·考試要求·1．了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系的定義，歸納出有關(guān)平行的性質(zhì)定理和判定定理，并加以證明．2．掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．
必備知識 落實“四基”
自查自測知識點一　直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)若一條直線與一個平面沒有公共點，則這條直線與這個平面平行．(　　)(2)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線和這個平面平行．(　　)(3)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線．(　　)(4)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內(nèi)的所有直線．(　　)
核心回扣1．判定定理：文字語言：如果平面外一條直線與________的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．符號表示：a?α，b?α，______?a∥α.2．性質(zhì)定理：文字語言：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與______平行．符號表示：a∥α，a?β，α∩β＝b?______．
注意點：應(yīng)用判定定理時，要注意“內(nèi)”“外”“平行”三個條件必須同時具備，缺一不可．應(yīng)用性質(zhì)定理時要體會輔助面的作用.
自查自測知識點二　平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)如果一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．(　　)(2)若直線a∥平面α，a∥平面β，則α∥β.(　　)(3)如果兩個平面平行，那么這兩個平面內(nèi)的所有直線都相互平行．(　　)
2．如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________.?平行四邊形　解析：因為平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．
核心回扣1．判定定理：如果兩個平面內(nèi)的兩條__________與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．符號表示：a，b?α，a∩b＝P，______，______?α∥β.2．性質(zhì)定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面______，那么兩條______平行．符號表示：α∥β，α∩γ＝a，_________?a∥b.
注意點：判定平面α與平面β平行時，必須具備兩個條件：(1)平面α內(nèi)兩條相交直線a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P；(2)兩條相交直線a，b都與平面β平行，即a∥β，b∥β.
【常用結(jié)論】1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.3．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.4．若α∥β，a?α，則a∥β.5．兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．6．如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行．
應(yīng)用1　(多選題)下列命題中，真命題為(　　)A．若α，β都垂直于平面γ，則α∥βB．若α，β都平行于平面γ，則α∥βC．若α，β都垂直于直線l，則α∥βD．若l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，則α∥β
BCD　解析：易知在正方體中相鄰兩個側(cè)面都垂直于底面，故A錯誤．由平面平行的傳遞性可知B正確．由常用結(jié)論1可知C正確．過直線l作平面γ與α，β分別交于l1，l2，過直線m作平面δ與α，β分別交于m1，m2(圖略)．因為l∥α，l∥β，所以l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2.因為l1?β，l2?β，所以l1∥β.同理m1∥β，又l，m是兩條異面直線，所以l1，m1相交，且l1?α，m1?α，所以α∥β，故D正確．
核心考點 提升“四能”
　　　　　 直線、平面平行的基本問題1．(多選題)已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列命題正確的是(　　)A．a(chǎn)∥c，b∥c?a∥bB．a(chǎn)∥β，b∥β?a∥bC．a(chǎn)∥c，c∥α?a∥αD．a(chǎn)?α，b?α，a∥b?a∥αAD　解析：由平行的傳遞性知a∥b，故A正確；若a∥β，b∥β，則a，b共面或異面，故B錯誤；若a∥c，c∥α，則a∥α或a?α，故C錯誤；由a?α，b?α，a∥b，根據(jù)線面平行的判定定理，可得a∥α，故D正確．
2．(2024·煙臺模擬)設(shè)α，β為兩個不同的平面，則α∥β的一個充要條件是(　　)A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α，β垂直于同一個平面C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一條直線D　解析：α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行推不出α∥β，故A不符合題意；由α，β垂直于同一個平面，可得α∥β或α與β相交，故B不符合題意；由α，β平行于同一條直線，可得α∥β或α與β相交，故C不符合題意；α，β垂直于同一條直線?α∥β，故D符合題意．
3．已知三條不重合的直線l，m，n和三個不重合的平面α，β，γ，現(xiàn)給出下列三個命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個數(shù)為(　　)A．3B．2C．1D．0
C　解析：兩條異面直線分別在兩個平面內(nèi)，這兩個平面可能平行，也可能相交，故①錯誤；兩個平行平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線的位置關(guān)系是平行或異面，故②錯誤；因為l∥γ，l?α，α∩γ＝n，所以由線面平行的性質(zhì)定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正確．因此真命題的個數(shù)為1.
解決有關(guān)平行關(guān)系的注意點(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理中，條件“線在面外”易忽視．(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷．(3)可舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確．
　　　　　直線、平面平行的判定與性質(zhì)【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面PAD為正三角形，M為線段PD上一點，N為BC的中點．
解決線面平行問題的關(guān)鍵點(1)利用判定定理判定直線與平面平行，關(guān)鍵是找出平面內(nèi)與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內(nèi)是否存在直線與已知直線平行，若不存在，則需作出該直線，?？紤]作三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一個平面找其交線．(2)線面平行的性質(zhì)定理是空間圖形中產(chǎn)生線線平行的主要途徑，常用于作截面．
1．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點E，F(xiàn)分別是棱A1C1，BC的中點，下列結(jié)論不正確的是(　　)?A．CC1∥平面A1ABB1B．AF∥平面A1B1C1C．EF∥平面A1ABB1D．AE∥平面B1BCC1
因為EC1∥AC，且EC1≠AC，所以AE與CC1相交，設(shè)交點為M.因為CM?平面B1BCC1，所以AE與平面B1BCC1不平行，故D錯誤．
2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________，平面A1B1C1D1內(nèi)與EF平行的線段是________.
　　　　　 面面平行的判定與性質(zhì)及平行關(guān)系的綜合問題考向1　面面平行的判定與性質(zhì)【例2】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．
(1)求證：BC∥GH；證明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.因為平面BCHG∩平面ABC＝BC，平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，所以BC∥GH.
(2)若E，F(xiàn)，G分別為AB，AC，A1B1的中點，求證：平面EFA1∥平面BCHG.證明：因為E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，所以EF∥BC.因為EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因為G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1∥AB，A1B1＝AB，所以A1G∥EB，A1G＝EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.因為A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因為A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.
[變式]　本例(2)中，若把“E，F(xiàn)，G分別為AB，AC，A1B1的中點”改為“D1，D分別為B1C1，BC的中點”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明：如圖，連接A1C交AC1于點M，連接MD.因為四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點．因為D為BC的中點，所以A1B∥DM.因為A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1.因為DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1.因為DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.
證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)．(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．
考向2　平行關(guān)系的綜合問題【例3】如圖，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，截面是平行四邊形．
(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；證明：因為四邊形EFGH是平行四邊形，所以EF∥HG.因為HG?平面ABD，EF?平面ABD，所以EF∥平面ABD.因為EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB.因為AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.同理可證CD∥平面EFGH.
在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”．
2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點．
(1)求證：平面MNQ∥平面PCD.證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點，所以NQ∥AB∥CD，MQ∥PC.因為NQ?平面PCD，CD?平面PCD，MQ?平面PCD，PC?平面PCD，所以NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD.因為NQ∩MQ＝Q，NQ，MQ?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PCD.

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