注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到，再利用集合的運算，即可求出結(jié)果.
【詳解】由，得到，所以，又，
所以，
故選：C.
2. 若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用復數(shù)的運算法則，得到，再利用復數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，其對應的坐標為，
故選：C.
3. 已知向量，滿足，，則（ ）
A. 3B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知得，，進而兩式作差并整理即可得答案.
【詳解】因為向量，滿足，，
所以，，
即， ①
， ②
所以，得：，即，
所以.
故選：D
4. 的展開式中的系數(shù)為（ ）
A. B. C. 40D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二項式展開式的通項特征即可求解.
【詳解】展開式中含的項為，
所以的系數(shù)為，
故選：D
5. 函數(shù)在（）內(nèi)沒有最小值，且存在，使得，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通過取特殊值排除驗證即可.
【詳解】當時，此時
，
，，不滿足存在，使得，故排除A,D
當時，此時，
，，
，
，，此時不滿足題意，故排除C
綜上所述B正確
故選：B
6. 若為銳角，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)化簡，可求，進而求出.
【詳解】因為，
所以
，
所以，
因為為銳角，故.
故選：B
7. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的定義域及單調(diào)性得出參數(shù)范圍即可.
【詳解】因為對數(shù)的定義域，得或，
又因為4a2+1-4a=2a-12>0,所以4a2+1>4a,
因為，所以可得,
因為，可得,
所以.
故選：B.
8. 已知函數(shù)，若的圖象上存在兩點，，使得的圖象在，處的切線互相垂直，且過點只能作1條切線與的圖象相切，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題設得到，設過點的直線與相切于點，利用導數(shù)的幾何意義及過兩點直線的斜率得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關系，求出單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合的圖象與題設條件，即可求出結(jié)果.
【詳解】設，，因為，所以，
由題有有解，
又，所以，即，
設過點的直線與相切于點，
則有，整理得到，
令，則，
由，得到或，由，得到，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為，1,+∞，遞減區(qū)間為0,1，
又當時，，當時，，
當時，，當時，，
的圖象如圖，又過點只能作1條切線與的圖象相切，
所以或，又，所以或，

故選：C.
【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于，通過設過點的直線與相切于點，根據(jù)題設得到，從而將問題轉(zhuǎn)化成只有一解，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可解決問題.
二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9. 下圖為2024年中國大學生使用APP偏好及目的統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖，下列關于2024年中國大學生使用APP的結(jié)論正確的是（ ）
A. 超過大學生更愛使用購物類APP
B. 超過半數(shù)的大學生使用APP是為了學習與生活需要
C. 使用APP偏好情況中7個占比數(shù)字的極差是
D. APP使用目的中6個占比數(shù)字的分位數(shù)是
【答案】AC
【解析】
【分析】選項A和B，根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，即可判斷出正誤；選項C，根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，利用極差的定義，即可求解；選項D，將占比數(shù)字從小到大排列，再利用百分位數(shù)的求法，即可求解.
【詳解】對于選項A，根據(jù)圖表知，大學生使用購物類APP占比為，所以選項A正確，
對于選項B，根據(jù)圖表知，大學生使用APP是為了學習與生活需要的占比為，所以選項B錯誤，
對于選項C，根據(jù)圖表知，使用APP偏好情況中7個占比數(shù)字的極差是，所以選項C正確，
對于選項D，根據(jù)圖表知，APP使用目的中6個占比數(shù)字從小排到大分別為，
又，所以分位數(shù)是，故選項D錯誤.
故選：AC.
10. 已知函數(shù)滿足對任意，都有，且，則（ ）
A. B.
C. D. 是偶函數(shù)
【答案】AD
【解析】
【分析】選項A，根據(jù)條件，令，即可求得，即可判斷選項A的正誤；選項B，令，可求得，即可判斷選項B的正誤；選項C，利用選項A的結(jié)果，從而可得，即可求解；選項D，用代替，得到與相減，可得，即可求解.
【詳解】對于選項A，令，得到，所以選項A正確，
對于選項B，令，得到，由（1）知，所以，故選項B錯誤，
對于選項C，由選項A知，而，所以選項C錯誤，
對于選項D，用代替，得到，
即①，又②，
由①②得到，，得到，
又的定義域為，關于原點對稱，
所以是偶函數(shù)，即選項D正確，
故選：AD.
11. 已知數(shù)列滿足對任意，，都有，且，（）的所有不同的值按照從小到大構(gòu)成數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 中任意3項不成等差數(shù)列D. 的前15項的和為402
【答案】ACD
【解析】
【分析】令，，據(jù)題意，可知是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，對于A，代入通項公式即可；對于BD，列舉數(shù)列的前幾項即可驗證；對于C，假設成等差數(shù)列，由通項公式可得，方程兩邊同時除以，得，偶數(shù)=奇數(shù)，出現(xiàn)矛盾，即可判斷.
【詳解】由題意，因為對任意，，都有，
令，，則，
因為，所以，
所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，
對于A，，，
故，A正確；
對于B，由題意，數(shù)列的前5項為：2，4，6，8，12，
所以，B錯誤；
對于C，假設成等差數(shù)列，不妨設，
因為，所以，即，
方程兩邊同時除以，得 ，
由于方程左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不成立，故C正確；
對于D，由題意，數(shù)列的前15項為：
2，4，6，8，12，14，16，24，28，30，32，48，56，60，62，
所以的前15項的和為：
，故D正確；
故選：ACD
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 命題“，”的否定是__________.
【答案】，.
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題的否定的結(jié)構(gòu)形式可得其否定.
【詳解】由 “，”可得其否定為：，.
故答案為：，.
13. 某傳媒公司針對“社交電商用戶是否存在性別差異”進行調(diào)查，共調(diào)查了個人，得到如下列聯(lián)表：
已知，若根據(jù)的獨立性檢驗認為“社交電商用戶存在性別差異”，則的最小值為__________.
【答案】3
【解析】
【分析】先根據(jù)已知計算，再根據(jù)獨立性檢驗的性質(zhì)列不等式計算即可.
【詳解】，
所以根據(jù)的獨立性檢驗認為是不是社交電商用戶與性別有關，則的最小值為3.
故答案為：3.
14. 已知函數(shù)有3個極值點，，（），則的取值范圍是______；若存在，使得，則的取值范圍是______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分和求導，進而構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有三個交點，進而數(shù)形結(jié)合即可求得的取值范圍；再結(jié)合以上討論即可得到，的取值范圍即為的取值范圍，進而令，并根據(jù)極值點問題轉(zhuǎn)化得，再結(jié)合導數(shù)求的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)，
所以，當時，，，令得，
所以，當時，，，令得
所以，令，則
所以，當時，時，，時，，
所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
因為函數(shù)有3個極值點，，（），
所以，函數(shù)與有三個交點，
因為，當時gx>0，當時gx>0，，
作出函數(shù)與圖象如圖，

由圖可知，函數(shù)與有三個交點，則滿足且，
所以，當存在，使得，只需滿足，
所以，的取值范圍即為的取值范圍.
令，則，
因為，為函數(shù)的極值點，
所以，，即，，
所以，，
所以，即，
所以，，故令，
所以，，
令，則，
所以，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，
所以，，即，
所以，，即函數(shù)在時單調(diào)遞減，
所以，，即的取值范圍為.
故答案為：；
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有三個交點，進而結(jié)合導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，數(shù)形結(jié)合求解問題.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 某中學數(shù)學興趣小組，為測量學校附近正在建造中的某建筑物的高度，在學校操場選擇了同一條直線上的，，三點，其中，點為中點，興趣小組組長小王在，，三點上方5m處的，，觀察已建建筑物最高點的仰角分別為，，，其中，，，點為點在地面上的正投影，點為上與，，位于同一高度的點.
（1）求建造中的建筑物已經(jīng)到達的高度；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設，根據(jù)條件得到，在和，利用余弦定理得到，即可求解；
（2）利用正弦定理得到，由（1）知，即可求解.
【小問1詳解】
如圖，設，因為在，，處觀察已建建筑物最高點的仰角分別為，，，且，，，
所以，又，是的中點，
在中，由余弦定理得到，
在中，由余弦定理得到，
又，所以，
整理得到，解得，所以.
【小問2詳解】
在中，由正弦定理知①，
在中，由正弦定理知②，由（1）知，
由②①得到.
16. 已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且時，.
（1）求時的解析式；
（2）若方程有3個不同的實根，，，求的取值范圍及的取值范圍.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）當時，，根據(jù)條件，代入，再利用，即可求出結(jié)果；
（2）利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關系，求出的單調(diào)區(qū)間，進而得出圖象，結(jié)合圖象，即可求出的取值范圍；再分，和三種情況討論，通過換元和函數(shù)的對稱性，將問題轉(zhuǎn)化成和的根來求解，即可求解.
【小問1詳解】
當時，，所以，又，
所以，得到，
即時的解析式為.
【小問2詳解】
由（1）知，，
當時，，所以，
當時，，當時，，
即在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減，
當時，，所以，
當時，，當時，，
即區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，，當時，，時，，
其圖象如圖，又方程有3個不同的實根，由圖知.
不妨設，
當時，則有，
又當時，，令，得到，其圖象如圖，
此時，其中是的兩根，則，
又由對稱性知，是的根，所以是的根，如下取端點，
取，得到，解得或（舍），
取，得到，解得或，則，
，
當，易得，所以，
當時，因為是定義域為R的奇函數(shù)，
由對稱性可知，，
綜上所述，.
17. 已知等差數(shù)列的前項和為，.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）若，，且是等差數(shù)列，求證：.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先設等差數(shù)列的公差，應用遞推公式結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；
（2）根據(jù)是等差數(shù)列得出，再應用裂項相消法求和即可證明.
【小問1詳解】
設等差數(shù)列的公差為,
則,
則,
所以,
故為定值，
所以是等差數(shù)列.
【小問2詳解】
因為是等差數(shù)列，
所以為定值，
所以,即得或,
又因為，所以,
所以，結(jié)合知，
.
18. 已知，且，.
（1）求的最小值；
（2）求證：.
（參考數(shù)據(jù)）
【答案】（1）
（2）證明見詳解.
【解析】
【分析】（1）由于在上單調(diào)遞增，由得，可確定的單調(diào)性，進而求出最值；
（2）由（1）知，要證，即證，設，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，命題即可證.
【小問1詳解】
因為，定義域為，
所以，
因為在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，
由得，
所以當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以，
所以當時，取到最小值.
【小問2詳解】
由（1）知的最小值，
所以要證，
只需證，
即證，
因為，且，所以，
設，則，
設，則在上單調(diào)遞增，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以上單調(diào)遞增，
所以
故成立，即得證.
【點睛】關鍵點點睛：本題（2）的關鍵是將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，構(gòu)造，利用導數(shù)即可證明.
19. 若數(shù)列an（）滿足，則稱數(shù)列an為項數(shù)列，由所有項數(shù)列組成集合.
（1）若an是100項數(shù)列，當且僅當（，）時，，求數(shù)列的所有項的和；
（2）從集合中任意取出兩個數(shù)列an，bn，記.
①求分布列，并證明；
②若用某軟件產(chǎn)生項數(shù)列，記事件“第一次產(chǎn)生數(shù)字1”，“第二次產(chǎn)生數(shù)字1”，若，比較與的大小.
【答案】（1）
（2）答案見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列（，）的前33項和問題，進而根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可；
（2）①由題知的可能取值為：，進而結(jié)合題意得到，再結(jié)合等式求數(shù)學期望，并結(jié)合不等式放縮即可證明；
②利用條件概率公式，結(jié)合不等式的性質(zhì)變形即可證明.
【小問1詳解】
解：因為是100項數(shù)列，當且僅當（，）時，
所以，當和（，）時，，
所以，令，則，（，），
所以，數(shù)列的所有項的和為數(shù)列（，）的前33項和，
因為是公比為的等比數(shù)列，
所以，的前33向和為，
所以，數(shù)列的所有項的和為.
【小問2詳解】
解：①因為數(shù)列，是從集合中任意取出兩個數(shù)列，
所以，數(shù)列，為項數(shù)列
所以，的可能取值為：
當時，數(shù)列，中有項取值不同，有項取值相同，
又因為集合中元素的個數(shù)共有個，
所以，,
所以，的分布列為：
因為，
所以，
②由題知，
所以，，
所以，，
所以，即，
所以，，即
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問解題的關鍵在于理解數(shù)列的基礎上，結(jié)合古典概率模型求得即可求得分布列，再期望求解過程中，需要用到組合恒等式化簡.是社交電商用戶
不社交電商用戶
合計
男性
女性
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