上海市洋涇中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

這是一份上海市洋涇中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版），共12頁。試卷主要包含了填空題，選擇題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 用列舉法寫出所有小于13的素數(shù)組成的集合__________.
【答案】
【解析】
【分析】找出所有小于13的素數(shù)，即可用列舉法表示集合.
【詳解】小于13的素數(shù)有，所以所有小于13的素數(shù)組成的集合為.
故答案為：
2. 已知等式對任意實(shí)數(shù)成立，則___________.
【答案】24
【解析】
【分析】根據(jù)賦值法即可列方程求解的值.
【詳解】對任意的實(shí)數(shù)成立，
因此令 ，則，
對任意的實(shí)數(shù)成立，將 代入得，因此可得
進(jìn)而，取 以及，代入即可求解，因此
故答案為：24
3. 已知，則實(shí)數(shù)___________.
【答案】
【解析】
【分析】討論、，結(jié)合集合的性質(zhì)求參數(shù)a即可.
【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時，則，此時，不符合互異性；
當(dāng)時，由上不符合，而時，此時集合為.
綜上，.
故答案為：
4. 已知集合，，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出方程組的解，根據(jù)集合交集的含義，即可得答案.
【詳解】解，得或，
故，
故答案為：
5. 用反證法證明命題“若且，則”時，第一步應(yīng)該假設(shè)__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用反證法的步驟，假設(shè)結(jié)論不成立，故得到答案.
【詳解】根據(jù)反證法的步驟可知，第一步應(yīng)該假設(shè)：.
故答案為：
6. 已知集合，若有兩個子集，則的值是______.
【答案】0或-1
【解析】
【分析】由題意可得方程只有一個解，對參數(shù)進(jìn)行討論即可.
【詳解】因為有兩個子集，
則可得方程只有一個解，
當(dāng)時，方程只有一個解，符合題意；
當(dāng)時，方程只有一個解，則，
即解得
故答案為：0或-1
【點(diǎn)睛】本題考查了集合的子集個數(shù)判斷方程的解，考查了對參數(shù)的討論思想，屬于較易題.
7. 已知，，若p的一個充分非必要條件是q，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】得到為的真子集，從而得到不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】由題意得為的真子集，
要滿足（等號不同時成立），解得，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：
8. 已知一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為、，則__________.
【答案】##5.25
【解析】
【分析】韋達(dá)定理得，，把變形為，代入求值即可.
【詳解】一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為、，
則有，，
所以.
故答案為：.
9. 設(shè)集合，若集合S的所有非空真子集的元素之和是300，則__________.
【答案】20
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出含每個元素的集合個數(shù)，再進(jìn)行求和即可.
【詳解】集合的所有非空真子集中含有的子集有：
，共15個，
同理集合的所有非空真子集中含有的子集都各有15個，
依題意，，所以.
故答案為：20
10. 設(shè)集合為正整數(shù)，記為同時滿足下列條件的集合的個數(shù)：①，②若，則，③若，則，則______
【答案】
【解析】
【分析】任取偶數(shù)，將除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以，，經(jīng)過次后，商必為奇數(shù)，此時商為，從而，的是否屬于，由是否屬于確定，求得的表達(dá)式，即可求解.
【詳解】任取偶數(shù)，將除以2，
若商仍為偶數(shù)，再除以，，經(jīng)過次后，商必為奇數(shù)，此時商為，
從而，其中為奇數(shù)，，
由題意知，若，則等價于為偶數(shù)；
若，則等價于為奇數(shù)，
所以是否屬于，由是否屬于確定，
設(shè)是中所有奇數(shù)的集合，所以是的子集個數(shù)，
當(dāng)為偶數(shù)（或奇數(shù)）時，中奇數(shù)的個數(shù)為（或），
所以，所以.
故答案為：.
二、選擇題
11. 下列命題是真命題的為（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】A
【解析】
【分析】
逐一判斷即可.
【詳解】若，則，故A正確
若，則，故B錯誤
當(dāng)時不成立，故C錯誤
當(dāng)時，滿足，但，故D錯誤
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式和方程的知識，較簡單.
12. 已知集合A與集合B的元素個數(shù)之和為m個，中有n個元素，若，則的元素個數(shù)為（ ）
A. mnB.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由公式可得.
【詳解】由題知，
所以.
故選：D
13. 設(shè)U為全集，A、B為集合，則“存在集合C使得，”是“”的（ ）條件
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充要D. 既非充分也非必要
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合運(yùn)算的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】充分性：若存在集合C使得，，則，
所以，所以，充分性成立；
必要性：若，取，則，，必要性成立.
故選：C
14. 設(shè)非空集合S={x| m≤x≤l}滿足：當(dāng)x∈S時，有x2∈S . 給出如下三個命題：
①若m=1，則S={1}；②若m= ，則 ≤ l ≤ 1；③ l=，則
其中正確命題的個數(shù)是
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)集合中元素與集合的關(guān)系，分別列不等式求出范圍，即可判斷．
【詳解】非空集合S={x|m?x?l}滿足：當(dāng)x∈S時,有∈S.
對于①，若m=1,可得，則，則，∴①對；
對于②，若m=,滿足∈S時,有，∴ ≤ l ≤ 1，②對；
對于③，若l=，可得，則.∴③對
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查集合與元素的關(guān)系，理清元素的性質(zhì)，根據(jù)三個結(jié)論列不等式是解題的關(guān)鍵，屬于難題.
三、解答題
15. 已知，關(guān)于x的一元二次方程和，證明：是上述兩個方程的根都是整數(shù)的充要條件.
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】由已知結(jié)合二次方程根的存在條件檢驗充分及必要性即可證明.
【詳解】證明：（充分性）將代入方程，
得，即，
解得，為整數(shù)根；
將代入方程，
得，即，
解得或，整數(shù)根；
所以是兩個方程的根都是整數(shù)的充分條件；
（必要性）若方程有實(shí)根，
則，即，
若方程有實(shí)根，
則即，即，
所以上述兩個方程都有實(shí)根等價于，
，，
當(dāng)時，方程可化為，無整數(shù)根；
當(dāng)時，方程可化為，無整數(shù)根；
當(dāng)時，上述兩個方程都有整數(shù)根，
所以上述兩個方程都有整數(shù)根的必要條件是；
綜上所述，這兩個方程的根都是整數(shù)的充要條件是.
16. 已知集合，.
（1）當(dāng)時，求，；
（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1），或；
（2）
【解析】
【分析】（1）求得集合，利用并集與交集的定義可求，；
（2）由題意可得，分或兩種情況求解即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
；
，或，
所以或或；
【小問2詳解】
當(dāng)，則，
若，則，解得；
若，則，解得；
綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
17. 若一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根為、.
（1）若，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若，請根據(jù)實(shí)數(shù)k的不同取值范圍討論的值.（用k表示）
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，將平方后，即可求得答案；
（2）討論當(dāng)時，和當(dāng)時，兩根的正負(fù)情況，化簡或脫掉的絕對值符號，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得答案.
【小問1詳解】
由題意知一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根為、,
則，即恒成立，
故，
因為，故，
即，解得；
【小問2詳解】
由于，由可知；
當(dāng)時，，
則；
當(dāng)時，，則
故；
綜上，當(dāng)時，，當(dāng)時，.
18. 已知，，.：關(guān)于x方程的解集中最多有一個元素.
（1）若，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）若，和中有且僅有一個成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，化簡集合并求出，再結(jié)合判別式求出，然后利用集合的包含關(guān)系求出的范圍.
（2）由及（1）求出，再按成立不成立和不成立成立分類求解即可.
【小問1詳解】
由有意義，得，解得，此時，
因此，，
由關(guān)于x的方程的解集中最多有一個元素，得，
解得，由，得，則，即，
所以實(shí)數(shù)c的取值范圍是.
【小問2詳解】
當(dāng)時，，，，
當(dāng)成立，不成立時，且，則，
當(dāng)不成立，成立時，且，則，因此，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
19. 已知有限集，如果中的元素滿足，就稱為“完美集”．
（1）判斷：集合是否是“完美集”并說明理由；
（2）是兩個不同的正數(shù)，且是“完美集”，求證：至少有一個大于2；
（3）若為正整數(shù)，求：“完美集”.
【答案】（1），理由見解析
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“完美集”定義，進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)“完美集”的定義，結(jié)合集合的運(yùn)算，以及一元二次方程的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（3）設(shè)中，得到，分，，進(jìn)行分類討論，
小問1詳解】
由，，則集合是“完美集”，
【小問2詳解】
若是兩個不同的正數(shù)，且是“完美集”，
設(shè)，
根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系知，和相當(dāng)于的兩根，
由，解得或（舍去），
所以，又均為正數(shù)，
所以至少有一個大于2.
【小問3詳解】
不妨設(shè)中，
由，得，
當(dāng)時，即有，又為正整數(shù)，所以，
于是，則無解，即不存在滿足條件的“完美集”；
當(dāng)時，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一個，為．
當(dāng)時，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以當(dāng)時不存在完美集，
綜上知，“完美集”為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義有關(guān)的問題的求解策略：
①通過給出一個新的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；
②遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運(yùn)算，驗證，使得問題得以解決.