【知識聚焦】
1.一定的順序
2.不同排列 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 不同組合 AnmAmm
【對點演練】
1.4 [解析] 4名學(xué)生中,來自高一、高二年級的各2名,所以隨機選2名學(xué)生,來自不同年級的選擇方法有C21C21=4(種).
2.2400 [解析] 安排甲和乙在3日至7日中的兩天值班,然后安排其他五人在剩余五天值班,所以不同的安排方法有A52×A55=20×120=2400(種).
3.20 [解析] A項工作安排3人有C53=10(種)安排方式,B,C兩項工作均只安排1人,有A22=2(種)安排方式,則不同的安排方式共有10×2=20(種).
4.5 120 96 [解析] 從5名學(xué)生中選出4名去參加學(xué)科競賽,有C54=5(種)選法.若這4名學(xué)生分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科競賽,則不同的參賽方案有A54=120(種).由于甲不參加生物競賽,因此安排甲參加另外三門學(xué)科的競賽或甲不參加任何競賽.①當(dāng)甲參加另外三門學(xué)科的競賽時,有C31A43=72(種)方案;②當(dāng)甲不參加任何競賽時,有A44=24(種)方案.故甲不參加生物競賽的不同參賽方案種數(shù)為72+24=96.
5.720 720 [解析] (1)要將這7人站成一排,且3個女生排在一起,可以分2個步驟:第1步,將3個女生全排列,有A33=6(種)方法;第2步,將3個女生“捆綁”看作1個整體與男生4人全排列,有A55=120(種)方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,3個女生排在一起共有6×120=720(種)排法.
(2)要將這7人站成一排,且甲、乙2人之間恰好有3個人,可以分3個步驟:第1步,甲、乙2人全排列,有A22=2(種)方法;第2步,從其余5個人中選出3個人,在甲、乙2人之間排列,有A53=60(種)方法;第3步,將甲、乙2人及之間的3個人“捆綁”為1個元素,與另外2個人共3個元素全排列,有A33=6(種)方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,甲、乙2人之間恰好有3個人,共有2×60×6=720(種)排法.
6.56 [解析] 8個小球排好后對應(yīng)著8個位置,題中的排法相當(dāng)于在8個位置中選出3個位置給紅球,剩下的位置給白球,由于這3個紅球完全相同,5個白球也完全相同,所以沒有順序,是組合問題.故共有C83=56(種)排法.
7.70 [解析] 選法可分為兩類:第一類,從4臺標清彩電中選1臺,從5臺高清彩電中選2臺,有C41C52種不同的選法;第二類,從4臺標清彩電中選2臺,從5臺高清彩電中選1臺,有C42C51種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有C41C52+C42C51=4×10+6×5=70(種)不同的選法.
● 課堂考點探究
例1 [思路點撥] (1)先求得六人的全排列數(shù),然后結(jié)合題意,求得甲、乙在丙同側(cè)所占的比例,即可求解.(2)分類討論由數(shù)字0,1,2,3,4組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的各種情況,進而得到從小到大排列的第88個數(shù)為42 130.
(1)B (2)C [解析] (1)由題意,甲、乙、丙等六人全排列,共有A66=720(種)不同的排法,甲、乙、丙三人全排列,有A33=6(種)不同的排法,其中甲、乙在丙的同側(cè)有2A22=4(種)不同的排法.所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)的不同坐法的種數(shù)為720×46=480.故選B.
(2)由數(shù)字0,1,2,3,4組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中,1在萬位的有A44=24(個);2在萬位的有A44=24(個);3在萬位的有A44=24(個);4在萬位的有A44=24(個).則從小到大排列的第88個數(shù)為4在萬位的五位數(shù).4在萬位0在千位的五位數(shù)有A33=6(個),4在萬位1在千位的五位數(shù)有A33=6(個),4在萬位2在千位的五位數(shù)有A33=6(個),則從小到大排列的第88個數(shù)為4在萬位2在千位的五位數(shù).4在萬位2在千位的五位數(shù)從小到大排列依次為42 013,42 031,42 103,42 130,42 301,42 310,則從小到大排列的第88個數(shù)為42 130.故選C.
變式題 (1)A (2)D (3)A [解析] (1)每個人被安排在另外兩個人前面的機會是均等的,故共有13A53=20(種)安排方法.故選A.
(2)由題意,5只能排在a2或a4位置,1,2不能排在a2或a4位置.若a2,a4位置排4,5,則排列個數(shù)為A22A33=12;若a2,a4位置排3,5,則4只能排在a1,a5中與“5”所在位置相鄰的外側(cè)位置上,即排列有13 254,23 154,45 231,45 132,共4個.綜上,滿足題意的排列個數(shù)為12+4=16.故選D.
(3)不考慮限制條件,共有A66種不同的匯報安排,B成果最先匯報,有A55種不同的匯報安排,則B成果不能最先匯報,而A,C,D成果按先后順序匯報(不一定相鄰)的不同的匯報安排種數(shù)為A66-A55A33=100.故選A.
例2 [思路點撥] (1)按照A類項目選2個、選1個進行分類,結(jié)合組合知識求解.(2)按選修2門或3門課進行分類討論,結(jié)合組合知識求解.
(1)C (2)64 [解析] (1)若A類項目選2個,則不同選法有C41C61C41=96(種);若A類項目選1個,則不同選法有C62C41+C61C42=96(種).故滿足條件的不同選法共有96+96=192(種).故選C.
(2)若選修2門課,則需要從體育類和藝術(shù)類選修課中各選1門,有C41C41=16(種)方案;若選擇3門課,則包含兩種情況:選2門體育類,1門藝術(shù)類或2門藝術(shù)類,1門體育類,有C42C41+C41C42=48(種)方案.故不同的選課方案共有16+48=64(種).
變式題 (1)AD (2)180 [解析] (1)對于A,若4人中男、女生各2人,則有C42C32=6×3=18(種)選法,故A正確;對于B,若男生甲和女生乙必選,則有C52=10(種)選法,故B錯誤;對于C,從7名同學(xué)中任選4人,共有C74=35(種)選法,而甲、乙都不被選有C54=5(種)選法,故甲、乙至少有1人被選有C74-C45=35-5=30(種)選法,故C錯誤;對于D,若4人中既有男生又有女生,則有C74-C44=35-1=34(種)選法,故D正確.故選AD.
(2)第一天從6人中選3人參加,有C63種選法;第二天從第一天參加的3人中選1人參加,再從第一天沒參加的3人中選2人參加,有C31C32種選法.故恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式有C63C31C32=6×5×43×2×1×3×3=180(種).
例3 [思路點撥] (1)根據(jù)兩個計數(shù)原理和排列組合的知識,逐項判斷即可.(2)根據(jù)甲跑的棒次進行分類討論,由此求得不同棒次安排方案種數(shù).
(1)C (2)B [解析] (1)對于A,從7人中任選3人相互調(diào)整位置,其余4人位置不變,則不同的調(diào)整方案有C73×2×1=70(種),故A中說法正確;對于B,先排女生,將4名女生全排列,有A44種方法,再排男生,由于男生互不相鄰,因此可以在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生,有A53種方法,故共有A44·A53=1440(種)站法,故B中說法正確;對于C,將女生看成一個整體,考慮女生之間的順序,有A44種情況,再將女生的整體與3名男生進行全排列,有A44種情況,故共有A44·A44=576(種)站法,故C中說法錯誤;對于D,若甲站在排尾,則有A66種站法,若甲不站在排尾,則有A51A51A55種站法,故共有A66+A51A51A55=3720(種)站法,故D中說法正確.故選C.
(2)當(dāng)甲跑第1棒時,乙可跑第2棒或第4棒,有A21A42=24(種)安排方案;當(dāng)甲跑第2棒時,乙只能跑第4棒,有A42=12(種)安排方案.故甲、乙都參加的不同棒次安排方案種數(shù)為24+12=36.故選B.
變式題 (1)C (2)864 [解析] (1)若乙擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表,則不同的安排方式有C21·A44=48(種);若丙擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表,則不同的安排方式有C21·C21·A33=24(種).所以不同的安排方式共有48+24=72(種).故選C.
(2)首先從“詩”“酒”“花”“茶”中選“兩雅”,有C42種選法;“琴”“棋”相鄰用捆綁法看作一個整體,與除“書”與“畫”外的“兩雅”全排列,有A33A22種排法;最后將“書”與“畫”
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(進群送往屆全部資料)插入到所形成的4個空中的2個空,有A42種插法.按照分步乘法計數(shù)原理可得,共有C42A33A22A42=864(種)排課方法.
例4 [思路點撥] 先對6盞不同的花燈進行全排列,結(jié)合定序問題的解決方法,即可求解.
20 [解析] 根據(jù)題意可先對6盞不同的花燈進行全排列,有A66種排法.因為取花燈時每次只能取一盞,且只能從下往上取,每串花燈上3盞花燈地取下順序已經(jīng)固定,所以共有A66A33A33=20(種)不同的取法.
變式題 90 [解析] 由于六個身高不同的人排成兩排三列,每一列后面的那個人比他(她)前面的那個人高,因此有A66A22A22A22=90(種)排法.
例5 [思路點撥] 利用隔板法可得答案.
D [解析] 將8個參賽名額看成8個元素,之間會產(chǎn)生7個空隙,則分配方法共有C73=7×6×53×2=35(種),故選D.
變式題 21 [解析] 由于每只羊羔的價格均為300元,因此共有8個購買羊羔的指標,可以看成8個無差別的小球,3種不同的羊羔可以看成3個編號分別為1,2,3的盒子,則問題轉(zhuǎn)化為把8個無差別的小球裝入3個不同的盒子中,每個盒子至少裝1個小球.用隔板法,8個小球之間共有7個空隙,從中選2個插入隔板,則共有C72=21(種)不同的購買方案.
例6 [思路點撥] 先不考慮專家A不能去甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)的情況,將六名農(nóng)業(yè)專家分組,再分配到三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)上,求出總的安排方案種數(shù),最后根據(jù)專家A不去甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)所占的比例求解即可.
360 [解析] 由題意,先不考慮專家A不能去甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)的情況,將六名農(nóng)業(yè)專家分成三組,有(1,1,4),(1,2,3),(2,2,2)三種情況.按(1,1,4)分組有C64C21C11A22=15(種)方法,按(1,2,3)分組有C61C52C33=60(種)方法,按(2,2,2)分組有C62C42C22A33=15(種)方法.再將三組農(nóng)業(yè)專家分配到甲、乙、丙三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)上,有A33種方法.所以共有(15+60+15)A33=540(種)安排方案.上述安排方案中,專家A去甲鄉(xiāng)鎮(zhèn),去乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)和去丙鄉(xiāng)鎮(zhèn)的安排方案種數(shù)相等,故專家A不去甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)的安排方案有540×23=360(種).
變式題 C [解析] 將五位同學(xué)分為2,1,1,1的四組,再分配到四所學(xué)校,共有C52A44=240(種)方法.故選C.

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