＝OB＝2，
∴P（﹣1，﹣1）．
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣1，
∴點(diǎn)P（﹣1，﹣1）在拋物線上．
18．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x＝．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ，當(dāng)線段PQ長度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；
（3）點(diǎn)N坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)M在拋物線上，且∠NBM＝45°，直接寫出點(diǎn)M坐標(biāo)；
（4）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）將點(diǎn)A（1，0）代入y＝ax2+bx+4，
得a+b+4＝0，
∵對稱軸為直線x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣5a，
∴a﹣5a+4＝0，
∴a＝1，
∴b＝﹣5，
∴y＝x2﹣5x+4；
（2）令x＝0，則y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，則x2﹣5x+4＝0，
∴x＝4或x＝1，
∴A（1，0），B（4，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+4，
設(shè)P（t，﹣t+4），則Q（t，t2﹣5t+4），
∴PQ＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，PQ的長度最大，
∴P（2，2），Q（2，﹣2），
∴PQ＝4，OQ＝2，
∵CO＝4，
∴四邊形OCPQ是平行四邊形；
（3）∵OB＝OC＝4，
∴∠CBO＝45°，
∵∠NBM＝45°，
∴∠OBM＝∠CBN，
過點(diǎn)N作NF⊥BC于點(diǎn)F，
∵N（0，2），C（0，4），
∴CN＝2，
∴NF＝CF＝，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∴NB＝2，
∴BF＝3，
∴tan∠CBN＝，
∴tan∠OBG＝＝＝，
∴OG＝，
∴G（0，﹣），
設(shè)直線OM的解析式為y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣，
聯(lián)立方程組，
解得x＝4（舍）或x＝，
∴M（，﹣）；
過B點(diǎn)作BK⊥BG交y軸于點(diǎn)K，
此時(shí)∠NBK＝45°，
∴∠OKB＝∠OBG，
∵tan∠OBG＝＝＝＝，
∴OK＝12，
∴K（0，12），
設(shè)直線KB的解析式為y＝k1x+b1，
∴，
∴，
∴y＝﹣3x+12，
聯(lián)立方程組，
解得x＝4（舍）或x＝﹣2，
∴M（﹣2，18）；
綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，18）或（，﹣）；
（4）存在點(diǎn)F，使得△BEF為等腰三角形，理由如下：
過點(diǎn)Q作x軸的垂線，過點(diǎn)Q作QN⊥y軸交于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作y軸的垂線ME，
∵QM∥y軸，
∴∠ODQ＝∠MQD，
∵∠DQE＝2∠ODQ，
∴∠MQE＝∠ODQ，
∵C（0，4），D是OC的中點(diǎn)，
∴D（0，2），
∵Q（2，﹣2），
∴tan∠ODQ＝＝，
∴＝，
設(shè)E（m，m2﹣5m+4），
∴＝，
解得m＝2（舍）或m＝5，
∴E（5，4），
∴BE＝，
設(shè)F（0，y），
①當(dāng)BF＝BE時(shí)，＝，
∴y＝±1，
∴F（0，1）或（0，﹣1）；
②當(dāng)EF＝BE時(shí)，＝，
此時(shí)y無解；
③當(dāng)BF＝EF時(shí)，BE的中點(diǎn)T（，2），
∴BF＝＝，
∴y＝，
∴F（0，），
綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．
19．如圖，已知直線y＝3x﹣3分別交x軸，y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)（與A點(diǎn)不重合）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上求一點(diǎn)P，使△ABP的周長最小，并求出最小周長和P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解：（1）在y＝3x﹣3中，令y＝0求得x＝1，令x＝0可得y＝﹣3，
∴A（1，0），B（0，﹣3），
把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y＝x2+bx+c得：，
解得，
∴拋物線解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴拋物線的對稱軸為x＝﹣1，
∵A、C關(guān)于對稱軸對稱，且A（1，0），
∴MA＝MC，C（﹣3，0），
∴MB+MA＝MB+MC，
∴當(dāng)B、M、C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)MB+MC最小，此時(shí)△ABM的周長最小，
∴連接BC交對稱軸于點(diǎn)M，則M即為滿足條件的點(diǎn)，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，
∵直線BC過點(diǎn)B（0，﹣3），C（﹣3，0），
∴，
解得：，
∴直線BC的解析式y(tǒng)＝﹣x﹣3，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣2，
∴M（﹣1，﹣2），
∴存在點(diǎn)M使△ABM周長最短，其坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），最短周長為+＝3+；
（3）存在，理由如下：
拋物線的對稱軸為：x＝﹣1，假設(shè)存在M（﹣1，m）滿足題意：
討論：
①當(dāng)MA＝AB時(shí)，
∵OA＝1，OB＝3，
∴AB＝，
＝，
解得：m＝±，
∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；
②當(dāng)MB＝BA時(shí)，＝，
解得：M3＝0，M4＝﹣6，
∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（舍棄），
③當(dāng)MB＝MA時(shí)，＝，
解得：m＝﹣1，
∴M5（﹣1，﹣1），
答：共存在4個點(diǎn)M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M5（﹣1，﹣1）使△ABM為等腰三角形．
20．如圖，已知直線y＝3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過A，B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）在拋物線上求一點(diǎn)Q，使得△ACQ為以AC為底邊的等腰三角形，并寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）除（3）中所求的Q點(diǎn)外，在拋物線上是否還存在其它的點(diǎn)Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點(diǎn)Q（要求簡要說明理由，但不證明）；若不存在這樣的點(diǎn)Q，請說明理由．
解：（1）令x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
令y＝0得：3x+3＝0，解得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．
（2）拋物線的對稱軸方程為x＝﹣＝1．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，a）．
當(dāng)AB＝AP時(shí)，＝，整理得：10＝4+a2，解得a＝±
∴P（1，）或（1，﹣）．
當(dāng)BA＝BP時(shí)，＝，整理得：10＝1+（3﹣a）2，解得：a＝0或a＝6（舍去），
∴P（1，0）．
當(dāng)AP＝BP時(shí)，＝，整理得：6a＝6，解得a＝1，
∴P（1，1）．
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1，）或（1，﹣）或P（1，0）或P（1，1）．
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在AC的垂直平分線上時(shí)，則QA＝QC．
由拋物線的對稱性可知：此時(shí)點(diǎn)Q為拋物線的頂點(diǎn)．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴Q（1，4）．
（4）當(dāng)QA＝QC時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q．
如圖所示：以A為圓心，以AC長為半徑作⊙A，⊙A交拋物線于Q1、Q2、Q3，以C為圓心，AC長為半徑作⊙C，交拋物線于點(diǎn)Q4、Q5、Q6．
由圓的性質(zhì)可知：△ACQ1、△ACQ2、△ACQ3、△ACQ4、△ACQ5、△ACQ6均為等腰三角形．
∴符合題意的點(diǎn)Q共有6個．
21．如圖，拋物線交x軸于A（﹣2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），連接AC，BC．M為線段OB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M（m，0），請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？
（3）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+2）?（x﹣3），
∴a?2×（﹣3）＝3，
∴a＝﹣，
∴拋物線的關(guān)系式是y＝﹣（x+2）?（x﹣3）＝﹣x2++3；
（2）∵B（3，0），C（0，3），
∴直線BC的表達(dá)式是y＝﹣x+3，
∴Q（m，﹣m+3），
∴QM＝﹣m+3，
∵P（m，﹣），
∴PM＝﹣，
∴PQ＝PM﹣QM＝﹣，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵QM∥OC，
∴∠PQN＝∠OCB＝45°，
∴PN＝PQ?sin∠PQN＝（﹣）
＝﹣（m﹣）2+，
∴當(dāng)m＝時(shí)，PN最大＝；
（3）設(shè)Q（m，﹣m+3），
AC2＝22+32＝13，
AQ2＝（m+2）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣2m+13，
CQ2＝m2+m2＝2m2，
當(dāng)AQ＝AC時(shí)，
2m2﹣2m+13＝13，
∴m1＝0（舍去），m2＝1，
∴Q1（1，2），
當(dāng)AC＝CQ時(shí)，
2m2＝13，
∴m3＝，m4＝﹣（舍去），
∴Q2（，3﹣），
當(dāng)AQ＝CQ時(shí)，
2m2﹣2m+13＝2m2，
∴m＝＞3，故舍去，
綜上所述，Q（1，2）或（，3﹣）．
22．如圖，拋物線y＝ax2+x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y＝﹣x﹣2經(jīng)過點(diǎn)A，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)△PCM是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)B'，則平面內(nèi)存在直線l，使點(diǎn)M，B，B′到該直線的距離都相等．當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)的拋物線上，且與點(diǎn)B不重合時(shí)，請直接寫出直線l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x﹣2＝﹣2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2）；
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x﹣2＝0，
解得：x＝﹣4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0）．
將A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+x+c，得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣2．
（2）①∵PM⊥x軸，
∴∠PMC≠90°，
∴分兩種情況考慮，如圖1所示．
（i）當(dāng)∠MPC＝90°時(shí)，PC∥x軸，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣2．
當(dāng)y＝﹣2時(shí)，x2+x﹣2＝﹣2，
解得：x1＝﹣2，x2＝0，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；
（ii）當(dāng)∠PCM＝90°時(shí)，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)D．
∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°，
∴∠OAC＝∠OCD．
又∵∠AOC＝∠COD＝90°，
∴△AOC∽△COD，
∴＝，即＝，
∴OD＝1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）．
設(shè)直線PC的解析式為y＝kx+b（k≠0），
將C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴直線PC的解析式為y＝2x﹣2．
聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，得：，
解得：，，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，10）．
綜上所述：當(dāng)△PCM是直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）或（6，10）．
②當(dāng)y＝0時(shí)，x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），點(diǎn)B，B′關(guān)于點(diǎn)C對稱，
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0且m≠2），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣2）．
利用待定系數(shù)法可求出：直線BM的解析式為y＝﹣x+，直線B′M的解析式為y＝x﹣，直線BB′的解析式為y＝x﹣2．
分三種情況考慮，如圖2所示：
當(dāng)直線l∥BM且過點(diǎn)C時(shí)，直線l的解析式為y＝﹣x﹣2；
當(dāng)直線l∥B′M且過點(diǎn)C時(shí)，直線l的解析式為y＝x﹣2；
當(dāng)直線l∥BB′且過線段CM的中點(diǎn)N（m，﹣m﹣2）時(shí)，直線l的解析式為y＝x﹣m﹣2．
綜上所述：直線l的解析式為y＝﹣x﹣2，y＝x﹣2或y＝x﹣m﹣2．
23．如圖，直線y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y 軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）如圖①，連接BC，在y軸上存在一點(diǎn)D，使得△BCD是以BC為底的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖②，在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使△EAC是以AC為底的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖③，連接BC，在直線AC上是否存在點(diǎn)F，使△BCF是以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）如圖④，若拋物線的頂點(diǎn)為H，連接AH，在x軸上是否存在一點(diǎn)K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（5）如圖⑤，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，則x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
令y＝0，則﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴B（1，0），
設(shè)D（0，t），
∴DC＝BD，
∴|3﹣t|＝，
解得t＝，
∴D（0，）；
（2）存在點(diǎn)E，使△EAC是以AC為底的等腰三角形，理由如下：
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴AC的中點(diǎn)為（﹣，），
∵OC＝OA，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴過AC的中點(diǎn)與AC垂直的直線為y＝﹣x，
聯(lián)立方程組，
解得或，
∴E（，）或（，）；
（3）存在點(diǎn)F，使△BCF是以BC為腰的等腰三角形，理由如下：
設(shè)F（t，t+3），
當(dāng)BC＝BF時(shí)，
∴（t﹣1）2+（t+3）2＝10，
解得t＝0（舍去）或t＝﹣2，
∴F（﹣2，1）；
當(dāng)BC＝CF時(shí)，t2+t2＝10，
∴t＝±，
∴F（，+3）或（﹣，3﹣），
即滿足條件的點(diǎn)F（﹣2，1）或（，+3）或（﹣，3﹣）；
（4）存在點(diǎn)K，使△AHK是等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴頂點(diǎn)H（﹣1，4），
設(shè)K（m，0），
①當(dāng)AH＝HK時(shí)，4+16＝（m+1）2+16，
解得m＝1或m＝﹣3（舍），
∴K（1，0）；
②當(dāng)AH＝AK時(shí)，4+16＝（m+3）2，
解得m＝2﹣3或m＝﹣2﹣3，
∴K（2﹣3，0）或（﹣2﹣3，0）；
③當(dāng)HK＝AK時(shí)，（m+1）2+16＝（m+3）2，
解得m＝2，
∴K（2，0）；
綜上所述：K點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（2﹣3，0）或（﹣2﹣3，0）或（2，0）；
（5）存在點(diǎn)G，使△ACG是等腰三角形，理由如下：
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，
設(shè)G（﹣1，t），
①當(dāng)AG＝CG時(shí)，4+t2＝1+（t﹣3）2，
解得t＝1，
∴G（﹣1，1）；
②當(dāng)AG＝AC時(shí)，4+t2＝18，
解得t＝，
∴G（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
③當(dāng)AC＝CG時(shí)，1+（t﹣3）2＝18，
解得t＝3+或t＝3﹣，
∴G（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；
綜上所述：G點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）．

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