2024年9月
本試卷共4頁，24題，滿分100分.考試用時(shí)90分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必填寫答題卡上的有關(guān)項(xiàng)目.
2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.
4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一?選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 下列各式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算求解.
【詳解】對A：原式，所以A選項(xiàng)錯誤；
對B：原式，所以B選項(xiàng)錯誤；
對C：原式，所以C選項(xiàng)錯誤；
對D：顯然，所以原式，所以D選項(xiàng)正確.
故選：D
2. 如圖，已知矩形中，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，證得，得到，進(jìn)而求得的值.
【詳解】在矩形中，可得，所以，
因?yàn)?，且，所以，可得?br>所以，所以.
故選：C
3. 化簡，結(jié)果是（ ）
A. 6x―6B. ―6x+6C. ―4D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由根式的性質(zhì)可得，再由根式的化簡即可求解.
【詳解】∵，
∴，∴，
∴
故選：D.
4. 已知，則（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】利用冪的運(yùn)算，將已知等式進(jìn)行變形，根據(jù)等式的性質(zhì)可得，即可求出．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
則，即，則.
故選：A.
5. 因式分解（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將已知式分成兩組，分別提取公因式，再提取新的公因式即得.
【詳解】由.
故選：B.
6. 若，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依題意可得，再代入已知條件計(jì)算可得.
【詳解】解：，，
.
故選：D.
7. 在中，，則的長為（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，所以根據(jù)兩角和的正弦公式可求得，再根據(jù)正弦定理可求得.
【詳解】根據(jù)三角形內(nèi)角和為，所以可知，
則，
根據(jù)正弦定理可知，代入解之可得.
故選：C
8. 一種產(chǎn)品今年1月份的銷售額是2萬元，3月份的銷售額是4.5萬元，從1月份到3月份，該產(chǎn)品銷售額平均每月的增長率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)每月增長率為，可得3月份的銷售額為，根據(jù)等量關(guān)系列式求解.
【詳解】設(shè)銷售額平均每月的增長率為，根據(jù)題意可得：，
解得：.
故選：A.
9. 開口方向向上的二次函數(shù)的圖象與軸相交于兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①；②對稱軸為；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一判定結(jié)論即可.
【詳解】由題意可知，所以，
則，，，，即①③正確.
故選：C
10. 如圖所示，在邊長為的正方形鐵皮上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使之恰好圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的高為（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)扇形的弧長與圓錐底面周長的關(guān)系可求得小圓半徑和扇形半徑之間的關(guān)系，繼而結(jié)合正方形的對角線長，列式求出底面圓的半徑，繼而求得圓錐的高，即得答案.
【詳解】如圖1，過⊙F圓心F作于E，于G，
則四邊形為正方形，設(shè)小圓半徑為r，扇形半徑為R，則，
小圓周長為，扇形弧長為，
∵剪下一個(gè)扇形和圓恰好圍成一個(gè)圓錐，，解得，
即，，
∵正方形鐵皮邊長為，，
，∴；
在圖2中，，
由勾股定理得，圓錐的高，

故選：B
二?填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分.
11. 已知，則________．
【答案】2或1
【解析】
【分析】將條件左右兩邊同時(shí)除以，可得，解方程即可.
【詳解】將左右兩邊同時(shí)除以，可得.
得，所以或2.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次方程的求解，等式兩邊同時(shí)除以，將方程整理為關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
12. 如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則的度數(shù)是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓周角定理求出，再利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得出，即可求出的度數(shù)．
【詳解】，
，
四邊形為的內(nèi)接四邊形，
，
，
故答案為：．
13. 方程的兩根為，且，則____________.
【答案】-3
【解析】
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得答案.
【詳解】∵方程的兩根為，
∴，，
由題意得：；，
∵，∴，，故，
故答案為：-3.
14. 不等式：的解為______．
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合有理數(shù)的除法法則可得或，再解不等式組即可．
詳解】由，得或，解得或，
所以不等式的解為或.
故答案為：或
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，圓的圓心為點(diǎn)，半徑為2，圓的圓心為點(diǎn)，半徑為.若圓和圓有三條公切線，則半徑的值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓和圓有三條公切線，即兩圓外切，列方程式求解.
【詳解】因?yàn)閳A和圓有三條公切線，
所以兩圓外切，所以，
所以.
故答案為：.
16. 已知，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】將已知等式按照分別配方，利用等式性質(zhì)求出的值，代入即得.
【詳解】由配方得，，
因，，故必須滿足，
此時(shí)，.
故答案為：.
17. 把拋物線向左平移__________個(gè)單位，得到拋物線的解析式為.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】注意到，結(jié)合題意可得答案.
【詳解】注意到，
與相比較可得向左平移 個(gè)單位可滿足題意.
故答案為：
18. 已知正整數(shù)n滿足：則n＝______
【答案】6
【解析】
【分析】利用裂項(xiàng)相消法即可求解.
【詳解】依題意，
，
解得.
故答案為：6.
19. 因式分解：_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)提公因式求解即可.
【詳解】解：.
故答案為：
20. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程組，則____________．
【答案】13
【解析】
【分析】根據(jù)立方和公式、完全平方和公式即可求解．
【詳解】，
把代入，可得，

．
故答案為：13
三?解答題：本題共4小題，每小題10分，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
21. 已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.
（1）求的取值范圍；
（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，且，求的值.
【答案】（1）
（2）-2
【解析】
【分析】（1）依題意得，解出即可；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系以及配方法即可求解.
【小問1詳解】
根據(jù)題意，，即，解得，
所以的取值范圍是.
【小問2詳解】
由題，，，，
，
化簡得，，解得或3（舍去），
.
22. 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）若關(guān)于的方程有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根，請直接寫出的取值范圍.
【答案】（1） （2）圖象見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）將，；，列式運(yùn)算得解；
（2）根據(jù)解析式討論去絕對值，依據(jù)二次函數(shù)畫出圖象，觀察圖象得出性質(zhì)；
（3）問題等價(jià)于函數(shù)與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象得解.
【小問1詳解】
由題意可得，解得，，
.
【小問2詳解】
，
當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大（答案不唯一）.
【小問3詳解】
方程有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
即函數(shù)與函數(shù)有4個(gè)不同的交點(diǎn)，
由圖象得.
23. 如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，與過點(diǎn)的切線垂直，垂足為點(diǎn)，直線與的延長線相交于點(diǎn)，弦平分，交于點(diǎn).
（1）證明：平分；
（2）證明：.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用直線與圓的位置關(guān)系先判定，利用平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)證明即可；
（2）連接，利用等弧對等角判定，根據(jù)等腰三角形及對頂角證明證明即可.
【小問1詳解】
由與過點(diǎn)的切線垂直，垂足為點(diǎn)知：，且，則，
又為等腰三角形，則，
所以，即平分；
【小問2詳解】
連接，由弦平分，則，
所以，根據(jù)已知及圓的性質(zhì)知，
又等腰三角形，則，
結(jié)合（1）知，
所以，則.
24. 一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，常用符號表示，，第個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，常用符號表示.定義：一個(gè)正整數(shù)稱為“漂亮數(shù)”，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)數(shù)列，滿足①②③：①都是正整數(shù)；②；③.
（1）寫出最小的“漂亮數(shù)”；
（2）當(dāng)時(shí)，求出所有的“漂亮數(shù)”.
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)“漂亮數(shù)”的定義即可證明最小的“漂亮數(shù)”為6；
（2）先證明或，利用分類討論的思想可得和，根據(jù)“漂亮數(shù)”的定義求出即可.
【小問1詳解】
若是“漂亮數(shù)”，
設(shè)，滿足，
則，所以，即，
故，得，則，所以，
此時(shí)，假設(shè)，則，又，
所以全部可能取值為，
經(jīng)驗(yàn)證，上述的取值都不等于1，不符合題意.
所以，又，故6為“漂亮數(shù)”，
所以最小的“漂亮數(shù)”是6；
【小問2詳解】
若，設(shè)，滿足，
則，所以，即，
而，
所以，即，故，
得，即，
又，所以，
而，故，即.
若，則，所以.
假設(shè)，則，矛盾.
故，所以，得.
故，則，得，又，所以.
又，矛盾，
故或.
當(dāng)時(shí)，有，得，
則，得，即.
由，得，分別代入，
使得為正整數(shù)的有，對應(yīng)的分別為.
當(dāng)時(shí)，有，得，
則，得，即.
由，得，分別代入，
使得為正整數(shù)的有，對應(yīng)的分別為.
綜上，滿足條件的全部為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對新定義的理解，只有理解了定義，方可解決對應(yīng)的問題.

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