02 第48講　兩直線的位置關(guān)系 【答案】聽(tīng)課 高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí)

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【知識(shí)聚焦】
1.k1=k2且b1≠b2 k1·k2=-1 k1≠k2
2.交點(diǎn)坐標(biāo) (1)相交 交點(diǎn)的坐標(biāo) (2)無(wú)公共點(diǎn) 平行
3.(x1-x2)2+(y1-y2)2 |Ax0+By0+C|A2+B2 |C1-C2|A2+B2
【對(duì)點(diǎn)演練】
1.直角 [解析] 因?yàn)檫匒B所在直線的斜率k1=-12,邊BC所在直線的斜率k2=2,且k1k2=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC是直角三角形.
2.2 [解析] 點(diǎn)(1,3)到直線3x-4y-1=0的距離d=|3-12-1|9+16=2.
3.2x+y-4=0 [解析] 由x+y-3=0,x-2y+3=0,解得x=1,y=2,∴直線x+y-3=0和直線x-2y+3=0的交點(diǎn)為(1,2),又所求直線與直線2x+y-7=0平行,∴所求直線的斜率為-2,∴所求直線的方程為y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
4.16 [解析] 方法一:因?yàn)橹本€l1:x+2my-1=0與l2:(3m-1)x-my+1=0平行,所以?xún)芍本€的斜率相等或斜率均不存在,所以-12m=3m-1m或m=0,即m=16或m=0.當(dāng)m=0時(shí),l1與l2重合,不符合題意,所以m=16.
方法二:因?yàn)閘1∥l2,所以1×(-m)-(3m-1)×2m=0,1×1-(3m-1)×(-1)≠0,解得m=16.
5.43或0 [解析] 若直線l1:2x+3ay-4=0與直線l2:ax+(a-2)y+1=0垂直,則2a+3a(a-2)=0,解得a=0或a=43.
6.72 [解析] 依題意得a=6,3x+4y-12=0可變形為6x+8y-24=0,所以?xún)蓷l平行直線之間的距離為|11+24|36+64=72.
● 課堂考點(diǎn)探究
例1 [思路點(diǎn)撥] 判斷兩直線的位置關(guān)系,關(guān)鍵是判斷兩直線的斜率之間的關(guān)系.
解:(1)當(dāng)m=-6時(shí),直線l1的方程為-3x+5y=23,l2的方程為x=4,顯然兩直線相交;
當(dāng)m≠-6時(shí),由m+32≠5m+6,解得m≠-1,m≠-8.
綜上,當(dāng)m≠-1且m≠-8時(shí),直線l1與l2相交.
(2)由(1)知當(dāng)m=-6時(shí),直線l1與l2相交.
當(dāng)m≠-6時(shí),由m+32=5m+6≠5-3m8,得m=-1(舍去)或m=-8,所以當(dāng)m=-8時(shí),直線l1與l2平行.
(3)由m+32=5m+6=5-3m8,得m=-1,
所以當(dāng)m=-1時(shí),直線l1與l2重合.
(4)由 2(m+3)+5(m+6)=0得m=-367,
所以當(dāng)m=-367時(shí),直線l1與l2垂直.
變式題 (1)D (2)C (3)2 [解析] (1)當(dāng)直線x+2y-1=0與直線a2x+(a+1)y-1=0平行時(shí),a21=a+12≠1,得a=-12.當(dāng)a=1時(shí),直線x+2y-1=0與直線a2x+(a+1)y-1=0重合,所以p是q的既不充分也不必要條件.故選D.
(2)當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí),可將平面分為六個(gè)部分,由x-2y+2=0,x-2=0,解得x=2,y=2,將x=2,y=2代入l3:x+ky=0中,得2k+2=0,解得k=-1.當(dāng)l3:x+ky=0與l1:x-2y+2=0平行時(shí),三條直錢(qián)可將平面分為六個(gè)部分,此時(shí)k=-2;當(dāng)l3:x+ky=0與l2:x-2=0平行時(shí),三條直線可將平面分為六個(gè)部分,此時(shí)k=0.綜上,滿(mǎn)足條件的k的值共有3個(gè).故選C.
(3)設(shè)直線l的斜率為k1,直線x+2y-λ=0的斜率為k2,由直線x+2y-λ=0可得k2=-12,因?yàn)橹本€l與直線x+2y-λ=0垂直,所以k1·k2=-1,即-12k1=-1,解得k1=2,即tan α=2,所以tan(π+α)=tan α=2.
例2 [思路點(diǎn)撥] (1)直線3x+my-3=0過(guò)定點(diǎn)(1,0),計(jì)算定點(diǎn)到直線6x+4y+1=0的距離即可.(2)直線y=k(x+1)恒過(guò)定點(diǎn)(-1,0),當(dāng)點(diǎn)(-1,0)與(0,-1)的連線垂直于直線y=k(x+1)時(shí),點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)的距離最大.(3)聯(lián)立兩直線的方程,解方程組可得交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可得直線l的斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式即可得直線l的方程.
(1)D (2)B (3)2x-y=0 [解析] (1)直線3x+my-3=0過(guò)定點(diǎn)(1,0),則直線3x+my-3=0到直線6x+4y+1=0的距離即為點(diǎn)(1,0)到直線6x+4y+1=0的距離,故所求距離d=|6×1+4×0+1|62+42=752=71326.故選D.
(2)由y=k(x+1),可得直線過(guò)定點(diǎn)(-1,0),易知當(dāng)點(diǎn)(-1,0)與(0,-1)的連線與直線y=k(x+1)垂直時(shí),所求距離最大,所以點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為12+(-1)2=2.故選B.
(3)由題意得,聯(lián)立2x-3y-4=0,x-y-1=0,解得x=-1,y=-2,即兩條直線2x-3y-4=0與x-y-1=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2),∵直線l經(jīng)過(guò)(0,0),∴直線l的斜率k=-2-1=2,∴直線l的方程為y=2x,即2x-y=0.
變式題 (1)-3或3 (2)4 [解析] (1)方法一:由題意得|-2a-4+1|a2+1=|a+5+1|a2+1,解得a=3或a=-3.
方法二:因?yàn)锳,B兩點(diǎn)到直線l的距離相等,所以直線AB∥l或線段AB的中點(diǎn)在直線l上,則5+41+2=-a或-12a+12+1=0,解得a=-3或a=3.
(2)a2+(b+1)2即為點(diǎn)M(a,b)到點(diǎn)(0,-1)的距離的平方,點(diǎn)M(a,b)為直線3x-y+3=0上的動(dòng)點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)(0,-1)到直線3x-y+3=0的距離d=|0+1+3|3+1=2,所以a2+(b+1)2的最小值為4.
例3 [思路點(diǎn)撥] 設(shè)出A點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出B點(diǎn)坐標(biāo),代入直線l2的方程中,解方程求得A點(diǎn)坐標(biāo),利用截距式求出直線l的方程.
x+4y-4=0 [解析] 設(shè)A(a,8-2a),由題意知,點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B(-a,2a-6)在直線l2上,則-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即點(diǎn)A(4,0)在直線l上,由直線的截距式方程得直線l的方程為x4+y=1,即x+4y-4=0.
例4 [思路點(diǎn)撥] (1)求出點(diǎn)B關(guān)于直線x-y+3=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M的坐標(biāo),進(jìn)而求出AC的斜率,利用點(diǎn)斜式求解直線方程即可.(2)首先建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0),分別求出點(diǎn)P關(guān)于直線BC與y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線P1P2的方程,再由A,B,C的坐標(biāo)求出△ABC的重心的坐標(biāo),進(jìn)而求出t的值,最后得到線段AP的長(zhǎng)度.
(1)x-2y+8=0 (2)43 [解析] (1)設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x-y+3=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,b),則b-3a-1=-1,1+a2-3+b2+3=0,解得a=0,b=4,所以M(0,4).由題可知,A,M兩點(diǎn)都在直線AC上,所以直線AC的斜率為5-42-0=12,所以直線AC的方程為y-4=12(x-0),即x-2y+8=0.
(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由題意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),則直線BC的方程為x+y-4=0.設(shè)P(t,0)(0