1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，，，．
（1）若，，有成立，則；
（2）若，，有成立，則；
（3）若，，有成立，則；
（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．
4、法則1若函數(shù)和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點的去心 \t "" 鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；
（3），
那么=．
法則2若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；
（2），和在與上可導(dǎo)，且；
（3），
那么=．
法則3若函數(shù)和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點的去心 \t "" 鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；
（3），
那么=．
注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：
（1）將上面公式中的，，，洛必達法則也成立．
（2）洛必達法則可處理，，，，，，型．
（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯．當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．
（4）若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．
，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則．
題型一：直接法
例1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).
(1)已知函數(shù)在處的切線與圓相切，求實數(shù)的值.
(2)已知時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
例2．（2023·山東·山東省實驗中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中．
(1)討論方程實數(shù)解的個數(shù)；
(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．
例3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍．
變式1．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，．
(1)若曲線在處的切線與曲線相交于不同的兩點，，曲線在A，B點處的切線交于點，求的值；
(2)當曲線在處的切線與曲線相切時，若，恒成立，求a的取值范圍．
題型二：端點恒成立
例4．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)．
(1)求在處的切線方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
例5．（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；
(3)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
例6．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)與分別是與的導(dǎo)函數(shù).
(1)證明:當時,方程在上有且僅有一個實數(shù)根;
(2)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
變式2．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)記，對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
變式3．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．
(1)討論在上的單調(diào)性；
(2)若對于任意，若函數(shù)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
變式4．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．
(1)若單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
(2)若，，求a的取值范圍．
題型三：端點不成立
例7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的極值；
(2)當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．
例8．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
例9．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的最小值．
變式5．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；
(2)若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離
例10．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若的極大值為3，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
例11．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)，且．
(1)求函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
例12．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
變式7．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.
(1)求證：在上單調(diào)遞增；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍.
變式8．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
(1)討論的極值；
(2)當時，，求k的取值范圍．
變式9．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，.
(1)求的極值；
(2)若，求實數(shù)k的取值范圍.
變式10．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值點個數(shù)；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數(shù)值.
變式11．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
題型五：洛必達法則
例13．已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.
(1)求實數(shù)的值；
(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
例14．設(shè)函數(shù).當時，，求的取值范圍.
例15．設(shè)函數(shù)．如果對任何，都有，求的取值范圍．
題型六：同構(gòu)法
例16．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，判斷的零點個數(shù)；
(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
例17．（2023·湖南常德·常德市一中?？家荒＃┮阎瘮?shù)，.
(1)若在點處的切線與在點處的切線互相平行，求實數(shù)a的值；
(2)若對，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
例18．（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知e是自然對數(shù)的底數(shù)．若，成立，則實數(shù)m的最小值是________．
變式12．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考三模）已知，（），若在上恒成立，則實數(shù)a的最小值為（ ）
A．B．C．D．
變式13．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中.
(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù)；
(2)對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.
變式14．（2023·海南·?？寄M預(yù)測）已知，函數(shù).
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求a的取值范圍．
變式16．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，其中，.
(1)當時，求函數(shù)的零點；
(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.
變式17．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.
題型七：必要性探路
例19．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)
(1)討論f(x)的單調(diào)性：
(2)當時，若，，求實數(shù)m的取值范圍．
例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上有且僅有2個零點，求a的取值范圍；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
例21．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)）在處的切線斜率為.
(1)求a的值；
(2)若，，求實數(shù)m的取值范圍.
變式18．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當時，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；
(2)若，求的值．
變式19．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若，，求證：有且僅有一個零點；
(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
題型八：max，min函數(shù)問題
例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.
(1)證明：當時，；當時，；
(2)用表示中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請說明理由.
例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.
（1）證明：當時，；當時，；
（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.
例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.
（1）證明：當時，；當時，；
（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.
變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）證明恒成立；
（2）用表示m，n中的最大值.已知函數(shù)，記函數(shù)，若函數(shù)在上恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍.
變式21．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，直線為曲線的切線，.
(1)求的值；
(2)①判斷的零點個數(shù)；
②定義函數(shù)在上單調(diào)遞增.求實數(shù)的取值范圍.
變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).
（1）若，證明：在上存在唯一零點；
（2）設(shè)函數(shù)，（表示中的較小值），若，求的取值范圍.
題型九：構(gòu)造函數(shù)技巧
例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，且關(guān)于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
例26．（2023·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．
（1）若，求h(x)的表達式；
（2）若，求k的取值范圍；
（3）若求證：．
例27．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
變式23．（2023·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù).
(1)當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
變式24．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)判斷的導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù)；
(2)若，求a的取值范圍．
變式25．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
(1)若函數(shù)的最大值為0，求a的值；
(2)若對于任意正數(shù)x，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
變式26．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的極值；
(2)當時，關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
變式27．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.
(1)當時，求函數(shù)的極值點的個數(shù)；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
變式28．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)與的圖象有公切線.
(1)求實數(shù)和的值；
(2)若，且，求實數(shù)的最大值.
題型十：雙變量最值問題
例28．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．－1C．D．－2
例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中．
（1）當時，直線與函數(shù)的圖象相切，求的值；
（2）當時，若對任意，都有恒成立，求的最小值．
例30．（2023·河南南陽·高三南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中
(1)若，且的圖象與的圖象相切，求的值；
(2)若對任意的恒成立，求的最大值.
變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(為自然對數(shù)的底數(shù))
（1）求在點處的切線方程；
（2）若時，在上恒成立.當取得最大值時，求的最小值.
變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=aex﹣x，
（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間，
（2）若關(guān)于x不等式aex≥x+b對任意和正數(shù)b恒成立，求的最小值.
變式31．（2023·江蘇常州·高二常州高級中學(xué)?？计谥校┙o定實數(shù)，函數(shù)，（其中，．
(1)求經(jīng)過點的曲線的切線的條數(shù)；
(2)若對，有恒成立，求的最小值．
變式32．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈九中校考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，.
(1)若，討論的單調(diào)性；
(2)若（其中）恒成立，求的最小值，并求出的最大值.
變式33．（2023·高二單元測試）若對于任意正實數(shù)，都有( 為自然對數(shù)的底數(shù))成立，則的最小值是________.
變式34．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是___________.

重難點突破07 不等式恒成立問題
目錄
1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，，，．
（1）若，，有成立，則；
（2）若，，有成立，則；
（3）若，，有成立，則；
（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．
4、法則1若函數(shù)和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點的去心 \t "" 鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；
（3），
那么=．
法則2若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；
（2），和在與上可導(dǎo)，且；
（3），
那么=．
法則3若函數(shù)和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點的去心 \t "" 鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；
（3），
那么=．
注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：
（1）將上面公式中的，，，洛必達法則也成立．
（2）洛必達法則可處理，，，，，，型．
（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯．當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．
（4）若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．
，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則．
題型一：直接法
例1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).
(1)已知函數(shù)在處的切線與圓相切，求實數(shù)的值.
(2)已知時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）依題意，圓的圓心為，半徑為，
對函數(shù)求導(dǎo)得，則函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，而，
于是函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即，
從而，解得，
所以實數(shù)的值為2.
（2）設(shè)，依題意，當時，恒成立，
求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)得，
當時，當時，，即有，
因此函數(shù)，即在上單調(diào)遞減，于是當時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而當時，，因此，
當時，當時，，則函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，
于是當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此當時，，不合題意，
當時，，函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，
則當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
于是當時，，不合題意，
所以實數(shù)的取值范圍為.
例2．（2023·山東·山東省實驗中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中．
(1)討論方程實數(shù)解的個數(shù)；
(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）由可得，，
令，令，可得，
當，函數(shù)單調(diào)遞減，
當，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在時取得最小值，
所以當時，方程無實數(shù)解，
當時，方程有一個實數(shù)解，
當時，，故，
而，，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，故，
故有兩個零點即方程有兩個實數(shù)解.
（2）由題意可知，
不等式可化為，，
即當時，恒成立，
所以，即，
令，
則在上單調(diào)遞增，而，
當即時，在上單調(diào)遞增，
故，
由題設(shè)可得，
設(shè)，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，
而，故.
當即時，因為，
故在上有且只有一個零點，
當時，，而時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故，
而，故，故
因為，故，故符合，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．
例3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍．
【解析】（1）因為，所以，
則
，
令，由于，所以，
所以，
因為，，，
所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減.
（2）法一：
構(gòu)建，
則，
若，且，
則，解得，
當時，因為，
又，所以，，則，
所以，滿足題意；
當時，由于，顯然，
所以，滿足題意；
綜上所述：若，等價于，
所以的取值范圍為.
法二：
因為，
因為，所以，，
故在上恒成立，
所以當時，，滿足題意；
當時，由于，顯然，
所以，滿足題意；
當時，因為，
令，則，
注意到，
若，，則在上單調(diào)遞增，
注意到，所以，即，不滿足題意；
若，，則，
所以在上最靠近處必存在零點，使得，
此時在上有，所以在上單調(diào)遞增，
則在上有，即，不滿足題意；
綜上：.
變式1．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，．
(1)若曲線在處的切線與曲線相交于不同的兩點，，曲線在A，B點處的切線交于點，求的值；
(2)當曲線在處的切線與曲線相切時，若，恒成立，求a的取值范圍．
【解析】（1）因為，所以，
所以曲線在處的切線方程為．
由已知得，，不妨設(shè)，
又曲線在點A處的切線方程為，
在點B處的切線方程為，
兩式相減得，
將，，
代入得，
化簡得，
顯然，所以，所以，又，所以．
（2）當直線與曲線相切時，設(shè)切點為，
則切線方程為，將點代入，解得，此時，，
根據(jù)題意得，，，
即恒成立．
令，則，，令，則，
易知在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以．
若，則，即在上單調(diào)遞增，
則，所以在上恒成立，符合題意；
若，則．
又，
所以存在，使得，
當時，，單調(diào)遞減，即，
所以此時存在，使得，不符合題意．
綜上可得，a的取值范圍為．
題型二：端點恒成立
例4．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)．
(1)求在處的切線方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）時，；又，則，
切線方程為：，即
（2），
則，又令，
①當，即時，恒成立，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴（不合題意）；
②當即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴（符合題意）；
③當，即時，由，
∴，使，且時，，
∴在上單調(diào)遞增，∴（不符合題意）；
綜上，的取值范圍是；
例5．（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；
(3)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）當時，，定義域為，，
，，
所以函數(shù)在點處的切線方程為，即.
（2），
設(shè)，則，
依題意得，即，
當時，，當時，，當時，，
所以在處取得極大值，符合題意.
綜上所述：.
（3）當時，，，
當時， ,
令，，
則，
①當時，在上恒成立，故在上為增函數(shù)，
所以，故在上為增函數(shù)，
故，不合題意.
②當時，令，得，
（i）若，即時，在時，，在上為減函數(shù)，
，即，在上為減函數(shù)，，符合題意；
(ii)若，即時，
當時，，在上為增函數(shù)，，
在上為增函數(shù)，，不合題意.
綜上所述：若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.
例6．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)與分別是與的導(dǎo)函數(shù).
(1)證明:當時,方程在上有且僅有一個實數(shù)根;
(2)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）,
當時,,
令,
令,則,
顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù),且,
∴在上有唯一零點,
且時,單調(diào)遞減,
時,單調(diào)遞增,
又,
,
∴在上有唯一的根,
∴在上有唯一零點,
即在上有且僅有一個實數(shù)根.
（2）∵,
令,則,
等價于:,
,
令,
則,
令,
則,
故在上單調(diào)遞增,,
故即在上單調(diào)遞增,,
當時,,
∴在上單調(diào)遞增,
∴;
當時,,取,
則,
,
∴,
∴,使得,
時,單調(diào)遞減,
此時,不符合題意.
綜上可知:的取值范圍為.
變式2．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)記，對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1），函數(shù)定義域為R，
則且，
令，，在上單調(diào)遞增，
所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2），，
則，且，
令，，
令，時，
所以在上單調(diào)遞增，
①若，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以恒成立.
②若，，
所以存在，使，
故存在，使得，
此時單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，
所以，故在上單調(diào)遞減，
所以此時，不合題意.
綜上，.
實數(shù)的取值范圍為.
變式3．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．
(1)討論在上的單調(diào)性；
(2)若對于任意，若函數(shù)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
【解析】（1），
，則；，則，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
（2）令，有
當時，，不滿足；
當時，，
令，
所以在恒成立，
則在單調(diào)遞減，
，，
①當，即時，，
所以在單調(diào)遞減，
所以，滿足題意；
②當，即時，
因為在單調(diào)遞減，，，
所以存在唯一，使得，
所以在單調(diào)遞增，
所以，不滿足，舍去.
綜上：.
變式4．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．
(1)若單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
(2)若，，求a的取值范圍．
【解析】（1）由，得，
由于單調(diào)遞增，則即恒成立，
令，則，
可知時，，則在上單調(diào)遞增；
時，，則在上單調(diào)遞減，
故時，取得極大值即最大值，
故．所以a的取值范圍是．
（2）由題意時，恒成立，即；
令，原不等式即為恒成立，
可得，，，
令，則，
又設(shè)，則，
則，，可知在上單調(diào)遞增，
若，有，，則；
若，有，
則，
所以，，，則即單調(diào)遞增，
（i）當即時，，則單調(diào)遞增，
所以，恒成立，則符合題意．
（ii）當即時，，，
存在，使得，
當時，，則在單調(diào)遞減，
所以，與題意不符，
綜上所述，a的取值范圍是.
題型三：端點不成立
例7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的極值；
(2)當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．
【解析】（1）由題意可得：的定義域為，且，
①當時，則，可得，
所以在上單調(diào)遞減，無極值；
②當時，令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以有極大值，無小極值；
綜上所述：當時，無極值；
當時，有極大值，無極小值.
（2）因為，則，
構(gòu)建，則，
①當時，則，則，等號不能同時取到，
所以在上單調(diào)遞減；
②當時，構(gòu)建，則，
因為，則，
所以在上單調(diào)遞增，
且，，
故在內(nèi)存在唯一零點，
當時，則；當時，則；
即當時，則；當時，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，且，
的圖象大致為：

對于函數(shù)，由（1）可知：
①當時，在上單調(diào)遞減，
且當趨近于0時，趨近于，當趨近于時，趨近于，
即的值域為R，則不恒成立，不合題意；
②當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，且當趨近于0時，趨近于，當趨近于時，趨近于，
即的值域，
若恒成立，則恒成立，
即，解得；
綜上所述：a的取值范圍.
例8．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）的定義域為，，
當時，，在上為增函數(shù)；
當時，由，得，由，得，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).
綜上所述：當時，在上為增函數(shù)；當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).
（2）
，
設(shè)，則原不等式恒成立等價于在上恒成立，
，在上為增函數(shù)，
則在上恒成立，等價于在上恒成立，
等價于在上恒成立
令，，
令，得，令，得，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，故.
例9．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的最小值．
【解析】（1）由定義域為
又
令，顯然在單調(diào)遞減，且；
∴當時，；
當時，．
則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
（2）法一：∵任意的，恒成立，
∴恒成立，即恒成立
令，則．
令，則在上單調(diào)遞增，
∵，．
∴存在，使得
當時，，，單調(diào)遞增；
當時，，，單調(diào)遞減，
由，可得，
∴，
又
∴，故的最小值是1．
法二：
∴恒成立，即恒成立
令
不妨令，顯然在單調(diào)遞增．
∴在恒成立．
令
∴當時，；
當時，即在單調(diào)遞增
在單調(diào)遞減
∴
∴，故的最小值是1．
變式5．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；
(2)若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）當時，，定義域為，
所以，令得，
所以，當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
所以，函數(shù)在處取得最小值，.
（2）因為函數(shù)對恒成立
所以對恒成立，
令，則，
①當時，，在上單調(diào)遞增，
所以，由可得，即滿足對恒成立；
②當時，則，，在上單調(diào)遞增，
因為當趨近于時，趨近于負無窮，不成立，故不滿足題意；
③當時，令得
令，恒成立，故在上單調(diào)遞增，
因為當趨近于正無窮時，趨近于正無窮，當趨近于時，趨近于負無窮，
所以，使得，，
所以，當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以，只需即可；
所以，，，因為，所以，
所以，解得，所以，，
綜上所解，實數(shù)a的取值范圍為．
變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）當時，，函數(shù)的定義域為，
求導(dǎo)得，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
因此當時,單調(diào)遞減，當時,單調(diào)遞增，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2），令，求導(dǎo)得，
當時,，則在上單調(diào)遞增，，滿足題意，
當時，設(shè)，則，因此函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，
而，
(i)當時,在上單調(diào)遞增，
于是，滿足題意，
(ii)當，即時，對，則在上單調(diào)遞減，
此時，不合題意，
（iii）當時，因為在上單調(diào)遞增，
且，于是，使，且當時,單調(diào)遞減，
此時，不合題意，
所以實數(shù)的取值范圍為.
題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離
例10．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若的極大值為3，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）因為，由，得，即的定義域為.
因為，
所以，
因為，
所以當時，，
當時，，所以當時，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以當時，取得極大值，
解得.
（2）當時，，
即，所以.
令，則，
令，則，所以當時，，
當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，所以，又，所以，
所以實數(shù)的取值范圍是.
例11．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)，且．
(1)求函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1），，
當時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；
當時，時，，則在上單調(diào)遞減；
時，，則在上單調(diào)遞增．
（2）方法一：在恒成立，則
當時，，顯然成立，符合題意；
當時，得恒成立，即
記，，，
構(gòu)造函數(shù)，，則，故為增函數(shù)，則.
故對任意恒成立，則在遞減，在遞增，所以
∴．
方法二：在上恒成立，即．
記，，，
當時，在單增，在單減，則，得，舍：
當時，在單減，在單增，在單減，，，
得；
當時，在單減，成立；
當時，在單減，在單增，在單減，，，而，顯然成立．
綜上所述，．
例12．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）函數(shù)，，則，
當，即時，恒成立，即在上單調(diào)遞增；
當，即時，令，解得，
綜上所述，當是，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）等價于，令，
當時，，所以不恒成立，不合題意.
當時，等價于，
由（1）可知，
所以，對有解，所以對有解，
因此原命題轉(zhuǎn)化為存在，使得.
令，，則，
，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以當時，，，故在上單調(diào)遞減，
當時，，，故在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
即實數(shù)的取值范圍是.
變式7．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.
(1)求證：在上單調(diào)遞增；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1），，，
由，有，，則，又，
則.
當時，，，所以
所以當時，，綜上，在上單調(diào)遞增.
（2）.化簡得.
當時，，所以，
設(shè)，

設(shè)，.
，，，
在上單調(diào)遞增，
又由，所以當時，，，
在上單調(diào)遞減；
當時，，，在上單調(diào)遞增，
所以，
故.
變式8．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
(1)討論的極值；
(2)當時，，求k的取值范圍．
【解析】（1），記，則．
①當時，，在R上單調(diào)遞減，故無極值．
②當時，令，得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減．
所以在處取得極大值，且極大值為．
綜上所述，當時，無極值；當時，的極大值為，無極小值．
（2）可化為，
當時，，此時可得；
當時，不等式可化為，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
所以單調(diào)遞增，所以當時，，，
當時，，，
所以函數(shù)在和上都為增函數(shù)，
取，則，
設(shè)，
則當時，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以當時，，
所以當時，，
所以的最小值為，即，
所以當和時，沒有最小值，
但當x趨近－1時，無限趨近，
且，又恒成立，所以，所以．
綜上，k的取值范圍為．
變式9．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，.
(1)求的極值；
(2)若，求實數(shù)k的取值范圍.
【解析】（1）已知，
當時，恒成立，無極值，
當時，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
當時，有極大值，，無極小值，
綜上：當時，無極值；當時，極大值為，無極小值；
（2）若，則在時恒成立，
恒成立，令，
令，則，
在單調(diào)遞減，又，
由零點存在定理知，存在唯一零點，使得，
即，
令在上單調(diào)遞增，
， 即
當時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
，
，即的取值范圍為.
變式10．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值點個數(shù)；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數(shù)值.
【解析】（1）已知，
可得
令，則，
函數(shù)單調(diào)遞減，且當時，，故函數(shù)先增后減，
當時，，
其中，∴，∴
當時，，
∴函數(shù)只有一個零點，∴函數(shù)的極值點個數(shù)為1.
（2）變形，得，
整理得，
令，則，∵，∴，
若，則恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由，∴，∴，∴，此時可取的最大整數(shù)為2，
若，令，則，令，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上有最小值，，
于是問題轉(zhuǎn)化為成立，求的最大值，
令，則，∵當時，，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，∴在處取得最大值，
∵，∴，∵，，
，此時可取的最大整數(shù)為4.
綜上，可取的最大整數(shù)為4.
變式11．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）函數(shù)定義域為，
，
令，則，
當，即時，，所以在定義域上單調(diào)遞增；
當，即時恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增，
令，則，即，
當，即時解得，所以當時，當時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當，即，此時恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
當，即時恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞減，
令，則，即，解得，
所以當時，當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上可得：當時在上單調(diào)遞增；
當時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時在上單調(diào)遞增；
當時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當時，即，
即，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞減，則，
所以，則，
令，，
則，
因為，所以當時，當時，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，即.
題型五：洛必達法則
例13．已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.
(1)求實數(shù)的值；
(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)，；
函數(shù)在處取得極值，；
又曲線在點處的切線與直線垂直，；
解得：；
（2）不等式恒成立可化為，即；
當時，恒成立；當時，恒成立，
令，則；
令，則；
令，則；
得在是減函數(shù)，故，進而
（或，，
得在是減函數(shù)，進而）．
可得：，故，所以在是減函數(shù)，
而要大于等于在上的最大值，但當時，沒有意義，
變量分離失效，我們可以由洛必達法得到答案，，故答案為．
例14．設(shè)函數(shù).當時，，求的取值范圍.
【解析】由題設(shè)，此時.
①當時，若，則，不成立；
②當時，當時，，即；
若，則；
若，則等價于，即.
記，則.
記，則，.
因此，在上單調(diào)遞增，且，所以，
即在上單調(diào)遞增，且，所以.
因此，所以在上單調(diào)遞增.
由洛必達法則有，
即當時，，即有，所以.
綜上所述，的取值范圍是.
例15．設(shè)函數(shù)．如果對任何，都有，求的取值范圍．
【解析】，
若，則；
若，則等價于，即
則.
記，
因此，當時，，在上單調(diào)遞減，且，
故，所以在上單調(diào)遞減，
而.
另一方面，當時，，
因此.
題型六：同構(gòu)法
例16．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，判斷的零點個數(shù)；
(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1），
，定義域為，
令，可得，設(shè)，則，
令，得在上單調(diào)遞增；
令，得，
在上單調(diào)遞減，
.當時，；
當時，，從而可畫出的大致圖象，

①當或時，沒有零點；
②當或時，有一個零點；
③當時，有兩個零點.
（2）當時，不等式恒成立，
可化為在上恒成立，
該問題等價于在上恒成立，
即在上恒成立，
令，則，
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增，
，
即，即
①當時，，不等式恒成立；
②當時，令，顯然單調(diào)遞增，
且，故存在，使得，
所以，
即，而，此時不滿足，
所以實數(shù)不存在.
綜上可知，使得恒成立的實數(shù)的取值范圍為.
例17．（2023·湖南常德·常德市一中?？家荒＃┮阎瘮?shù)，.
(1)若在點處的切線與在點處的切線互相平行，求實數(shù)a的值；
(2)若對，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1）依題意，，，
則，，
因為在點,處的切線與在點,處的切線互相平行，
所以，又因為，所以
（2）由，得，
即，即，
設(shè)，則，，
由，設(shè)，可得，
所以時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
所以,
所以在上單調(diào)遞增，
所以對恒成立，即對恒成立，
設(shè)，則，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以，故，
所以實數(shù)的取值范圍為．
例18．（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知e是自然對數(shù)的底數(shù)．若，成立，則實數(shù)m的最小值是________．
【答案】/
【解析】由得，即，
令，求導(dǎo)得，則在上單調(diào)遞增，
顯然，當時，恒有，即恒成立，
于是當時，，有，
從而對恒成立，即對恒成立，
令，求導(dǎo)得，則當時，；當時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，
所以實數(shù)m的最小值是．
故答案為：
變式12．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考三模）已知，（），若在上恒成立，則實數(shù)a的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
即在上恒成立.
易知當時，.
令函數(shù)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故有，則在上恒成立.
令，則，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，即實數(shù)的最小值為.
故選：B
變式13．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中.
(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù)；
(2)對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由題意知：定義域為，，
令，則，
令，則，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，當時，恒成立，
大致圖象如下圖所示，

則當時，恒成立，即恒成立，
在上單調(diào)遞減，無極值點；
當時，與有兩個不同交點，
此時有兩個變號零點，有兩個極值點；
當時，與有且僅有一個交點，
此時有且僅有一個變號零點，有且僅有一個極值點；
綜上所述：當時，無極值點；當時，有兩個極值點；當時，有且僅有一個極值點.
（2）由題意知：當時，恒成立；
設(shè)，則，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
即，，
又恒成立，，即實數(shù)的取值范圍為.
變式14．（2023·海南·?？寄M預(yù)測）已知，函數(shù).
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當時，，所以
所以，
所以切線方程為，即.
（2）由題意得，即，
因為，所以
設(shè)，
令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時，，又時，，所以存在，使，
令，因為，
所以當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以，
即，得到，當且僅當時取等號，
所以，
當且僅當時取等號，所以，又，
所以a的取值范圍是.
變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求a的取值范圍．
【解析】（1）．
當時，令，解得，
當，，單調(diào)遞減，
當，，單調(diào)遞增；
當時，，在R上單調(diào)遞減；
當時，令，解得，所以當，，單調(diào)遞減，
當，，單調(diào)遞增；
綜上，當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，單調(diào)遞減區(qū)間為R，無單調(diào)遞增區(qū)間；
當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）原不等式為，即．
因為，
所以．
令，則其在區(qū)間上單調(diào)遞增，取，則；取，則，
所以存在唯一使得，
令，則．
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增；
所以，即，．
故．
故，
所以．
當且僅當即時，等號成立，
故，即a的取值范圍為．
變式16．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，其中，.
(1)當時，求函數(shù)的零點；
(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）當時，，
，
當時，，得恒成立.
即可得在上單調(diào)遞增.
而此時，
即可得在上僅有1個零點，且該零點為0.
（2）函數(shù)等價于，
因，所以
得
所以
所以
構(gòu)造函數(shù)，上式等價于
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，從而可得成立.
化簡可得等價于恒成立.
設(shè)函數(shù)，易知，
，
當時，因，，故，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，滿足題意，
當時，時，，
此時在上單調(diào)遞減，
故當時，不符合題意.
綜上可得的取值范圍是.
變式17．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1）當時，,則，
所以，即在點處的切線斜率為.
而，所以切點坐標為，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）因為，
所以，即，即.
令，則.
，所以在上單調(diào)遞增，
所以恒成立，即，即恒成立.
令，則，
令，解得，令，解得,
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以.
因為恒成立，所以，解得.
所以實數(shù)a的取值范圍是.
題型七：必要性探路
例19．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)
(1)討論f(x)的單調(diào)性：
(2)當時，若，，求實數(shù)m的取值范圍．
【解析】（1）．
當時，，易知f(x)在R上單調(diào)遞減．
當時，令，可得；令，可得且，
∴f(x)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當時，令，可得且；令，可得，
∴在和上單調(diào)增，在上單調(diào)遞減．
（2）當時，由，得
即，
令，則
∵，且，∴存在，使得當時，，
∴，即．
下面證明當時，對恒成立．
∵，且，
∴
設(shè)，∴，可知F(x)在上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，
∴，∴，∴，
∴
綜上，實數(shù)m的取值范圍為．
例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上有且僅有2個零點，求a的取值范圍；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
【解析】（1）由已知，令，又，得．
由題設(shè)可得，令，其中，
則直線與函數(shù)的圖象在上有兩個交點，
因為，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
所以函數(shù)的極大值為，且，
當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，
所以函數(shù)在上有且僅有2個零點，
故實數(shù)a的取值范圍是；
（2）當時，由已知函數(shù)的定義域為，
又恒成立，即在時恒成立，
當時，恒成立，即，又，則，
下面證明：當時，在時恒成立.
由（1）得當時，，
要證明，只需證明對任意的恒成立，
令，則，
由，得，
①當，即時在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，
于是；
②當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
于是，
令，則，則在上單調(diào)遞增．
于是，所以恒成立，
所以時，不等式恒成立，因此a的取值范圍是．
例21．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)）在處的切線斜率為.
(1)求a的值；
(2)若，，求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】（1），
，
，，，.
（2）由（1）可知，，
由，得，
令，則，
，且，存在，使得當時，，
，即；
下面證明當時，，
，且，
，
設(shè)，，
當時，；當時，；
可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，，
；
當時，令，則，
設(shè)，則，且為單調(diào)遞增函數(shù)，
由于，故，僅在是取等號，
故在上單調(diào)遞增，，故，即，
則在上單調(diào)遞增，而，
當時，遞增的幅度遠大于遞增的幅度，，
故必存在，使得，則時，，
故在上單調(diào)遞減，則，與題意不符；
綜上，實數(shù)m的取值范圍為.
變式18．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當時，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；
(2)若，求的值．
【解析】（1）當時，
．
因為，所以．
所以在區(qū)間上的單調(diào)遞增．
（2），
當時，，所以存在，當時，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當時，，不滿足題意
當時，，所以存在，當時，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當時，，不滿足題意
所以．
下面證明時，
由（1）知，在區(qū)間上的單調(diào)遞增，
所以當時，
所以只要證明.
令
令，
則
①當時，，得
所以，所以，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增
且，
所以，使得.
且當時，；當時，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增
且，
所以當時，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當時，
②當時，
因為，所以，所以
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減
且
所以，使得
當時，；當時，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減
且
所以當時，
綜上，的值為1.
變式19．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若，，求證：有且僅有一個零點；
(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）證明：由題意得，當時，，
故．
（i）當時，，記，
則，單調(diào)遞增，，
所以，即當時，無零點．
（ii）當時，，，
即當時，無零點．
（iii）當時，．
因為，所以，即單調(diào)遞增．
又因為，，
所以當時，存在唯一零點．
綜上，當時，有且僅有一個零點．
（2）易知，因此恒成立，則在0的左側(cè)鄰域內(nèi)，是減函數(shù)，有，則．
因為，
所以，得是對任意成立的必要條件．
下面證明充分性．
當時，，等價于．
令，，即證．
（i）當時，，，
即成立．
（ii）當時，記，則．
由，得，所以，即單調(diào)遞增，
，即，
，則，
時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，
因此是的最小值，即，所以恒成立，
所以．
綜上，．
題型八：max，min函數(shù)問題
例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.
(1)證明：當時，；當時，；
(2)用表示中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請說明理由.
【解析】（1），.
當時，，則；當時，，則，
當時，，
所以當時，，在上是增函數(shù)，
又，
所以當時，；
當時，.
（2）函數(shù)的定義域為，
由（1）知，當時，，
又，
所以當時，恒成立，
由于當時，恒成立，
所以等價于：當時，.
.
①若，當時，，
故，遞增，此時，不合題意；
②若，當時，由知，
存在，使得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，
在上遞增，故當，，遞增，此時，不合題意；
③若，當時，由知，對任意，，遞減，
此時，符合題意.
綜上可知：存在實數(shù)滿足題意，的取值范圍是.
例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.
（1）證明：當時，；當時，；
（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）證明：，.
當時，，則；當時，，則，
當時，，
所以當時，，在上是增函數(shù)，
又，
所以當時，；
當時，.
（2）函數(shù)的定義域為，
由（1）知，當時，，
又，
所以當時，恒成立，
由于當時，恒成立，
所以等價于：當時，.
.
①若，當時，，
故，遞增，此時，不合題意；
②若，當時，由知，存在，當，
，遞增，此時，不合題意；
③若，當時，由知，對任意，，遞減，
此時，符合題意.
綜上可知：存在實數(shù)滿足題意，的取值范圍是.
例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.
（1）證明：當時，；當時，；
（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.
【解析】（1），,
當時，，，則；
當時，，，則，
當時，．
所以當時，，在上是增函數(shù)，
又，
所以當時，；
當時，．
（2）函數(shù)的定義域為，
由（1）得，當時，，又，
所以當時，恒成立．
由于當時，恒成立，
故等價于：當時，恒成立．
，．
當時，，，故；
當時，，，故．
從而當時，，單調(diào)遞增．
①若，即，則當時，，單調(diào)遞減，
故當時，，不符合題意；
②若，即，取，
則，且，
故存在唯一，滿足，當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增．
若，則當時，單調(diào)遞增，，不符合題意；
若，則，符合題意，此時由得；
若，則當時，單調(diào)遞減，，不符合題意．
綜上可知：存在唯一實數(shù)滿足題意．
【關(guān)鍵點晴】本題第一小問的關(guān)鍵點在于提公因式討論，避免二次求導(dǎo)；第二小問首先將將恒成立轉(zhuǎn)化為在時恒成立，在對研究時，關(guān)鍵點是，再結(jié)合的單調(diào)性及零點存在性定理討論得到a，有一定難度，特別是書寫的規(guī)范性.
變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）證明恒成立；
（2）用表示m，n中的最大值.已知函數(shù)，記函數(shù)，若函數(shù)在上恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1）由題得的定義域為，
則在上恒成立等價于在上恒成立，記，則，.
當時，；時，，
故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以，即恒成立.
（2）由題得，
①當時，，此時無零點.
②當時，，
a.當，即時，是的一個零點；
b.當，即時，不是的一個零點；.
③當時，恒成立，因此只需考慮在上的零點情況.
由，
a.當時，，在上單調(diào)遞增，且，
當時，，則在上無零點，故在上無零點；
當時，，則在上無零點，故在上有1個零點；
當時，由，，得在上僅有一個零點，故在上有2個零點；
所以，.
b.當時，由得，
由時，；當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
由，，得在上僅有一個零點，故在上有2個零點；
所以，.
綜上所述，時，在上恰有兩個零點.
變式21．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，直線為曲線的切線，.
(1)求的值；
(2)①判斷的零點個數(shù)；
②定義函數(shù)在上單調(diào)遞增.求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由題意得：
設(shè)切線的且點位，則可得：，又
可得 ： ①
又因為直線為曲線的切線
故可知 ②
由①②解得：
（2）① 由小問（1）可知：
，
故必然存在零點，且
又因為，當時，
當時，令
故
故在上是減函數(shù)
綜上分析，只有一個零點，且
② 由的導(dǎo)數(shù)為
當時，遞增，當時，遞減；
對的導(dǎo)數(shù)在時，遞增；
設(shè)的交點為，由（2）中①可知
當時，
，
由題意得：在時恒成立，即有；
在上最值為
故
當時，
，
由題意得：在時恒成立，即有
令，則可得函數(shù)在遞增，在上遞減，即可知在處取得極小值，且為最小值；
綜上所述：，即.
變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).
（1）若，證明：在上存在唯一零點；
（2）設(shè)函數(shù)，（表示中的較小值），若，求的取值范圍.
【解析】(1)函數(shù)的定義域為，因為，當時，，而，所以在存在零點.因為，當時，，所以，則在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一零點.
（2）由（1）得，在上存在唯一零點，時，時，
.當時，由于；時，，于是在單調(diào)遞增，則，所以當時，.當時，因為，時，，則在單調(diào)遞增；時，，則在單調(diào)遞減，于是當時，，所以函數(shù)的最大值為，所以的取值范圍為.
題型九：構(gòu)造函數(shù)技巧
例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，且關(guān)于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）根據(jù)題意可知的定義域為，
，令，得．
當時，時，，時；
當時，時，，時．
綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）依題意，，即在上恒成立，
令，則．
對于，，故其必有兩個零點，且兩個零點的積為，
則兩個零點一正一負，設(shè)其正零點為，
則，即，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，即．
令，
則，
當時，，當時，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，故，
顯然函數(shù)在上是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，
則，
所以實數(shù)的取值范圍為．
例26．（2023·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．
（1）若，求h(x)的表達式；
（2）若，求k的取值范圍；
（3）若求證：．
【解析】（1）[方法一]:判別式法
由可得在R上恒成立，
即和，
從而有即，
所以，
因此，．所以．
[方法二]【最優(yōu)解】：特值+判別式法
由題設(shè)有對任意的恒成立.
令，則，所以.
因此即對任意的恒成立，
所以，因此.
故.
（2）[方法一]
令，.
又.
若，則在上遞增，在上遞減，則，即，不符合題意.
當時，，符合題意.
當時， 在上遞減，在上遞增，則，
即，符合題意.
綜上所述，.
由
當，即時，在為增函數(shù)，
因為，
故存在，使，不符合題意.
當，即時，，符合題意.
當，即時，則需，解得.
綜上所述，的取值范圍是.
[方法二]【最優(yōu)解】：特值輔助法
由已知得在內(nèi)恒成立；
由已知得，
令，得，∴(*)，
令，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，∴，∴當時在內(nèi)恒成立；
由在內(nèi)恒成立，由(*)知，∴，∴，解得.
∴的取值范圍是.
（3）[方法一]：判別式+導(dǎo)數(shù)法
因為對任意恒成立，
①對任意恒成立，
等價于對任意恒成立.
故對任意恒成立.
令，
當，，
此時，
當，，
但對任意的恒成立.
等價于對任意的恒成立.
的兩根為，
則，
所以.
令，構(gòu)造函數(shù)，，
所以時，，遞減，.
所以，即.
[方法二]：判別式法
由，從而對任意的有恒成立，等價于對任意的①，恒成立．
（事實上，直線為函數(shù)的圖像在處的切線）
同理對任意的恒成立，即等價于對任意的恒成立． ②
當時，將①式看作一元二次方程，進而有，①式的解為或（不妨設(shè)）；
當時，，從而或，又，從而成立；
當時，由①式得或，又，所以．
當時，將②式看作一元二次方程，進而有．
由，得，此時②式的解為不妨設(shè)，從而．
綜上所述，．
[方法三]【最優(yōu)解】：反證法
假設(shè)存在，使得滿足條件的m，n有．
因為，所以．
因為，所以．
因為對恒成立，所以有
．則有
， ③
， ④
解得．
由③+④并化簡得，．
因為在區(qū)間上遞增，且，
所以，．
由對恒成立，即有 ⑤
對恒成立，將⑤式看作一元二次方程，進而有．
設(shè)，則，
所以在區(qū)間上遞減，所以，即．
設(shè)不等式⑤的解集為，則，這與假設(shè)矛盾．從而．
由均為偶函數(shù)．同樣可證時，也成立．
綜上所述，．
【整體點評】（1）的方法一利用不等式恒成立的意義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，使用判別式得到不等式組，求解得到；方法二先利用特值求得的值，然后使用判別式進一步求解，簡化了運算，是最優(yōu)解；（2）中的方法一利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，使用分類討論思想分別求得的取值范圍，然后取交集；方法二先利用特殊值進行判定得到，然后在此基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)驗證不等式的一側(cè)恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得不等式的另一側(cè)也成立的條件，進而得到結(jié)論，是最優(yōu)解；（3）的方法一、方法二中的分解因式難度較大，方法三使用反證法，推出矛盾，思路清晰，運算簡潔，是最優(yōu)解.
例27．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1），，
，
的圖像在處的切線方程為，即.
（2）解法一：由題意得，因為函數(shù)，
故有，等價轉(zhuǎn)化為，
即在時恒成立，所以，
令，則，
令，則，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，
，，
，使得，
當時，，即單調(diào)遞減，當時，，即單調(diào)遞增，
故，
由，得
在中，，當時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即與，
，
，即實數(shù)的取值范圍為.
解法二：因為函數(shù)，
故有，等價轉(zhuǎn)化為：，
構(gòu)造，
，所以可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即成立，令，
令， 在單調(diào)遞增，
又，所以存在，使得，即，
可知，
當時，可知恒成立，即此時不等式成立；
當時，又因為，
所以，與不等式矛盾；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
變式23．（2023·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù).
(1)當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）當時，，，
設(shè)
又，∴在上單調(diào)遞增，
又，∴當時，當時，
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）對函數(shù)求導(dǎo)得，，令，
則，∴在上單調(diào)遞增，
又，當時，
故存在唯一正實數(shù)使得，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
∴，
由恒成立，得，
由得，∴
∴，∴，
∴，
設(shè)，則恒成立，
故在上單調(diào)遞增，而，
∴，
又且函數(shù)在上是增函數(shù)，
故的取值范圍為
法2：同法一得，
由得，
∴
，當且僅當時等號成立，
∴，
故的取值范圍為
變式24．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)判斷的導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù)；
(2)若，求a的取值范圍．
【解析】（1）由題意可得：的定義域為，且，
因為，則有：
當時，恒成立，在內(nèi)無零點；
當時，構(gòu)建，則恒成立，
則在上單調(diào)遞增，
由于，取，
則，
，
故在內(nèi)有且僅有一個零點，即在內(nèi)有且僅有一個零點；
綜上所述：當時，在內(nèi)無零點；
當時，在內(nèi)有且僅有一個零點.
（2）由題意可知：，
由（1）可知：在內(nèi)有且僅有一個零點，設(shè)為，
可得：當時，；當時，；
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
因為，
則，且
可得，
整理得，
構(gòu)建，
則，
對于，由，可得，
所以，
則在上單調(diào)遞增，且，
所以的解集為，
又因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
可得，所以，
故a的取值范圍.
變式25．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
(1)若函數(shù)的最大值為0，求a的值；
(2)若對于任意正數(shù)x，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）因為函數(shù)的定義域為，且，
當時，，所以函數(shù)為增函數(shù)，沒有最大值；
當時，令，得，令，得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
所以當時，，
解得：.
（2）由，得，
化簡得：，
所以對于任意正數(shù)x，都有恒成立，
設(shè)，則，
令，則，可得為增函數(shù)，
因為，，
所以存在，使得，
當時，，即，單調(diào)遞減，
當時，，即，單調(diào)遞增，
所以的最小值為，
由可得， ，兩邊同時取對數(shù)，
得，
令，顯然為增函數(shù)，由，
得，所以，
所以.
所以，即.
故實數(shù)a的取值范圍為：.
變式26．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的極值；
(2)當時，關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1），
若，則，則在上單調(diào)遞減，無極值；
若，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，無極大值；
若，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，無極小值；
綜上所述，若，無極值；
若，，無極大值；
若，，無極小值；
（2）時，，所以有在上恒成立，
即在上恒成立，
令，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，
，
當時，所以在上單調(diào)遞增，，
滿足題意；
當時，令，，
則，設(shè)，，
則，因為，所以，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即在上恒成立，
所以即在上單調(diào)遞增，
又因為，
當即時，，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，
當時，，
如果在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，則無最小值，不符合題意；
如果有解時，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在時，，不符合題意；
綜上所述，，即實數(shù)的取值范圍是．
變式27．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.
(1)當時，求函數(shù)的極值點的個數(shù)；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當時，，定義域為，，
令，則.
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，又，，
所以，，
所以存在唯一的，，使得，
且當和時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
故在處取得極小值，在處取得極大值，即函數(shù)的極值點的個數(shù)為2.
（2），，即恒成立，
即在上恒成立.
記，
當時，，不合題意；
當時，.
記，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以使得，即，①
故當時，，即，當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，②
由①式可得，所以，
代入②式得，
因為，即，
故，即，
所以當時，恒成立，故實數(shù)的取值范圍為.
變式28．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)與的圖象有公切線.
(1)求實數(shù)和的值；
(2)若，且，求實數(shù)的最大值.
【解析】（1）將代入，得，
由，得，所以切線方程為，
因為，設(shè)曲線與切線相切于點，
則，所以，
解得或（舍去），所以，
又因為，即，即，所以，
所以，.
（2）因為，所以
，
因為，所以，
所以，僅當時，等號成立，
令，則，
因為，
所以當時，恒成立，
令，，
則在上單調(diào)遞增，
所以.所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以的最大值為.
題型十：雙變量最值問題
例28．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．－1C．D．－2
【答案】C
【解析】因為對于，恒成立，
所以對于，恒成立，
設(shè)，所以.
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)沒有最大值，所以這種情況不滿足已知；
當時，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.
所以.
所以.
所以.
設(shè)，
所以，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以.
所以的最小值為.
故選：C
例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中．
（1）當時，直線與函數(shù)的圖象相切，求的值；
（2）當時，若對任意，都有恒成立，求的最小值．
【解析】（1）當時，直線與函數(shù)的圖象相切于，
因為，所以，
則且，即，解得：.
（2）若對任意，都有恒成立，得.
假設(shè)，則當時，，
而當時，.
取，則當時，，
而，矛盾；故.
當時，由，得，即.
下證：能取到.
當時，.
記，則，
令，得；令，得；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以，即.
所以.
即對任意恒成立，
故的最小值為.
例30．（2023·河南南陽·高三南陽中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中
(1)若，且的圖象與的圖象相切，求的值；
(2)若對任意的恒成立，求的最大值.
【解析】(1)因為的圖象與的圖象相切，設(shè)切點為，
又，所以，解得，.
(2)因為等價于，令，
當時，對于任意正實數(shù)恒成立，單調(diào)遞增，
故由得，此時
當時，由，得，
又當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以當時，有最小值，
所以，即，所以，
令，則，，
當時，，為增函數(shù)，
當時，，為減函數(shù)，
所以，故，所以的最大值為1，此時，
綜上所述，的最大值為1.
變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(為自然對數(shù)的底數(shù))
（1）求在點處的切線方程；
（2）若時，在上恒成立.當取得最大值時，求的最小值.
【解析】（1）由，得，
所以，
因為，
所以在點處的切線方程為，即，
（2），
令，則，所以
，，
所以，，
所以，
所以，所以，
所以，
令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，此時，
綜上，的最小值為
變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=aex﹣x，
（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間，
（2）若關(guān)于x不等式aex≥x+b對任意和正數(shù)b恒成立，求的最小值.
【解析】（1）f′(x)=aex﹣1，
當a≤0時， 0時，令=aex﹣1=0，x=﹣lna，
在x>﹣lna時， >0，f(x)為增函數(shù)，
在x

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