湖北省隨州市廣水市第二高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

這是一份湖北省隨州市廣水市第二高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題，共7頁。試卷主要包含了答題前，請將自己的姓名，選擇題的作答，非選擇題作答，考試結(jié)束后，請將答題卡上交，下列說法中不正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分，考試用時120分鐘。
★?？荚図樌?br>考試范圍：
高二數(shù)學(xué)選擇性必修 第一冊 第一章 空間向量與立體幾何
注意事項：
1、答題前，請將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置。
2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4、考試結(jié)束后，請將答題卡上交。
一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、已知圓錐的表面積等于12π cm2,其側(cè)面展開圖是一個半圓,則底面圓的半徑為( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.32 cm
2、如圖所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,則平面ABC與平面β的交線是( )
A.直線AC B.直線AB C.直線CD D.直線BC
3、如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,M,N,P分別是C1D1,BC,A1D1的中點,則下列命題正確的是( )
A.MN∥AP B.MN∥BD1 CMN∥平面BDP ∥平面BB1D1D
4、設(shè)α,β為兩個不同的平面,直線l?α,則“l(fā)⊥β”是 “α⊥β”成立的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5、若{a,b,c}是空間的一個基底,且向量m=a+b,n=a-b,則可以與m,n構(gòu)成空間的一個基底的另一個基向量是( )
A.a B.b C.c D.2a
6、已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=12x-2a,則x等于( )
A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)
7、已知向量m,n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量,若cs=-12,則直線l與平面α所成的角為( )
A.150°B.60°
C.120°D.30°
8、空間中有三點P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),則點P到直線MN的距離為( )
A.22B.23
C.3D.25
二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9、(多選題)下列說法中不正確的是( )
A.以直角梯形的一條腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺
B.有兩個面平行,其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱
C.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
D.棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點
10、(多選題)用一個平面α截正方體,把正方體分為體積相等的兩部分,則下列結(jié)論正確的是( )
A.這兩部分的表面積一定不相等 B.截面不會是三角形
C.截面不會是五邊形 D.截面可以是正六邊形
11、(多選題)在長方體ABCD?A1B1C1D1中,直線A1C與平面AB1D1的交點為M,O為線段B1D1的中點,則下列結(jié)論正確的是(ABD)
A.A,M,O三點共線B.M,O,A1,A四點共面
C.B,B1,O,M四點共面D.A,O,C,M四點共面
三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分
12、設(shè)α,β為兩個平面,則α∥β的充要條件是 。
13、在三棱錐P?ABC中,點P在平面ABC內(nèi)的射影為點O。
(1)若PA=PB=PC,則點O是△ABC的 心。
(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點O是△ABC的 心。
14、已知在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22,E為CC1的中點,則直線AC1到平面BED的距離為 。
四、解答題：本題共5小題，共75分
15、（本小題滿分12分）
如圖所示,在四棱錐P?ABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,M是PC的中點,在DM上取一點G,過G和PA作平面交BD于點H。求證:PA∥GH。
16、（本小題滿分17分）
在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是AB的中點,沿DE將△ADE折起,得到如圖所示的四棱錐P?BCDE。
(1)若平面PDE⊥平面BCDE,求四棱錐P?BCDE的體積;
(2)若PB=PC,求證:平面PDE⊥平面BCDE。
17、（本小題滿分17分）
如圖,正方形ABCD的邊長為22,四邊形BDEF是平行四邊形,BD與AC交于點G,O為GC的中點,FO=3,且FO⊥平面ABCD。
(1)求證:AE∥平面BCF;
(2)求證:CF⊥平面AEF。
18、（本小題滿分17分）
如圖,四棱錐P?ABCD中,△ABD是等邊三角形,PA=PB=PD,BC=CD。
(1)證明:BD⊥PC;
(2)若BD=23,CD=AP=7,求點A到平面PCD的距離。
19、（本小題滿分12分）
在直棱柱ABCD?A1B1C1D1中,底面為直角梯形,AB∥CD
且∠ADC=90°,AD=1,CD=3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中點,求直線A1B1到平面ABE的距離。
參考答案
1、B 2、C 3、D 4、A 5、C 6、B 7、D 8、A
9、ABC 10、BCD 11、ABD
12、α內(nèi)有兩條相交直線與β平行 13、(1)外心、(2)垂心。 14、1
15、證明 如圖所示,連接AC交BD于點O,連接OM,因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以O(shè)是AC的中點,又M是PC的中點,所以PA∥OM,又OM?平面BMD,PA?平面BMD,所以PA∥平面BMD,又平面PAHG∩平面BMD=GH,所以PA∥GH。
在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)化時,一定注意定理成立的條件,通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟,如:把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時,必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交,這時才有直線與交線平行。
16、解
(1)如圖所示,取DE的中點M,連接PM,由題意知,PD=PE,所以PM⊥DE,又平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE,PM?平面PDE,所以PM⊥平面BCDE,即PM為四棱錐P?BCDE的高。在等腰直角三角形PDE中,PE=PD=AD=2,所以PM=12DE=2,而直角梯形BCDE的面積S=12(BE+CD)·BC=12×(2+4)×2=6,所以四棱錐P?BCDE的體積V=13PM·S=13×2×6=22。
(2)證明:如圖,取BC的中點N,連接PN,MN,則BC⊥MN,因為PB=PC,所以BC⊥PN,又MN∩PN=N,MN,PN?平面PMN,所以BC⊥平面PMN,因為PM?平面PMN,所以BC⊥PM,由(1)知,PM⊥DE,又BC,DE?平面BCDE,且BC與DE是相交的,所以PM⊥平面BCDE,因為PM?平面PDE,所以平面PDE⊥平面BCDE。
17、證明
如圖,取BC的中點H,連接OH,則OH∥BD,又四邊形ABCD為正方形,所以AC⊥BD,所以O(shè)H⊥AC,故以O(shè)為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(3,0,0),C(-1,0,0),D(1,-2,0),F(0,0,3),B(1,2,0)。BC=(-2,-2,0),CF=(1,0,3),BF=(-1,-2,3)。
(1)設(shè)平面BCF的法向量為n=(x,y,z)。則n·BC=0,n·CF=0,即-2x-2y=0,x+3z=0,取z=1,得n=(-3,3,1)是平面BCF的一個法向量。又四邊形BDEF為平行四邊形,所以DE=BF=(-1,-2,3),所以AE=AD+DE=BC+BF=(-2,-2,0)+(-1,-2,3)=(-3,-4,3),因為AE·n=33-43+3=0,所以AE⊥n,又AE?平面BCF,所以AE∥平面BCF。
(2)因為AF=(-3,0,3),CF·AF=-3+3=0,CF·AE=-3+3=0,所以CF⊥AF,CF⊥AE,即CF⊥AF,CF⊥AE。又AE∩AF=A,AE,AF?平面AEF,所以CF⊥平面AEF。
18、解
①
(1)證明:如圖①,連接AC,交BD于點O,連接PO。由AD=AB,CD=BC,AC=AC,可得△ABC≌△ADC,所以∠BAC=∠DAC,又AO=AO,所以△AOB≌△AOD,所以BO=OD,即O為BD的中點。在等腰△PBD中,可得BD⊥OP,在等腰△BCD中,可得BD⊥OC,又OP∩OC=O,OP,OC?平面POC,所以BD⊥平面POC,又PC?平面POC,所以BD⊥PC。
(2)由(1)可得,AC⊥BD,又CD=7,OD=12BD=3,所以CO=CD2-OD2=2,AO=3OD=3。由于P?ABD為正三棱錐,所以點P在底面ABD上的射影一定在AO上,設(shè)該射影為M,連接PM,如圖②所示。根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可得AM=23AO=2,PM=AP2-AM2=3。以O(shè)為原點,OA,OB所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,可
得A(3,0,0),C(-2,0,0),D(0,-3,0),P(1,0,3),PC=(-3,0,-3),DC=(-2,3,0),AC=(-5,0,0)。設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n·PC=0,n·DC=0,即-3x-3z=0,-2x+3y=0,令x=3,可得n=(3,2,-3)為平面PCD的一個法向量,所以點A到平面PCD的距離d=|n·AC|n=534,故點A到平面PCD的距離為534。
②
19、解
如圖,以D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,3,1),C(0,3,0)。過點C作AB的垂線交AB于點F,易得BF=3,所以B(1,23,0),B1(1,23,2)。所以AB=(0,23,0),BE=(-1,-3,1)。設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y,z),則n·AB=0,n·BE=0,即23y=0,-x-3y+z=0,所以y=0,x=z,取x=1,則z=1,所以n=(1,0,1)是平面ABE的一個法向量。因為A1B1=AB=(0,23,0),所以AB∥A1B1,又AB?平面ABE,A1B1?平面ABE,所以A1B1∥平面ABE,所以點A1到平面ABE的距離即為所求。因為AA1=(0,0,2),所以A1B1到平面ABE的距離為|AA1·n|n=22=2。