河北省滄州市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本卷滿分150分考試時(shí)間120分鐘
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的共線，垂直的充要條件以及空間向量坐標(biāo)的減法，模長(zhǎng)定義即得.
【詳解】因，
對(duì)于A選項(xiàng)，由可得：，易知的值不存在；
對(duì)于B選項(xiàng)，由可知不成立；
對(duì)于C選項(xiàng)，；
對(duì)于D選項(xiàng)，
故選：D.
2. 直線，，若，則這兩條平行直線間的距離為（）
A. 或0B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由兩直線平行，得到或，再分別驗(yàn)證一下，最后結(jié)合兩平行線間的距離公式得到即可.
【詳解】因?yàn)橹本€，平行，
所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，兩條直線重合是一條直線，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，直線，，兩直線平行，
所以這兩條平行直線間的距離為，
故選：C
3. 古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果.其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡與圓的公切線的條數(shù)為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式整理等式，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，明確兩圓的圓心和半徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系，可得答案.
【詳解】由題意知，化簡(jiǎn)得，其圓心為，半徑，
又圓C的圓心，半徑，所以，且，
所以兩圓相交，故其公切線的條數(shù)為2條.
故選：B.
4. 下列命題中正確的是（）
A. 點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是
B. 若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則
C. 若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為
D. 已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則
【答案】C
【解析】
【分析】由空間點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷A；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由共面向量定理可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，
，有，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，
則直線l與平面所成的角為，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，
若，則，解得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
5. 若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將本題轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍
【詳解】將曲線的方程化簡(jiǎn)為
即表示以為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，如圖所示：

由圓心到直線的距離等于半徑2，可得：
解得或
結(jié)合圖象可得
故選D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化能力，在解題時(shí)運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)計(jì)算，數(shù)形結(jié)合求出結(jié)果，本題屬于中檔題
6. 數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知ΔABC的頂點(diǎn)，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)
【詳解】設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為代入歐拉線方程得：整理得：m-n+4=0 ①
AB的中點(diǎn)為（1，2）， AB的中垂線方程為，
即x-2y+3=0．聯(lián)立解得
∴△ABC的外心為（-1，1）．
則（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ②
聯(lián)立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
當(dāng)m=0，n=4時(shí)B，C重合，舍去．∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-4，0）．故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程，求直線方程的一般方法：①直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程．②待定系數(shù)法：先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出假設(shè)系數(shù)，最后代入直線方程，待定系數(shù)法常適用于斜截式，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)等．
7. 在正方體中，若棱長(zhǎng)為，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A. 平面B. 直線與平面所成角的正弦值為定值
C. 平面平面D. 點(diǎn)到平面的距離為定值
【答案】B
【解析】
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，利用空間向量逐個(gè)計(jì)算判斷即可
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
令，得，
令，得，，
對(duì)于A，，顯然，
即，，
而，平面，因此平面，A正確；
對(duì)于B，由平面，平面，得，
因?yàn)椋?，平面，則平面，
于是為平面的一個(gè)法向量，，
設(shè)直線與平面所成角為，
則不是定值，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由選項(xiàng)A知平面，即為平面的一個(gè)法向量，
而，則，
即有，
又，平面，因此平面，
則平面平面，C正確；
對(duì)于D，顯然，
因此點(diǎn)到平面的距離為，為定值，D正確.
故選：B
8. 設(shè)圓：與圓：，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析發(fā)現(xiàn)兩圓心和的連線恰好垂直于直線，從而得出當(dāng)與和共線時(shí)最小，從而得解.
【詳解】
因?yàn)閳A：的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
所以和的圓心坐標(biāo)分別為、，半徑，，
所以直線的斜率，而直線的斜率為1
所以直線與直線垂直，如圖，
所以當(dāng)與和共線時(shí)最小，此時(shí)，
又此時(shí)，，
所以最小值為.
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)不得分.
9. 如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是2，且它們彼此的夾角都是為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（）
A. B.
C. D. 的長(zhǎng)為
【答案】AC
【解析】
【分析】A、B選項(xiàng)考查的是空間向量基本定理的應(yīng)用，以，，為基底表示，就可以得到結(jié)論；C選項(xiàng)考查利用空間向量數(shù)量積求向量夾角的余弦，先用基底表示和，再求它們的數(shù)量積和模，利用可判斷C是否正確；對(duì)D選項(xiàng)，先用基底表示，再結(jié)合可求的長(zhǎng).
【詳解】
∵，故A正確.
∵.故B錯(cuò)誤.
又∵，.
，；
，
.
.
∴.故C正確.
∵，∴.故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 已知圓，則（）
A. 圓與直線必有兩個(gè)交點(diǎn)
B. 圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1
C. 圓與圓恰有三條公切線，則
D. 動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線，為切點(diǎn)，則四邊形面積最小值為2
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)直線切過(guò)定點(diǎn)切該定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷A；求出圓的圓心到直線的距離可判斷B；將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，轉(zhuǎn)化為兩圓外切可判斷C；由，且當(dāng)最小時(shí)最小時(shí)可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，將直線整理得，由，
知，所以直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)椋?br>所以該定點(diǎn)在圓內(nèi)，故A正確；
對(duì)于B，圓的圓心到直線的距離為，
所以過(guò)圓心且與直線平行的直線與圓相交有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，
與直線平行且與圓相切，并且與直線在圓心同側(cè)的直線到的距離為1，
所以只有三個(gè)點(diǎn)滿足題意，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，
因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓外切，所以，
解得，故C正確；
對(duì)于D，連接，因?yàn)闉榍悬c(diǎn)，所以，
所以，且當(dāng)最小時(shí)，最小，
所以當(dāng)與直線垂直時(shí)，，又因?yàn)榘霃綖?，
所以，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 如圖，在四棱錐中，底面，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形，，為對(duì)角線的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（）
A. B. 三棱錐的外接球的半徑為
C. 當(dāng)異面直線和所成的角為時(shí)，D. 點(diǎn)F到平面與到平面的距離相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】在菱形中，過(guò)點(diǎn)作直線，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量求出線線角判斷AC；求出點(diǎn)到平面距離判斷D；分析棱錐外接球球心并求出球半徑判斷B.
【詳解】在菱形中，過(guò)點(diǎn)作直線，由底面，得直線兩兩垂直，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，而，
則，
由，得，則，
對(duì)于A，，，
則，于是，A正確；
對(duì)于B，由，得三棱錐的外接球截平面所得截面圓圓心為，
則球心在過(guò)垂直于平面的直線上，直線，顯然球心在線段的中垂面上，
因此，三棱錐的外接球，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，由異面直線和所成的角為，
得，整理得，
而，解得，C正確；
對(duì)于D，，
設(shè)平面與平面的法向量分別為，
，令，得，
，令，得，
而，則點(diǎn)F到平面的距離，
點(diǎn)F到平面距離，顯然，D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 臺(tái)風(fēng)中心從地以每小時(shí)的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，城市在地正東處，城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為______小時(shí).
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)已知條件作出圖形，圓半徑，利用銳角三角函數(shù)的定義可求出BE的長(zhǎng)，易知是直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)，最后用弦長(zhǎng)除以臺(tái)風(fēng)的移動(dòng)速度即可求解.
【詳解】以城市為圓心，為半徑畫圓，如圖所示，所在直線為臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)軌跡，，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).
在中，由銳角三角函數(shù)，
得，
在中，由勾股定理，
得，
所以，
因?yàn)榕_(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為，
所以B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為.
故答案為：2.
13. 設(shè)動(dòng)點(diǎn)在棱長(zhǎng)為的正方體的對(duì)角線上，記.當(dāng)為鈍角時(shí)，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得，根據(jù)求得的取值范圍.
【詳解】由題設(shè)可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則有，，，，
則，得，
所以，
，
顯然不是平角，所以為鈍角等價(jià)于，
即，即，
解得，因此的取值范圍是.
故答案為：

14. 已知圓，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍為______
【答案】.
【解析】
【分析】取中點(diǎn)為，連接，，確定點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，根據(jù)得到答案.
【詳解】取中點(diǎn)為，連接，如圖所示：
則，又，，
故點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，圓心為，半徑為，
因?yàn)椋?br>所以，即，則.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知直線，.
（1）若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線m的距離為，求a的值；
（2）當(dāng)時(shí)，直線l過(guò)m與n的交點(diǎn)，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線l的方程.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式建立方程求解即可.
（2）聯(lián)立求出直線交點(diǎn)，再分類討論直線是否過(guò)原點(diǎn)，求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)原點(diǎn)O到直線m的距離為，
則，解得或；
【小問(wèn)2詳解】
由解得，即m與n的交點(diǎn)為.
當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線斜率為，
所以直線l的方程為；
當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l的方程為，
將代入得，
所以直線l的方程為.
故滿足條件的直線l的方程為或.
16. 已知圓與直線相切于點(diǎn)，圓心在軸上.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線：與圓交于，兩點(diǎn)，求弦的最短長(zhǎng)度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)出圓的方程，再結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，以及直線垂直的性質(zhì)，即可求解．
（2）先求出直線的定點(diǎn)，再判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)，再結(jié)合垂徑定理，以及兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
依題意，圓心在軸上，
可設(shè)圓的方程為，
圓與直線相切于點(diǎn)，
，解得，，
故圓的方程為．
【小問(wèn)2詳解】
直線：，
，令，解得，
直線過(guò)定點(diǎn)，
又圓的方程為．
所以圓心，半徑，
，故定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，
當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，弦取得最小值，
，，
，
弦的最短長(zhǎng)度為．
17. 如圖，圓臺(tái)下底面圓的直徑為，是圓上異于的點(diǎn)，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，.
（1）證明：平面；
（2）求平面和平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】(1)線線垂直從而證明線面垂直.
(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.
【小問(wèn)1詳解】
∵為圓臺(tái)下底面圓的直徑，是圓上異于的點(diǎn)，
故
又∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，又∵，，平面
∴平面
【小問(wèn)2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，則，由(1)可知，
∵，∴平面，
又∵
∴以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得，，
∵平面，∴，
四邊形為矩形，
∴
平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的一條法向量為，，
由得令，則，
平面一個(gè)法向量為
則平面與平面的夾角的余弦值為
∴平面和平面夾角的余弦值為
18. 如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．
（1）若為棱中點(diǎn)，求證：平面；
（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見解析；
（2）存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)三等分點(diǎn)處滿足題意.
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，得到，然后利用線面平行的判定定理得到平面；（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面與平面的夾角的余弦值為，則兩平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值等于，求出，即可得出結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
取中點(diǎn)，連接，
分別為的中點(diǎn)，
，
底面四邊形是矩形，為棱的中點(diǎn)，
，．
，，
故四邊形是平行四邊形，
．
又平面，平面，
平面．
【小問(wèn)2詳解】
假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，
在等邊中，為的中點(diǎn)，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，則是四棱錐的高．
設(shè)，則，，
，所以.
以點(diǎn)為原點(diǎn)，PA，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
故，，．
設(shè)，
．
設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為，
則
?。?br>易知平面的一個(gè)法向量為，，
，
故存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處滿足題意.
19. 已知圓C：（x﹣3）2+y2＝1與直線m：3x﹣y+6＝0，動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)A（0，1）．
（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程；
（2）若直線l與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)，直線l與直線m相交于點(diǎn)N．探索是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）y＝1或；（2）是，-5.
【解析】
【分析】（1）由題意可得直線的斜率存在，所以設(shè)直線l的方程為，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式可得求出的值，從而可求出切線方程，
（2）設(shè)l的方程為y＝kx+1，M（x0，y0），將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組消去y，解方程可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將兩直線方程聯(lián)立可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示出，化簡(jiǎn)可得結(jié)論
【詳解】解：（1）1°當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
l的方程為x＝0，與圓C不相切；
2°當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線l的方程為，即，
∴，解得或，
∴直線l的方程為y＝1或；
（2）由題意可知直線l的斜率存在，
設(shè)l的方程為y＝kx+1，M（x0，y0），
由消去y得，（1+k2）x2﹣（6﹣2k）x+9＝0，
∴，
∴，∴，
由得，，
∴，∴，
∴，
∴為定值．

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