考點一：一次函數(shù)中等腰三角形存在性問題
【例1】．如果一次函數(shù)y＝﹣x+6的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，M點在x軸上，并且使得以點A、B、M為定點的三角形是等腰三角形，則M點的坐標(biāo)為 ．
?變式訓(xùn)練
【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線MN的函數(shù)解析式為y＝﹣x+3，點A在線段MN上且滿足AN＝2AM，B點是x軸上一點，當(dāng)△AOB是以O(shè)A為腰的等腰三角形時，則B點的坐標(biāo)為 ．
【變1-2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣2x+12與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線y＝x交于點C．
（1）求點C的坐標(biāo)．
（2）若P是x軸上的一個動點，直接寫出當(dāng)△OPC是等腰三角形時P的坐標(biāo)．
考點二：一次函數(shù)中直角三角形存在性問題
【例2】．已知點A、B的坐標(biāo)分別為（2，2）、（5，1），試在x軸上找一點C，使△ABC為直角三角形．
【變2-1】．如圖，一次函數(shù)y＝kx+1的圖象過點A（1，2），且與x軸相交于點B．若點P是x軸上的一點，且滿足△ABP是直角三角形，則點P的坐標(biāo)是 ．
【變2-2】．如圖，已知一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與y軸交于點A，一次函數(shù)y＝4x+b的圖象與y軸交于點B，且與x軸以及一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象分別交于點C、D，點D的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）．
（1）關(guān)于x、y的方程組的解為 ．
（2）求△ABD的面積；
（3）在x軸上是否存在點E，使得以點C，D，E為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
考點三：一次函數(shù)中平行四邊形存在性問題
【例3】．如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過A（1，3），B（﹣2，﹣1）兩點，并且交x軸于點C，交y軸于點D．
（1）求該一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求△AOB的面積；
（3）平面內(nèi)是否存在一點M，使以點M、C、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
?變式訓(xùn)練
【變3-1】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點，點C在線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，此時點D恰好落在直線AB上，過點D作DE⊥x軸于點E．
（1）求證：△BOC≌△CED；
（2）如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D'，當(dāng)B'C'經(jīng)過點D時，求△BCD平移的距離及點D的坐標(biāo)；
（3）若點P在y軸上，點Q在直線AB上，是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
考點四：一次函數(shù)中矩形存在性問題
【例4】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長滿足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分線交x軸于點C過點C作AB的垂線，垂足為點D，交y軸于點E．
（1）求線段AB的長；
（2）求直線CE的解析式；
（3）若M是射線BC上的一個動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P，使以A、B、M、P為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
?變式訓(xùn)練
【變4-1】．如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C在坐標(biāo)軸上，△ODE是△OCB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，點D在x軸上，直線BD交y軸于點F，交OE于點H，線段BC、OC的長是方程x2﹣4x+3＝0的兩個根，且OC＞BC．
（1）求直線BD的解析式；
（2）求點H到x軸的距離；
（3）點M在坐標(biāo)軸上，平面內(nèi)是否存在點N，使以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
考點五：一次函數(shù)中菱形存在性問題
【例5】．如圖1，直線y＝x+6與x，y軸分別交于A，B兩點，∠ABO的角平分線與x軸相交于點C．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）在直線BC上有兩點M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求點M的坐標(biāo)；
（3）點P在y軸上，在平面上是否存在點Q，使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
?變式訓(xùn)練
【變5-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于點D、C，直線AB與y軸交于點B（0，﹣2），與直線CD交于點A（m，2）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）點E是射線CD上一動點，過點E作EF∥y軸，交直線AB于點F，若以O(shè)、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P是射線CD上一點，在平面內(nèi)是否存在點Q，使以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

1．一次函數(shù)y＝x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點，在x軸上取一點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的點C的坐標(biāo)為 ．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為（2，1），連接OA，點P是x軸上的一動點，如果△OAP是等腰三角形，請你寫出符合條件的點P坐標(biāo) ．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1，0），點B的坐標(biāo)為（4，0），點C在y的正半軸上，且OB＝2OC，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)確定點D，使得以點D、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出點D的坐標(biāo)為 ．
4．如圖，一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象與y軸交于點B，與正比例函數(shù)y＝k1x的圖象相交于點A（3，4），且OA＝OB．
（1）分別求出這兩個函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）點P在x軸上，且△POA是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．
5．直線l1交x軸于點A（6，0），交y軸于B（0，6）．
（1）如圖，折疊△AOB，使BA落在y軸上，折痕所在直線為l2，直線l2與x軸交于C點，求C點坐標(biāo)及l(fā)2的解析式；
（2）在直線l1上找點M，使得以M、A、C為頂點的三角形是等腰三角形，求出所有滿足條件的M點的坐標(biāo)．
6．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+8k（k是常數(shù)，k≠0）與坐標(biāo)軸分別交于點A，點B，且點B的坐標(biāo)為（0，6）．
（1）求點A的坐標(biāo)；
（2）如圖1，將直線AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°交x軸于點C，求直線BC的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線BC上有一點M，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點P，若以A、B、M、P為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點B，且與正比例函數(shù)y＝x的圖象交于點C（m，6）．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）求△BOC的面積；
（3）在x軸上是否存在一點P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
8．如圖，已知一次函數(shù)y＝x+m的圖象與x軸交于點A（﹣6，0），交y軸于點B．
（1）求m的值與點B的坐標(biāo)
（2）問在x軸上是否存在點C，使得△ABC的面積為16？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）問在x軸是否存在點P，使得△ABP為等腰三角形，求出點P坐標(biāo)．
（4）一條經(jīng)過點D（0，2）和直線AB上的一點的直線將△AOB分成面積相等的兩部分，請求出這條直線的函數(shù)表達(dá)式．
9．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象交x軸、y軸分別于A、B兩點，交直線y＝kx于P（2，a）．
（1）求點A、B的坐標(biāo)；
（2）若Q為x軸上一動點，△APQ為等腰三角形，直接寫出Q點坐標(biāo)；
（3）點C在直線AB上，過C作CE⊥x軸于E，交直線OP于D，我們規(guī)定若C，D，E中恰好有一點是其他兩點所連線段的中點，則稱C，D，E三點為“和諧點”，求出C，D，E三點為“和諧點”時C點的坐標(biāo)．
10．如圖所示，直線l：y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，在y軸上有一點C（0，4）．
（1）求△AOB的面積；
（2）動點M從A點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動，求△COM的面積S與M的移動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)動點M在x軸上移動的過程中，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點N，使以點A，C，N，M為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
11．如圖，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線BC與x軸、y軸分別交于C、B兩點，連接BC，且OC＝OB．
（1）求點A的坐標(biāo)及直線BC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點M在x軸上，連接MB，當(dāng)∠MBA+∠CBO＝45°時，求點M的坐標(biāo)；
（3）若點P在x軸上，平面內(nèi)是否存在點Q，使點B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
12．已知，一次函數(shù)y＝的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，與直線y＝相交于點C．過點B作x軸的平行線l．點P是直線l上的一個動點．
（1）求點A，點B的坐標(biāo)．
（2）求點C到直線l的距離．
（3）若S△AOC＝S△BCP，求點P的坐標(biāo)．
（4）若點E是直線y＝上的一個動點，當(dāng)△APE是以AP為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出點E的坐標(biāo)．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+與y＝x相交于點A，與x軸交于點B．
（1）求點A，B的坐標(biāo)；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在一點C，使得以O(shè)，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，試求出所有符合條件的點C的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
（3）在直線OA上，是否存在一點D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，試求出所有符合條件的點D的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．
14．如圖，經(jīng)過點B（0，2）的直線y＝kx+b與x軸交于點C，與正比例函數(shù)
y＝ax的圖象交于點A（﹣1，3）
（1）求直線AB的函數(shù)的表達(dá)式；
（2）直接寫出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；
（3）求△AOC的面積；
（4）點P是直線AB上的一點，且知△OCP是等腰三角形，寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．
15．如圖1，已知直線l1：y＝kx+4交x軸于A（4，0），交y軸于B．
（1）直接寫出k的值為 ；
（2）如圖2，C為x軸負(fù)半軸上一點，過C點的直線l2：經(jīng)過AB的中點P，點Q（t，0）為x軸上一動點，過Q作QM⊥x軸分別交直線l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；
（3）如圖3，已知點M（﹣1，0），點N（5m，3m+2）為直線AB右側(cè)一點，且滿足∠OBM＝∠ABN，求點N坐標(biāo)．
16．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點（OA＜OB）且OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的兩個根，點C在x軸負(fù)半軸上，且AB：AC＝1：2
（1）求A、C兩點的坐標(biāo)；
（2）若點M從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AM，設(shè)△ABM的面積為S，點M的運動時間為t，寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）點P是y軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使以 A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中．直線與x軸、y軸相交于A、B兩點，動點C在線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，此時點D恰好落在直線AB上時，過點D作DE⊥x軸于點E．
（1）求證：△BOC≌△CED；
（2）如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D'，當(dāng)直線B′C′經(jīng)過點D時，求點D的坐標(biāo)；
（3）若點P在y軸上，點Q在直線AB上．是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、B，點C在y軸的負(fù)半軸上，若將△CAB沿直線AC折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點D處．
（1）點A的坐標(biāo)是 ，點B的坐標(biāo)是 ，AB的長為 ；
（2）求點C的坐標(biāo)；
（3）點M是y軸上一動點，若S△MAB＝S△OCD，直接寫出點M的坐標(biāo)．
（4）在第一象限內(nèi)是否存在點P，使△PAB為等腰直角三角形，若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
19．如圖，直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+b分別與x軸、y軸交于點A（3，0），點B（0，﹣4），過D（0，8）作平行x軸的直線CD，交AB于點C，點E（0，m）在線段OD上，延長CE交x軸于點F，點G在x軸正半軸上，且AG＝AF．
（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)點E恰好是OD中點時，求△ACG的面積．
（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
20．如圖直線l：y＝kx+6與x軸、y軸分別交于點B、C兩點，點B的坐標(biāo)是（﹣8，0），點A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．
（1）求k的值．
（2）若點P是直線l在第二象限內(nèi)一個動點，當(dāng)點P運動到什么位置時，△PAC的面積為3，求出此時直線AP的解析式．
（3）在x軸上是否存在一點M，使得△BCM為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
21．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線l：y＝﹣x+m與x、y軸的正半軸分別相交于點A、B，過點C（﹣4，﹣4）畫平行于y軸的直線交直線AB于點D，CD＝10
（1）求點D的坐標(biāo)和直線l的解析式；
（2）求證：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如圖2，將直線l沿y軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移適當(dāng)?shù)木嚯x時，直線l與x、y軸分別相交于點A′、B′，在直線CD上存在點P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．（不必書寫解題過程）
22．直線y＝kx﹣4與x軸、y軸分別交于B、C兩點，且＝．
（1）求點B的坐標(biāo)和k的值；
（2）若點A時第一象限內(nèi)的直線y＝kx﹣4上的一動點，則當(dāng)點A運動到什么位置時，△AOB的面積是6？
（3）在（2）成立的情況下，x軸上是否存在點P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
23．如圖，一次函數(shù)y1＝x+n與x軸交于點B，一次函數(shù)y2＝﹣x+m與y軸交于點C，且它們的圖象都經(jīng)過點D（1，﹣）．
（1）則點B的坐標(biāo)為 ，點C的坐標(biāo)為 ；
（2）在x軸上有一點P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值；
（3）在（2）的條件下，在y軸的右側(cè)，以CP為腰作等腰直角△CPM，直接寫出滿足條件的點M的坐標(biāo)．
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與y軸交于點A（0，4），與直線y＝﹣x﹣1在第四象限相交于點B，連接OB，△AOB的面積為6．
（1）求點B的坐標(biāo)及直線AB的解析式；
（2）已知點M在直線AB右側(cè)，且△MAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，請求出符合條件的點M的坐標(biāo)．
25．綜合與探究：
如圖，直線l1：y＝x+3與過點A（3，0）的直線l2：y＝kx+b（k≠0）交于點C（1，m）與x軸交于點B．
（1）求直線l2對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）請直接寫出不等式kx+b＜x+3的解集；
（3）若點N在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線l1上是否存在點F使以A，B，F(xiàn)，N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
26．一次函數(shù)y＝kx+（k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A（1，0）、B（0，m）兩點．
（1）求一次函數(shù)解析式和m的值；
（2）將線段AB繞著點A旋轉(zhuǎn)，點B落在x軸負(fù)半軸上的點C處．點P在直線AB上，直線CP把△ABC分成面積之比為2：1的兩部分．求直線CP的解析式；
（3）在第二象限是否存在點D，使△BCD是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，且與正比例函數(shù)y＝k2x的圖象交點為C（3，4）．
（1）求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式．
（2）若點D在第二象限，△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，請求出點D的坐標(biāo)．
（3）在y軸上是否存在一點P使△POC為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．
28．在學(xué)習(xí)一元一次不等式與一次函數(shù)的過程中，小新在同一個坐標(biāo)系中發(fā)現(xiàn)直線l1：y1＝﹣x+3與坐標(biāo)軸相交于A，B兩點，直線l2：y2＝kx+b（k≠0）與坐標(biāo)軸相交于C，D兩點，兩直線相交于點E，且點E的橫坐標(biāo)為2．已知OC＝，點P是直線l2上的動點．
（1）求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；
（2）過點P作x軸的垂線與直線l1和x軸分別相交于M，N兩點，當(dāng)點N是線段PM的三等分點時，求P點的坐標(biāo)；
（3）若點Q是x軸上的動點，是否存在以A，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
29．（1）認(rèn)識模型：
如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．求證：△BEC≌△CDA；
（2）應(yīng)用模型：
①已知直線y＝﹣2x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段CB，求點C的坐標(biāo)；
②如圖3，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點，B的坐標(biāo)為（5，4），A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動點，已知點D在第一象限，且是直線y＝2x﹣3上的一點，點Q是平面內(nèi)任意一點．若四邊形ADPQ是正方形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo)．
30．如圖，四邊形OABC為矩形，其中O為原點，A、C兩點分別在x軸和y軸上，點B的坐標(biāo)是（4，6），將矩形沿直線DE折疊，使點C落在AB邊上點F處，折痕分別交OC、BC于點E、D，且點D的坐標(biāo)是（，6）．
（1）求BF的長度；
（2）如圖2，點P在第二象限，且△PDE≌△CED，求直線PE的解析式；
（3）若點M為直線DE上一動點，在x軸上是否存在點N，使以M、N、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

例題精講
考點一：一次函數(shù)中等腰三角形存在性問題
【例1】．如果一次函數(shù)y＝﹣x+6的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，M點在x軸上，并且使得以點A、B、M為定點的三角形是等腰三角形，則M點的坐標(biāo)為 （﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（﹣，0） ．
解：一次函數(shù)y＝﹣x+6中令x＝0，解得y＝6；令y＝0，解得x＝8，
∴A（8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6，
在直角三角形AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB＝10，
分四種情況考慮，
當(dāng)BM＝BA時，
由BO⊥AM，根據(jù)三線合一得到O為MA的中點，此時M1（﹣8，0）；
當(dāng)AB＝AM時，由AB＝10，得到OM＝﹣2或18，此時M2（﹣2，0），M3（18，0）；
當(dāng)MA＝MB時，∵A（8，0），B（0，6），
∴AB的中點的坐標(biāo)為（4，3），
設(shè)直線AB的垂直平分線的解析式為y＝x+b，
代入（4，3）得3＝+b，解得b＝﹣，
∴直線AB的垂直平分線的解析式為y＝x﹣，
令y＝0，解得x＝，
此時M4（，0）．
綜上，這樣的M點有4個，分別為（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．
故答案為（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．
?變式訓(xùn)練
【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線MN的函數(shù)解析式為y＝﹣x+3，點A在線段MN上且滿足AN＝2AM，B點是x軸上一點，當(dāng)△AOB是以O(shè)A為腰的等腰三角形時，則B點的坐標(biāo)為 （2，0）或（，0）或（，0） ．
解：∵在y＝﹣x+3中，令x＝0，則y＝3；令y＝0，則﹣x+3＝0，解得x＝3，
∴N（3，0），M（0，3），
∴OM＝ON＝3，
∵AN＝2AM，
∴A（1，2），
∴OA＝＝，
當(dāng)AO＝OB時，則OB＝，
∴點B的坐標(biāo)為（﹣，0）或（，0）；
②當(dāng)AO＝AB時，設(shè)點B的坐標(biāo)為（m，0），則＝，
整理得，（1﹣m）2＝1，
解得m＝2或m＝0（舍去），
∴點B的坐標(biāo)為（2，0）．
綜上所述：點B的坐標(biāo)為（2，0）或（，0）或（，0）．
【變1-2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣2x+12與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線y＝x交于點C．
（1）求點C的坐標(biāo)．
（2）若P是x軸上的一個動點，直接寫出當(dāng)△OPC是等腰三角形時P的坐標(biāo)．
解：（1）聯(lián)立兩直線解析式成方程組，得，
解得：，
∴點C的坐標(biāo)為（4，4）；
（2）設(shè)點P（m，0），而點C（4，4），點O（0，0）；
PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝42+42＝32；
當(dāng)PC＝PO時，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；
當(dāng)PC＝OC時，同理可得：m＝0（舍去）或8；
當(dāng)PO＝OC時，同理可得：m＝±4；
故點P的坐標(biāo)為（4，0）或（8，0）或（4，0）或（﹣4，0）．
考點二：一次函數(shù)中直角三角形存在性問題
【例2】．已知點A、B的坐標(biāo)分別為（2，2）、（5，1），試在x軸上找一點C，使△ABC為直角三角形．
解：當(dāng)△ABC為直角三角形時，設(shè)點C坐標(biāo)為（x，0），分三種情況：
①如果A為直角頂點，則AB2+AC2＝BC2，
即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（2﹣x）2+22＝（5﹣x）2+1，
解得：x＝，
②如果B為直角頂點，那么AB2+BC2＝AC2，
即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（5﹣x）2+1＝（2﹣x）2+22，
解得x＝，
③如果C為直角頂點，那么AB2＝AC2+BC2，
即（2﹣5）2+（2﹣1）2＝（2﹣x）2+22+（5﹣x）2+1，
解得x＝3或4，
綜上可知，使△PAB為直角三角形的點C坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（3，0）或（4，0）．
?變式訓(xùn)練
【變2-1】．如圖，一次函數(shù)y＝kx+1的圖象過點A（1，2），且與x軸相交于點B．若點P是x軸上的一點，且滿足△ABP是直角三角形，則點P的坐標(biāo)是 （1，0）或（3，0） ．
解：∵一次函數(shù)y＝kx+1的圖象過點A（1，2），
∴2＝k+1，解得k＝1，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+1．
∴當(dāng)∠APB＝90°時，P1（1，0）；
當(dāng)∠BAP＝90°時，
∵一次函數(shù)的解析式為y＝x+1，
∴設(shè)直線AP的解析式為y＝﹣x+b，
∵A（1，2），
∴2＝﹣1+b，解得b＝3，
∴直線AP的解析式為y＝﹣x+3，
∴當(dāng)y＝0時，x＝3，
∴P2（3，0）．
綜上所述，點P的坐標(biāo)是（1，0）或（3，0）．
【變2-2】．如圖，已知一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與y軸交于點A，一次函數(shù)y＝4x+b的圖象與y軸交于點B，且與x軸以及一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象分別交于點C、D，點D的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）．
（1）關(guān)于x、y的方程組的解為 ．
（2）求△ABD的面積；
（3）在x軸上是否存在點E，使得以點C，D，E為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與一次函數(shù)y＝4x+b的圖象交于點D，且點D的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4），
∴關(guān)于x、y的方程組的解是，
∴關(guān)于x、y的方程組的解是，
故答案為：；
（2）把點D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y＝4x+b中得：﹣8+b＝﹣4，
解得：b＝4，
∴B（0，4），
∵A（0，﹣2），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∴S△ABD＝＝6；
（3）存在，
如圖1，當(dāng)點E為直角頂點時，過點D作DE⊥x軸于E，
∵D（﹣2，﹣4），
∴E（﹣2，0）；
當(dāng)點C為直角頂點時，x軸上不存在點E；
當(dāng)點D為直角頂點時，過點D作DE⊥CD交x軸于點E，作DF⊥x軸于F，
設(shè)E（t，0），
當(dāng)y＝0時，4x+4＝0，
∴x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
∵F（﹣2，0），
∴CE＝﹣1﹣t，EF＝﹣2﹣t，
∵D（﹣2，﹣4），
∴DF＝4，CF＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
在Rt△DEF中，
DE2＝EF2+DF2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20，
在Rt△CDF中，
CD2＝12+42＝17，
在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，
∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17，
解得t＝﹣18，
∴E（﹣18，0），
綜上，點E的坐標(biāo)為：（﹣2，0）或（﹣18，0）．
考點三：一次函數(shù)中平行四邊形存在性問題
【例3】．如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過A（1，3），B（﹣2，﹣1）兩點，并且交x軸于點C，交y軸于點D．
（1）求該一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求△AOB的面積；
（3）平面內(nèi)是否存在一點M，使以點M、C、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
解：（1）將A（1，3）、B（﹣2，﹣1），代入y＝kx+b得：
，解得，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x+；
（2）在y＝x+中，令x＝0得y＝，
∴OD＝，
∴S△AOD＝OD?|xA|＝××1＝，
S△BOD＝OD?|xB|＝××2＝，
∴△AOB的面積S△AOB＝S△BOD+S△AOD＝；
（3）存在，理由如下：
在y＝x+中，令y＝0得y＝﹣，
∴C（﹣，0），
設(shè)M（m，n），而B（﹣2，﹣1），O（0，0），
①以O(shè)B、CM為對角線，則OB的中點即是CM的中點，如圖：
∴，解得，
∴M（﹣，﹣1）；
②以BC、OM為對角線，則BC的中點即是OM的中點，如圖：
∴，解得，
∴M（﹣，﹣1）；
③以BM、CO為對角線，則BM的中點即是CO的中點，如圖：
∴，解得，
∴M（，1）；
綜上所述，M的坐標(biāo)為：（﹣，﹣1）或（﹣，﹣1）；或（，1）．
?變式訓(xùn)練
【變3-1】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點，點C在線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，此時點D恰好落在直線AB上，過點D作DE⊥x軸于點E．
（1）求證：△BOC≌△CED；
（2）如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D'，當(dāng)B'C'經(jīng)過點D時，求△BCD平移的距離及點D的坐標(biāo)；
（3）若點P在y軸上，點Q在直線AB上，是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（1）證明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠OBC＝90°，∠OCB+∠ECD＝90°，
∴∠OBC＝∠ECD．
∵將線段CB繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，
∴BC＝CD．
在△BOC和△CED中，，
∴△BOC≌△CED（AAS）．
（2）解：∵直線y＝﹣x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點，
∴點B的坐標(biāo)為（0，3），點A的坐標(biāo)為（6，0）．
設(shè)OC＝m，
∵△BOC≌△CED，
∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3，
∴點D的坐標(biāo)為（m+3，m）．
∵點D在直線y＝﹣x+3上，
∴m＝﹣（m+3）+3，解得：m＝1，
∴點D的坐標(biāo)為（4，1），點C的坐標(biāo)為（1，0）．
∵點B的坐標(biāo)為（0，3），點C的坐標(biāo)為（1，0），
∴直線BC的解析式為y＝﹣3x+3．
設(shè)直線B′C′的解析式為y＝﹣3x+b，
將D（4，1）代入y＝﹣3x+b，得：1＝﹣3×4+b，解得：b＝13，
∴直線B′C′的解析式為y＝﹣3x+13，
∴點C′的坐標(biāo)為（，0），
∴CC′＝﹣1＝，
∴△BCD平移的距離為．
（3）解：設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，m），點Q的坐標(biāo)為（n，﹣n+3）．
分兩種情況考慮，如圖3所示：
①若CD為邊，當(dāng)四邊形CDQP為平行四邊形時，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），
∴，解得：，
∴點P1的坐標(biāo)為（0，）；
當(dāng)四邊形CDPQ為平行四邊形時，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），
∴，解得：，
∴點P2的坐標(biāo)為（0，）；
②若CD為對角線，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），
∴，解得：，
∴點P的坐標(biāo)為（0，）．
綜上所述：存在，點P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）．
考點四：一次函數(shù)中矩形存在性問題
【例4】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長滿足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分線交x軸于點C過點C作AB的垂線，垂足為點D，交y軸于點E．
（1）求線段AB的長；
（2）求直線CE的解析式；
（3）若M是射線BC上的一個動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P，使以A、B、M、P為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，
∴OA＝8，OB＝6，
在直角△AOB中，AB＝＝＝10；
（2）∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，AO⊥BO，
∴OC＝CD，
設(shè)OC＝x，則AC＝8﹣x，CD＝x．
∵△ACD和△ABO中，∠CAD＝∠BAO，∠ADC＝∠AOB＝90°，
∴△ACD相似于△ABO，
∴，即，
解得：x＝3．
即OC＝3，則C的坐標(biāo)是（﹣3，0）．
設(shè)AB的解析式是y＝kx+b，根據(jù)題意得
解得：
則直線AB的解析式是y＝x+6，
設(shè)CD的解析式是y＝﹣x+m，則4+m＝0，則m＝﹣4．
則直線CE的解析式是y＝﹣x﹣4；
（3）①當(dāng)AB為矩形的邊時，如圖所示矩形AM1P1B，易知BC的直線方程為y＝2x+6，
設(shè)M1（m，2m+6），P1（x，y），因為A（﹣8，0），B（0，6），則AM12＝（m+8）2+（2m+6）2，＝5m2+40m+100，BM12＝m2+（2m+6﹣6）2＝5m2，
AB＝10，
根據(jù)AB2+AM12＝BM12得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5，
∴M1（﹣5，﹣4），
根據(jù)平移規(guī)律可以解得P1（3，2）
②當(dāng)AB為矩形的對角線時，此時有AB2＝AM22+BM22，即100＝5m2+40m+100+5m2，m＝﹣4或m＝0（舍去），
∴M2（﹣4，﹣2），
根據(jù)平移規(guī)律可以解得P2（﹣4，8）
綜上可得，滿足條件的P點的坐標(biāo)為P1（3，2）或P2（﹣4，8）．
?變式訓(xùn)練
【變4-1】．如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C在坐標(biāo)軸上，△ODE是△OCB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，點D在x軸上，直線BD交y軸于點F，交OE于點H，線段BC、OC的長是方程x2﹣4x+3＝0的兩個根，且OC＞BC．
（1）求直線BD的解析式；
（2）求點H到x軸的距離；
（3）點M在坐標(biāo)軸上，平面內(nèi)是否存在點N，使以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）x2﹣4x+3＝0，解得：x＝3或1，
故BC＝1，OC＝3，即點C（0，3）、點A（﹣1，0），
則點B（﹣1，3），點D（3，0），點E（3，1），
將B、D點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b得：，解得：，
故直線BD的表達(dá)式為：y＝﹣x+…①；
（2）同理可得：直線OE的表達(dá)式為：y＝x…②，
聯(lián)立①②并解得：y＝，
即點H到x軸的距離為：；
（3）直線BD的表達(dá)式為：y＝﹣x+，則點F（0，），
①當(dāng)FD是矩形的一條邊時，
當(dāng)點M在x軸上時，
∵M(jìn)F⊥BD，則直線MF的表達(dá)式為：y＝x+，
當(dāng)y＝0，x＝﹣，即點M（﹣，0），
點F向右平移3個單位向下平移單位得到D，
則點M向右平移3個單位向下平移單位得到N，
則點N（，﹣）；
當(dāng)點M在y軸上時，
同理可得：點N（﹣3，﹣）；
②當(dāng)FD是矩形的對角線時，
此時點M在原點O，則點N（3，）；
綜上，點N的坐標(biāo)為：（，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．
考點五：一次函數(shù)中菱形存在性問題
【例5】．如圖1，直線y＝x+6與x，y軸分別交于A，B兩點，∠ABO的角平分線與x軸相交于點C．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）在直線BC上有兩點M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求點M的坐標(biāo)；
（3）點P在y軸上，在平面上是否存在點Q，使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）對于直線y＝x+6，令x＝0，得到y(tǒng)＝6，
∴B（0，6），
令y＝0，得到x＝﹣8，
∴A（﹣8，0）．
∵A（﹣8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝10，
過點C作CH⊥AB于H，設(shè)OC＝t，
∵BC平分∠ABO，∠AOB＝90°，
∴CH＝OC＝t，
∵S△ABO＝S△ABC+S△BCO，
∴OA?OB＝AB?CH+OC?OB，
∴6×8＝10t+6t，
∴t＝3，
∴OC＝3，
∴C（﹣3，0）；
（2）設(shè)線BC的表達(dá)式為：y＝kx+b，
∵B（0，6），C（﹣3，0），
∴直線BC的表達(dá)式為：y＝2x+6，
設(shè)點M（m，2m+6）、N（n，2n+6），
過點M作MF⊥x軸于點F，過點N作NE⊥x軸于點E，
∵△AMN為等腰直角三角形，故AM＝AN，
∵∠NAE+∠MAF＝90°，∠MAF+∠AMF＝90°，
∴∠NAE＝∠AMF，
∵∠AFM＝∠NEA＝90°，AM＝AN，
∴△FMA≌△EAN（AAS），
∴EN＝AF，MF＝AE，
即﹣2n﹣6＝m+8，2m+6＝8+n，
解得：m＝﹣2，n＝﹣6，
故點M的坐標(biāo)為（﹣2，2）、點N（﹣6，﹣6）；
由于M，N的位置可能互換，故點N的坐標(biāo)為（﹣2，2）、點M（﹣6，﹣6）；
綜上所述，點M的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）；
（3）設(shè)點P（0，p），
∴BP2＝（p﹣6）2，AP2＝82+p2，
①當(dāng)AB是邊時，如圖，
∵點A、B、P、Q為頂點的四邊形為菱形，
∴BP＝AB＝10，BP′＝AB＝10，OB＝OP″，
∵B（0，6），
∴P（0，16），P′（0，﹣4），P″（0，﹣6），
∵A（﹣8，0），
∴Q（﹣8，10），Q′（﹣8，﹣10），Q″（8，0）；
②當(dāng)AB是對角線時，如圖，
∵點A、B、P、Q為頂點的四邊形為菱形，
∴AP＝BP，
∴BP2＝AP2，
∴（p﹣6）2＝82+p2，解得p＝﹣，
∴P（0，﹣），
∵A（﹣8，0），B（0，6），
∴Q（﹣8，）；
綜上所述，點Q的坐標(biāo)為（﹣8，10）或（﹣8，﹣10）或（8，0）或（﹣8，）．
?變式訓(xùn)練
【變5-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于點D、C，直線AB與y軸交于點B（0，﹣2），與直線CD交于點A（m，2）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）點E是射線CD上一動點，過點E作EF∥y軸，交直線AB于點F，若以O(shè)、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P是射線CD上一點，在平面內(nèi)是否存在點Q，使以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵點A（m，2）在直線y＝x+4上
∴m+4＝2 解得m＝﹣2
∴點A的坐標(biāo)為（﹣2，2）
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b
∴ 解得
∴直線AB的解析式為y＝﹣2x﹣2；
（2）如圖1，由題意
設(shè)點E的坐標(biāo)為（a，a+4），則
∵EF∥y軸，點F在直線y＝﹣2x﹣2上
∴點F的坐標(biāo)為（a，﹣2a﹣2）
∴EF＝|a+4﹣（﹣2a﹣2）|＝|3a+6|，
∵以點O、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，且EF∥OC
∴EF＝OC
∵直線y＝x+4與y軸交于點C
∴點C的坐標(biāo)為（0，4）
∴OC＝4，即|3a+6|＝4
解得：a＝﹣或a＝﹣
∴點E的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，）；
（3）如圖2，當(dāng)BC為對角線時，點P，Q都是BC的垂直平分線，且點P和點Q關(guān)于BC對稱，
∵B（0，﹣2），C（0，4），
∴點P的縱坐標(biāo)為1，
將y＝1代入y＝x+4中，得x+4＝1，
∴x＝﹣3，
∴P''（﹣3，1），
∴Q''（3，1）
當(dāng)CP是對角線時，CP是BQ的垂直平分線，設(shè)Q（m，n），
∴BQ的中點坐標(biāo)為（，），
代入直線y＝x+4中，得+4＝①，
∵CQ＝CB，
∴m2+（n﹣4）2＝36②，
聯(lián)立①②得，（舍）或，
∴Q'（﹣6，4），當(dāng)PB是對角線時，PC＝BC＝6，
設(shè)P（c，c+4），
∴c2+（c+4﹣4）2＝36，
∴c＝3（舍）或c＝﹣3，
∴P（﹣3，﹣3+4），
設(shè)Q（d，e）
∴（﹣3+0）＝（0+d），（﹣3+4﹣2）＝（e+4），
∴d＝﹣3，e＝﹣3﹣2，
∴Q（﹣3，﹣3﹣2），
即：點Q的坐標(biāo)為（3，1），（﹣6，4）或（﹣3，﹣3﹣2）．


1．一次函數(shù)y＝x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點，在x軸上取一點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的點C的坐標(biāo)為 （﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0） ．
解：當(dāng)x＝0時，y＝4，
當(dāng)y＝0時，x＝﹣3，
即A（﹣3，0），B（0，4），
OA＝3，OB＝4，
由勾股定理得：AB＝5，
有三種情況：①以A為圓心，以AB為半徑交x軸于兩點，此時AC＝AB＝5，
C的坐標(biāo)是（2，0）和（﹣8，0）；
②以B為圓心，以AB為半徑交x軸于一點（A除外），此時AB＝BC，OA＝OC＝3，
C的坐標(biāo)是（3，0）；
③作AB的垂直平分線交x軸于C，設(shè)C的坐標(biāo)是（a，0），A（﹣3，0），B（0，4），
∵AC＝BC，由勾股定理得：（a+3）2＝a2+42，
解得：a＝，
∴C的坐標(biāo)是（，0），
故答案為：（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為（2，1），連接OA，點P是x軸上的一動點，如果△OAP是等腰三角形，請你寫出符合條件的點P坐標(biāo) P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0） ．
解：設(shè)P（x，0），
當(dāng)OA＝AP時，∵A（2，1），∴P1（4，0）；
當(dāng)OA＝OP時，∵A（2，1），
∴OA＝＝，
∴P2（，0），P3（﹣，0）；
當(dāng)AP＝OP時，∵P（x，0），（2，1），
∴（2﹣x）2+12＝x2，解得x＝，
∴P4（，0）．
綜上所述，P點坐標(biāo)為：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．
故答案為：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1，0），點B的坐標(biāo)為（4，0），點C在y的正半軸上，且OB＝2OC，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)確定點D，使得以點D、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出點D的坐標(biāo)為 （3，2）（﹣3，2）（5，﹣2） ．
解：如圖，①當(dāng)BC為對角線時，易求M1（3，2）；
②當(dāng)AC為對角線時，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；
③當(dāng)AB為對角線時，AC∥BM，且AC＝BM．則|My|＝OC＝2，|Mx|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．
綜上所述，符合條件的點D的坐標(biāo)是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．
故答案為：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．
4．如圖，一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象與y軸交于點B，與正比例函數(shù)y＝k1x的圖象相交于點A（3，4），且OA＝OB．
（1）分別求出這兩個函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）點P在x軸上，且△POA是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．
解：（1）∵正比例函數(shù)y＝k1x的圖象經(jīng)過點A（3，4），
∴3k1＝4，
∴k1＝，
∴正比例函數(shù)解析式為y＝x．
如圖1中，過A作AC⊥x軸于C，
在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝4，
∴AO＝＝5，
∴OB＝OA＝5，
∴B（0，﹣5），
∴，
解得，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝3x﹣5．
（2）如圖1中，過A作AD⊥y軸于D，
∵A（3，4），
∴AD＝3，
∴S△AOB＝；
（3）當(dāng)OP＝OA時，P1（﹣5，0），P2（5，0），
當(dāng)AO＝AP時，P3（6，0），
當(dāng)PA＝PO時，線段OA的垂直平分線為y＝﹣，
∴，
滿足條件的點P的坐標(biāo)（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或．
5．直線l1交x軸于點A（6，0），交y軸于B（0，6）．
（1）如圖，折疊△AOB，使BA落在y軸上，折痕所在直線為l2，直線l2與x軸交于C點，求C點坐標(biāo)及l(fā)2的解析式；
（2）在直線l1上找點M，使得以M、A、C為頂點的三角形是等腰三角形，求出所有滿足條件的M點的坐標(biāo)．
解：∵點A（6，0），交y軸于B（0，6）．
∴OA＝6，OB＝6，
∴tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝30°，
∴∠OBA＝60°，
∵折疊△AOB，
∴∠OBC＝∠ABC＝30°，
∴BC＝2OC，BO＝OC＝6，
∴OC＝2，
∴點C（2，0），
設(shè)直線BC解析式為：y＝kx+b，
解得：
∴直線BC解析式為：y＝﹣x+6；
（2）當(dāng)點M與點B重合時，
由（1）可知：∠AMC＝∠MAC＝30°，
∴CM＝AC，
∴△ACM是等腰三角形，
∴當(dāng)M為（0，6）時，△ACM是等腰三角形，
∵OC＝2，OA＝6，
∴AC＝4，
若AM＝AC＝4，
如圖1：過點M作MH⊥AC，
∵∠MAH＝30°，
∴MH＝AM＝2，AH＝2MH＝6，
∴OH＝6﹣6或6+6，
∴點M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）
若AM＝MC，
如圖2，過點M作MH⊥AC，
∵AM＝MC，MH⊥AC，
∴AH＝CH＝2，
∴OC＝4，
∵∠MAH＝30°，
∴AH＝MH，
∴MH＝2，
∴點M（4，2），
綜上所述：點M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）或（4，2）或（0，6）．
6．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+8k（k是常數(shù)，k≠0）與坐標(biāo)軸分別交于點A，點B，且點B的坐標(biāo)為（0，6）．
（1）求點A的坐標(biāo)；
（2）如圖1，將直線AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°交x軸于點C，求直線BC的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線BC上有一點M，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點P，若以A、B、M、P為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．
解：（1）令y＝kx+8k＝0，解得x＝﹣8，
故點A的坐標(biāo)為（﹣8，0）；
（2）過點A作AD⊥AB交BC于點D，過點A作y軸的平行線交過點B與x軸的平行線于點M，交過點D與x軸的平行線于點N，
∵∠ABC＝45°，故△ABD為等腰直角三角形，則AD＝AB，
∵∠BAM+∠DAN＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，
∴∠BAM＝∠ADN，
∵∠BMA＝∠AND＝90°，
∴△BMA≌△AND（AAS），
∴AN＝BM＝8，ND＝AM＝6，
故點D的坐標(biāo)為（﹣2，﹣8），
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx+b，則，解得，
故直線BC的表達(dá)式為y＝7x+6；
（3）設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，7m+6），點P（s，t），
而點A、B的坐標(biāo)分別為（﹣8，0）、（0，6），
①當(dāng)AB是邊時，
點A向右8個單位向上6個單位得到點B，同樣，點M（P）向右8個單位向上6個單位得到點P（M），且AB＝BP（AB＝BM），
則或，
解得或或（不合題意的值已舍去）；
故點P的坐標(biāo)為（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）；
②當(dāng)AB是對角線時，
由中點坐標(biāo)公式和AM＝BM得：
，解得，
故點P的坐標(biāo)為（﹣7，7）；
綜上，點P的坐標(biāo)為（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）或（﹣7，7）．
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點B，且與正比例函數(shù)y＝x的圖象交于點C（m，6）．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）求△BOC的面積；
（3）在x軸上是否存在一點P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵將點C（m，6）代入y＝x，
∴6＝m，
∴m＝4，
∴C（4，6），
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+3；
（2）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
∴S△BOC＝OB?|xC|＝×3×4＝6；
（3）在x軸上存在一點P，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴AB＝5，OA＝4，
當(dāng)B為等腰三角形頂角頂點時，P點與A點關(guān)于y軸對稱，
∴P（4，0）；
當(dāng)A為等腰三角形頂角頂點時，AP＝AB＝5，
∴P（﹣9，0）或P（1，0）；
當(dāng)P為等腰三角形頂角頂點時，設(shè)P（t，0），
∵PA＝PB，
∴（t+4）2＝t2+9，
解得t＝﹣，
∴P（﹣，0），
綜上所述：P點坐標(biāo)為（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．
8．如圖，已知一次函數(shù)y＝x+m的圖象與x軸交于點A（﹣6，0），交y軸于點B．
（1）求m的值與點B的坐標(biāo)
（2）問在x軸上是否存在點C，使得△ABC的面積為16？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）問在x軸是否存在點P，使得△ABP為等腰三角形，求出點P坐標(biāo)．
（4）一條經(jīng)過點D（0，2）和直線AB上的一點的直線將△AOB分成面積相等的兩部分，請求出這條直線的函數(shù)表達(dá)式．
解：（1）把點A（﹣6，0）代入y＝x+m，得m＝8，
∴點B坐標(biāo)為（0，8）．
（2）存在，設(shè)點C坐標(biāo)為（a，0），由題意?|a+6|?8＝16，
解得a＝﹣2或﹣10，
∴點C坐標(biāo)（﹣2，0）或（﹣10，0）．
（3）如圖1中，
①當(dāng)AB＝AP時，AP＝AB＝＝10，
可得P1（﹣16，0），P2（4，0）．
②當(dāng)BA＝BP時，OA＝OP，可得P3（6，0）．
③當(dāng)PA＝PB時，∵線段AB的垂直平分線為y＝﹣x+，可得P4（，0），
綜上所述，滿足條件的點P坐標(biāo)為（﹣16，0）或（4，0）或（6，0）或（，0）．
（4）如圖2中，設(shè)過點D的直線交AB于E，設(shè)E（b，），
由題意BD?（﹣b）＝××6×8，
∴b＝﹣4，
∴點E坐標(biāo)（﹣4，），
設(shè)直線DE的解析式為y＝kx+b則有，
解得，
∴這條直線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝﹣x+2．
9．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象交x軸、y軸分別于A、B兩點，交直線y＝kx于P（2，a）．
（1）求點A、B的坐標(biāo)；
（2）若Q為x軸上一動點，△APQ為等腰三角形，直接寫出Q點坐標(biāo)；
（3）點C在直線AB上，過C作CE⊥x軸于E，交直線OP于D，我們規(guī)定若C，D，E中恰好有一點是其他兩點所連線段的中點，則稱C，D，E三點為“和諧點”，求出C，D，E三點為“和諧點”時C點的坐標(biāo)．
解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝﹣x+2＝2，
∴點B的坐標(biāo)為（0，2）；
當(dāng)y＝0時，有﹣x+2＝0，
解得：x＝4，
∴點A的坐標(biāo)為（4，0）；
（2）∵一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象交直線y＝kx于P（2，a）．
∴a＝﹣×2+2＝1，
∴點P的坐標(biāo)為（2，1），
設(shè)點Q（m，0），而點A、P的坐標(biāo)分別為：（4，0）、（2，1），
則AP＝＝，AQ＝|4﹣m|，PQ＝，
當(dāng)AP＝AQ時，則＝|4﹣m|，
解得m＝4±，
∴點Q（4±，0）；
當(dāng)AP＝PQ時，＝，
解得m＝0或4（舍去），
∴點Q（0，0）；
當(dāng)PQ＝AQ時，即＝|4﹣m|，
解得：m＝，
∴點Q（，0）；
綜上，點Q的坐標(biāo)為（4±，0）或（0，0）或（，0）；
（3）∵y＝kx過P（2，1）．
∴2k＝1，解得k＝，
∴y＝x，
設(shè)點C的坐標(biāo)為（n，﹣n+2），則點D的坐標(biāo)為（n，n），點E的坐標(biāo)為（n，0），
∴CD＝|﹣n+2﹣n|＝|2﹣n|，DE＝|n|，CE＝|﹣n+2|＝|n﹣2|，
當(dāng)D為CE的中點時，CD＝DE，
∴|2﹣n|＝|n|，解得n＝或4（舍去），
∴點C的坐標(biāo)為（，）；
當(dāng)C為DE的中點時，CD＝CE，
∴|2﹣n|＝|n﹣2|，解得n＝或0（舍去），
∴點C的坐標(biāo)為（，）；
當(dāng)E為CD的中點時，DE＝CE，
∴|n|＝|n﹣2|，無解；
綜上，C，D，E三點為“和諧點”時C點的坐標(biāo)為（，）或（，）．
10．如圖所示，直線l：y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，在y軸上有一點C（0，4）．
（1）求△AOB的面積；
（2）動點M從A點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動，求△COM的面積S與M的移動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)動點M在x軸上移動的過程中，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點N，使以點A，C，N，M為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）令y＝0，，
解得x＝．
令x＝0，y＝．
∴A（，0），B（0，）．
＝．
∴△AOB的面積為12．
（2）∵動點M從A點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動，
∴AM＝t．
當(dāng)0≤t≤時，
OM＝，
OC＝．
∴
＝
＝．
當(dāng)t＞時，
OM＝t﹣．
∴
＝
＝．
綜上，△COM的面積S與M的移動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式：
S＝．
（3）在平面直角坐標(biāo)系中存在點N，使以點A，C，N，M為頂點的四邊形為菱形．
①當(dāng)AC，AM為菱形的邊時，
情況一：如圖1，當(dāng)點M在點A的左側(cè)時，
Rt△AOC中，
＝，
∴NC＝AC＝．
∵NC∥AM，
∴點N（，）．
情況二，如圖1′，當(dāng)點M在點A的右側(cè)時，
由情況一同理可得點N的坐標(biāo)為．
②當(dāng)AC為菱形的對角線時，如圖2，
此時M，O重合，
四邊形OANC為正方形，
則點N（，）．

③如圖3，當(dāng)AC為菱形的邊，AM為菱形的對角線時，
此時點C，N關(guān)于x軸對稱，
∴點N（0，﹣）．
綜上，在平面直角坐標(biāo)系中存在點N，使以點A，C，N，M為頂點的四邊形為菱形，
此時點N的坐標(biāo)為：（，），，（，），（0，﹣）．
11．如圖，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線BC與x軸、y軸分別交于C、B兩點，連接BC，且OC＝OB．
（1）求點A的坐標(biāo)及直線BC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點M在x軸上，連接MB，當(dāng)∠MBA+∠CBO＝45°時，求點M的坐標(biāo)；
（3）若點P在x軸上，平面內(nèi)是否存在點Q，使點B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）對于直線y＝﹣x+4，令x＝0的y＝4，令y＝0得x＝4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OB＝OA＝4，
∵OC＝OB，
∴OC＝3，
∴C（﹣3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則有，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝x+4．
（2）如圖1中，
當(dāng)點M在點A的左邊時，
∵OB＝OA＝4，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝45°，
∴∠CBO+∠MBA＝∠MBA+∠MBO＝45°，
∴∠CBO＝∠OBM，
∵∠CBO+∠BCO＝90°，∠BMO+∠OBM＝90°，
∴∠BCO＝∠BMO，
∴BC＝BM，OC＝OM＝3，
∴M（3，0），
作點M關(guān)于直線AB的對稱點N，作直線BN交x軸于M1，則∠M1BA＝∠MBA，點M1滿足條件．
∵N（4，1），B（0，4），
∴直線BN的解析式為y＝﹣x+4，令y＝0，得x＝，
∴M1（，0），
綜上所述，滿足條件的點M的坐標(biāo)為（3，0）或（，0）．
（3）如圖2中，
∵BC＝＝5，
當(dāng)BC為菱形的邊時，四邊形CP1Q1B，四邊形CP3Q3B，四邊形BCQ2P2是菱形，此時Q1（﹣5，4），Q3（5，4），Q2（0，4），
當(dāng)BC是菱形的對角線時，四邊形CP4BQ4是菱形，可得Q4（﹣，4）．
綜上所述，滿足條件的點Q的坐標(biāo)為（﹣5，4）或（5，4）或（0，﹣4）或．
12．已知，一次函數(shù)y＝的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，與直線y＝相交于點C．過點B作x軸的平行線l．點P是直線l上的一個動點．
（1）求點A，點B的坐標(biāo)．
（2）求點C到直線l的距離．
（3）若S△AOC＝S△BCP，求點P的坐標(biāo)．
（4）若點E是直線y＝上的一個動點，當(dāng)△APE是以AP為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出點E的坐標(biāo)．
解：（1）∵一次函數(shù)y＝的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，
∴令y＝0，則＝0，
∴x＝8，
令x＝0，則y＝6，
∴點A、B的坐標(biāo)分別為：（8，0）、（0，6）；
（2）解：得，，
∴點C（3，），
則C到直線l的距離為6﹣＝；
（3）∵S△AOC＝×8×＝15＝S△BCP＝×BP×（yP﹣yC）＝BP×，
解得：BP＝，
故點P（，6）或（﹣，6）；
（4）設(shè)點E（m，m）、點P（n，6）；
①當(dāng)∠EPA＝90°時，
當(dāng)點P在y軸右側(cè)時，
當(dāng)點P在點E的左側(cè)時，如圖1，
∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，
∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，
∵△EMP≌△PNA（AAS），
則ME＝PN＝6，MP＝AN，
即m﹣n＝6，m﹣6＝8﹣n，
解得：m＝，
當(dāng)點P在點E的右側(cè)時，如圖，
同理可得m＝16，
當(dāng)∠EAP＝90°時，當(dāng)點P在y軸左側(cè)時，如圖2，
同理可得：m﹣8＝6，m＝8﹣n，
解得：m＝14，故點E（14，）；
故點E（，）或（14，）或（16，20）；
如圖3，
同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），
故MP＝EN，AM＝AN＝6，
即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14（不合題意舍去），
故點E（2，）；
綜上，E（，）或（16，20）或（2，）或（14，）．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+與y＝x相交于點A，與x軸交于點B．
（1）求點A，B的坐標(biāo)；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在一點C，使得以O(shè)，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，試求出所有符合條件的點C的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
（3）在直線OA上，是否存在一點D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，試求出所有符合條件的點D的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．
解：（1）∵直線y＝﹣x+與y＝x相交于點A，
∴聯(lián)立得，解得，
∴點A（1，1），
∵直線y＝﹣x+與x軸交于點B，
∴令y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，
∴B（3，0），
（2）存在一點C，使得以O(shè)，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形．
①如圖1，過點A作平行于x軸的直線，過點O作平行于AB的直線，兩直線交于點C，
∵AC∥x軸，OC∥AB，
∴四邊形CABO是平行四邊形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AC＝OB＝3，
∴C（﹣2，1），
②如圖2，過點A作平行于x軸的直線，過點B作平行于AO的直線，兩直線交于點C，
∵AC∥x軸，BC∥AO，
∴四邊形CAOB是平行四邊形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AC＝OB＝3，
∴C（4，1），
③如圖3，過點O作平行于AB軸的直線，過點B作平行于AO的直線，兩直線交于點C，
∵OC∥AB，BC∥AO，
∴四邊形CBAO是平行四邊形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AO＝BC，OC＝AB，
作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，
∴C（2，﹣1），
（3）在直線OA上，存在一點D，使得△DOB是等腰三角形，
①如圖4，當(dāng)OB＝OD時，作DE⊥x軸，交x軸于點E
∵OB＝3，點D在OA上，∠DOE＝45°
∴DE＝OE＝，
∴D（﹣，﹣），
②如圖5，當(dāng)OD＝OB時，作DE⊥x軸，交x軸于點E
∵OB＝3，點D在OA上，∠DOE＝45°
∴DE＝OE＝，
∴D（，），
③如圖6，當(dāng)OB＝DB時，
∵∠AOB＝∠ODB＝45°，
∴DB⊥OB，
∵OB＝3，
∴D（3，3），
④如圖7，當(dāng)DO＝DB時，作DE⊥x軸，交x軸于點E
∵∠AOB＝∠OBD＝45°，
∴OD⊥DB，
∵OB＝3，
∴OE＝，AE＝，
∴D（，）．
綜上所述，在直線OA上，存在點D（﹣，﹣），D（，），D（3，3）或D（，），使得△DOB是等腰三角形，
14．如圖，經(jīng)過點B（0，2）的直線y＝kx+b與x軸交于點C，與正比例函數(shù)
y＝ax的圖象交于點A（﹣1，3）
（1）求直線AB的函數(shù)的表達(dá)式；
（2）直接寫出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；
（3）求△AOC的面積；
（4）點P是直線AB上的一點，且知△OCP是等腰三角形，寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．
解：（1）依題意得：，
解得，
∴所求的一次函數(shù)的解析式是y＝﹣x+2．
（2）觀察圖形可知：不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；
x＜﹣1．
（3）對于y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2
∴C（1，0），
∴OC＝2．
∴S△AOC＝×2×3＝3．
（4）
①當(dāng)點P與B重合時，OP1＝OC，此時P1（0，2）；
②當(dāng)PO＝PC時，此時P2在線段OC的垂直平分線上，P2（1，1）；
③當(dāng)PC＝OC＝2時，設(shè)P（m．﹣m+2），
∴（m﹣2）2+（﹣m+2）2＝4，
∴m＝2±，
可得P3（2﹣，），P4（2+，﹣），
綜上所述，滿足條件的點P坐標(biāo)為：（1，1）或（0，2）或P（2+，﹣）或（2﹣，）．
15．如圖1，已知直線l1：y＝kx+4交x軸于A（4，0），交y軸于B．
（1）直接寫出k的值為 ﹣1 ；
（2）如圖2，C為x軸負(fù)半軸上一點，過C點的直線l2：經(jīng)過AB的中點P，點Q（t，0）為x軸上一動點，過Q作QM⊥x軸分別交直線l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；
（3）如圖3，已知點M（﹣1，0），點N（5m，3m+2）為直線AB右側(cè)一點，且滿足∠OBM＝∠ABN，求點N坐標(biāo)．
解：（1）把A（4，0）代入y＝kx+4，得0＝4k+4．
解得k＝﹣1．
故答案是：﹣1；
（2）∵在直線y＝﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），
∵A（4，0），
∴線段AB的中點P的坐標(biāo)為（2，2），代入，得n＝1，
∴直線l2為，
∵QM⊥x軸分別交直線l1、l2于M、N，Q（t，0），
∴M（t，﹣t+4），，
∴，MQ＝|﹣t+4|＝|t﹣4|，
∵M(jìn)N＝2MQ，
∴，分情況討論：
①當(dāng)t≥4時，，解得：t＝10．
②當(dāng)2≤t＜4時，，解得：．
③當(dāng)t＜2時，，解得：t＝10＞2，舍去．綜上所述：或t＝10．
（3）在x軸上取一點P（1，0），連接BP，
作PQ⊥PB交直線BN于Q，作QR⊥x軸于R，
∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PRQ＝90°，
∴∠BPO＝∠PQR，
∵OA＝OB＝4，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵M(jìn)（﹣1，0），
∴OP＝OM＝1，
∴BP＝BM，
∴∠OBP＝∠OBM＝∠ABN，
∴∠PBQ＝∠OBA＝45°，
∴PB＝PQ，
∴△OBP≌△RPQ（AAS），
∴RQ＝OP＝1，PR＝OB＝4，
∴OR＝5，
∴Q（5，1），
∴直線BN的解析式為，
將N（5m，3m+2）代入，得3m+2＝﹣×5m+4
解得 ，
∴．
16．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點（OA＜OB）且OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的兩個根，點C在x軸負(fù)半軸上，且AB：AC＝1：2
（1）求A、C兩點的坐標(biāo)；
（2）若點M從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AM，設(shè)△ABM的面積為S，點M的運動時間為t，寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）點P是y軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使以 A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）x2﹣（+1）x+＝0，
（x﹣）（x﹣1）＝0，
解得x1＝，x2＝1，
∵OA＜OB，
∴OA＝1，OB＝，
∴A（1，0），B（0，），
∴AB＝2，
又∵AB：AC＝1：2，
∴AC＝4，
∴C（﹣3，0）；
（2）∵AB＝2，AC＝4，BC＝2，
∴AB2+BC2＝AC2，
即∠ABC＝90°，
由題意得：CM＝t，CB＝2．
①當(dāng)點M在CB邊上時，S＝2﹣t（0≤t）；
②當(dāng)點M在CB邊的延長線上時，S＝t﹣2（t＞2）；
（3）存在．
①當(dāng)AB是菱形的邊時，如圖所示，
在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1點的坐標(biāo)為（﹣1，0），
在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2點的坐標(biāo)為（1，2），
在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3點的坐標(biāo)為（1，﹣2），
②當(dāng)AB為菱形的對角線時，如圖所示的菱形AP4BQ4，
設(shè)菱形的邊長為x，則在Rt△AP4O中，AP42＝AO2+P4O2，即x2＝12+（﹣x）2，解得x＝，
所以Q4（1，）．
綜上可得，平面內(nèi)滿足條件的Q點的坐標(biāo)為：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．
17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中．直線與x軸、y軸相交于A、B兩點，動點C在線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，此時點D恰好落在直線AB上時，過點D作DE⊥x軸于點E．
（1）求證：△BOC≌△CED；
（2）如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D'，當(dāng)直線B′C′經(jīng)過點D時，求點D的坐標(biāo)；
（3）若點P在y軸上，點Q在直線AB上．是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（1）證明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠BCO＝∠CDE，
在△BOC和△CED中，
，
∴△BOC≌△CED（AAS）
（2）∵△BOC≌△CED，
∴BO＝CE＝3，
設(shè)OC＝ED＝m，
∴D（m+3，m），
將D（m+3，m）代入直線，
∴m＝1，
∴D（4，1），
（3）解：當(dāng)CD為平行四邊形的邊時，如圖：
當(dāng)CD∥P1Q1時，
此時P1的橫坐標(biāo)為0，
∴Q1的橫坐標(biāo)為3，
∴y＝，
∴，
當(dāng)CD∥P2Q2時，
由D平移到P2，水平向左平移4個單位，
∴將C水平向左平移4個單位得Q2的橫坐標(biāo)為﹣3，
∴y＝，
∴，
當(dāng)CD為平行四邊形的對角線時，如圖：
由P3平移到C可知，水平向右平移1個單位，
∴Q3的橫坐標(biāo)為5，
∴，
綜上：Q（）或Q（）或Q（5，）
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、B，點C在y軸的負(fù)半軸上，若將△CAB沿直線AC折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點D處．
（1）點A的坐標(biāo)是 （3，0） ，點B的坐標(biāo)是 （0，4） ，AB的長為 5 ；
（2）求點C的坐標(biāo)；
（3）點M是y軸上一動點，若S△MAB＝S△OCD，直接寫出點M的坐標(biāo)．
（4）在第一象限內(nèi)是否存在點P，使△PAB為等腰直角三角形，若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）令x＝0得：y＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4
令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，
∴A（3，0）．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB＝＝5．
故答案為：（3，0），（0，4），5；
（2）由折疊的性質(zhì)可知BC＝CD，AB＝AD＝5，
∴OD＝OA+AD＝8，
設(shè)OC＝x，則CD＝CB＝x+4，
在Rt△OCD中，CD2＝OC2+OD2，
∴（x+4）2＝x2+82，
解得：x＝6，
∴OC＝6，
∴C（0，﹣6）；
（3）∵S△OCD＝×6×8＝24，S△MAB＝S△OCD，
∴S△MAB＝×24＝8，
設(shè)點M的坐標(biāo)為（0，y），
∴S△MAB＝×3×|4﹣y|＝8，
解得：y＝或y＝﹣，
∴點M的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）；
（4）存在，理由如下：
①若∠BAP＝90°，AB＝AP，如圖，過點P作PG⊥OA交A于點G，
∵∠BAP＝90°，AB＝AP，
∴∠OAB+∠PAG＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠PAG＝∠OBA，
∵∠AOB＝∠PGA＝90°，AB＝AP，
∴△AOB≌△PGA（AAS），
∴OB＝AG＝4．OA＝PG＝3，
∴OG＝OA+AG＝7．
∴此時點P的坐標(biāo)為（7，3）；
②若∠ABP＝90°，AB＝BP，如圖，過點P作PH⊥OB交OB點H，
同理可得，此時點P的坐標(biāo)為（4，7）；
③若∠APB＝90°，BP＝AP，如圖，過點P作PM⊥OA交OA于點M，PN⊥OB交OB于點N，
∵∠BPA＝90°，
∴∠BPN+∠NPA＝90°，
∵∠NPA+∠APM＝90°，
∴∠BPN＝∠APM，
∴△BPN≌△APM（AAS），
∴PN＝PM，BN＝AM，
設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，a），
∴4﹣a＝a﹣3，解得：a＝，
∴此時點P的坐標(biāo)為（，），
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（7，3）或（4，7）或（，）．
19．如圖，直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+b分別與x軸、y軸交于點A（3，0），點B（0，﹣4），過D（0，8）作平行x軸的直線CD，交AB于點C，點E（0，m）在線段OD上，延長CE交x軸于點F，點G在x軸正半軸上，且AG＝AF．
（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)點E恰好是OD中點時，求△ACG的面積．
（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
解：（1）將點A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b并解得：
k＝，b＝﹣4，
故直線的表達(dá)式為：；
（2）當(dāng)y＝8時，
解得x＝9，
∴點C的坐標(biāo)為（9，8），
∴CD＝9，
∵E是OD中點，
∴DE＝OE，
則△EDC≌△EOF（AAS），
∴OF＝CD＝9，
∴AG＝AF＝OF+OA＝12，
過點C作CH⊥x軸于點H，
∴；
（3）①當(dāng)∠FCG＝90°時，
AG＝AF，則AC是中線，則AF＝AC＝＝10，
故點F（﹣7，0），
由點C、F的坐標(biāo)可得：直線CF的表達(dá)式為：y＝（x+7），
故點E（0，），則m＝；
②當(dāng)∠CGF＝90°時，則點G（9，0），
則AF＝AG＝6，
故點F（﹣3，0），
同理直線CF的表達(dá)式為：y＝（x+3），
故m＝2；
綜上，m＝或2．
20．如圖直線l：y＝kx+6與x軸、y軸分別交于點B、C兩點，點B的坐標(biāo)是（﹣8，0），點A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．
（1）求k的值．
（2）若點P是直線l在第二象限內(nèi)一個動點，當(dāng)點P運動到什么位置時，△PAC的面積為3，求出此時直線AP的解析式．
（3）在x軸上是否存在一點M，使得△BCM為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵直線l：y＝kx+6過點B（﹣8，0），
∴0＝﹣8k+6，
∴k＝．
（2）當(dāng)x＝0時，y＝x+6＝6，
∴點C的坐標(biāo)為（0，6）．
依照題意畫出圖形，如圖1所示，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x+6），
∴S△PAC＝S△BOC﹣S△BAP﹣S△AOC，
＝×8×6﹣×2（x+6）﹣×6×6，
＝﹣x＝3，
∴x＝﹣4，
∴點P的坐標(biāo)為（﹣4，3）．
設(shè)此時直線AP的解析式為y＝ax+b（a≠0），
將A（﹣6，0），P（﹣4，3）代入y＝ax+b，
得：，解得：，
∴當(dāng)點P的坐標(biāo)為（﹣4，3）時，△PAC的面積為3，此時直線AP的解析式為y＝x+9．
（3）在Rt△BOC中，OB＝8，OC＝6，
∴BC＝＝10．
分三種情況考慮（如圖2所示）：
①當(dāng)CB＝CM時，OM1＝OB＝8，
∴點M1的坐標(biāo)為（8，0）；
②當(dāng)BC＝BM時，BM2＝BM3＝BC＝10，
∵點B的坐標(biāo)為（﹣8，0），
∴點M2的坐標(biāo)為（2，0），點M3的坐標(biāo)為（﹣18，0）；
③當(dāng)MB＝MC時，設(shè)OM＝t，則M4B＝M4C＝8﹣t，
∴CM42＝OM42+OC2，即（8﹣t）2＝t2+62，
解得：t＝，
∴點M4的坐標(biāo)為（﹣，0）．
綜上所述：在x軸上存在一點M，使得△BCM為等腰三角形，點M的坐標(biāo)為（﹣18，0），（﹣，0），（2，0）或（8，0）．
21．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線l：y＝﹣x+m與x、y軸的正半軸分別相交于點A、B，過點C（﹣4，﹣4）畫平行于y軸的直線交直線AB于點D，CD＝10
（1）求點D的坐標(biāo)和直線l的解析式；
（2）求證：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如圖2，將直線l沿y軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移適當(dāng)?shù)木嚯x時，直線l與x、y軸分別相交于點A′、B′，在直線CD上存在點P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．（不必書寫解題過程）
解：（1）∵CD＝10，點C的坐標(biāo)為（﹣4，﹣4），
∴點D的坐標(biāo)為（﹣4，6），
把點D（﹣4，6）代入得，m＝4．
∴直線l的解析式是；
（2）∵，
∴A（8，0），B（0，4），
過點C畫CH⊥y軸于H，則CH＝OH＝4，BH＝8．
在△AOB和△BHC中，
∵AO＝BH，∠AOB＝∠BHC，BO＝CH，
∴△AOB≌△BHC，
∴AB＝BC，∠HBC＝∠OAB，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3）p（﹣4，﹣）或（﹣4，8）或（﹣4，﹣12）或（﹣4，﹣4）或（﹣4，4）．
22．直線y＝kx﹣4與x軸、y軸分別交于B、C兩點，且＝．
（1）求點B的坐標(biāo)和k的值；
（2）若點A時第一象限內(nèi)的直線y＝kx﹣4上的一動點，則當(dāng)點A運動到什么位置時，△AOB的面積是6？
（3）在（2）成立的情況下，x軸上是否存在點P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵直線y＝kx﹣4與x軸、y軸分別交于B、C兩點，
∴點C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵＝，
∴OB＝3，
∴點B（3，0），
∴3k﹣4＝0，
解得：k＝；
（2）設(shè)A的縱坐標(biāo)為h，
∵S△AOB＝OB?h＝6，且OB＝3，
∴h＝4，
∵直線BC的解析式為：y＝x﹣4，
∴當(dāng)y＝4時，4＝x﹣4，
解得：x＝6，
∴點A（6，4），
∴當(dāng)點A運動到（6，4）時，△AOB的面積是6；
（3）存在．
∵A（6，4），
∴OA＝＝2，
①若OP＝OA＝2，則點P1（2，0），P2（﹣2，0）；
②若OA＝AP，
過點A作AM⊥x軸于點M，則PM＝OM＝6，
∴P3（12，0）；
③若OP＝AP，過點P作PN⊥OA于點N，
則ON＝AN＝OA＝，
∵∠ONP＝∠OMA，∠PON＝∠AOM，
∴△OPN∽△OAM，
∴，
∴，
解得：OP＝，
∴P4（，0）；
綜上所述：點P1（2，0），P2（﹣2，0），P3（12，0），P4（，0）．
23．如圖，一次函數(shù)y1＝x+n與x軸交于點B，一次函數(shù)y2＝﹣x+m與y軸交于點C，且它們的圖象都經(jīng)過點D（1，﹣）．
（1）則點B的坐標(biāo)為 （，0） ，點C的坐標(biāo)為 （0，﹣1） ；
（2）在x軸上有一點P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值；
（3）在（2）的條件下，在y軸的右側(cè)，以CP為腰作等腰直角△CPM，直接寫出滿足條件的點M的坐標(biāo)．
解：（1）將D（1，﹣）代入y＝x+n，解得n＝﹣3，
即y＝x﹣3，當(dāng)y＝0時，x﹣3＝0．
解得x＝，
即B點坐標(biāo)為（，0）；
將（1，﹣）代入y＝﹣x+m，解得m＝﹣1，
即y＝﹣x﹣1，當(dāng)x＝0時，y＝﹣1．
即C點坐標(biāo)為（0，﹣1）；
故答案為：（，0），（0，﹣1）；
（2）如圖1，
S△BDP＝（t﹣）×|﹣|＝，
當(dāng)y＝0時，﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣，即E點坐標(biāo)為（﹣，0），
S△CDP＝S△DPE﹣S△CPE＝（t+）×﹣×（t+）×|﹣1|＝，
由△BDP和△CDP的面積相等，
得：＝+，
解得t＝5.2；
（3）以CP為腰作等腰直角△CPM，有以下兩種情況：
①如圖2，當(dāng)以點C為直角頂點，CP為腰時，
點M1在y軸的左側(cè)，不符合題意，
過M2作M2A⊥y軸于A，
∵∠PCM2＝∠PCO+∠ACM2＝∠PCO+∠OPC＝90°，
∴∠ACM2＝∠OPC，
∵∠POC＝∠CAM2，PC＝CM2，
∴△POC≌△CAM2（AAS），
∴PO＝AC＝5.2，OC＝AM2＝1，
∴M2（1，﹣6.2）；
②如圖3，當(dāng)以點P為直角頂點，CP為腰時，
過M4作M4E⊥x軸于E，
同理得△COP≌△PEM4，
∴OC＝EP＝1，OP＝M4E＝5.2，
∴M4（6.2，﹣5.2），
同理得M3（4.2，5.2）；
綜上所述，滿足條件的點M的坐標(biāo)為（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與y軸交于點A（0，4），與直線y＝﹣x﹣1在第四象限相交于點B，連接OB，△AOB的面積為6．
（1）求點B的坐標(biāo)及直線AB的解析式；
（2）已知點M在直線AB右側(cè)，且△MAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，請求出符合條件的點M的坐標(biāo)．
解：（1）∵點A（0，4），
∴OA＝4，
∵△AOB的面積為6，
∴OA?xB＝6，即?xB＝6，
∴xB＝3，
把x＝3代入y＝﹣x﹣1得，y＝﹣2，
∴B（3，﹣2）；
∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過點A（0，4），B（3，﹣2），
∴，解得，
∴直線AB的解析式為y＝﹣2x+4；
（2）如圖，作M1N⊥y軸于N，BD⊥y軸于D，
∵△M1AB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，
∴AM1＝AB，∠M1AB＝90°，
∴∠M1AN+∠BAD＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠M1AN＝∠ABD，
在△AM1N和△BAD中，
，
∴△AM1N≌△BAD（AAS），
∴M1N＝AD，AN＝BD，
∵點A（0，4），B（3，﹣2），
∴OA＝4，BD＝3，OD＝2，
∴AD＝6，
∴M1N＝AD＝6，AN＝BD＝3，
∴ON＝OA+AN＝4+3＝7，
∴M1（6，7），
同理，M2（9，1），
故M點的坐標(biāo)為（6，7）或（9，1）．
25．綜合與探究：
如圖，直線l1：y＝x+3與過點A（3，0）的直線l2：y＝kx+b（k≠0）交于點C（1，m）與x軸交于點B．
（1）求直線l2對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）請直接寫出不等式kx+b＜x+3的解集；
（3）若點N在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線l1上是否存在點F使以A，B，F(xiàn)，N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）把x＝1代入y＝x+3，得y＝4，
∴C（1，4），
∵直線l2對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx+b，
由點C（1，4）、A（3，0）得：，
解得：，
∴直線l2對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+6；
（2）∵直線l1：y＝x+3與直線l2：y＝kx+b（k≠0）交于點C（1，4），
由圖可得：不等式kx+b＜x+3的解集為x＞1；
（3）存在，理由如下：
∵直線l1：y＝x+3與x軸交于點B．
∴B（﹣3，0），
∵A（3，0），
∴AB＝6，
設(shè)F（m，m+3），
∴AF2＝（m﹣3）2+（m+3）2，BF2＝（m+3）2+（m+3）2，
分兩種情況：
①以AB為對角線時，如圖：
∵以A，B，F(xiàn)，N為頂點的四邊形為菱形，
∴AF＝BF，
∴AF2＝BF2，
∴（m﹣3）2+（m+3）2＝（m+3）2+（m+3）2，
解得m＝0，
∴F（0，3），
∵B（﹣3，0），A（3，0），
∴N（0，﹣3）；
②以AB為邊時，如圖：
∵以A，B，F(xiàn)，N為頂點的四邊形為菱形，
∴AB＝BF，
∴AB2＝BF2，
∴62＝（m+3）2+（m+3）2，
解得m＝3﹣3或﹣3﹣3，
∴F（3﹣3，3）或（﹣3﹣3，﹣3），
∵B（﹣3，0），A（3，0），
∴N（3+3，3）或（﹣3+3，﹣3）；
同理N″（﹣3，6），
綜上所述：存在，點N的坐標(biāo)為（0，﹣3）或（3+3，3）或（﹣3+3，﹣3）或（﹣3，6）．
26．一次函數(shù)y＝kx+（k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A（1，0）、B（0，m）兩點．
（1）求一次函數(shù)解析式和m的值；
（2）將線段AB繞著點A旋轉(zhuǎn)，點B落在x軸負(fù)半軸上的點C處．點P在直線AB上，直線CP把△ABC分成面積之比為2：1的兩部分．求直線CP的解析式；
（3）在第二象限是否存在點D，使△BCD是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）把點A（1，0），B（0，m）代入y＝kx+，
得，解得，，
∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣+，m的值為；
（2）過點P作PQ⊥x軸，垂足為點Q，
由（1）得，B（0，），點A（1，0），
∴OA＝1，OB＝，AB＝＝2，
∵線段A繞著點A旋轉(zhuǎn)，點B落在x軸負(fù)半軸上的點C處，
∴AB＝AC＝2，
∴C（﹣1，0），
∴S△ABC＝＝＝，
若直線CP把△ABC分成面積之比為2：1的兩部分，則有以下兩種情況：
①當(dāng)S△BCP：S△ACP＝2：1時，S△ACP＝S△ABC＝，
∴P1Q1＝＝，
∴點P1的縱坐標(biāo)為，
將其代入一次函數(shù)y＝﹣+得，點P1的坐標(biāo)為（，），
設(shè)直線CP1的解析式為y＝m1x+n1，將點C（﹣1，0），點P1（，）代入得，
，
解得，
∴直線CP1的解析式y(tǒng)＝x+；
②當(dāng)S△BCP：S△ACP＝1：2時，S△ACP＝S△ABC＝，
∴P2Q2＝＝，
將其代入一次函數(shù)y＝﹣+得，點P2的坐標(biāo)為（，），
設(shè)直線CP2的解析式為y＝m2x+n2，將點C（﹣1，0），點P2（，）代入得，
，
解得
∴直線CP2的解析式y(tǒng)＝x+；
綜上所述：直線CP的解析式y(tǒng)＝x+或y＝x+；
（3）存在，
∵△BCD是以BC為腰的等腰直角三角形，
①當(dāng)BC＝CD1時，
∵∠BCD1＝90°，
∴∠M1CD1+∠OCB＝∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠M1CD1＝∠OBC，
在Rt△M1CD1和Rt△OBC中，
，
∴Rt△M1CD1≌Rt△OBC（AAS），
∴CM1＝OB＝，D1M1＝OC＝1，
∴點D1（﹣﹣1，1）；
②當(dāng)BC＝BD2時，類比①可證Rt△BD2M2≌Rt△CBO（AAS），
∴BM2＝OC＝1，D2M2＝OB＝，
∴點D2（﹣，）；
綜上所述，D點坐標(biāo)（﹣﹣1，1）或（﹣，）．
27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，且與正比例函數(shù)y＝k2x的圖象交點為C（3，4）．
（1）求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式．
（2）若點D在第二象限，△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，請求出點D的坐標(biāo)．
（3）在y軸上是否存在一點P使△POC為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．
解：（1）A（﹣3，0），C（3，4）代入y＝k1x+b得：
，解得，
∴一次函數(shù)關(guān)系式為y＝x+2，
C（3，4）代入y＝k2x得：
4＝3k2，解得k2＝，
∴正比例函數(shù)關(guān)系式為y＝x；
（2）①∠DAB＝90°，過D作DE⊥x軸于E，如圖：
由y＝x+2可得B（0，2），
∴OB＝2，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴AB＝＝，
∵△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，
∴AD＝AB，∠ADE＝90°﹣∠DAE＝∠OAB，
而∠DEA＝∠AOB＝90°，
∴△ADE≌△BAO（AAS），
∴AE＝OB＝2，DE＝OA＝3，
∴OE＝OA+AE＝5，
∴D（﹣5，3），
②∠ABD＝90°，過D作DE⊥y軸于E，如圖：
同①可得：BE＝OA＝3，DE＝OB＝2，
∴OE＝5，
∴D（﹣2，5），
綜上所述，△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，D坐標(biāo)為（﹣5，3）或（﹣2，5）；
（3）存在y軸上的點P，使△POC為等腰三角形，理由如下：
設(shè)點P（0，m），而C（3，4），O（0，0），
∴OC＝5，OP＝|m|，CP＝，
①當(dāng)OP＝OC時，|m|＝5，
∴m＝±5，
∴P（0，5）或（0，﹣5），
②當(dāng)CP＝OC時，＝5，
∴m＝8或m＝0（舍），
∴P（0，8），
③當(dāng)CP＝OP時，＝|m|，
∴m＝，
∴P（0，），
綜上所述，△POC為等腰三角形，P坐標(biāo)為（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．
28．在學(xué)習(xí)一元一次不等式與一次函數(shù)的過程中，小新在同一個坐標(biāo)系中發(fā)現(xiàn)直線l1：y1＝﹣x+3與坐標(biāo)軸相交于A，B兩點，直線l2：y2＝kx+b（k≠0）與坐標(biāo)軸相交于C，D兩點，兩直線相交于點E，且點E的橫坐標(biāo)為2．已知OC＝，點P是直線l2上的動點．
（1）求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；
（2）過點P作x軸的垂線與直線l1和x軸分別相交于M，N兩點，當(dāng)點N是線段PM的三等分點時，求P點的坐標(biāo)；
（3）若點Q是x軸上的動點，是否存在以A，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）將點E的橫坐標(biāo)2代入直線l1：y1＝﹣x+3，
得y1＝﹣2+3＝1，
∴點E（2，1），
∵OC＝，
∴C（，0），
將點E和點C坐標(biāo)代入直線l2：y2＝kx+b，
得，
解得，
∴直線l2：y2＝x﹣2；
（2）設(shè)點N的坐標(biāo)為（t，0），
則點P（t，t﹣2），M（t，﹣t+3），
當(dāng)點P在點E的左側(cè)時，如圖所示：
則PN＝2﹣t，MN＝﹣t+3，
∵點N是線段PM的三等分點，
∴MN＝2PN或PN＝2MN，
當(dāng)MN＝2PN時，﹣t+3＝2（2﹣t），
解得t＝，
∴P（，），
當(dāng)PN＝2MN時，2﹣t＝2（﹣t+3），
解得t＝8（舍），
當(dāng)點P在點E右側(cè)時，如圖所示：
PN＝，MN＝t﹣3，
∵點N是線段PM的三等分點，
∴MN＝2PN或PN＝2MN，
當(dāng)MN＝2PN時，t﹣3＝2（），
解得t＝（舍），
當(dāng)PN＝2MN時，
＝2（t﹣3），
解得t＝8，
∴P（8，10），
綜上，點P的坐標(biāo)為（，）或（8，10）；
（3）存在以A，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，
設(shè)點Q（m，0），P（n，），
∵A（0，3），E（2，1），
①以AE，PQ為對角線時，
得，
解得，
∴點P（4，4），
②以AP，EQ為對角線時，
得，
解得，
∴P（0，﹣2）；
③以AQ，EP為對角線時，
得，
解得，
∴P（，2），
綜上，點P坐標(biāo)為（4，4）或（0，﹣2）或（，2）．
29．（1）認(rèn)識模型：
如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．求證：△BEC≌△CDA；
（2）應(yīng)用模型：
①已知直線y＝﹣2x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段CB，求點C的坐標(biāo)；
②如圖3，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點，B的坐標(biāo)為（5，4），A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動點，已知點D在第一象限，且是直線y＝2x﹣3上的一點，點Q是平面內(nèi)任意一點．若四邊形ADPQ是正方形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo)．
證明：（1）∵AD⊥DE．BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）．
（2）①如圖2中，過C作CD⊥x軸于點D，
直線y＝﹣2x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，
令y＝0可求得x＝2，令x＝0可求得y＝4，
∴A（0，4），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
同（1）可證得△CDB≌△BOA，
∴CD＝BO＝2，BD＝AO＝4，
∴OD＝2+4＝6，
∴C（6，2）．
②如圖3﹣1中，當(dāng)四邊形ADPQ是正方形時，設(shè)D（m，2m﹣3）．
過點D作DE⊥y軸于E交CB的延長線于F．
∵∠AED＝∠F＝∠ADP＝90°，
∴∠ADE+∠PDF＝90°，∠PDF+∠DPF＝90°，
∴∠ADE＝∠DPF，
∵AD＝DP，
∴△ADE≌△DPF（AAS），
∴AE＝DF，
∵B（5，4），
∴OC＝5，OA＝4，
∴m+2m﹣3﹣4＝5，
解得m＝4，此時D（4，5）．
如圖3﹣2中，當(dāng)四邊形ADPQ是正方形時，同法可得D（2，1）．
綜上所述，滿足條件的點D的坐標(biāo)為（4，5）或（2，1）．
30．如圖，四邊形OABC為矩形，其中O為原點，A、C兩點分別在x軸和y軸上，點B的坐標(biāo)是（4，6），將矩形沿直線DE折疊，使點C落在AB邊上點F處，折痕分別交OC、BC于點E、D，且點D的坐標(biāo)是（，6）．
（1）求BF的長度；
（2）如圖2，點P在第二象限，且△PDE≌△CED，求直線PE的解析式；
（3）若點M為直線DE上一動點，在x軸上是否存在點N，使以M、N、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）由題可得，△CDE≌△FDE，
則，DF＝CD＝，
∵B（4，6），四邊形OABC為矩形，
∴BC＝4，∠B＝90?，
∴BD＝BC﹣CD＝，
在Rt△DBF中，
；
（2）如圖1，由（1）得，△CDE≌△FDE，
又△PDE≌△CED，
∴△PDE≌△CED≌△FED，
∴PD＝CE＝FE，PE＝CD＝FE＝，
∴四邊形PEFD為平行四邊形，
又∠B＝90°，
∴?PEFD為矩形，
又AF＝AB﹣BF＝6﹣2＝4，
∴F（4，4），
過E作EG⊥AB于G，
則四邊形AOEG，EGBC為矩形，
設(shè)OE＝AG＝a，則，F(xiàn)G＝4﹣a，EG＝BC＝4，CE＝6﹣a
又EF＝EC，
則42+（4﹣a）2＝（6﹣a）2，
∴a＝1，
∴E（0，1），
連接PF交DE于點M，
則M為PF，DE的中點，
∵D（），E（0，1），
∴M（），
∴P（）；
設(shè)直線PE的解析式為：y＝kx+1，
代入點P，得，，
解得，k＝，
∴直線PE的解析式為：；
（3設(shè)直線DE的解析式為：y＝k1x+1，代入點，
解得，k1＝2，
∴y＝2x+1，
設(shè)M（m，2m+1），N（xN，0），
①如圖2，當(dāng)MF為對角線，DN為另一條對角線時，
連接MF，DN交于點K，則K為MF，DN的中點，
，
即，
解得，
∴N（2，0），
②如圖，當(dāng)DF為對角線，MN為另一條對角線時，
，
解得，
∴N（2，0），
③如圖4，當(dāng)DM為對角線，NF為另一條對角線時，
，
解得，
∴N（﹣3，0），
綜上所述，N（2，0）或（﹣3，0）．

相關(guān)學(xué)案

中考數(shù)學(xué)解題大招復(fù)習(xí)講義(全國通用)專題52一次函數(shù)背景下的將軍飲馬問題(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)解題大招復(fù)習(xí)講義(全國通用)專題52一次函數(shù)背景下的將軍飲馬問題(原卷版+解析)，共43頁。學(xué)案主要包含了求線段之和的最小值等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)解題大招復(fù)習(xí)講義(全國通用)專題51一次函數(shù)的平行、垂直、面積問題(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)解題大招復(fù)習(xí)講義(全國通用)專題51一次函數(shù)的平行、垂直、面積問題(原卷版+解析)，共39頁。學(xué)案主要包含了變1-1，變1-2，變2-1，變2-2，變3-1，變3-2等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)解題大招復(fù)習(xí)講義(全國通用)模型16胡不歸最值問題(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)解題大招復(fù)習(xí)講義(全國通用)模型16胡不歸最值問題(原卷版+解析)，共43頁。學(xué)案主要包含了模型總結(jié)，問題解決，變式1-1，變式1-2，變式1-3，變式2-1，變式2-2，變式2-3等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

（全國通用）備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講義+強(qiáng)化訓(xùn)練 第十四講 一次函數(shù)、二次函數(shù)背景下的存在性問題（講義）學(xué)案

（全國通用）備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講義+強(qiáng)化訓(xùn)練 第十四講 一次函數(shù)、二次函數(shù)背景下的存在性問題（講義）學(xué)案
（全國通用）備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講義+強(qiáng)化訓(xùn)練 第十三講 一次函數(shù)、二次函數(shù)背景下的最值問題（講義）學(xué)案

（全國通用）備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講義+強(qiáng)化訓(xùn)練 第十三講 一次函數(shù)、二次函數(shù)背景下的最值問題（講義）學(xué)案
2021中考數(shù)學(xué)壓軸題題型：專題8二次函數(shù)與矩形正方形存在性問題（含原卷及解析卷）

2021中考數(shù)學(xué)壓軸題題型：專題8二次函數(shù)與矩形正方形存在性問題（含原卷及解析卷）
2021中考數(shù)學(xué)壓軸題題型：專題7二次函數(shù)與菱形存在性問題（含原卷及解析卷）

2021中考數(shù)學(xué)壓軸題題型：專題7二次函數(shù)與菱形存在性問題（含原卷及解析卷）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部