07 第45講　空間角【答案】聽課高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識聚焦】
1.(1)角(或夾角) (2)0,π2 2.(2)0,π2
3.(1)垂直于棱l (3)②不大于90°
【對點演練】
1.23015 [解析] 設(shè)直線a與平面α所成的角為θ,則sin θ=|a·b||a||b|=46×5=23015.
2.45° [解析] ∵cs=m·n|m||n|=11×2=22,∴=45°,故這兩個平面的夾角為45°.
3.155 [解析] 以D為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則O(1,1,0),E(0,2,1),F(1,0,0),D1(0,0,2),∴FD1=(-1,0,2),OE=(-1,1,1),∴cs=FD1·OE|FD1||OE|=1+0+25×3=155,故異面直線OE與FD1所成角的余弦值為155.
4.30° [解析] 設(shè)l與α所成的角為θ,∵cs=-12,∴sin θ=|cs|=12,又0°≤θ≤90°,∴θ=30°.
5.34 [解析] 以O(shè)為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,3),C32,-12,0,所以AS=(0,1,3),BC=32,-32,0,所以cs=AS·BC|AS||BC|=-34,則SA與BC所成角的余弦值為34.
6.13 -23 [解析] 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,1),C1(0,2,1),A1(1,0,1),B(1,2,0),∴D1C1=(0,2,0),A1C1=(-1,2,0),A1B=(0,2,-1).設(shè)平面A1BC1的法向量為n=(x,y,z),則n·A1C1=0,n·A1B=0,即-x+2y=0,2y-z=0,令y=1,得n=(2,1,2).設(shè)D1C1與平面A1BC1所成的角為θ,則sin θ=|cs|=|D1C1·n||D1C1||n|=22×3=13,即直線D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為13.易知平面A1C1D1的一個法向量為m=(0,0,1),∴cs=m·n|m||n|=21×3=23.由圖可知,二面角B-A1C1-D1為鈍角,故二面角B-A1C1-D1的余弦值為-23.
● 課堂考點探究
例1 [思路點撥] (1)思路一:在長方體中建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求異面直線所成的角;思路二:在長方體中,通過補充新的長方體,結(jié)合平行關(guān)系,將異面直線轉(zhuǎn)化在同一平面中,利用解三角形求異面直線所成的角.(2)思路一:連接PC,BC,由O是AB的中點,M為AC的中點,得出OM∥BC,所以∠PBC(或其補角)即為異面直線OM與PB所成的角,由∠BOC=π2,求得BC=22,則△PBC為等邊三角形,即∠PBC=π3,即可得出結(jié)果;思路二:以O(shè)為坐標(biāo)原點,以O(shè)C,OB,OP的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,求得PB=(0,2,-2),OM=(1,-1,0),進而可得PB與OM的夾角,即可求得異面直線OM與PB所成的角.
(1)A [解析] 方法一:以A為坐標(biāo)原點,以AB,AD,AA1的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(0,0,4),F(2,2,0),B1(4,0,4),E(0,1,4),所以A1F=(2,2,-4),B1E=(-4,1,0).設(shè)異面直線A1F與B1E所成的角為θ,則cs θ=A1F·B1E|A1F||B1E|=-626×17=10234.故選A.
方法二:補充長方體CDMN-C1D1M1N1,如圖所示,其中C1N1=B1C1,取P為B1C1的中點,Q為MN的中點,連接D1Q,D1P,PQ,則∠PD1Q(或其補角)即為異面直線A1F與B1E所成的角.由題知D1P=B1E=17,D1Q=A1F=26,PQ=29,所以cs∠PD1Q=D1P2+D1Q2-PQ22·D1P·D1Q=10234.故選A.
(2)解:方法一:連接PC,BC,如圖所示,由題知O是AB的中點,M為AC的中點,所以O(shè)M∥BC,
所以∠PBC(或其補角)即為異面直線OM與PB所成的角.因為∠BOC=π2,所以BC=OB2+OC2=22,
所以△PBC為等邊三角形,所以∠PBC=π3,
所以異面直線OM與PB所成的角的大小為π3.
方法二:易知OC,OB,OP兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則O(0,0,0),A(0,-2,0),C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2).因為M為AC的中點,所以M(1,-1,0),所以PB=(0,2,-2),OM=(1,-1,0).設(shè)異面直線OM與PB所成的角為θ0