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1.(x-a)2+(y-b)2=r2 (a,b) rx2+y2+Dx+Ey+F=0
2.(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2 (2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(3)(x0-a)2+(y0-b)20,12+22+m-2×2+2>0,解得-30即可)
(3)圓(x-2)2+(y-1)2=3的圓心為(2,1),半徑為3,設(shè)對稱圓的圓心為(a,b),由題意得b-1a-2=53,3×a+22+5×b+12+6=0,
解得a=-1,b=-4,即對稱圓的圓心為(-1,-4),又對稱圓的半徑也為3,所以對稱圓的方程為(x+1)2+(y+4)2=3.
例2 [思路點撥] 根據(jù)yx的幾何意義,結(jié)合圖形可求得yx的最值,由此判斷A,B;根據(jù)x2+y2的幾何意義求其最值,即可判斷C;利用三角換元,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求x+y的最大值,即可判斷D.
ABD [解析] 由實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x-2y+4=0,可得點(x,y)在圓(x-2)2+(y-1)2=1上,設(shè)圓心為C,作出圓C如圖所示.yx表示點(x,y)與坐標原點O連線的斜率,設(shè)過坐標原點的圓的切線方程為y=kx,則|2k-1|k2+1=1,解得k=0或k=43,所以yx∈0,43,所以yxmax=43,yxmin=0,故A,B正確;x2+y2表示圓上的點(x,y)到坐標原點的距離的平方,圓上的點(x,y)到坐標原點的距離的最大值為|OC|+1,所以x2+y2的最大值為(|OC|+1)2,又|OC|=22+12,所以x2+y2的最大值為6+25,故C錯誤;因為x2+y2-4x-2y+4=0可化為(x-2)2+(y-1)2=1,所以可設(shè)x=2+cs θ,y=1+sin θ,所以x+y=2+cs θ+1+sin θ=3+2sinθ+π4,所以x+y的最大值為3+2,故D正確.故選ABD.
變式題 解:將方程x2+y2-8x-6y+21=0變形可得(x-4)2+(y-3)2=4,則實數(shù)對(x,y)表示以點C(4,3)為圓心,2為半徑的圓上任意一點.
(1)根據(jù)題意,當x≠3時,p=y+1x-3的幾何意義為圓上任意一點與點(3,-1)連線的斜率.
設(shè)Q(3,-1),過點Q的圓C的切線斜率為k,則切線方程為y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,則點C到切線的距離d=|4k-3-3k-1|1+k2=2,解得k=-4±2133,故p的取值范圍為-∞,-4-2133∪-4+2133,+∞.
(2)由s=2x-y,得2x-y-s=0,該方程表示一條直線,
易知當直線和圓相切時,s取得最大值和最小值.
當直線與圓相切時,|5-s|1+4=2,解得s=5-25或s=5+25,則s的最小值為5-25,最大值為5+25.
(3)w=x2+y2-10x+2y+26=(x-5)2+(y+1)2,設(shè)t=(x-5)2+(y+1)2,則t的幾何意義為圓C上任意一點與點(5,-1)間的距離,設(shè)N(5,-1),則|CN|=17,則有17-2≤t≤17+2,所以21-417≤w≤21+417,故w的取值范圍為[21-417,21+417].
例3 [思路點撥] (1)思路一:設(shè)P(3+cs θ,4+sin θ),根據(jù)題中條件及輔助角公式可得m的最大值;思路二:根據(jù)圓心C到原點O(0,0)的距離為5,可得圓C上的點到原點O的距離的最大值為6,再由∠APB=90°,可得|OP|=m,可得m≤6,從而得到答案.(2)先求出向量的坐標表示,再利用向量數(shù)量積的坐標公式及圓的方程求解.
(1)B (2)0 [解析] (1)方法一:設(shè)點P的坐標為(x0,y0),由(x-3)2+(y-4)2=1,可設(shè)x0=3+csθ,y0=4+sinθ.∵∠APB=90°,∴PA·PB=0,可得(x0+m)(x0-m)+y02=0,∴m2=x02+y02=26+6cs θ+8sin θ=26+10sin(θ+φ)tanφ=34,∴4≤m≤6,∴m的最大值為6.故選B.
方法二:設(shè)O為坐標原點,連接OP,OC,在Rt△APB中,原點O為斜邊的中點,|AB|=2m(m>0),∴m=|OP|≤|OC|+r(r為圓C的半徑),又C(3,4),r=1,∴|OP|≤6,即m≤6.故選B.
(2)由題意知PA=(2-x,-y),PB=(-2-x,-y),所以PA·PB=x2+y2-4,因為點P(x,y)是圓上的點,所以其坐標滿足方程x2+(y-3)2=1,即x2=-(y-3)2+1,所以PA·PB=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.由圓的方程為x2+(y-3)2=1,可知2≤y≤4,所以當y=2時,PA·PB的值最小,最小值為6×2-12=0.
變式題 (1)B (2)1-2 [解析] (1)方法一:易得|PA|2+|PB|2=4,可得|PA|+|PB|22≤|PA|2+|PB|22=2,當且僅當|PA|=|PB|=2時取等號,所以|PA|+|PB|≤22.故選B.
方法二:易得|PA|2+|PB|2=4,設(shè)∠PAB=θ0≤θ

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